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Ondas I Física 2 aula 10 2o semestre, 2012 Ondas mecânicas Ondas são oscilações que se deslocam em um meio, mas que não carregam matéria. As ondas podem percorrer grandes distâncias, mas o meio tem um movimento apenas limitado. http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html Ondas longitudinais e transversais Ondas tipo P Ondas tipo S Ondas na superfície de líquidos: longitudinais + transversais Parâmetros da Onda T f 1 Transporte de energia Velocidade de propagação da onda vT fv A velocidade de propagação da onda depende apenas do meio em que a onda se propaga e não da amplitude, frequência ou comprimento de onda Forma de onda “ondas contínuas” são infinitas em ambas direções v v “pulsos” causados por um breve distúrbio do meio v “trens de pulsos” são situações intermediárias. Descrição Matemática Supor que temos alguma função y = f(x): x y f(x-a) tem a mesma forma, só que deslocada uma distância a à direita: x y x=a 0 0 Seja a=vt então f(x-vt) será descrita pela mesma forma, se movendo à direita com velocidade v. x y x=vt 0 v Supor que temos alguma função y = f(x): x y 13 2 , 2 tx txy 1 2 , 2 x txy 13 2 , 2 x txy 16 2 , 2 x txy st 0 st 1 st 2 Pulso para a direita Onda harmônica Considere uma onda harmônica em x com comprimento de onda . 2 cosy x A x Se a amplitude for máxima em x=0 essa onda tem a forma: y x A Mas, se ela está se movendo para a direita com velocidade v ela será descrita por: x y v 2 , cosy x t A x vt Onda harmônica... 2 , cosy x t A x vt Usando 2 v T vista anteriormente, e definindo 2 k Desse modo, vimos que uma simples onda harmônica se movendo com velocidade v na direção x é descrita pela equação: Podemos escrever a equação como: , cosy x t A kx t (e como descrever uma onda se movendo na direção -x ?) Resumo: onda progressiva A formula descreve uma onda harmônica de amplitude A se movendo na direção +x. , cosy x t A kx t y x A Cada ponto na onda oscila na direção y com movimento harmônico simples de frequência angular . 2 k O comprimento de onda é: v k A velocidade da onda é: A quantidade k é chamada “número de onda”. Considere a onda tkxAtxy cos, tkxAsen t y dt dy v cx y Velocidade transversal tkxA t v dt dv a y cx y y cos2 Aceleração transversal A equação de onda Derivando com relação a x tkxAtxy cos, tkxkAsen x y dx dy ct tkxAk x y dx yd ct cos2 2 2 2 2 e A equação de onda Note que tkxAtxy cos, A equação de onda em 1D tkxA x y k cos 1 2 2 2 tkxA t y cos 1 2 2 2 2 2 22 2 1 t y vx y 2 2 2 2 2 2 t yk x y 2 2 2 1 k v A equação de onda A equação de onda em 1D foi mostrada para uma onda em particular 0 1 2 2 2 2 2 x y t y v 2 2 2 1 k v A equação de onda De fato ela é válida para qualquer tipo de onda vtxftxy , t txy v y , 2 2 , t txy a y vtxx ' ' ' ' dx df v t x dx df t y vvtx tt x ' & onde Equação de onda (c. geral) Seja t x dx df dx d v dx df t v t y ' '''2 2 2 2 2 2 2 'dx fd v t y 1' vtx xx x 2 2 2 2 'dx fd x y como 0 1 2 2 2 2 2 x y t y v Equação de onda em 1D Ondas em uma corda O que determina a velocidade de uma onda ? Consideremos um pulso viajando em uma corda: v Como podemos fazer o pulso ir mais rápido? Ondas em cordas... A tensão na corda é F A massa por unidade de comprimento é m (kg/m) – densidade linear de massa A forma da corda no máximo do pulso é circular, e tem raio R R m F Hipóteses: Ondas em cordas... v x y Considere um referencial movendo-se junto com o pulso Aplique F = ma à pequena porção da corda no “topo” do pulso. Ondas em cordas... q q F F x y A força resultante FR é a soma da tensão F em cada pedaço final do segmento de corda. A força resultante é então no sentido -y. FTOT = 2F q (como q é pequeno, sen q ~ q) Ondas em cordas... 2q m = R 2q m R x y A massa m do segmento é seu comprimento (R x 2q) vezes a densidade linear de massa m. q q Ondas em cordas... R v x y A aceleração a do segmento é v 2/ R (centrípeta!) no sentido -y. a Ondas em cordas... Assim, para FR = ma temos: 2 2 2 v F R R q qm 2F vm F v m FR m a v Tensão F Massa por unidade de comprimento m Ondas em cordas... Portanto temos: F v m Aumentando a tensão, aumenta-se a velocidade. Aumentando o peso da corda, diminui-se a velocidade. Estes fatos dependem apenas da natureza do meio, e não da amplitude, freqüência, etc da onda. v tensão F Densidade linear de massa m Pausa para experimento virtual m T v http://phet.colorado.edu/en/simulation/wave-on-a-string fv Expressões para interpretar o experimento virtual Observe a corda com as pontas fixa e solta, tema para a próxima aula Velocidades de ondas longitudinais A velocidade de ondas longitudinais tem uma forma similar ao caso de uma onda transversal fator elastico fator de inercia v ou E B v v E é o módulo elástico do material; ρ é a densidade; B é o módulo de compressão volumétrico Ondas em sólidos Ondas em gases ou líquidos p B V V F vy x y FF y q A força A potência t y FvFtxP yy , t y x y FtxP , A potência média é ... Potência e intensidade Potência e intensidade t y x y FtxP , tkxAtxy cos, tkxAsen t y tkxkAsen x y tkxsenAFktxP 22, 2F vm v k 22 2 1 AvP m Potência média 22 2 1 AvP m A potência média é A intensidade da onda Area P I Ondas esféricas tem sua intensidade caindo com 1/r2!! Onde r é a distância da fonte. 24 r P Area P I Potência e intensidade San Pablo (Espanha)Terremotos são instrutivos Ondas P (primárias, longitudinais) Ondas S (secundárias, transversais) Ondas sísmicas http://eqseis.geosc.psu.edu/~cammon/HTML/Classes/IntroQuakes/Notes/waves_and_interior.html A separação entre P (que chega antes) e S aumenta com a distância do epicentro e a estação sismológica. http://www.oregonshakes.com/Seismographs/WebcorderBasics.html Ondas S não se propagam na parte líquida. (POR QUE?)Isto causa regiões de sombra que permitem inferir o tamanho de cada região formando as camadas da terra. Lembram da aula sobre gravimetria?? A terra tem um núcleo líquido entre os raios 1.2x103 km e 3.5x103 km. Estrutura da terra Mais ondas sísmicas: como elas aparecem e se manifestam de fato As ondas P e S propagam-se pelo corpo da Terra. As ondas superficiais são chmadas de Love e Rayleigh
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