SISTEMAS TRIFÁSICOS EM PU

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Aula 17
Representação de 
sistemas trifásicos em 
valores “por unidade”
Representação de 
sistemas trifásicos em 
valores “por unidade”
Sistema por unidade
A solução de um sistema interconectado com 
diferentes níveis de tesão implica em uma 
trabalhosa conversão dos valores de 
impedância para um único nível de tensão.
No entanto, em sistema elétrico de potência se 
utiliza o sistema por unidade onde as várias 
grandezas físicas como potência, tensão, 
corrente, impedâncias são descritas como 
frações decimais de grandezas base. 
Desta forma os diferentes níveis de tensão são 
eliminados e a rede elétrica composta de 
geradores, transformadores, linha de diferentes 
níveis de tensão se reduzem a simples 
impedâncias.
Vantagens do sistema pu
O sistema pu tem uma série de vantagens, 
como descrito a seguir:
•O sistema pu permite que se tenha uma idéia 
clara das grandezas do sistema, como 
impedância, tensão, corrente, potência;
•Normalmente os valores em pu de 
equipamentos semelhantes encontram-se 
dentro de estreitas faixas, independente da 
potência do equipamento. Já os valores 
ôhmicos variam muito de acordo com a 
potência.
•Os valores de impedância, tensão, corrente do 
transformador são os mesmos não importando 
se estão referidos ao lado de alta ou baixa. 
Esta é uma grande vantagem, porque o nível 
de tensão some e análise do sistem de potência 
se resume a soluçào de circuito com 
impedâncias.
Bases
O valor por unidade de qualquer grandeza é 
definido por :
basedavalor
realvalor
unidadeporgrandeza =
Exemplos
base
pu
base
pu
base
pu
base
pu
Z
ZZ
I
II
V
VI
S
SS
−
−
•
•
•
•
−
−
=
=
=
=
Onde os numeradores (valores reais) são 
fasores ou grandezas complexas e os 
denominadores são sempre grandezas reais.
As 4 bases
Normalmente para se definir as bases de um 
sistema se utiliza a potência trifásica base e a 
tensão de linha base. As demais bases são 
calculadas utilizando as leis de circuito, ou
seja :
base
2
base
base
base
pu
base
base
base
S
V
I
3/VZ
V3
SI
==
=
Lembrem-se : valores de 
base => módulos (valores 
reais)
Por unidade - seqüência
Os circuitos trifásicos são representados em 
por unidade normalmente através dos circuito 
de seqüência. 
No nosso caso estudamos o sistema em regime 
permanente sem falta, ou seja, trabalhamos 
somente com o circuito de seqüência positiva. 
O sistema trifásico, representado por seu 
equivalente de seqüência positiva, tem os 
seguintes elementos/grandezas:
•linha - > impedância longitudinal de 
seqüência positiva (linha curta), 
•cargas -> pela impedância por fase (igual 
numericamente ao valor de seqüência positiva)
•tensão -> tensão de fase (seq +)
•corrente -> corrente de fase (seq +)
•potência -> monofásica (seq +)
Leis de circuito
Aplicando as leis de circuito:
*
pu
2
pu
pu
pupupu
*
pupupu
S
V
Z
I.ZV
I.VS
−
−
•−•
••−
=
=
=
Mudança de base
Normalmente os vários elementos do sistema 
têm seus dados fornecidos em pu (ou %) para 
uma determinada base, sendo que a 
impedância da linha normalmente é fornecida 
em valores ôhmicos.
Para podermos representar o sistema em pu é 
preciso primeiro trabalhar com uma única base 
(tensão e potência), sendo necessário 
converter os valores das bases iniciais para o 
pu na nova base.
Normalmente a base de potência escolhida é 
100 MVA, e a tensão base é a tensão de linha 
da maioria das linhas.
Quando a tensão base é escolhida as demais 
tensões bases dos diferentes níveis de tensão 
do sistema não são mais independentes, mas
função das relações de tensão dos 
transformadores. 
Base/níveis de tensão
As bases dos diversos níveis de tensão do 
sistema são definidas pelas relações de 
transformação dos transformadores.
Por exemplo, se a tensão base no lado de baixa 
de um transformador Y-Y 230/69 kV for 
definida como 60 kV, a tensão base no lado de 
alta será 60 / 69 x 230 = 200 kV.
Normalmente se escolhe como tensões bases 
valores iguais aos nominais.
Analisaremos os transformadores com 
detalhes depois.
Exemplo mudança de base
Vamos supor que uma impedância foi definida 
para uma potência base S e uma tensão base 
V. Queremos obter o valor em pu para um 
novo conjunto de potência/tensão base N. 
Temos a impedância na base velha :
( )2vbase
v
base
v
base
v
pu
V
S
Z
Z
ZZ Ω
−Ω
−
−
==
Vamos obter a impedância em pu na base 
nova N.
( )
( )
( )
( )
( ) 















==
==
−−−
Ω
−Ω
−
−
Ω
−
v
base
n
base
2n
base
2v
base
v
pu2n
base
n
base
Z
v
base
2v
base
v
pu
n
pu
2n
base
n
base
n
base
n
pu
S
S
V
V
Z
V
S
S
V
ZZ
V
S
Z
Z
ZZ
4434421
Unidade em pu para trafo 
monofásico
Vamos supor que uma impedância foi definida 
para uma potência base S e uma tensão base 
V. Queremos obter o valor em pu para um 
novo conjunto de potência/tensão base N. 
Temos a impedância na base velha :
( )2vbase
v
base
v
base
v
pu
V
S
Z
Z
ZZ Ω
−Ω
−
−
==
Trafos monofásicos em p.u.
Teoricamente as bases de um sistema podem
ser escolhidos arbitrariamente. Porém 
normalmente são escolhidas a potência 
aparente nominal e a tensão nominal como 
bases. Desta forma:
V nominal,TensãoV
VA nominal,PotênciaS
base
base
=
=
Para o primário do transformador, teremos:
1min1base
1min1base
1
1
,I
,V
NalnoB
NalnoB
III
VVV
==
==
1
1
1base ,Z
N
N
B I
VZ =
Impedância equivalente do trafo em p.u.:
1
1
1equiv
1
1equiv
pu 1,equiv Z
Z
Z
N
N
base V
I
Z
==
Para o secundário do Trafo, teremos:
2min2base
2min2base
2
2
,I
,V
NalnoB
NalnoB
III
VVV
==
==
2
2
2base ,Z
N
N
B I
VZ =
Impedância equivalente do trafo em p.u.:
2
2
2equiv
2
2equiv
pu 2,equiv Z
Z
Z
N
N
base V
I
Z
==
pu 1,equiv
2
1
2
1equiv
2
2equiv
pu 2,equiv Z
Z
Z
Z ===
a
Z
a
Z basebase
Os valores de impedância, tensão, corrente do 
transformador são os mesmos em p.u. não 
importando se estão referidos ao lado de alta 
ou de baixa. Isto elimina a relação de 
transformação.
Trafos monofásicos em p.u. (cont.)
Exercício 1
A corrente de excitação de um trafo, 1φ, 
10 kVA, 2200/220 V, 60 Hz, é 0,25 A 
medido no lado de alta. A impedância série 
do transformador é 10,4 + j 31,3 referido
ao lado de alta. Tendo como base os 
valores nominais do trafo:
(a) Determine as bases de tensão, corrente, e 
impedância para o lado de alta e de baixa.
(b) Expresse a corrente de excitação em p.u 
para os lados de alta e baixa.
(c) Obtenha o circuito equivalente em p.u
(a) Sbase=10000 VA ; a = N1/N2=10
Vbase2=2200 V ; Vbase1=220 V
A4,55
2200
10000Ibase2 ==
A45,5
220
10000Ibase1 ==
Ω== 52,483
4,55
2200Zbase2
Ω== 835,4
45,5
220Zbase1
(b)
p.u055,0
4,55
0,25I 2 p.u. , ==ϕ
p.u055,0
45,5
a0,25I 1 p.u. , =
⋅
=ϕ
(c) 
p.u0647,00215,0
483,52
j31,310Z 2 p.u. equiv, j+=+=
( )
p.u0647,00215,0
4,835
100
1j31,310
Z 1 p.u. equiv, j+=






⋅+
=
Modelo em p.u
Exercício 2
O sistema a analisar é apresentado a seguir, 
sendo composto por 02 grupos geradores, 02 
transformadores (elevador e abaixador), linha 
de transmissão e carga.
 
G1
 
carga 
N2 N1 
G2
 
LT
 
T1
 
T2
 
Normalmente as tensões utilizadas para 
fornecer os dados são tensões de linha, as 
potências são trifásicase as impedância são 
valores de seqüência positiva (linha e carga 
equilibrada).
16Vg [kV]Tensão nominal
50Sgb [MVA]Potência nominal
10Xg [%]Reatância transitória
Gerador (G1 e G2)
Dados
VLp/VLs
Stb [MVA]
Xd [%]
T2T1
138Y/13,8∆13,8∆/138YTensões linha [kV]
100120Potência nominal
88Reatância dispersão
Transformador
13,8Vm [kV]Tensão nominal
80Smb [MVA]Potência nominal
10Xm [%]Reatância transitória
Carga 1 - motor
2R [Ω]Resistência
Carga 2 - impedância
1,7 + j 19Z1 [Ω]Impedância longitudinal 
Linha de transmissão
Vamos arbitrar que a tensão base do sistema 
será a tensão de linha da linha de transmissão 
(V=138 kV) e a potência base será 100 MVA 
(trifásica).
Todos os demais elementos do sistema 
deverão ter suas impedâncias transformadas 
para os valores base do sistema (respeitando
as relações de transformação dos 
transformadores).
Tensão base junto aos geradores
Tensão base junto às cargas
kV8,13
138
8,13138Vbase =×=
kV8,13
138
8,13138Vbase =×=
Calculando os valores em pu
G1;G2
T1
Motor
Carga
LT
pu16,1
8,13
16Vnom
pu5,0
100
50Sger
pu26885,0
8,13
100
50
1610,0Xg 2
2
==
==
=××=
pu2,1
100
120S
pu0667,0100
120
108,0Xd
1T ==
=××=
pu2,1
100
120Sm
pu125,0100
80
110,0Xm
==
=××=
pu0502,1
8,13
1002R 2 =×=
( ) pu09977,0j00892,0
138
10019j7,11Z 2 +=×+=
Exercício 3
O diagrama unifilar do sistema trifásico a 
dado a seguir. Utilize como bases a potência 
de 100 MVA e a tensão de 230 kV (LT 1). 
Desenhe o circuito com todas as impedâncias
em pu.
 
G1
 
carga 
4 
1 
LT1 
230 kV
 
T1
 
T2
 
6 
LT2 
138 kV
 
T3
 T4
 
5 
3 2 
M 
13,8Vg [kV]Tensão nominal
90Sgb [MVA]Potência nominal
18Xg [%]Reatância transitória
Gerador
Dados
13,8/138
40
6,4
T3 - YY
230/6,9
40
6
T2 - YY T4 - YYT1 - YY
138/6,913,8/230VL [kV]
4050Snom [MVA]
810Xdisp [%]
Transformador
6,56Vm [kV]Tensão nominal
66,5Smb [MVA]Potência nominal
18,5Xm [%]Reatância transitória
Carga 1 - motor
Vnom – 6,56 kV57 MVA fp 0,6 atras.Resistência
Carga 2 - impedância
4 + j 48,4ZT1+Impedância 
longitudinal [Ω] 6 + j 65,43ZT2+
Linha de transmissão
Tensão base = 230 kV (linha)
Potência base - 100 MVA (trifásico)
Vamos determinar as tensões base para cada 
trecho do sistema.
A tensão nominal da linha é dada como tensão 
base. Deste modo as demais tensões bases 
estão definidas a partir das relações de 
transformação dos transformadores.
kV138
8,13
1388,13V
kV9,6
230
9,6230V
kV8,13
230
8,13230V
kV230V
2LTbase
aargcbase
gerbase
1LTbase
==
==
==
=
−
−
−
−
Tensões base
Como as bases de tensão do gerador e 
transformadores são as mesmas é preciso 
corrigir somente a base de potência para a 
base de 100 MVA.
pu20,0
40
1008,0X:4T
pu16,0
40
100064,0X:3T
pu15,0
40
10006,0X:2T
pu20,0
50
10010,0X:1T
pu20,0
90
10018,0X:G
=





=
=





=
=





=
=





=
=





=
Corrigindo Gerador e Trafos
Para o motor é preciso corrigir tanto a 
potência quanto a tensão, pois os valores
nominais são diferentes da base.
Cargas
pu25146,0
9,6
56,6
5,66
100185,0X:M
2
=











=
A outra carga é fornecida através de sua 
potência aparente e do fator de potência, sendo 
necessário somente passar para pu na base 
correta.
( )
pu2686,1j95146,0
4761,0
60398,0j45299,0Z:C
4761,0
100
9,6Z
60398,0j45299,0130,5375498,0
130,5357
56,6Z
MVA130,5357)6,0(cos57S
2
base
*
2
13
+=
+
=
Ω==
Ω+=°∠=
∠
=
°∠=∠=
−
Ω
−
−φ
−
Para obter as impedâncias das linha em pu é 
preciso primeiro calcular as impedâncias 
bases.
Linhas
Ω==
Ω==
−
−
44,190
100
138Z
529
100
230Z
2
2base
2
1base
Em seguida calcula-se os valores em pu 
utilizando as impedâncias de base.
pu3436,0j0315,0
44,190
65,43 j 6Z:2L
pu0907,0j00756,0
529
48,4 j 4Z:1L
2
1
+=
+
=
+=
+
=
−
−
O circuito em pu é apresentado a seguir :
Circuito em pu
 
Eg
 
Em 
4
 
1 
M 
0,00756 + j 0,0907 
0,0315 + j 0,3436 j 0,16 
j 0,20 
j 0,20 
j 0,15 
0
,95146
 +
 j
 1
,2686
 
j 0
,
25
14
6 j
 0
,20
 
I Im 
Para o circuito obtido, sabendo que o motor 
opera a plena carga com fp 0,8 adiantado a 
uma tensão terminal de 6,56 kV determine :
•Tensão do gerador na barra 1
•As FEM do gerador e motor.
Resp.:
Tensão na barra do motor V4;
Corrente no motor e na carga
Exercício 4
pu1298,5359908,0
2686,1j95146,0
95,0I
pu87,367,0
95,0
87,36665,0I
pu87,36
100
5,66S
pu95,0
9,6
56,6V
c
m
m
4
°−∠=
+
=
°+∠=°+∠=
°−∠=
==
•
•
−
•
Corrente no equivalente das linhas / trafos:
A tensão junto ao gerador:
pu27102,0j0075287,0Z//ZZ
pu7036,0j0315,020,0j3436,0j0315,016,0jZ
pu4407,0j00756,015,0j0907,0j00756,02,0jZ
pu68794.392136,0III
b14a1414
b14
a14
cmLT
+==
+=+++=
+=+++=
°−∠=+=
−−−
−
−
•••
pu3407,1400428,1
68794.392136,0.)27102,0j0075287,0(95,0
I.ZVV 141441
°∠=
°−∠++=
=+=
•−••
Transformadores de 
três enrolamentos
Uso frequente
Os transformadores de três enrolamentos, são bastante 
utilizados nos sistemas de potência. Normalmente ao 
terceiro enrolamento é de baixa tensão.
Uso frequente:
• pode ser conectado à fonte suporte de potência 
reativa (condensador síncrono);
• Pode ser utilizado para alimentação da subestação;
•Filtrar correntes harmônicas, ou de seqüência zero, 
devido ao desbalanço de cargas. 
Estrutura Básica:
Relações primário/secundário/terciário
Relações entre tensões e correntes (caso ideal):
t
t
s
s
p
p
N
E
N
E
N
E
== t
t
p
s
s
p
p EN
N
E
N
N
E ==
Relações entre correntes (caso ideal):
p
t
t
p
s
sp
ttsspp
N
NI
N
NII
NININI
==
==
tptspsp EaEaE ==
s
p
ps N
N
a =
t
p
pt N
N
a =
sI
pt
t
ps
s
p
ttsspp
a
I
a
II
NININI
==
==
Modelo real e ensaios
Modelo ideal com parâmetros referidos do lado 
primário:
Ensaio para determinação das perdas no núcleo:
As perdas no núcleo podem ser determinados 
através de ensaios de circuito aberto : enrolamento 
primário e secundário em aberto e tensão aplicada 
no primário.
Determinação de Zp, Zs, Zt:
Zp, Zs, Zt são calculados indiretamente através de 
três ensaios de curto-circuito.
Ensaios de curto-circuito
1º ensaio: medição de impedância vista do primário 
com enrolamento secundário em curto, terciário em 
aberto.
spps ZZZ +=
2º ensaio: medição de impedância vista do primário 
com enrolamento terciário em curto, secundário em 
aberto.
tppt ZZZ +=
3º ensaio: medição de impedância vista do secundário 
com enrolamento terciário em curto, primário em 
aberto.
tsst ZZZ +=
Impedâncias de dispersão
Três equações e três incógnitas, temos :
( )stptpsp ZZZ21Z −+=
( )ptstpss ZZZ21Z −+=
( )psstptt ZZZ21Z −+=
 
t s 
p 
 
t 
s p 
Pontos p s e t são ligados às partes do sistema 
que estão unidas aos enrolamentos prim., sec. 
e terc.
Bases de potência
Num transformador de 02 enrolamentos 
normalmente tem-se uma única base de 
potência para o transformador, ou seja, uma 
única base para os dois enrolamentos. 
Já para o transformador de 03 enrolamentos as 
potências por enrolamento podem ser 
diferentes.
As impedâncias normalmente são fornecidas 
em % para a tensão base do lado medido e a 
potênciabase do mesmo enrolamento.
É preciso converter todas as impedâncias para 
uma única base de potência e corrigir as 
tensões se não forem iguais às relações das 
tensões nominais.
 
t 
s p StSsSp ≠≠
Exemplo – Obtendo Zpu
Os valores nominais de um transformador com 
três enrolamentos são:
Primário: Y; 66 kV; 10 MVA
Secundário: Y; 13,2 kV, 7,5 MVA
Terciário: ∆; 2,3 kV, 5 MVA.
Desprezando a resistência, as reatâncias de 
dispersão medidas nos ensaios serão:
Zps = 7 %, numa base 10 MVA, 66 kV
Zpt = 9 %, numa base 10 MVA, 66 kV
Zst = 6 %, numa base 7,5 MVA, 13,2 kV
Determine as reatâncias por unidade do 
circuito de seqüência positiva, para uma base 
de 10 MVA, 66 kV no circuito do primário.
Solução
Tensões e potências bases
Correção das impedâncias
Impedâncias de dispersão
MVA5SkV3,2Vterciário
MVA5,7SkV2,13Vundáriosec
MVA10SkV66Vprimário
bb
bb
bb
==⇒
==⇒
==⇒
pu08,010
5,7
106,0Xst
pu09,0Xpt
pu07,0Xps
=××=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) pu05,0
2
07,008,009,0XpsXstXpt
2
1Xt
pu03,0
2
09,008,007,0XptXstXps
2
1Xs
pu04,0
2
08,009,007,0XstXptXps
2
1Xp
=
−+
=−+=
=
−+
=−+=
=
−+
=−+=
Exercício
Uma fonte de tensão constante (barra infinita) 
alimenta uma carga puramente resistiva de 
5 MW, 2,3 kV e um motor síncrono de 
7,5 MVA, 13,2 kV, com uma reatância 
transitória X = 0,20 %. A fonte é ligada ao 
primário do tranformador de 3 enrolamentos 
dado. O motor e a carga estão ligados ao 
secundário e ao terciário do transformador 
respectivamente.
Faça o diagrama de impedâncias do sistema e 
determine as impedâncias em pu supondo a 
base de 66 kV e 10 MVA no primário.
Calculando as impedância em pu para as bases 
corretas
 
E¶
 
Em M
 
j 0,04 
j 0,05 
j 0,03 
2
,0
 
 
j 0
,
26
67
 
pu2667,010
5,7
120,0X
motor
pu0,2
3,2
10
5
3,2R
aargc
2
2
=××=
=×=