DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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V- DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE: 
BINOMIAL, GEOMÉTRICA, POISSON E NORMAL
nanci.oliveira@fatec.sp.gov.br
Distribuições de probabilidade 
Logística / Gestão da Produção Industrial
1
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Distribuições de probabilidade 
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2
DEFINIÇÃO:
• Sejam E um experimento e S o espaço associado ao 
experimento. Uma função X, que associe a cada 
elemento s є S um número real X(s) é denominado 
variável aleatória.
S X R 
s . .X(s)Variável aleatória
• Experimento E = lançamento de duas moedas
• Espaço amostral S = {CaCo, CoCa, CaCa, CoCo}
onde Ca = cara e Co = coroa
• Variável aleatória X = nº de caras na duas moedas
Então, X = {0, 1, 2}, pois
X = 0 corresponde ao evento CoCo, com probabilidade ¼
X = 1 corresponde ao evento CaCo e CoCa, com probabilidade 2/4
X = 2 corresponde ao evento CaCa, com probabilidade ¼
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3
EXEMPLO – VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Distribuições de probabilidade 
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4
• É uma apresentação de todos os valores 
assumidos por uma variável aleatória com seus 
respectivos valores de probabilidade.
• Na distribuição de probabilidade, a soma de todas 
as probabilidades de todos os valores que a 
variável aleatória pode assumir é igual a 1. 
• No exemplo de variável aleatória, a 
distribuição de probabilidade é:
ƩP(Xi) = P(x = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 
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5
Xi 0 1 2
P(Xi) ¼ 2/4 1/4
1
4
4
4
1
4
2
4
1

EXEMPLO - DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
• Existem muitas distribuições de probabilidade.
• Nesse curso, vamos estudar:
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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Distribuição
Discreta
• Distribuição Binomial
• Distribuição Geométrica
Distribuição
Contínua
• Distribuição de Poisson
• Distribuição Normal
• Em muitos problemas, o que interessa é a 
probabilidade de um evento ocorrer “X vezes” em “n 
provas” (ou “X sucessos” em “n provas”).
EXEMPLOS:
• A probabilidade de obter 25 respostas a 400 
questionários distribuídos como parte de uma 
pesquisa.
• A probabilidade de 5 em 12 ratos sobreviverem por 
determinado tempo após a aplicação de um 
medicamento.
• A probabilidade de 45 em 300 motoristas estarem 
usando cinto de segurança.
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
CONDI
1. O experimento deve ser repetido nas mesmas 
condições, um número finito de vezes (n vezes).
2. As provas repetidas devem ser independentes, isso é, 
o resultado de uma não deve afetar o resultado das 
sucessivas
3. Em cada prova ou experimento deve aparecer um dos 
possíveis resultados:
p = SUCESSO
q = FRACASSO (insucesso) = q = 1-p
4. No decorrer do experimento a probabilidade do 
sucesso e a probabilidade do fracasso se mantém 
constantes.
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CONDIÇÕES DO EXPERIMENTO NUMA 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
n = número de provas
p = probabilidade do sucesso
Esses parâmetros (n e p) permitem escrever a 
notação abreviada de uma Distribuição 
Binomial: 
X: (n; p)
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PARÂMETROS FUNDAMENTAIS DA 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Para facilitar a manipulação dos símbolos, vamos 
convencionar que:
P(S) = P(sucesso) = p
onde sucesso é a ocorrência de um evento particular
P(F) = P(fracasso) = q
onde fracasso é a ocorrência de qualquer evento 
que não seja o convencionado como sucesso.
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SUCESSO E FRACASSO
P(X = k) = probabilidade de que o evento se realize “k vezes” em “n provas” 
p = probabilidade do sucesso = probabilidade de que o evento se realize em 
uma só prova
q = probabilidade do fracasso = probabilidade de que o evento não se realize 
durante uma prova
n = número total de provas
k = número de vezes que se quer a ocorrência do evento
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FÓRMULA PARA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
knk qp
)!kn(!k
!n
)kX(P 


Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e 
independentes. Calcular a probabilidade de 
serem obtidas três caras nessa 5 provas.
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EXEMPLO 1 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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• Numa criação de coelhos, 40% são machos. 
Qual a probabilidade de que nasçam pelo 
menos 2 coelhos machos, se nascerem 20 
coelhos num dia?
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EXEMPLO 2 – DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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4
EXERCÍCIOS:
LISTA DE DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
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Consideremos tentativas sucessivas e 
independentes de um mesmo experimento 
aleatório.
Cada tentativa admite:
S = SUCESSO, com probabilidade p
P = FRACASSO, com probabilidade q
Tem-se: p+q = 1
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DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Seja X = número de tentativas necessárias ao 
aparecimento do 1º sucesso. Logo, X assume 
os valores:
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20
P(X= 4) = 𝑃 𝐹 ∩ 𝐹 ∩ 𝐹 ∩ 𝐹 ∩ 𝑆 = 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑞 ∙ 𝑝 = 𝑞𝑥−1 ∙ 𝑝
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FÓRMULA DA DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
pqx)P(X 1x  
onde:
X = número de tentativas necessárias ao aparecimento do 1º sucesso
p = probabilidade do sucesso
q = probabilidade do fracasso
(MORETTIN, p. 87)
A probabilidade de se encontrar aberto o sinal 
de trânsito numa esquina é 0,20. Qual a 
probabilidade de que seja necessário passar 
pelo local 5 vezes para encontrar o sinal 
aberto pela primeira vez?
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EXEMPLO 1 – DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
Qual a probabilidade que um dado deva ser 
lançado 15 vezes, para que na 15ª vez ocorra a 
face 6 pela primeira vez?
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EXEMPLO 2 – DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
= probabilidade de ocorrer a face 6
= probabilidade de não ocorrer a face 6
EXERCÍCIOS:
LISTA DE DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
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A distribuição de Poisson é utilizada para o 
estudo de ocorrências de eventos num 
contexto de tempo ou espaço.
EXEMPLOS:
1) Cálculo da probabilidade de encontrar o número X 
de defeitos, por metro, em determinado tecido.
2) Cálculo da probabilidade de encontrar o número X 
depessoas que chegam ao caixa de um 
supermercado no intervalo de três minutos.
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DISTRIBUIÇÃO POISSON
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FÓRMULA DE POISSON !X
)t(e
)X(P
Xt 


onde:
X = número de ocorrências
e = base dos logaritmos naturais ~= 2,718
λ = taxa média por unidade de tempo
t = número de unidades de tempo ou de outra unidade
μ = λt = média de ocorrências no intervalo t
Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na 
proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a 
probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2x2 m?
X = número de ocorrências = 3 defeitos
e = base dos logaritmos naturais
λ = taxa média por unidade de tempo = 1 defeito/𝒎𝟐
t = número de unidades de tempo ou de outra unidade = 4 𝒎𝟐
μ = λt = média de ocorrências no intervalo t = 
𝟏 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐
𝒎𝟐
∙ 𝟒 𝒎𝟐 = 𝟒 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝒔
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EXEMPLO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
0,1952
6
1,1712
6
640,0183
3!
4e
3)P(X
X!
t)(e
P(X)
34Xλt








Suponhamos que os navios cheguem a um porto à razão de 2 navios por 
hora, e que essa razão seja bem aproximada por um processo de Poisson. 
Durante um período de meia hora (⅟2 h), qual a probabilidade de:
a) não chegar nenhum navio?
b) chegarem 3 navios?
Solução:
X = número de ocorrências: a) X = 0 navios b) X = 3 navios
e = base dos logaritmos naturais
λ = taxa média por unidade de tempo = 2 navios/h
t = número de unidades de tempo ou de outra unidade = ⅟2 h
μ = λt = média de ocorrências no intervalo t = 
2 𝑛𝑎𝑣𝑖𝑜𝑠
ℎ
∙ ⅟2 h = 1 𝑛𝑎𝑣𝑖𝑜
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EXEMPLO 2 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Solução:
a) 
X = 0 navios
λ = 2 navios/h
t = ⅟2 h
μ = λt = 𝟏 𝒏𝒂𝒗𝒊𝒐
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0,3679
1
10,3679
0!
1e
0)P(X
X!
t)(e
P(X)
0-1Xλt








Solução:
b) 
X = 3 navios
λ = 2 navios/h
t = ⅟2 h
μ = λt = 𝟏 𝒏𝒂𝒗𝒊𝒐
Distribuições de probabilidade 
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30
0,0613
6
10,3679
3!
1e
3)P(X
X!
t)(e
P(X)
3-1Xλt








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Suponhamos que os defeitos em fios para tear possam ser aproximados por 
um processo de Poisson, com uma taxa de 0,2 defeitos por metro. 
Inspecionando-se pedaços de fio de 6 metros de comprimentos, determine 
a probabilidade de ser ter menos de 2 defeitos (nenhum defeito ou 1 
defeito).
Solução:
X = número de ocorrências: X = 0 ou X = 1
λ = taxa média por unidade de tempo = 0,2 defeitos/m
t = número de unidades de tempo ou de outra unidade = 6 metros
μ = λt = média de ocorrências no intervalo t = 
0,2 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
∙ 6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 = 1,2 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
EXEMPLO 3 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Solução:
X = 0 ou X = 1
λ = 0,2 defeitos/m
t = 6 metros
μ = λt = 1,2 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
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6626,03614,03012,0
1
2,13012,0
1
13012,0
((
)2X(P
)2X(P














 
1!
1,2)e
0!
1,2)e
1)P(X0)P(X
1)P(X0)P(X
X!
t)(e
P(X)
11,2-01,2-
Xλt
EXERCÍCIOS:
LISTA DE DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
É a mais importante 
distribuição de 
probabilidade.
Se aplica em inúmeros 
fenômenos.
Importante no desenvolvimento da 
Estatística: Inferência Estatística.
Grande aplicação em:
- Economia
- Administração
- Engenharia
É também conhecida como 
Distribuição de Gauss.
É utilizada em controle 
de qualidade, controle 
de estoques, 
amostragem, etc.
• Seja X uma variável aleatória contínua. X terá 
distribuição normal se:
𝑓 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋
∙𝑒
−
1
2
𝑋−𝜇
𝜎
2
, para -∞ < x < ∞
onde: μ = média da distribuição
σ = desvio padrão da distribuição
π = 3,14 159...
e = 2,718...
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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• O gráfico da distribuição normal tem a forma de um sino e é 
simétrico em relação à média μ.
• Fixando-se a média, verifica-se que o “achatamento” está 
diretamente ligado ao valor de σ: quanto maior o desvio 
padrão, maior a dispersão e a curva tende a ficar mais chata, 
isto é, mais longe da média.
• f(x) é simétrica em relação à origem x = μ.
• f(x) possui um máximo para x = μ.
• f(x) tende a zero quando x tende para +∞ ou -∞ (x é assíntota de f(x)).
• f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ – σ.
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PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
• Quando a função f(x) que representa a 
distribuição normal é integrada entre dois 
limites ela produz uma probabilidade, que é a 
área sob a curva da função entre x = a e x = b, 
para a < b. Assim:
 
−∞
+∞
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏
• A área sob a curva normal equivale a 1.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL e PROBABILIDADE
• Seria impossível elaborar uma tabela para cada 
distribuição normal com todos os valores possíveis 
da média e da variância.
• Podemos achar os resultados para qualquer 
distribuição normal apelando para uma tabela de 
distribuição normal com média μ = 0 e variância 𝝈𝟐
= 1. Essa distribuição normal especial é chamada 
“distribuição normal padronizada”.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
• Há vários tipos de tabelas que oferecem as áreas 
(probabilidades) sob a curva normal padrão. O tipo mais 
frequente é a Tabela de Faixa Central.
• A Tabela de Faixa Central dá a área sob a curva normal 
padrão entre z = 0 e qualquer valor positivo de z.
• A simetria em torno de z = 0 permite obter a área entre 
quaisquer valores de z (positivos ou negativos).
• A tabela oferece a área entre 0 e z0 ou P(0 ≤ z ≤ z0 ).
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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
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TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
Para utilizarmos a tabela, devemos utilizar a 
seguinte FÓRMULA:
𝑧 = 𝑋−
 𝑋
𝜎
onde:
X = valor assumido pela variável
 𝑋= média
σ = desvio padrão
EXEMPLO 1 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Sendo , determine as probabilidades:
a) P(0 < z < 1,25)
b) P(-1,25 < z < 0)
c) P(-0,5 < z < 1,48)
d) P(0,8 < z < 1,23)
e) P(z > 0,6)
f) P(z < 0,92)
Resp.: a) 0,3944 b) 0,3944 c) 0,4306 + 0,1915 = 0,6221 d) 0,3907 – 0,2881 = 0,1026
d) 0,5 – 0,2257 = 0,2743 f)0,5 + 0,3212 = 0,8212
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 1  e0X
Sendo , determine as probabilidades:
a) P(4 < X < 7) 
b) P(X > 8)
Resp.: 
a) P(4 < X < 7) = 0,2486+0,4082 = 0,6568
b) P(X > 8)= 0,5 – 0,4772 = 0,0228
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EXEMPLO 2 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
1,5  e5X
Um teste padronizado de escolaridade tem 
distribuição normal com média 100 e desvio padrão 
10. Determine a probabilidade de um indivíduo 
submetido ao teste ter nota:
a) ter nota maior que 120
b) ter nota maior que 80
c) ter nota entre 85 e 115
d) ter nota maior que 100
Resp.: a) P(X>120) = 0,0228 b) P(X>80) = 0,9772
c) P(85<X<115) = 0,8664 d) P(X>100) = 0,5
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EXEMPLO 3 – DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXERCÍCIOS:
LISTA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo: 
Atual, 1990.
• FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de 
Andrade. Curso de estatística. 6 ed. São Paulo: Atlas, 
2006.
• MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica:
probabilidade. 6 ed. São Paulo: Makron Books, 1994.
• MONTGOMERY, Douglas C. ; RUNGER, George C. 
Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 
4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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