Livro de Ciências dos Materiais

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CIÊNCIAS DOS MATERIAIS
PROF. DR. JOÃO FERNANDO VILLARRUBIA 
LOPES MUNHOZ
PAULISTA
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ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
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Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência, 
sendo de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos.
Projeto Gráfico 
Hey!Design 
SUMÁRIO
ESTRUTURA CRISTALINA E CÉLULAS UNITÁRIAS
INTRODUÇÃO 7
CELAS UNITÁRIAS 8
TIPOS DE EMPACOTAMENTO ATÔMICOS 9
FATOR DE EMPACOTAMENTO, POLIMORFISMO E ALOTROPIA
FATOR DE EMPACOTAMENTO 13
DENSIDADE 16
POLIMORFISMO E ALOTROPIA 19
SISTEMAS CRISTALINOS E REDES DE BRAVAIS
SISTEMAS CRISTALINOS 20
REDES DE BRAVAIS 22
ÍNDICES DE MILLER-DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS
ÍNDICES DE MILLER 26
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 27
ÍNDICES DE MILLER - PLANOS E CRISTAIS HEXAGONAIS
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 31
CRISTAIS HEXAGONAIS 34
DEFEITOS CRISTALINOS – DEFINIÇÃO E DEFEITOS PONTUAIS
INTRODUÇÃO 37
DEFEITOS PONTUAIS 38
DEFEITOS CRISTALINOS – IMPUREZAS E SOLUçÕES SÓLIDAS
IMPUREZAS EM SÓLIDOS 42
SOLUÇÕES SÓLIDAS 43
DEFEITOS CRISTALINOS – DISCORDÂNCIAS OU DEFEITOS LINEARES
DEFINIÇÃO 49
DISCORDÂNCIA ARESTA 49
DISCORDÂNCIA ESPIRAL 50
DISCORDÂNCIA MISTA 51
SUMÁRIO
DEFEITOS CRISTALINOS – DEFEITOS INTERFACIAIS
DEFINIÇÃO 55
SUPERFÍCIES EXTERNAS 55
CONTORNOS DE GRÃO 55
CONTORNOS DE MACLA 58
DEFEITOS INTERFACIAIS DIVERSOS 60
DEFEITOS CRISTALINOS – DEFEITOS VOLUMÉTRICOS
DEFINIÇÃO 63
POROS 63
PRECIPITADOS, DISPERSANTES E INCLUSÕES 64
VIBRAÇÕES ATÔMICAS 66
DIFUSÃO – DEFINIÇÃO, CLASSIFICAÇÃO E MECANISMOS
DEFINIÇÃO 68
CLASSIFICAÇÃO 68
MECANISMOS DA DIFUSÃO 70
PRIMEIRA LEI DE FICK-DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO 74
SEGUNDA LEI DE FICK-DIFUSÃO EM ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO
DIFUSÃO EM ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO 79
FATORES QUE INFLUENCIAM A DIFUSÃO
ESPÉCIES DIFUSIVAS 85
TEMPERATURA 86
OUTROS CAMINHOS DE DIFUSÃO 88
SÓLIDOS NÃO-CRISTALINOS-VIDROS
CLASSIFICAÇÃO DE ESTRUTURAS SÓLIDAS 90
SÓLIDOS NÃO-CRISTALINOS 91
ESTRUTURA VÍTREA 91
SÓLIDOS NÃO-CRISTALINOS-POLÍMEROS
DEFINIÇÃO 93
CARACTERÍSTICAS DOS POLÍMEROS 97
5
INTRODUÇÃO
Praticamente, faz-se o uso de materiais em quase todas as atividades 
humanas. Na verdade, é desafiante pensar qual prática independe de 
sua aplicação direta ou indireta. O desenvolvimento humano sempre 
esteve intrinsecamente ligado à produção, manipulação e criação de no-
vos materiais. Determinados períodos da pré-história foram nomeados 
segundo o nível de progresso: Período da Pedra Lascada (Paleolítico), 
Período da Pedra Polida (Neolítico) e Idade dos Metais. Em outras pala-
vras, a relação entre ser humano e material ocorre desde o início e vem 
se aprimorando com as eras.
Assim sendo, faz-se necessário o conhecimento acerca da estrutura 
e propriedades dos materiais, a fim de se encontrar uma aplicação, ou, 
até mesmo, manipulá-lo para atender específicas necessidades.
Esta Introdução à Ciência dos Materiais busca elucidar a estrutura 
microscópica, bem como a interação entre os átomos constituintes da 
matéria, sua influência em características macroscópicas, tais como pro-
priedades mecânicas, elétricas, ópticas e a classificação dos materiais 
de acordo com seu desempenho.
ESTRUTURA CRISTALINA E 
CÉLULAS UNITÁRIAS
AULA 01
7
INTRODUÇÃO
Os materiais sólidos podem ser classificados de acordo com a regu-
laridade segundo a qual os átomos ou íons estão arranjados em relação 
uns aos outros. Uma substância cristalina é aquela cujos átomos estão 
dispostos em um arranjo periódico, ou seja, que se repete ao longo do 
material. Há uma ordem de longo alcance, de tal modo que, ao ocorrer 
a solidificação, os átomos irão se dispor em um padrão tridimensional 
repetitivo, no qual cada átomo está conectado aos seus átomos vizinhos 
mais próximos, conforme mostra a Figura 1.1. 
Figura 1.1 – Arranjo periódico tridimensional dos átomos em um cristal de NaCl. Esferas 
cinzas representam ânions Cl¯ e vermelhas, cátions Na⁺.
Fonte: https://chem.libretexts.org
Certas propriedades dos sólidos cristalinos dependem da estrutura crista-
lina do material, ou seja, de como os átomos, íons ou moléculas estão dispos-
tos espacialmente. Existe um número extremamente grande de estruturas 
cristalinas diferentes, todas elas com ordenação atômica de longo alcance.
https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/Book%3A_Chem
PRIME_(Moore_et_al.)/1 0Solids%2C_Liquids_and_Solutions/10.02%3A_Lattices_and_Unit_Cells
8
Os átomos ou íons são considerados como esferas sólidas, as quais 
possuem diâmetros bem definidos (lembrando o Modelo Atômico de 
Dalton). Esta visualização é denominada modelo da esfera rígida atômi-
ca, em que as esferas que representam os átomos vizinhos mais próxi-
mos se tocam entre si, ilustrado na Figura 1.2.
Figura 1.2 – Modelo da esfera rígida
Fonte: https://concepto.de/teoria-atomica-de-dalton/
Deste modo, a matriz tridimensional de pontos que coincidem com as po-
sições dos átomos, isto é, o centro das esferas, é nomeado retículo cristalino.
CELAS UNITÁRIAS
Os átomos dos sólidos cristalinos estão ordenados, tais que formam 
padrão repetitivo. Assim sendo, é possível subdividir a estrutura em pe-
quenas entidades, chamadas células unitárias, representada na Figura 1.3. 
Figura 1.3 – Exemplos de Células Unitárias
https://concepto.de/teoria-atomica-de-dalton/
9
Fonte: https://chemed.chem.purdue.edu/
As células unitárias, em sua maioria, são prismas de base quadrilátera 
ou hexagonal, cujos vértices coincidem com os centros atômicos (ou iôni-
cos). Uma célula é selecionada para representar a simetria da estrutura 
cristalina, na qual todas as posições atômicas no cristal podem ser geradas 
mediante translações proporcionais às distâncias inteiras da célula unitária 
ao longo de cada uma das suas arestas. Deste modo, a célula unitária é a 
unidade estrutural básica da estrutura cristalina do material em questão, e a 
define em virtude da geometria e das posições dos átomos no seu interior.
Mais de uma única célula unitária pode ser escolhida para uma estru-
tura cristalina específica; entretanto, usa-se a célula unitária que possui 
o maior grau de simetria geométrica.
TIPOS DE EMPACOTAMENTO ATÔMICOS
Em materiais metálicos, as ligações entre seus átomos não possuem 
direção definida, ou seja, como se trata de atração eletrostática, a ligação 
atômica pode ocorrer em qualquer orientação no espaço. Por isso, não 
há nenhum tipo de restrição quanto ao número e à posição de átomos 
Os átomos ou íons são considerados como esferas sólidas, as quais 
possuem diâmetros bem definidos (lembrando o Modelo Atômico de 
Dalton). Esta visualização é denominada modelo da esfera rígida atômi-
ca, em que as esferas que representam os átomos vizinhos mais próxi-
mos se tocam entre si, ilustrado na Figura 1.2.
Figura 1.2 – Modelo da esfera rígida
Fonte: https://concepto.de/teoria-atomica-de-dalton/
Deste modo, a matriz tridimensional de pontos que coincidem com as po-
sições dos átomos, isto é, o centro das esferas, é nomeado retículo cristalino.
CELAS UNITÁRIAS
Os átomos dos sólidos cristalinos estão ordenados, tais que formam 
padrão repetitivo. Assim sendo, é possível subdividir a estrutura em pe-
quenas entidades, chamadas células unitárias, representada na Figura 1.3. 
Figura 1.3 – Exemplos de Células Unitárias
https://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch13/unitcell.php
https://concepto.de/teoria-atomica-de-dalton/10
vizinhos, o que leva a um elevado número de átomos adjacentes, do 
mesmo modo que a empacotamentos densos (ver Figura 1.4), para a 
maioria das estruturas cristalinas metálicas. 
Figura 4 – Exemplos das estruturas: a) Cúbica de Face Centrada (CFC), b) Cúbica de Corpo 
Centrado (CCC) e c) Hexagonal Compacta (HC). Cada esfera representa um núcleo iônico.
Fonte: https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-
-types-of-lattice-structures/
Vale ressaltar que, de acordo com o tipo de empacotamento atômico, 
há a formação de espaços vazios nos interstícios, segundo a Figura 1.5. 
Se o átomo da camada superior estiver em contato com três da camada 
inferior, e posicionado sobre a depressão formada por esses, a brecha 
terá formato tetraédrico. Todavia, se três átomos da camada superior 
estiverem tocando três da camada inferior, e a abertura formada pelos 
dois trios coincidirem, essa terá formato octaédrico.
Para facilitar a visualização, o site a seguir fornece animações acerca dos 
diferentes empacotamentos que produzem as estruturas CFC, CCC e HC:
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-
-types-of-lattice-structures/
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-types-of-lattice-structur
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-types-of-lattice-structur
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-types-of-lattice-structures/
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/important-types-of-lattice-structures/
11
Figura 1.5 – Fendas intersticiais formadas pelo empacotamento de átomos com forma: 
(a) tetraédrica e (b) octaédrica. 
Fonte: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/
https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/Book%3A_Chem1_(Lower)/07%3A_Solids_and_Li
FATOR DE 
EMPACOTAMENTO, 
POLIMORFISMO E 
ALOTROPIA
AULA 02
13
FATOR DE EMPACOTAMENTO
Estrutura Cúbica de Face Centrada
A estrutura cristalina mais comum em metais é a de geometria cúbica, 
na qual cada átomo ocupa a posição de cada vértice, no centro de cada 
face. Tal ordenação atômica é intitulada de estrutura cristalina cúbica de 
faces centradas (CFC). Alguns dos metais mais familiares que possuem 
essa estrutura cristalina são o cobre, o alumínio, a prata e o ouro. 
Posto que a célula em questão se trata de um cubo, é possível en-
contrar uma relação entre a medida aresta a e o raio R dos átomos que 
compõem o material. Considerando que os átomos se tangenciam, ou 
se tocam através da diagonal da face, pode-se usar a expressão:
 (01)
É possível observar que, na estrutura CFC, cada átomo em um vérti-
ce é compartilhado por oito células unitárias, enquanto que um átomo 
centrado em uma face, por apenas duas. Deste modo, um oitavo de cada 
um dos oito átomos nos vértices, completando um átomo, e metade 
de cada um dos seis átomos localizados nas faces, num total de quatro 
átomos inteiros, pode ser atribuído a uma dada célula unitária. Isto está 
mostrado na Figura 4b, em que apenas frações das esferas estão repre-
sentadas dentro dos limites do cubo. 
𝑎 = 2𝑅 2�
14
Duas outras características importantes de uma estrutura cristalina 
são o número de coordenação e o fator de empacotamento atômico 
(FEA). Para os metais, cada átomo possui o mesmo número de vizinhos 
mais próximos ou de átomos em contato, o que se constitui no seu nú-
mero de coordenação. No caso das estruturas cristalinas CFC, o número 
de coordenação é 12. O átomo na face frontal possui quatro átomos 
vizinhos mais próximos, localizados nos vértices ao seu redor, quatro 
átomos de faces, que se encontram em contato pelo lado de trás, e 
quatro outros átomos de faces equivalentes localizados na próxima cé-
lula unitária, à frente, que não é mostrada. O FEA representa a fração 
do volume de uma célula unitária que corresponde a esferas sólidas, 
assumindo o modelo da esfera atômica rígida, ou:
 (02)
Para a estrutura CFC, o fator de empacotamento é de 0,74, ou seja, 
seu empacotamento é o máximo possível. Nota-se que os valores de 
FEA para os metais são relativamente elevados, a fim de maximizar a 
proteção dada pela nuvem de elétrons livres.
Estrutura Cúbica de Corpo Centrado
A estrutura cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC) possui oito áto-
mos, cujos centros ocupam cada vértice do cubo e um átomo localizado 
no centro da figura espacial, como mostra a Figura X. Como os átomos 
𝐹𝐸𝐴 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
=
𝑉𝐸
𝑉𝑐
15
tangenciam-se através da diagonal do cubo, a relação entre a aresta a 
e o raio atômico R, para CCC, será:
 (03)
Uma vez que cada átomo central possui como vizinhos mais próxi-
mos os seus oito átomos localizados nos vértices do cubo, e cada átomo 
do vértice é compartilhado por oito células unitárias, o número de coor-
denação para a estrutura CCC é 8. Posto que o número de coordenação 
é menor na CCC do que na CFC, o fator de empacotamento atômico na 
CCC (0,68) também é menor do que na CFC (0,74).
Estrutura Hexagonal Compacta
A última estrutura cristalina comumente observada em metais apresenta 
uma célula unitária com o formato hexagonal, denominada hexagonal com-
pacta (HC). As faces superior e inferior da célula unitária são constituídas por 
seis átomos que formam hexágonos regulares e que se encontram em volta 
de um único átomo central. Os planos superior e inferior, cedem três átomos 
adicionais para a célula unitária. Isto é, observando dos planos superior, inter-
mediário e inferior, cada um contém três, sete e três átomos, nessa ordem, 
formando um triângulo, um hexágono e outro triângulo, respectivamente.
Quanto ao número de coordenação, ao tomar o átomo central do 
plano intermediário, este está rodeado por mais seis adjacentes, três 
no superior, bem como no inferior. Assim sendo, seu NC é igual a 12.
𝑎 =
4𝑅
3�
16
Vale ressaltar que, como as estruturas HC e CCC possuem o mesmo núme-
ro de coordenação, 12, ambos também possuem o mesmo valor de FEA, 0,74.
Por fim, considerando que os átomos se tangenciam através da ares-
ta de um hexágono regular, ao invés da aresta de um quadrado, como 
nos casos anteriores, e, além disso, estão dispostos em um prisma he-
xagonal, a relação entre a aresta a e o raio atômico R é dada por:
 a = 2R (04)
DENSIDADE
O entendimento acerca da estrutura cristalina de um sólido permite 
o cálculo de sua densidade verdadeira 𝜌, por meio da seguinte relação:
 (05)
Em que n é o número de átomos em cada célula unitária (não con-
fundir com número de coordenação), A é a massa atômica, Vc é o volume 
da célula unitária e NA é o Número de Avogadro, o qual vale 6,022 x 10²³ 
átomos/mol. Na sequência, a Tabela 1 relaciona o tipo de empacotamento 
com os respectivos valores de aresta, volume e FEA, a fim de facilitar 
futuros cálculos.
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
17
Tabela 1 – Relações entre o tipo de célula unitária e seus respectivos valores de compri-
mento de aresta, volume e FEA.
Célula Unitária Comprimento da 
aresta
Volume da Célula FEA / %
CS 2𝑅 8𝑅3 52
CCC
4𝑅
3�
64𝑅3
3 3�
68
CFC 2𝑅 2� 16𝑅3 2� 74
HC 2𝑅 24𝑅3 2� 74
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
O ródio apresenta raio atômico igual a 0,134 nm, estrutura cristalina do 
tipo CFC e massa atômica igual a 102,91 g/mol. Calculando sua massa es-
pecífica, temos:
𝜌 =
𝑛𝐴
𝑉𝑐𝑁𝐴
=
𝑛𝐴
16𝑅3 2� ×𝑁𝐴
𝜌 =
4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠× 102,91 𝑔𝑚𝑜𝑙
16 × 1,34 × 10−8 𝑐𝑚 3 × 2� × 6,02 × 1023á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠𝑚𝑜𝑙
𝜌 = 12,55 𝑔 𝑐𝑚3⁄
18
POLIMORFISMO E ALOTROPIA
Alguns materiais podem apresentar mais de uma estrutura crista-
lina, um fenômeno conhecido por polimorfismo. Quando encontrado 
em substâncias simples no estado sólido, esta condição é comumente 
conhecida por alotropia. 
A estrutura cristalina que prevalecedepende tanto da temperatura 
como da pressão externa. 
Em sua grande maioria, uma transformação polimórfica implica nas 
variações físico-químicas do material, tais como densidade, dureza, so-
lubilidade dentre outras.
Um exemplo familiar é encontrado no carbono: a grafita é o polimorfo es-
tável nas condições ambientes, enquanto o diamante é formado a pressões 
extremamente elevadas. Ainda, o ferro puro possui uma estrutura crista-
lina CCC à temperatura ambiente, que se altera para uma estrutura CFC à 
temperatura de 912 ºC. Por último, a Zircônia, Figura 2.1, altera seu sistema 
cristalino de monoclínico, à temperatura ambiente, para tetragonal, a 1170 
ºC, e cúbico, a 2370 ºC. Todas essas notações serão explanadas na aula 3.
Figura 2.1 – Diferentes fases cristalinas da zircônia, ZrO₂, conforme variação de temperatura. 
Esferas verdes representam cátions Zr²⁺ e azuis, O²¯ .
Fonte: https://core.ac.uk/download/pdf/43419364.pdf
https://core.ac.uk/download/pdf/43419364.pdf
SISTEMAS CRISTALINOS E 
REDES DE BRAVAIS
AULA 03
20
SISTEMAS CRISTALINOS
É possível dividir as inúmeras diferentes estruturas cristalinas em 
grupos de acordo com os arranjos dos átomos presentes no material 
de estudo, ou seja, a geometria da célula unitária.
A geometria da célula unitária é completamente definida em termos 
de seis parâmetros, nomeados parâmetros de rede: os comprimentos 
das três arestas, a, b e c, e os três ângulos entre os eixos, a, 𝛽 , e y.
Considerando todas as combinações possíveis entre tamanhos iguais 
ou distintos das arestas e valores congruentes ou não dos ângulos, ob-
Deste modo, ao se tratarem de figuras geométricas espaciais, faz-se necessária 
a utilização do sistema tridimensional de coordenadas, conforme ilustra a Figura 
3.1. A origem, ponto (0,0,0) deste sistema, localiza-se em um dos vértices da célula 
unitária, e cada eixo, Ox, Oy e Oz, com os três vértices do prisma em questão.
Figura 3.1 – Sistema tridimensional de coordenadas e seus três respectivos planos: xy, comu-
mente utilizado, xz e yz.
Fonte: http://calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/tridi_coordenadas.html
http://calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/tridi_coordenadas.html 
21
tém-se sete diferentes sistemas cristalinos: cúbico, tetragonal, hexago-
nal, ortorrômbico, romboédrico, monoclínico e triclínico. As relações 
para os parâmetros de rede e as configurações das células unitárias para 
cada um estão representadas na Tabela 3.1 e na Figura 3.2. 
Tabela 3.1 – Relação das características dos sete sistemas cristalinos e seus respectivos exem-
plos encontrados naturalmente.
Sistema 
Cristalino
Arestas Ângulos entre 
arestas
Exemplo
Cúbico 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90 ° Fluorita (𝐶𝑎𝐹2)
Tetragonal 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90 ° Wulfenita (𝑃𝑏𝑀𝑜𝑂4 )
Ortorrômbico 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90 °
Tanzanita 
(𝐶𝑎2𝐴𝑙3(𝑆𝑖𝑂4 )(𝑆𝑖2𝑂7)𝑂(𝑂𝐻))
Monoclínico 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 𝛼 = 𝛾 = 90 °≠ 𝛽 Azurita (𝐶𝑢3 𝐶𝑂3 2 𝑂𝐻 2)
Hexagonal 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 90 °,𝛾 = 120 ° Amazonita (𝐾𝐴𝑙𝑆𝑖3𝑂8)
Romboédrico 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 ≠ 90 °
Esmeralda 
(𝐵𝑒3𝐴𝑙2 𝑆𝑖𝑂3 6)
Triclínico 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 𝛼 ≠ 𝛽 ≠ 𝛾 ≠ 90 ° Rodocrosita (MnCO3)
Fonte: Elaborado pelo autor, 2019.
22
Figura 3.2 – Sete sistemas cristalinos, definidos pelos comprimentos de suas arestas a, 
b e c, e dos ângulos compreendidos entre as mesmas, a, 𝛽, e y.
Fonte: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/Book%3A_Chem 
PRIME_(Moore_et_al.)/10Solids%2C_Liquids_and_Solutions/10.03%3A_Crystal_Systems
REDES DE BRAVAIS
Os sistemas cristalinos podem ser classificados de acordo com a 
sua simetria translacional e rotacional, em outras palavras, possuem a 
mesma aparência após sofrer uma operação de rotação ou translação. 
Ao se executar todas essas manipulações possíveis, são encontrados 14 
retículos distintos denominados Redes de Bravais.
O sistema de menor simetria, triclínico, não possui simetria rotacional. 
Já no monoclínico, é possível obter uma estrutura primitiva, ou simples, 
e de base centrada, em que um átomo se localiza no meio das faces das 
bases apenas. De semelhante modo, ocorre com os romboédricos e he-
https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/Book%3A_ChemPRIME_(Moore_et_al.)/10Solids%
https://chem.libretexts.org/Bookshelves/General_Chemistry/Book%3A_ChemPRIME_(Moore_et_al.)/10Solids%
23
xagonais, que possuem também apenas uma disposição possível entre 
seus átomos. Células tetragonais também possuem duas estruturas: sim-
ples e de corpo centrado, átomo no centro do sistema. No caso cúbico, 
há o arranjo simples, de corpo centrado e de face centrada (conforme 
visto em seções anteriores). Por fim, no ortorrômbico, encontram-se qua-
tro estruturas: primitiva, base centrada, face centrada e corpo centrado.
Uma vez que existem 32 grupos pontuais cristalográficos (grupos 
pontuais de simetria), ao combiná-los com as 14 Redes de Bravais, 
são obtidos 230 grupos espaciais, os quais descrevem todas as ope-
rações simétricas possíveis em três dimensões. Para retículos bidi-
mensionais, há apenas 17 grupos planos possíveis, denominados 
grupos de papel de parede.
Na Figura 3.3 abaixo, estão representados as 14 redes de Bravais, para melhor 
visualização.
Figura 3.3 – Os 14 Sistemas de Bravais originados das operações de simetria dos sete Sistemas Cristalinos.
24
Há um software interativo disponível, a fim de facilitar o entendimento 
acerca dos Sistemas Cristalinos. É possível selecionar a Rede de Bravais de-
sejada e rotacioná-la em qualquer direção, para observar o comprimento 
das arestas e os ângulos formados entre si.
https://crystalwalk.herokuapp.com/
https://crystalwalk.herokuapp.com/
ÍNDICES DE 
MILLER: DIREÇÕES 
CRISTALOGRÁFICAS
AULA 04
26
ÍNDICES DE MILLER
Em materiais cristalinos se torna necessário especificar algum plano 
cristalográfico de átomos específico ou uma direção cristalográfica. As-
sim, estabeleceram-se convenções de identificação, em que três números 
inteiros, ou índices, são utilizados para designar as direções e os planos. 
A base para determinação dos valores dos índices é a célula unitária, em 
um sistema de coordenadas espaciais (eixos x, y e z), cuja origem está 
localizada em um dos vértices e cujos eixos coincidem com as arestas da 
célula unitária. Isto é melhor visualizado na Figura 4.1 a seguir.
Figura 4.1 – Uma célula unitária em um sistema de coordenadas espaciais. É possível 
observar que as arestas a, b e c coincidem com os eixos x, y e z, respectivamente, e que 
uma posição atômica se localiza na origem do sistema supracitado.
Fonte: https://www.researchgate.net/
https://www.researchgate.net/figure/FIGURA-2-Indices-de-Miller-para-algunos-de-los-planos-de-la-fami
27
DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS
As direções [100], [110] e [111] são direções usuais; elas estão repre-
sentadas na célula unitária mostrada na Figura 4.2.
Uma direção cristalográfica é definida por um vetor, isto é, um segmento 
de reta orientado conectando dois pontos. As seguintes etapas são utili-
zadas na determinação dos três índices direcionais:
1. Um vetor com o comprimento conveniente é posicionado de tal modo 
que ele passa através da origem do sistema de coordenadas. Qualquer 
vetor pode ser movido através do retículo cristalino sem sofrer alterações, 
desde que seu paralelismo seja mantido;
2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos três eixos 
é determinado; estes são medidos em termos das dimensões da célula 
unitária, a, b e c;
3. Estes três números são multiplicados ou divididos por um fator comum, 
a fim de reduzi-los aos menores valores inteiros;
4. Os três índices, não separados por vírgulas, são colocados entre col-
chetes: 
 [uvw] (06)
em que, os inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo 
dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente.
28
Figura 4.2 – Representações das direções cristalográficas [100], [010], [001], [101], [110] e [011].
Fonte: http://www.novawafers.com/resources-about-silicon.htmlUma vez que existem tanto coordenadas positivas como negativas, a 
representação destas últimas se dão por meio de índices negativos, repre-
sentados mediante a colocação de uma barra sobre o índice apropriado. 
Por exemplo, a direção [111] teria uma componente na direção -y. De 
semelhante modo, a mudança dos sinais de todos os índices produz uma 
direção antiparalela; melhor dizendo, [111] é diretamente oposta a [111].
Figura 4.3 – Direções cristalográficas com sentidos opostos aos eixos.
Fonte: http://www.novawafers.com/resources-about-silicon.html
http://www.novawafers.com/resources-about-silicon.html 
http://www.novawafers.com/resources-about-silicon.html 
29
Para algumas estruturas cristalinas, várias direções, desde que não sejam pa-
ralelas, com índices diferentes, são, na realidade, equivalentes, significando que o 
espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo. Por exemplo, 
em cristais cúbicos, todas as direções representadas pelos seguintes índices são 
equivalentes: [100], [100], [010], [010], [001] e [001]. Por conveniência, as direções 
equivalentes são agrupadas em uma família, que é representada entre parênte-
ses. Deste modo, o grupo de direções do cristal cúbico pode ser representado 
por <l00>. Vale ressaltar que isto não é, em geral, verdadeiro para outros sistemas 
cristalinos. Por exemplo, para cristais com simetria tetragonal, as direções [100] e 
[010] são equivalentes, enquanto as direções [100] e [001] não são.
Determinando os índices de Miller para as direções A, B, C e D na célula 
unitária cúbica abaixo:
No caso da direção A, parte de (0,1,1) para (0,1,0), portanto: [011].
Já para B, tem como início (0,1,0) e destino (1
2
,0,0). Reduzindo ao menor número 
inteiro possível (multiplicando todos por 2), obtém-se: [120].
Para C, (1,0,0) até (0,1,1), deste modo: [111].
Por último, a direção D, de (0,1
2
,1) a (1,0,1
2
), por conseguinte, análogo ao B: [211].
ÍNDICES DE MILLER: 
PLANOS E CRISTAIS 
HEXAGONAIS
AULA 05
31
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Os planos de uma estrutura cristalina dispõem de representações simi-
lares. Com exceção ao sistema cristalino hexagonal, todos os sistemas têm 
os planos cristalográficos especificados por três índices de Miller, na forma:
 (hkl) (07)
Uma interseção no lado negativo da origem é indicada por uma barra po-
sicionada sobre o índice apropriado, análogo ao usado na notação de direções 
cristalográficas. Além disso, a inversão das direções de todos os índices especifica 
um outro plano que é paralelo, pelo lado oposto e equidistante, à origem.
Quaisquer dois planos que sejam paralelos entre si são equivalentes e 
possuem índices idênticos. De modo análogo às direções cristalográficas, 
o procedimento empregado na determinação dos valores dos índices h, k 
e l é enumerado a seguir.
1. Se o plano selecionado passa através da origem cartesiana, deve-se 
escolher entre: construir um outro plano paralelo no interior da célula 
unitária mediante uma translação apropriada, ou estabelecer uma nova 
origem no vértice de uma outra célula unitária;
2. Desta forma, o plano cristalográfico ou intercepta, ou é paralelo a um 
dos eixos. O comprimento da interseção planar para cada eixo é determi-
nado em termos dos parâmetros de rede a, b, e c;
3. Calcula-se os valores inversos dos números. Um plano paralelo a um 
eixo pode ser considerado como tendo uma interseção no infinito e, por-
tanto, um índice igual a zero;
4. Havendo necessidade, os três números são modificados para o conjunto 
de menores números inteiros pela multiplicação (MMC) ou divisão por um 
fator comum (simplificação);
5. Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas, são coloca-
dos entre parênteses: (hkl);
32
Uma característica peculiar aos cristais cúbicos é o fato de que os pla-
nos e direções que possuem os mesmos índices são perpendiculares uns 
aos outros. Não obstante, no caso dos demais sistemas cristalinos, não 
há relações geométricas simples relacionando os planos e as direções 
que contenham os mesmos índices. As Figuras 5.1 e 5.2 ilustram os pla-
nos mais característicos de um cubo: suas faces e seus planos diagonais.
Figura 5.1 – Os seis planos representando as faces da célula unitária cúbica e seus res-
pectivos Índices de Miller.
Fonte: https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_examples.php
Figura 5.2 – Planos diagonais da célula unitária cúbica e seus respectivos Índices de Miller.
Fonte: https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_examples.php
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_examples.php 
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_examples.php 
33
Determinando os índices de Miller para os planos A, B e C na célula unitá-
ria cúbica abaixo:
No caso do plano A, como passa pela origem, uma nova deve ser escolhida, 
localizada no vértice de uma célula adjacente, ou seja à direita da figura 
acima e a origem será no ponto (0,1,0). Uma vez que, esse plano intercepta 
agora em a = 1, b = -1 e c = 1, seus inversos são, respectivamente, 1; -1 e 1 
e, por fim, os índices serão (111).
Já para B, como é paralelo ao plano xz, ou seja, não intercepta em nenhum 
ponto, tem-se a = ∞ e c = ∞ , enquanto que 𝑏 = 13. Seus inversos serão 0; 3 
e 0. Assim, (030) .
Para C, a = 1, b = ∞ (semelhante ao B, porém em y) e 𝑐 =
1
2 , seus inversos 
serão 1; 0 e 2. Por isso, (102).
A determinação dos Índices de Miller para planos cristalográficos pode 
causar confusões no início. Para auxiliar no processo de aprendizagem, o 
link a seguir contém um simulador. Basta colocar o valor separados por 
ponto-vírgula que o software gerará o plano correspondente.
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_draw.php
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/miller_indices/lattice_draw.php 
34
CRISTAIS HEXAGONAIS
Cristais que possuem simetria hexagonal contam com algumas dire-
ções cristalográficas equivalentes que não dispõem o mesmo conjunto 
de índices. Isto é resolvido utilizando-se um sistema com quatro eixos, 
denominado sistema coordenado de Miller-Bravais. 
Figura 5.3 – Sistema coordenado de Miller-Bravais em um sistema cristalino hexagonal
Fonte: http://www.clay.uga.edu/courses/3010/3010lecture06.html
http://www.clay.uga.edu/courses/3010/3010lecture06.html
35
Os três eixos a₁, a₂ e a₃ pertencem a um único plano, denominado plano da 
base, e possuem ângulo 120º entre si, com o eixo Oz perpendicular aos três. 
Os índices direcionais serão retratados por quatro índices, no formato:
[uvtw] (08)
Por convenção, os três primeiros índices, u, v e t dizem respeito a projeções 
ao longo dos respectivos eixos a₁, a₂ e a₃ no plano da base.
A conversão do sistema com três índices para o sistema com quatro índi-
ces, [u´v´w´] → [uvtw] é feita mediante o uso das seguintes fórmulas:
 (09)
 (10)
 (11)
 (12)
Em que os índices marcados com ´ estão associados ao sistema com três 
índices, enquanto que os sem o apóstrofo estão correlacionados ao novo 
sistema Miller-Bravais; n é um fator que pode ser necessário para reduzir 
u, v, t e w aos menores números inteiros possíveis. 
Por exemplo, usando esta conversão, a direção [010] torna-se:
Considerando n = 3, para reduzir as frações em números inteiros:
𝑢 =
𝑛
3 (2𝑢
′ − 𝑣′�
𝑣 =
𝑛
3 2𝑣
′ −𝑢′
𝑡 = − 𝑢 + 𝑣
𝑤 = 𝑛𝑤′
𝑢 =
𝑛
3 2 × 0− 1 = −
𝑛
3
𝑣 =
𝑛
3 2 × 1− 0 =
2𝑛
3
𝑡 = − −
𝑛
3 +
2𝑛
3 = −
𝑛
3
𝑤 = 𝑛 × 0 = 0
𝑛
3
2𝑛
3
𝑛
3 0
𝑛
3
2𝑛
3
𝑛
3 0 → [1210]�
DEFEITOS CRISTALINOS 
DEFINIÇÃO E DEFEITOS 
PONTUAIS
AULA 06
37
INTRODUÇÃO
Como visto no capítulo anterior, existe uma ordem perfeita ao longo 
da extensão dos materiais cristalinos. Entretanto, isso não é verificado 
na prática. Todos os materiais contêm grandes números de defeitos. Em-
bora seja visto com uma denotação negativa, as imperfeições cristalinas 
são responsáveis por muitas das propriedades dos materiais. 
A fluorita, decomposição química CaF₂, possui diversos tipos de coloração, 
devido a inúmeros tipos de desvios de sua rede cristalina ideal. Curiosa-
mente, quanto mais perfeita a estrutura cristalina, o sólido apresenta-se 
incolor. A Figura 6.1 exibe diferentes tipos de colorações deste minério 
(alguns mais raros, como o de tonalidade arco-íris).
Figura 6.1 – Diversas estruturas da fluorita,. Suas diferentes colorações se devem às inúmeras 
e distintas imperfeições na rede cristalina.
Fonte: http://www.geologyin.com/2017/02/why-fluorite-comes-in-different-colors.html
Mais informações podem ser encontradas pelo seguinte link:
http://www.geologyin.com/2017/02/why-fluorite-comes-in-different-colors.html
http://www.geologyin.com/2017/02/why-fluorite-comes-in-different-colors.html 
http://www.geologyin.com/2017/02/why-fluorite-comes-in-different-colors.html 
38
Com o devido controle de defeitos específicos, é possível manipular 
características desejadas do material em questão. Isto será discorrido 
em capítulos posteriores.
É definido “defeito cristalino” a irregularidade na rede cristalina em zero, 
uma, duas ou três dimensões, na ordem de um diâmetro atômico. A classifi-
cação é realizada de acordo com a geometria ou dimensionalidade do defeito. 
Dentre os diferentes tipos de imperfeições existem os defeitos pon-
tuais (associados a uma ou duas posições atômicas), os defeitos lineares 
(ou unidimensionais), os defeitos interfaciais, ou contornos (bidimensio-
nais) e os defeitos volumétricos (tridimensionais).
DEFEITOS PONTUAIS
Lacunas
A lacuna, ou sítio vago da rede cristalina, é um sítio que deveria estar 
ocupado, porém há um átomo faltando. A Figura 6.2 ilustra tal fenôme-
no. Todos os sólidos cristalinos contêm lacunas, é impossível criar um 
material que esteja isento desse tipo de defeito.
Figura 6.2 – Esquema de um defeito pontual do tipo lacuna em uma malha 2D de um cristal.
Fonte: http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap7.pdf
http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap7.pdf 
39
Pode-se explicar a necessidade da existência de lacunas através 
dos princípios da termodinâmica, em especial a entropia. Em princí-
pio, a presença de sítios vagos aumenta a entropia, ou seja, a aleato-
riedade do cristal.
Determinando o número de lacunas no ferro a 900º, sabendo que 
sua massa específica é igual a 7,65g/cm¯³, seu peso atômico é 55,85 g/
mol e a energia de formação de uma lacuna é de 1,08 eV/átimo:
Primeiramente, é preciso converter a temperatura em Kelvin:
T = 900 ºC + 273 = 1173 K
Do capítulo anterior, a massa específica é dada por:
O número de lacunas em equilíbrio, Nv, para uma dada quantidade de 
material depende da temperatura em que este se encontra, de acordo 
com a seguinte expressão:
 (01)
Em que, N representa o número total de sítios atômicos, Qv é a energia 
necessária para a formação de uma lacuna, T é a temperatura absoluta em 
Kelvin e k é a constante de Boltzmann, ou dos gases, igual a 1,38 x 10¯²³ j/
(átomo K), ou 8,62 x 10¯⁵ eV / (átomo K). Assim sendo, o número de lacunas 
aumenta exponencialmente em função da temperatura; isto é, à medida 
se eleva a temperatura.
𝑁𝑉 = 𝑁 exp −
𝑄𝑉
𝑘𝑇
𝜌 =
𝐴 ×𝑁
𝑁𝐴
→ 𝑁 =
𝑁𝐴 × 𝜌
𝐴
40
Deste modo:
Autointersticiais
Defeito autointersticial é aquele no qual um átomo do cristal que, ao 
invés de se encontrar na sua posição original, localiza-se comprimido 
no interior de um sítio intersticial (pequeno espaço vazio formado entre 
os átomos da rede cristalina e que, sob circunstâncias ordinárias, não é 
ocupado). A Figura 6.3 mostra este tipo de imperfeição.
Figura 6.3 – Esquema de um defeito pontual do tipo autointersticial em uma malha 2D 
de um cristal.
Fonte: http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap7.pdf
Nos metais, um autointersticial introduz distorções relativamente 
grandes na rede cristalina próxima, pois o átomo é substancialmente 
maior do que a posição intersticial na qual ele está situado. Consequen-
temente, a formação desse defeito é mais difícil de ocorrer e existe so-
mente em concentrações muito reduzidas.
𝑁𝑉 = 1,9 × 1018 𝑙𝑎𝑐𝑢𝑛𝑎𝑠.𝑐𝑚3
𝑁𝑉 = 𝑁 exp −
𝑄𝑉
𝑘𝑇
=
𝑁𝐴𝜌
𝐴
exp −
𝑄𝑉
𝑘𝑇
𝑁𝑉 =
6,02 × 1023 7,65 𝑔 𝑐𝑚−3⁄
55,85 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙
exp −
1,08 𝑒 𝑉 á⁄ 𝑡𝑜𝑚𝑜
8,62 × 10−5 𝑒 𝑉 á⁄ 𝑡𝑜𝑚𝑜 𝐾 × 1173 𝐾
http://www.foz.unioeste.br/~lamat/downmateriais/materiaiscap7.pdf 
DEFEITOS CRISTALINOS 
IMPUREZAS E SOLUÇÕES 
SÓLIDAS
AULA 07
42
IMPUREZAS EM SÓLIDOS
Impurezas ou átomos estranhos à rede cristalina original são co-
muns, e alguns irão existir como defeitos cristalinos pontuais. Na reali-
dade, mesmo com técnicas relativamente sofisticadas, é difícil refinar 
metais até uma pureza que seja superior a 99,9999%. Nesta proporção, 
as impurezas estarão presentes em cada metro cúbico do material em 
uma ordem de 10²² a 10²³ átomos/m³.
A adição de impurezas a um metal irá resultar na formação de uma 
solução sólida e/ou uma nova segunda fase, dependendo dos átomos 
adicionados, de suas concentrações e da temperatura da liga.
De forma análoga às soluções líquidas, no caso das sólidas, o termo 
Solvente representa o elemento ou composto que está presente em 
maior quantidade (também são chamados de átomos hospedeiros) e o 
termo Soluto é usado para indicar um elemento ou composto que está 
presente em menor concentração.
Os metais mais utilizados no cotidiano não são altamente puros, porém, 
são ligas, nas quais impurezas foram adicionadas intencionalmente para 
conferir características específicas ao material, como maior resistência 
mecânica à corrosão. Por exemplo, a prata, de lei, é uma liga composta 
por 92,5% de prata e 7,5% de cobre. Em condições normais, a prata pura 
é altamente resistente à corrosão, além de ser muito macia. A formação 
de uma liga com o cobre incrementa significativamente a resistência me-
cânica, sem diminuir em quantidade apreciável a resistência à corrosão.
43
SOLUÇÕES SÓLIDAS
À medida que se adiciona átomos do soluto ao material hospedeiro, 
a estrutura cristalina é mantida, e nenhuma nova estrutura é formada. 
Semelhante ocorre em uma solução homogênea líquido-líquido.
Esta incorporação de impurezas gera dois tipos de defeitos pontuais: 
substitucional, em que um átomo da matriz cristalina é substituído por um 
do soluto; e intersticial, no qual uma impureza aloca-se em um interstício 
da rede cristalina hospedeira. Ambos estão representados a seguir.
Figura 7.1 – Esquematização de defeitos pontuais por impurezas.
Fonte: https://docplayer.com.br/47338458-O-mais-simples-dos-defeitos-pontuais-e-a- 
lacuna-posicao-atomica-na-qual-falta-um-atomo-todo-solido-cristalino-contem-lacunas 
-aumento-da-entropia.html
https://docplayer.com.br/47338458-O-mais-simples-dos-defeitos-pontuais-e-a-lacuna-posicao-atomica-na
https://docplayer.com.br/47338458-O-mais-simples-dos-defeitos-pontuais-e-a-lacuna-posicao-atomica-na
https://docplayer.com.br/47338458-O-mais-simples-dos-defeitos-pontuais-e-a-lacuna-posicao-atomica-na
44
Para soluções sólidas intersticiais, o diâmetro atômico de uma impureza 
intersticial deve ser substancialmente menor do que o diâmetro dos átomos 
hospedeiros. Normalmente, a concentração máxima permissível para os 
átomos de impureza intersticial é baixa, menor que 10%. Mesmo os átomos 
de impurezas muito pequenos são geralmente maiores do que os sítios in-
tersticiais, e por isso introduzem alguma deformação na rede cristalina sobre 
Existem várias características dos átomos do soluto e do solvente que 
determinam o grau segundo o qual o primeiro se dissolve no segundo:
• Tamanho atômico: quantidades apreciáveis de um soluto podem ser 
acomodadas neste tipo de solução sólida somente quando a diferença 
entre os raios atômicos dos dois tipos de átomos é menor do que apro-
ximadamente 15%. De outra forma, os átomos do soluto irão criar dis-
torções substanciais na rede cristalina e uma nova fase irá se formar;
• Estruturacristalina: para que a solubilidade dos sólidos seja apreciável, 
as estruturas cristalinas de ambos os tipos de átomos devem ser as 
mesmas;
• Eletronegatividade: quanto mais eletropositivo for um elemento e 
mais eletronegativo for o outro, maior é a tendência de que venham 
a formar um composto intermetálico em lugar de uma solução sólida 
substitucional;
• Valências: sendo iguais todos os demais fatores, um metal terá uma 
maior tendência de dissolver um outro metal de maior valência do que 
um de menor valência.
O cobre e o níquel formam um exemplo de solução sólida substitucional. 
Seus raios atômicos são 0,128nm para o cobre e 0,125nm para o níquel, am-
bos possuem estruturas cristalinas do tipo CFC, suas eletronegatividades 
são 1,9 e 1,8 respectivamente, e as valências mais comuns são +1 para o 
cobre e +2 para o níquel.
45
os átomos hospedeiros adjacentes. O carbono forma uma solução sólida 
intersticial quando adicionado ao ferro; a concentração máxima de carbono 
é de aproximadamente 2%. O raio atômico do átomo de carbono é muito 
menor do que do átomo de ferro, 0,071 e 0,124nm respectivamente. 
Especificação de composição
Torna-se necessário expressar a composição, ou proporção, de uma liga em 
termos dos seus elementos constituintes. As duas formas mais comuns de se 
especificar a composição são a porcentagem em peso (ou massa) e a porcen-
tagem atômica. A base para a porcentagem em peso é o peso de um elemento 
específico em relação ao peso total da liga. Para uma liga que contém dois áto-
mos, X e Y, a concentração do átomo X em percentagem Cx é definida como:
 (02)
Em que mx e my, representam, respectivamente, o peso (ou massa) dos 
elementos X e Y. A concentração do átomo Y é calculada de maneira análoga.
A base para os cálculos da porcentagem atômica é o número de mo-
les de um elemento em relação ao número total de moles de todos os 
elementos na liga. O número de moles em alguma massa especificada de 
um elemento hipotético X, nmx, pode ser calculado da seguinte maneira:
 (03)
𝐶𝑋 =
𝑚𝑋
𝑚𝑋 + 𝑚𝑌
× 100 %
𝑛𝑚𝑋 =
𝑚𝑋
𝐴𝑋
46
Sendo: mx e Ax representam, respectivamente, a massa e o peso atô-
mico para o elemento X.
A concentração para o elemento X em termos da porcentagem atômi-
ca em uma liga contendo os átomos X e Y, C´x, é definida pela expressão:
 (04)
De maneira semelhante, a porcentagem atômica para o átomo Y 
pode ser determinada.
Os cálculos da porcentagem atômica também podem ser executados 
com base no número de átomos em lugar do número de moles, uma vez 
que um mol de todas as substâncias contém o mesmo número de átomos.
É possível expressar a composição C´x em função da porcentagem de 
X no material. A massa total M de uma liga com apenas os elementos X 
e Y presentes será:
 (05)
Substituindo a equação (03) em (04):
 (06)
Antes de prosseguir, ao se rearranjar a equação (02), tem-se:
 (07)
𝐶′𝑋 =
𝑛𝑚𝑋
𝑛𝑚𝑋 + 𝑛𝑚𝑌
× 100 %
𝑀 = 𝑚𝑋 +𝑚𝑌
𝐶′𝑋 =
𝑚𝑋
𝐴𝑋
𝑚𝑋
𝐴𝑋
+𝑚𝑌𝐴𝑌
× 100 %
𝑚𝑋 =
𝐶𝑋 𝑚𝑋+ 𝑚𝑌
100 =
𝐶𝑋𝑀
100
47
De forma análoga, para o elemento Y:
 (08)
Por fim, utilizando-se (07) e (08) em (06):
 (09)
Simplificando:
 (10)
Determinando o percentual atômico de uma liga 97% Al e 3% Cu, sabendo 
que as respectivas massas atômicas são 63,55 e 26,98 g/mol.
Para o alumínio:
Para o cobre:
Ou simplesmente:
𝐶𝐴𝑙′ =
𝐶𝐴𝑙𝐴𝐴𝑙
𝐶𝐴𝑙𝐴𝐴𝑙 +𝐶𝐶𝑢𝐴𝐶𝑢
× 100 %
𝐶𝐴𝑙′ =
97 63,55 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙
97 63,55 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙 + 3 26,98 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙 × 100 %≅ 98,7 %
𝐶𝐶𝑢′ =
𝐶𝐶𝑢𝐴𝐶𝑢
𝐶𝐴𝑙𝐴𝐴𝑙 +𝐶𝐶𝑢𝐴𝐶𝑢
× 100 %
𝐶𝐴𝑙′ =
3 26,98 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙
97 63,55 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙 + 3 26,98 𝑔 𝑚⁄ 𝑜𝑙 × 100 % ≅1,3 %
𝐶𝐶𝑢′ = 100 %−𝐶𝐴𝑙′ = 100 %−98,7 % = 1,3 %
𝑚𝑌 =
𝐶𝑌𝑀
100
𝐶′𝑋 =
𝐶𝑋𝑀
100𝐴𝑋
𝐶𝑋𝑀
100𝐴𝑋
+ 𝐶𝑌𝑀100𝐴𝑌
× 100 %
𝐶′𝑋 =
𝐶𝑋𝐴𝑋
𝐶𝑋𝐴𝑋 + 𝐶𝑌𝐴𝑌
× 100 %
DEFEITOS CRISTALINOS 
DISCORDÂNCIAS OU 
DEFEITOS LINEARES
AULA 08
49
DEFINIÇÃO
Uma discordância é um defeito unidimensional, ou linear, que 
consiste no desalinhamento de átomos. A Figura 8.1 a seguir ilustra 
tal fenômeno. 
Figura 8.1 – Dois tipos de discordâncias em um cristal. Da esquerda para a direita: dis-
cordância aresta e discordância espiral.
Fonte: https://www.researchgate.net/figure/Schematic-diagrams-of-A-an-edge-and-B-s-
crew-dislocation-in-an-atomic-lattice_fig1_270761961
DISCORDÂNCIA ARESTA
É conhecido por discordância aresta, quando uma aresta de átomos 
extras termina no interior do cristal. Este é um defeito linear centraliza-
do em átomos da linha que fica definida ao longo da extremidade do 
semiplano de átomos adicionais, conhecido por linha da discordância. 
Isto é demonstrado na Figura 8.2 abaixo. 
https://www.researchgate.net/figure/Schematic-diagrams-of-A-an-edge-and-B-screw-dislocation-in-an-at
https://www.researchgate.net/figure/Schematic-diagrams-of-A-an-edge-and-B-screw-dislocation-in-an-at
50
Figura 8.2 – Demonstração do mecanismo de discordância aresta. Uma linha extra de 
átomos provoca a formação de uma nova coluna no cristal.
Fonte: https://structuredatabase.wordpress.com/intracrystalline/
Dentro da região ao redor da linha da discordância, há uma distorção 
localizada da rede cristalina. Os átomos acima da linha da discordância 
são pressionados uns contra os outros, e os átomos abaixo são puxados 
um para longe do outro. O resultado disso é a ligeira curvatura para os 
planos verticais. A intensidade desta distorção diminui com o afasta-
mento da linha da discordância. Em posições afastadas da linha da dis-
cordância, o retículo cristalino é praticamente perfeito (considerando, 
claro, que haja apenas este tipo de defeito no cristal).
DISCORDÂNCIA ESPIRAL
Um outro tipo de discordância, denominado discordância espiral, é 
formada por uma tensão cisalhante aplicada para produzir a distorção, 
de acordo com a Figura 8.3.
Uma animação sobre como ocorre a discordância aresta está disponível 
no link: https://www.youtube.com/watch?v=iKKxTP6xp74
https://structuredatabase.wordpress.com/intracrystalline/ 
https://www.youtube.com/watch?v=iKKxTP6xp74 
51
Figura 8.3 – Mecanismo da discordância espiral. O cristal sofre um cisalhamento, resul-
tando na seção esquerda subir e a direita descer, num movimento de torção, gerando 
um degrau de escorregamento. A linha de discordância indica o centro do defeito.
Fonte: https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6421-defeitos-em-linha-nos-
-materiais-cristalinos#.Xdv8B9XQ_IU
A região superior do cristal é deslocada uma distância atômica para 
cima, produzindo um degrau no cristal. Essa inclinação em espiral, ou 
helicoidal, que é traçada em torno da linha da discordância (centro da 
espiral) pelos planos atômicos de átomos. 
DISCORDÂNCIA MISTA
A maioria das discordâncias encontradas em cristais não é somente ares-
ta ou apenas espiral, porém, exibe componentes que são característicos de 
ambos os tipos. Tais são conhecidas por discordâncias mistas, Figura 8.4.
Uma animação sobre como ocorre a discordância espiral está disponível 
no link: https://www.youtube.com/watch?v=z3MzDiyLtWc
https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6421-defeitos-em-linha-nos-materiais-cristalinos#.X
https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6421-defeitos-em-linha-nos-materiais-cristalinos#.X
https://www.youtube.com/watch?v=z3MzDiyLtWc 
52
Figura 8.4 – Discordância mista, ou seja, contém aresta e espiral simultaneamente. O 
vetor de Burgers possui um ângulo agudo com a linha de discordância.
Fonte: https://www.docsity.com/pt/imperfeicoes-em-solidos-cristalinos/4796197/
A magnitude e a direção da distorção da rede cristalina são expressas 
em termos de um vetor de Burgers, b. Desta forma, a natureza de uma 
discordância é definida pelas orientações relativas da linha da discor-
dância e pelo vetor de Burgers. Para uma discordância aresta, esta e 
o vetor são perpendiculares, enquanto para uma discordância espiral, 
sãoparalelos; não são nem perpendiculares nem paralelos para uma 
discordância mista.
https://www.docsity.com/pt/imperfeicoes-em-solidos-cristalinos/4796197/ 
53
Figura 8.5 – Vetor de Burgers demonstrado na discordância aresta, figura superior, e na 
discordância espiral, figura inferior. No primeiro caso, o vetor e a linha da discordância 
são perpendiculares entre si, enquanto que estes são paralelos no segundo caso.
Fonte: http://www.geosci.usyd.edu.au/users/prey/Teaching/Geol-3101/RheologyOne02/crystal.htm
Embora uma discordância mude de direção e de natureza no interior 
de um cristal (por exemplo, de uma discordância aresta para uma dis-
cordância mista, ou para uma discordância espiral), o vetor de Burgers 
será o mesmo em todos os pontos ao longo da sua linha (Figura 8.5).
Na prática, todos os materiais cristalinos contêm algumas discor-
dâncias que surgiram durante a solidificação, ou através de deformação 
plástica, ou ainda como uma consequência das tensões térmicas que 
resultam de um resfriamento rápido.
http://www.geosci.usyd.edu.au/users/prey/Teaching/Geol-3101/RheologyOne02/crystal.htm 
DEFEITOS CRISTALINOS 
DEFEITOS INTERFACIAIS
AULA 09
55
DEFINIÇÃO
Defeitos interfaciais são contornos bidimensionais, que separam 
regiões dos materiais, sejam de diferentes estruturas cristalinas e/ou 
orientações cristalográficas, sejam de substâncias distintas. Tais imper-
feições incluem as superfícies externas, os contornos de grão, contornos 
de macla, contornos de fases e falhas de empilhamento.
SUPERFÍCIES EXTERNAS
Um dos contornos mais óbvios é a superfície externa, onde termina 
a estrutura do cristal. Os átomos da superfície não estão ligados ao nú-
mero máximo de vizinhos mais próximos, portanto possuem um estado 
de maior energia do que os que estão nas posições interiores. Por isto, 
estes átomos não ligados completamente dão origem a uma energia de 
superfície. A fim de reduzir esta energia, os materiais tendem a minimi-
zar a área total da superfície, se possível. De modo análogo, os líquidos 
assumem uma forma que possui uma área mínima, e as gotículas se 
tomam esféricas. Obviamente, isso não é possível com os sólidos, que 
são mecanicamente rígidos.
CONTORNOS DE GRÃO
O contorno de grão é aquele que separa dois pequenos grãos ou 
cristais que possuem diferentes orientações cristalográficas em mate-
riais policristalinos, como mostra a Figura 9.1 a seguir. 
56
Figura 9.1 – Micrografia de um contorno de grão.
Fonte: http://www.fem.unicamp.br/~sergio1/pos-graduacao/MR640/questresp.html
Dentro da região do contorno, que possui largura próxima ao diâme-
tro de alguns poucos átomos, existem alguns desencontros atômicos na 
transição da orientação cristalina de um grão para aquela de outro grão 
adjacente. Quando esse desencontro da orientação é pequeno, poucos 
graus, é chamado contorno de grão de baixo ângulo. 
Os contornos podem ser descritos também em termos de arranjos 
de discordâncias. Um contorno de grão de baixo ângulo simples é for-
mado quando discordâncias aresta estão alinhadas, de acordo com a 
Figura 9.2 a seguir. 
http://www.fem.unicamp.br/~sergio1/pos-graduacao/MR640/questresp.html 
57
Figura 9.2 – Esquematização do ângulo de desalinhamento. Na parte superior é obser-
vável o contorno de grão de alto ângulo, enquanto que, na inferior, de baixo ângulo.
Fonte: http://docplayer.com.br/73844128-Defeitos-cristalinos-conceitos-gerais.html
Este tipo é chamado de um contorno inclinado, com o ângulo de desorien-
tação, 𝜃. Quando 𝜃 é paralelo ao contorno, obtém-se um contorno torcido, 
o qual pode ser descrito mediante um arranjo de discordâncias espiral.
Os átomos estão ligados de maneira irregular ao longo de um con-
torno de grão (por exemplo, os ângulos de ligação são mais longos). 
Consequentemente, há uma energia interfacial ou do contorno de grão, 
a qual é semelhante à energia de superfície (seção anterior). A intensida-
de desta energia é uma função do grau de desorientação. Quanto maior 
o ângulo 𝜃, maior a energia do contorno. Assim sendo, esta região é 
mais reativa do que os grãos propriamente ditos. Além disso, os átomos 
de impureza com frequência se segregam preferencialmente ao longo 
desses contornos, devido aos seus maiores estados de energia. 
http://docplayer.com.br/73844128-Defeitos-cristalinos-conceitos-gerais.html 
58
A energia interfacial total é menor em materiais com grãos grandes 
ou grosseiros do que em materiais com grãos mais finos, uma vez que 
existe menos área de contorno total naqueles primeiros. O crescimento 
dos grãos ocorre, quando se encontram a temperaturas elevadas, de 
modo a reduzir a energia de contorno total.
Apesar desse arranjo desordenado dos átomos, e da falta de uma 
ligação regular ao longo dos contornos de grãos, um material policris-
talino ainda e muito forte. Isto se deve a forças de coesão presentes 
no interior e através do contorno. Além do que, a densidade de uma 
amostra de um material policristalino é virtualmente idêntica àquela de 
um monocristal feito do mesmo material.
CONTORNOS DE MACLA
Um contorno de macla é um tipo especial de contorno de grão, no qual 
há uma simetria especular da rede cristalina, isto é, os átomos dos dois 
lados do contorno são imagens de espelho, conforme ilustra a Figura 9.3. 
Figura 9.3 – Micrografia de um contorno de macla de uma liga
Fonte: https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6422-defeitos-planares#.Xd1CMNXQ_IU
https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6422-defeitos-planares#.Xd1CMNXQ_IU
59
A região entre esses contornos é chamada de macla. Esta se origina 
através de deslocamentos atômicos que são produzidos a partir de for-
ças mecânicas de cisalhamento aplicadas, conhecidas como maclas de 
deformação, ou também durante tratamentos térmicos de recozimento 
realizados após deformações, denominadas maclas de recozimento.
A maclagem ocorre em um plano cristalográfico definido e em uma 
direção específica, ambos os quais dependem da estrutura cristalina. As 
maclas de recozimento ocorrem comumente em metais que possuem 
uma estrutura cristalina CFC, enquanto as de deformação são observa-
das em estruturas CCC e HC.
Figura 9.4 – Micrografia do aço inoxidável. Nota-se a formação de maclas devido ao 
tratamento térmico do material.
Fonte: http://www.scielo.br/pdf/rmat/v13n4/a03v13n4.pdf
http://www.scielo.br/pdf/rmat/v13n4/a03v13n4.pdf 
60
DEFEITOS INTERFACIAIS DIVERSOS
Outros defeitos interfaciais possíveis são as falhas de empilhamento, 
os contornos de fase e as paredes de domínio ferromagnético. 
As falhas de empilhamento são encontradas em metais de estrutura 
CFC, na qual há uma interrupção na sequência de empilhamento dos 
planos compactos. 
Figura 9.5 – Exemplo de falha de empacotamento. Na parte superior, há um empaco-
tamento hexagonal compacto, enquanto que, na inferior, um cúbico de face centrada.
Fonte: https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/crystallographic-defects/
Já os contornos de fase existem em materiais com múltiplas fa-
ses, através dos quais há uma mudança brusca nas características 
físico-químicas. 
https://www.tec-science.com/material-science/structure-of-metals/crystallographic-defects/ 
61
Figura 9.6 – Contorno de fase de uma amostra de ferro. Na parte superior, a estrutura 
cristalina é CFC, enquanto que, na inferior, é CCC. A linha em branco indica o contorno 
das fases.
Fonte: https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/iss/kap_5/backbone/r5_3_2.html
Por fim, para materiais ferromagnéticos e ferrimagnéticos, o contor-
no que separa as regiões que possuem diferentes direções de magne-
tização é conhecido como uma parede de domínio.
Figura 9.7 – Ilustração de uma parede de domínio, onde se encontram as diferentes 
direções de magnetização do mesmo material.
Fonte: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4212163/mod_resource/content/1/
Ferromagnetismo%20e%20o%20Processo%20de%20Magnetiza%C3%A7%C3%A3o.pdfhttps://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/iss/kap_5/backbone/r5_3_2.html 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4212163/mod_resource/content/1/Ferromagnetismo%20e%20o%20
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/4212163/mod_resource/content/1/Ferromagnetismo%20e%20o%20
DEFEITOS CRISTALINOS 
DEFEITOS VOLUMÉTRICOS
AULA 10
63
DEFINIÇÃO
Defeitos tridimensionais presentes em todos os materiais sólidos são 
denominados defeitos volumétricos. Estes incluem trincas, poros, inclu-
sões e outras fases. São normalmente introduzidos durante as etapas 
de processamento e fabricação.
POROS
Os poros são espaços vazios ocasionados por gases que ficaram pre-
sos durante a solidificação do material. Devido a isso, alteram a estrutura 
original do cristal de forma tridimensional e, dependendo do raio do 
poro, é possível visualizá-lo a olho nu.
Figura 10.1 – Micrografia de poros em compactado de pó de ferro
Fonte: https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6423-defeitos-volumetricos#.Xd0rS9XQ_IU
https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6423-defeitos-volumetricos#.Xd0rS9XQ_IU
64
PRECIPITADOS, DISPERSANTES E INCLUSÕES
Impurezas podem se alocar na matriz cristalina, durante o processa-
mento do material. Podem formar fases coerentes ou incoerentes com 
a estrutura cristalina hospedeira (ver Figura 10.2).
Figura 10.2 – Representação de defeitos volumétricos com: a) fase coerente e b) fase incoerente.
Fonte: Handbook of Materials Structures, Properties, Processing and Performance, 2015.
Conforme a dimensão dessas, são classificadas em:
• Precipitados, tamanho menor que um mícron (Figura 10.3);
• Dispersantes: podem ser precipitados grandes, grãos ou par-
tículas poli granuladas distribuídas nos cristais (Figura 10.4);
• Inclusões: grandes aglomerados de impurezas, comportam-
-se como uma segunda fase e influenciam o comportamento 
do material de origem. Por isso, são indesejadas na maioria 
das vezes (Figura 10.5).
65
Figura 10.3 – Precipitados em uma liga Al-6061 (96% Al e 4 % Cu).
Fonte: Handbook of Materials Structures, Properties, Processing and Performance, 2015.
Figura 10.4 – Micrografia de partículas de 𝑇ℎ𝑂2 dispersas em 𝑁𝑖 metálico.
Fonte: Handbook of Materials Structures, Properties, Processing and Performance, 2015.
Figura 10.5 – Micrografia da inclusão de SiO₂, Al₂O₃ e MgO em ferro fundido nodular.
Fonte: https://docplayer.com.br/63797746-Defeitos-de-fundicao-inclusoes.html
https://docplayer.com.br/63797746-Defeitos-de-fundicao-inclusoes.html
66
VIBRAÇÕES ATÔMICAS
Todos os átomos presentes em um material sólido estão em cons-
tante e rápida vibração em torno da sua posição reticular dentro do 
cristal. Em um certo sentido, essas vibrações podem ser consideradas 
imperfeições ou defeitos. Num certo momento, esses mesmos átomos 
não estão todos vibrando com a mesma frequência e/ou amplitude, 
tampouco com a mesma energia. Para uma dada temperatura existirá 
uma distribuição das energias dos átomos constituintes em torno de 
um valor de energia médio. 
Ao passar do tempo, a energia vibracional de qualquer átomo espe-
cífico também irá variar de uma maneira aleatória. Com o aumento da 
temperatura, essa energia média aumenta, e, de fato, a temperatura 
de um sólido é realmente apenas uma medida da atividade vibracional 
média dos átomos e moléculas que compõem o sólido. À temperatura 
ambiente, uma frequência de vibração típica está na ordem de 1013 vi-
brações por segundo, enquanto a amplitude é de uns poucos milésimos 
de nanômetro.
Muitas propriedades e processos em sólidos são manifestações des-
te movimento de vibração apresentado pelos átomos. Por exemplo, a 
fusão ocorre quando as vibrações são vigorosas o suficiente para rom-
per grandes números de ligações atômicas.
DIFUSÃO – DEFINIÇÃO, 
CLASSIFICAÇÃO E 
MECANISMOS
AULA 11
68
DEFINIÇÃO
A obtenção de materiais depende da transferência de massas dos 
reagentes envolvidos. Este fluxo pode ocorrer no próprio interior de 
um sólido específico (no caso de ligas, um composto sólido irá se alo-
car no interior de um metal hospedeiro) ou a partir de um líquido, de 
um gás ou outra fase sólida. Este fenômeno de transporte de material 
através do movimento dos átomos é denominado difusão. Através da 
compreensão do mecanismo dessa e dos fatores que a influenciam, é 
possível quantificar a concentração do componente difundido e, assim, 
obter materiais com características desejadas. 
CLASSIFICAÇÃO
Interdifusão
A ocorrência da difusão pode ser demonstrada através do uso de um 
par de difusão. Este é formado ao se unir barras de dois metais distintos, 
a fim de que haja um contato íntimo entre as duas faces. A Figura 11.1 
ilustra dois pedaços de cobre e níquel metálicos que estão em contato. 
Ao se aquecer este par a uma alta temperatura, porém abaixo do ponto 
de fusão de ambos, por um extenso período de tempo, os átomos de 
Cu vão em sentido da placa de Ni, e vice-versa.
69
Figura 11.1 – Esquematização do par de difusão Cu-Ni. Após aquecimento por um longo 
período de tempo, há um fluxo de átomos de um metal em sentido ao outro. Isto au-
menta a concentração de ambos na interface.
Fonte: https://slideplayer.com.br/slide/5110465/
Realizando-se uma análise química da situação proposta acima, será re-
velado que cobre e níquel puros encontrar-se-ão somente nas duas extremi-
dades das barras e, conforme se aproxima da interface, haverá a formação 
de uma liga. As concentrações de ambos os metais variam de acordo com 
a posição, conforme está mostrado nos gráficos da Figura 11.1. Isto indica 
que os átomos de cobre migraram, ou seja, se difundiram para o interior do 
níquel, e que, de modo semelhante, o níquel se difundiu para o interior do 
cobre. Tal processo é chamado de interdifusão, ou difusão de impurezas.
A interdifusão pode ser analisada comparando-se com soluções líquidas. Nes-
te caso, átomos da região de alta concentração (hipertônica) migram para a região 
de baixa concentração (hipotônica). Isto também é notado no caso Cu-Ni acima. 
https://slideplayer.com.br/slide/5110465/ 
70
Autodifusão
A difusão também ocorre nos metais puros, todavia todos os áto-
mos que estão mudando de posição são do mesmo tipo. Este evento 
é conhecido por autodifusão. Obviamente, a autodifusão não está nor-
malmente sujeita a observação pelo acompanhamento de mudanças na 
composição, como na interdifusão.
MECANISMOS DA DIFUSÃO
Para um átomo movimentar-se dentro de uma matriz cristalina, duas 
condições devem ser atendidas: é necessário haver um sítio adjacente 
vazio, e o átomo deve possuir energia suficiente para quebrar as ligações 
atômicas que o une aos seus átomos vizinhos e, então, causar alguma 
distorção na rede cristalina durante o deslocamento. Tal energia é de 
natureza vibracional. 
A uma certa temperatura, uma pequena fração de átomos é capaz de 
realizar movimento por difusão. Assim, pode-se afirmar que a difusão é 
proporcional à temperatura do material.
A Figura 11.1 pode ser melhor compreendida, através da animação presen-
te no endereço: http://web.unideb.hu/zerdelyi/diffusion-on-the-nanoscale/
volume-diffusion/
http://web.unideb.hu/zerdelyi/diffusion-on-the-nanoscale/volume-diffusion/
http://web.unideb.hu/zerdelyi/diffusion-on-the-nanoscale/volume-diffusion/
71
Difusão por lacuna
Um átomo pode sair de sua posição normal da rede cristalina para um 
sítio vago do retículo, lacuna, adjacente, conforme representa o esquema 
da Figura 11.2. Esse mecanismo é apropriadamente chamado de difusão 
por lacuna. A extensão segundo a qual este tipo de difusão acontece é 
uma função do número desses defeitos presentes. Em temperaturas ele-
vadas, é possível obter quantidades significativas de lacunas. 
Figura 11.2 – Esquematização do mecanismo de difusão por lacunas.
Fonte: https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20
Figueiredo%20Cabral%20%28sem%20assinaturas%29.pdf
Posto que os átomosem difusão e as lacunas trocam de posições, am-
bos possuem sentidos opostos de movimento: os átomos movem-se para 
as lacunas e vice-versa. Tanto a autodifusão como a interdifusão ocorrem 
por meio deste mecanismo, excetuando que, no caso da última, os áto-
mos de impureza estão difundindo-se, ao invés dos átomos hospedeiros.
Difusão Intersticial
Um outro tipo de difusão envolve átomos que migram de uma posição 
intersticial para uma outra vizinha e vazia. Tal fenômeno é observado na inter-
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20Figueiredo%20Cabral%20%28
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20Figueiredo%20Cabral%20%28
72
difusão de impurezas como hidrogênio, carbono, nitrogênio e oxigênio, que 
possuem raio atômico pequenos o suficiente para se alocarem no interior 
das posições intersticiais. Átomos hospedeiros e impurezas substitucionais 
raramente formam intersticiais, e normalmente não se difundem através 
deste mecanismo. Essa ocorrência é chamada de difusão intersticial.
Figura 11.3 – Esquematização do mecanismo de difusão intersticial. O átomo azul repre-
senta uma impureza de raio atômico inferior ao do átomo hospedeiro.
Fonte: https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20
Figueiredo%20Cabral%20%28sem%20assinaturas%29.pdf
Na maioria das ligas metálicas, a difusão intersticial ocorre mais ra-
pidamente do que a por lacunas, já que os átomos intersticiais são me-
nores, e, consequentemente, possuem maior mobilidade. Além do que, 
há mais posições intersticiais vazias do que lacunas em um cristal e, 
portanto, a probabilidade de um movimento atômico intersticial é maior 
do que para a difusão por lacunas.
Representações animadas desses mecanismos de difusão (além de alguns 
mais específicos), estão presentes no site a seguir. https://www.tf.uni-kiel.
de/matwis/amat/def_en/kap_3/backbone/guidedtour_r3_2_1.html
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20Figueiredo%20Cabral%20%28
https://app.uff.br/riuff/bitstream/1/4532/1/Projeto%20Final%20-%20Renato%20Figueiredo%20Cabral%20%28
https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/def_en/kap_3/backbone/guidedtour_r3_2_1.html 
https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/def_en/kap_3/backbone/guidedtour_r3_2_1.html 
PRIMEIRA LEI DE FICK: 
DIFUSÃO EM ESTADO 
ESTACIONÁRIO
AULA 12
74
DIFUSÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO
Como a difusão é um processo que depende do tempo, a quantidade 
de átomos transportados no interior de um material é uma função do 
tempo. Desta forma, faz-se necessário saber a taxa de transferência de 
massa, isto é, o fluxo de difusão J, definido como:
 (01)
Em que M é a massa de átomos difundidos, A é a área através da qual 
a difusão está ocorrendo e t é o tempo de difusão decorrido. Diferen-
ciando-se essa expressão (uma vez que se trata de uma taxa):
 (02)
sendo J medido em kg/(m²s) ou átomos/(m²s). 
Se o fluxo difusivo J não variar com o tempo, tem-se uma condição de 
estado estacionário. Um exemplo comum disso é a difusão dos átomos 
de um gás através de uma placa metálica para a qual as concentrações 
(ou pressões) do componente em difusão em ambas as superfícies da 
placa são mantidas constantes. Isso está ilustrado na Figura 12.1.
𝐽 =
𝑀
𝐴𝑡
𝐽 =
1
𝐴
𝑑𝑀
𝑑𝑡
75
Figura 12.1 – Difusão em estado estacionário de um determinado gás com pressão pA por uma 
placa metálica. Ao atravessá-la, o gás possui uma nova pressão pb < pA. A direita, uma representa-
ção gráfica da concentração do gás em função da espessura x da placa.
Fonte: https://docplayer.com.br/33011024-Movimento-de-atomos-e-ions-nos-materiais-difusao.html
Quando a concentração C é plotada em função da posição (ou dis-
tância) no interior do sólido, x, a curva resultante é conhecida por perfil 
de concentração (Figura 4) e seu coeficiente angular, ou inclinação da 
reta, é o gradiente de concentração ∇𝐶:
 (03)
com C em kg/m³ ou g/cm³.
Admitindo-se que o perfil de concentração é linear, conforme mos-
trado na Figura 4:
 (04)
∇𝐶 𝑥 =
𝑑𝐶
𝑑𝑥
∇𝐶 𝑥 =
∆𝐶
∆𝑥
=
𝐶𝐴 − 𝐶𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
https://docplayer.com.br/33011024-Movimento-de-atomos-e-ions-nos-materiais-difusao.html 
76
Pelo fato de o fluxo ser proporcional ao gradiente de concentração, 
obtém-se a expressão:
 (05)
Sendo a constante de proporcionalidade D chamada de coeficiente 
de difusão e expressa em m²/s. O sinal negativo indica que a direção da 
difusão é contra o gradiente de concentração, ou seja, da concentração 
mais alta para a mais baixa. A (05) é denominada de primeira lei de Fick. 
𝐽 = −𝐷
𝑑𝐶
𝑑𝑥
Uma placa de ferro está exposta a 700ºC em uma atmosfera carbonetante, rica 
em carbono, em um de seus lados, e a uma atmosfera descarbonetante no outro. 
Se uma condição de regime estacionário é atingida, é possível calcular o fluxo de 
difusão do carbono através da placa, dado que as concentrações de carbono nas 
posições 5 e 10 mm abaixo da superfície são 1,2 e 0,8 kg/m³ respectivamente.
Considere um coeficiente de difusão de 3 x 10 ¯¹¹ m²/s nessa temperatura.
Sendo a massa molar do carbono igual a 12,01 g/mol, tem-se:
𝐽 = −𝐷
𝑑𝐶
𝑑𝑥 = −𝐷
∆𝐶
∆𝑥
𝐽 = −𝐷
𝐶𝐴 − 𝐶𝐵
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
= −(3 × 10−11 𝑚2 𝑠⁄ )
0,8 𝐾 𝑔 𝑚3⁄ )− (1,2 𝑘𝑔 𝑚3⁄
0,010 𝑚)− (0,005 𝑚
𝐽 = 2,4 × 10−9 𝑘𝑔 𝑠⁄
𝐽 = 2,4 × 10−12𝑔 𝑠⁄ ×
6,02 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
12,01 𝑔 = 1,2 × 10
11 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑠⁄
77
O termo força motriz é usado como aquilo que induz a ocorrência 
de um fenômeno. Para difusões, quando esta se dá de acordo com a 
equação (05), o gradiente de concentração é a força motriz.
Um exemplo prático da difusão em estado estacionário é a purificação do 
gás hidrogênio (Figura 12.2). Um dos lados de uma chapa fina de paládio 
metálico é exposta ao gás impuro, ou seja, contendo também gases como 
o nitrogênio, o oxigênio e vapor d’água. Somente o hidrogênio se difunde 
através da chapa, para o lado oposto, que é mantido sob uma pressão de 
hidrogênio constante e inferior.
Figura 12.2 – Purificação do gás hidrogênio, através de sua difusão seleti-
va em um filme de paládio.
Fonte: https://hub.wsu.edu/ise/design/purification/
https://hub.wsu.edu/ise/design/purification/
SEGUNDA LEI DE FICK: 
DIFUSÃO EM ESTADO 
NÃO-ESTACIONÁRIO
AULA 13
79
DIFUSÃO EM ESTADO NÃO-ESTACIONÁRIO
Situações de difusão de estado não-estacionário são mais comuns 
do que em estado estacionário. Em outras palavras, o fluxo de difusão e 
o gradiente de concentração em um ponto específico no interior de um 
sólido variam ao longo do tempo, resultando em acúmulo ou esgota-
mento líquido do componente que se encontra em difusão. A Figura 13.1 
representa essa circunstância, em que concentrações de uma mesma es-
pécie em difusão são tomadas em três momentos diferentes do processo. 
Nenhuma curva coincide, diferente do que foi descrito na seção anterior.
Figura 13.1 – Concentrações de uma mesma espécie em função da distância em difusões 
de estado não-estacionário, em três tempos diferentes, sendo t₃ > t₂ > t₁.
Fonte: http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient-an-
d-laws-ficks-laws-metallurgy/41803
http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient-and-laws-ficks-laws-meta
http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient-and-laws-ficks-laws-meta
80
Sob condições de estado não-estacionário, a equação da Primeira 
Lei de Fick não mais é adequada, sendo necessário o uso de uma dife-
rencial parcial:
 (01)
Conhecida por Segunda Lei de Fick. Se o coeficiente de difusão in-
depender da composição, a equação torna-se:
 (02)
As soluções dessa expressão são obtidas através da especificação de 
condições de contorno, isto é, que possuem um sentido físico. Neste caso, 
essas condições são a concentração inicial da espécie difusa no material, C₀; 
a concentração a uma determinada profundidadex, Cx; e a concentração 
na superfície do material, Cs. Deste modo, a solução da equação (07) será:
 (03)
∂𝐶
∂𝑡
=
∂
∂𝑥
𝐷
∂𝐶
∂𝑥
∂𝐶
∂𝑡
= 𝐷
∂2𝐶
∂𝑥2
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 − 𝐶0
= 1 −
𝑥
2 𝐷𝑡�
Um simulador de difusão em sólidos está no link abaixo. Através desse 
software, é possível manipular a quantidade de espécie difundida, a tem-
peratura e o tempo de difusão.
https://demonstrations.wolfram.com/DiffusionInSolids/
https://demonstrations.wolfram.com/DiffusionInSolids/
81
A plotagem da equação (03) gera a curva da Figura 7. A altura máxima 
da curva representa a diferença Cs - C₀, enquanto que a altura menor do 
ponto desejado x é dada por Cx - C0.
A expressão 
𝑥
2 𝐷𝑡� é a função erro de Gauss,3 cujos valores são obtidos 
pela equação: 
 (04)
E os valores estão tabelados a seguir.
Tabela 13.1 – Valores da função de erro de Gauss.
z (z) z (z) z (z)
0,00 0,0000 0,55 0,5633 1,30 0,9340
0,025 0,0282 0,60 0,6039 1,40 0,9523
0,050 0,0564 0,65 0,6420 1,50 0,9661
0,10 0,1125 0,70 0,6778 1,60 0,9763
0,15 0,1680 0,75 0,7112 1,70 0,9838
0,20 0,2227 0,80 0,7421 1,80 0,9891
0,25 0,2763 0,85 0,7707 1,90 0,9928
0,30 0,3286 0,90 0,7970 2,00 0,9953
0,35 0,3794 0,95 0,8209 2,20 0,9981
0,40 0,4284 1,00 0,8427 2,40 0,9993
0,45 0,4755 1,10 0,8802 2,60 0,9998
0,50 0,5205 1,20 0,9103 2,80 0,9999
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vale ressaltar que, para a solução de um problema envolvendo a equação 
(03), basta substituir a variável z da equação (04) por 
𝑥
2 𝐷𝑡� .
𝑧 =
2
𝜋�
�
𝑧
0
𝑒−𝑦
2
𝑑𝑦
82
Figura 13.2 – Gráfico da segunda lei de Fick, solucionada pelas condições de contorno Cs, Cx, x e C₀. 
Fonte: http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient- 
and-laws-ficks-laws-metallurgy/41803
Realiza-se a difusão de boro numa pastilha de silício durante 7h a 1100 ºC. A 
pastilha, inicialmente, está isenta de boro. Qual a profundidade, abaixo da su-
perfície, na qual a concentração de boro será de 10¹⁷ átomos/cm³, se a concen-
tração de boro na superfície for mantida constante e igual a 10¹⁸ átomos/cm³? 
Dado: coeficiente de difusão de boro no silício a 1100 ºC: 4,0 x 10¯¹³ cm²/s
𝐶𝑥 − 𝐶0
𝐶𝑠 −𝐶0
= 1− erf
𝑥
2 𝐷𝑡�
1017 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑠 𝑐𝑚3⁄ ) − (0 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑚3⁄
1018 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑠 𝑐𝑚3⁄ ) − (0 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑚3⁄ = 1− erf
𝑥
2 4,0× 10−13 𝑐𝑚2 𝑠⁄ )(7 ℎ�
0,1 = 1− erf
𝑥
2(1,7× 10−6)
0,9 = erf
𝑥
3,3 × 10−6
Tomando 𝑥
3,3×10−6
= 𝑧:
0,9 = erf 𝑧
http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient-and-laws-ficks-laws-meta
http://www.engineeringenotes.com/metallurgy/diffusion/diffusion-coefficient-and-laws-ficks-laws-meta
83
Da Tabela 1, não é possível encontrar um valor exatamente igual a 0,9. Por-
tanto será preciso realizar uma interpolação dos dados. Para isso, deve-se 
encontrar valores próximos menores e maiores que o desejado. No caso 
acima, para z = 1,1 → erf(z) = 0,8802 e para z = 1,2 → erf(z) = 0,9103 . Então, o valor 
de z para erf(z) = 0,9 deve estar entre os valores descritos. Portanto:
Por fim, para encontrar x:
𝑧 = 1,1658
1,2− 1,1
𝑧 −1,1 =
erf 1,2 − erf 1,1
erf 𝑧 − erf 1,1
1,2−1,1
𝑧 −1,1 =
0,9103−0,8802
0,9− 0,8802
𝑥
3,3 × 10−6 = 𝑧
𝑥 ≅ 3,9 × 10−6𝑚= 3,9 𝜇𝑚
𝑥
3,3 × 10−6 = 1,1658
FATORES QUE 
INFLUENCIAM A DIFUSÃO
AULA 14
85
ESPÉCIES DIFUSIVAS
A intensidade do coeficiente de difusão D sugere a taxa segundo a 
qual os átomos se difundem no interior do material. A Tabela 14.1 exi-
be alguns coeficientes de difusão (autodifusão e/ou interdifusão) para 
vários sistemas metálicos. 
Tabela 14.1 – Valores calculados de difusão de algumas espécies em determinados 
metais hospedeiros em temperaturas distintas.
Fonte: Callister, 2004.
Como visto pelos dados acima, o coeficiente de difusão é influenciado 
pelo tipo de espécie difusiva e pelo material hospedeiro. No caso do Fe, 
por exemplo, sua autodifusão e a interdifusão do carbono, ambos a 500 
ºC, possuem uma diferença de magnitude da ordem de 10⁹. É possível 
observar também o contraste entre as taxas de difusão por lacuna (au-
todifusão), mais lenta, e intersticial, mais rápida.
86
TEMPERATURA
Um dos fatores de maior influência sobre os coeficientes e taxas de 
difusão é a temperatura. De acordo com a tabela 14.1, a autodifusão do 
Fe no Fe-α (CCC) aumenta em próximo de seis ordens de magnitude, ao 
se elevar a temperatura de 500 para 900 ºC.
Essa dependência dos coeficientes de difusão com a temperatura é 
expressa pela equação:
 (01)
em que D0 é o coeficiente de difusão máxima (temperatura infinita) em 
m2/s; Qd é a energia de ativação para a difusão dada por J/mol, ou cal/
mol, ou ainda eV/mol; R é a constante universal dos gases, no valor de 
8,31 J/(mol K) = 1,987 cal/(mol K) = 8,62 x 10¯⁵ eV/átomo; e T a temperatura 
absoluta em Kelvin.
A energia de ativação é aquela necessária para produzir o movimento 
difusivo de um mol de átomos. Se tiver valor elevado, gerará um coefi-
ciente de difusão relativamente pequeno. Esses valores de energia de 
ativação também estão representados na Tabela 14.1.
𝐷 = 𝐷0 exp −
𝑄𝑑
𝑅𝑇
87
Um gráfico da equação (2) terá a aparência da Figura 14.1, tomando 
os eixos x e y como 
1
𝑇 e In D, nessa ordem.
Figura 14.1 – Coeficiente de difusão do carbono em ferro como função da temperatura. 
Fonte: http://sv.rkriz.net/classes/MSE2034_NoteBook/MSE2034_kriz_NoteBook/diffu-
sion/analytic/anal2.html
É possível realizar uma regressão linear da equação (1), tomando os loga-
ritmos naturais de ambos os lados:
 (02)
Ou utilizando logaritmos na base 10:
 (03)
Já que D0, Qd e R são constantes, a plotagem da equação (2) ou (3) resultará 
em uma reta. Lembrando que a equação reduzida da reta é dada por:
 (04)
com y em função de x e com coeficientes linear e angular b e m respecti-
vamente. Comparando-se as equações (02) e (04), y = In D, 𝑥 = 1𝑇 , 𝑏 = log𝐷0 e 𝑚 = −𝑄𝑑𝑅 .
ln𝐷 = ln𝐷0 −
𝑄𝑑
𝑅
1
𝑇
log𝐷 = log𝐷0 −
𝑄𝑑
2,3𝑅
1
𝑇
𝑦 = 𝑏+𝑚𝑥
http://sv.rkriz.net/classes/MSE2034_NoteBook/MSE2034_kriz_NoteBook/diffusion/analytic/anal2.html 
http://sv.rkriz.net/classes/MSE2034_NoteBook/MSE2034_kriz_NoteBook/diffusion/analytic/anal2.html 
88
OUTROS CAMINHOS DE DIFUSÃO
Além dos métodos supracitados, a migração atômica também pode 
ocorrer ao longo das discordâncias, contornos de grão e superfícies ex-
ternas. São chamados de caminhos de difusão de curto-circuito, porque 
as taxas de difusão são muito maiores do que aquelas para a difusão no 
meio do volume sólido. Entretanto, na maioria das situações, as contri-
buições para o fluxo de difusão global devido aos curtos-circuitos são 
insignificantes, pois as áreas de seção reta para esses caminhos são 
extremamente pequenas.
Qual o coeficiente de difusão do carbono em Fe-α a 600 ºC?
Pela Tabela 2, D0 = 6,2 x 10¯⁷ m²/s e Qd = 80 kJ/mol. Então:
𝐷 ≅ 1,9 × 10−5𝑚2 𝑠⁄
𝐷 = 𝐷0 exp −
𝑄𝑑
𝑅𝑇
𝐷 = (6,2 × 10−7 𝑚2 𝑠⁄ ) exp −
80.000 𝐽 𝑚⁄ 𝑜𝑙
8,31 𝐽 (⁄ 𝑚𝑜𝑙 𝐾))(873 𝐾
SÓLIDOS NÃO-
CRISTALINOS: VIDROS
AULA 15
90
CLASSIFICAÇÃO DE ESTRUTURAS SÓLIDAS
Nos sólidos, as redes podem ser diferenciadas entre:
• Cristalina: possui periodicidade translacional, uma forma especial 
de ordenação a longo alcance, e um diagrama de difração essen-
cialmente discreto. Pode possuir ordem de simetria de 2, 3, 4 ou 6;
• Quase-cristalina: há ordenação a longo alcance, sem periodici-
dade translacional. Não existe sobreposição de celas unitárias 
e, ao calcular a ordem de simetria, obter-se-ão valores incom-
patíveis com uma cela unitária cristalina (5, 7, 8, 10 ou 12);
• Não-cristalina: não há ordem posicional de longo alcance, po-
dendo ser topologicamente ordenada ou desordenada.
A Figura 15.1 esquematiza os quatro tipos de rede para melhor en-
tendimento.
Figura 15.1 – Representação 2D dos quatro tipos de rede: (a) cristalina, (b) quase-crista-
lina, (c) não-cristalina topologicamente ordenada e (d) desordenada.
FONTE: GUPTA, 1995.