gabarito_lista5_2006.2

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1) Eficiência e Equilíbrio Walrasiano: Uma Empresa
Suponha que há dois consumidores, Roberto e Tomás, dois bens abóbora (bem
1) e bananas (bem 2), e uma empresa.
Suponha que a empresa 1 transforme 1 abóbora em 3 bananas. Suponha que a
utilitidade do Roberto é
uR(c1, c2) = log(c1) + 3 log(c2)
e a do Tomás é:
uT (c1, c2) = log(c1) + log(c2)
Suponha que o Roberto tenha duas abóboras mas não tenha nenhuma banana.
Tomás, por outro lado, tem uma banana mas nenhuma abóbora, i.e. eR1 =
2, eR2 = 0, e
T
1 = 0, e
T
2 = 1.
a) Qual é o conjunto de possibilidades de produção da empresa? Desenhe a
fronteira de possibilidades de produção da economia.
RESPOSTA:
Y 1 =
©
(y1, y2) ∈ R2 : y1 ≤ 0, y2 = −3y1
ª
A economia tem uma dotação inicial total de 2 abóboras e 1 banana. Então
sua fronteira de possibilidades de produção é:
 
Abóbora 
banana 
1 
7 
2 
1
b) Calcule os preços e alocações em um equilíbrio Walrasiano.
RESPOSTA
Como a tecnologia apresenta retornos constantes à escala, se há produção
em equilíbrio, então p2 =
p1
3 , pela condição de lucro 0 da firma. Normalize
p2 = 1
Neste caso, as demandas são
cR1 (p1, p2) =
2p1
4p1
=
1
2
e cR2 (p1, p2) =
6p1
4p2
=
9
2
cT1 (p1, p2) =
p2
2p1
=
1
6
e cT2 (p1, p2) =
p2
2p2
=
1
2
A demanda agregada de abóbora (bem 1) é 23 e de banana é
10
2 = 5. A
firma demanda 43 de abóbora como insumo, e produz 4 unidades de banana,
que somadas à dotoção inicial de 1 banana faz com que demanda agregada seja
igual à oferta agregada. Fica de exercício extra mostrar que a firma não pode
fechar em equilíbrio.
c) Suponha agora que Tomás tenha 15 bananas, i.e. eT2 = 15 (o resto da
economia segue igual). Como que o conjunto de alocações eficientes é agora?
Quanto que a empresa produzirá em um equilíbrio Walrasiano?
RESPOSTA
Vamos resolver primeiro para o equillíbrio. Suponha novamente que a firma
produza. Então, novamente, p2 =
p1
3 , pela condição de lucro 0 da firma. As
demandas agora são:
cR1 (p1, p2) =
2p1
4p1
=
1
2
e cR2 (p1, p2) =
6p1
4p2
=
9
2
cT1 (p1, p2) =
15p2
2p1
=
5
2
e cT2 (p1, p2) =
15p2
2p2
=
7
2
Olhando para o mercado de abóbora, então a demanda agregada é 12 +
5
2 =
3 > 2 = oferta agregada máxima, isto é, sem nenhuma produção. Logo, o
equilíbrio se dá com a firma fechando. Isto nos faz voltar a uma situção de
economia de troca pura (sem produção). É o mesmo que dizer que a teconologia
é inútil, já que já há muita banana na economia. Deixo para vocês a derivação
do conjunto de Pareto (derive como numa economia de troca, como se a firma
não existisse).
2
2) Capital Humano
Suponha que Roberto e Tomás estão em uma ilha com três bens: abobora (a),
banana (b) e trabalho (l) (na realidade, como você verá brevemente, somente o
trabalho do Roberto importa, pois o trabalho do Tomás é inútil). Suponha tam-
bém que há uma empresa que produza abóboras usando o trabalho do Roberto
(bem 3). Isto é equivalente a dizer que o Roberto tem uma habilidade que Tomás
não tem, e a empresa precisa dele (Roberto) para produzir abóboras. Roberto e
Tomás têm utilidades idênticas sobre abóboras (bem 1) e bananas (bem 2) Eles
não valoram trabalho, isto é, ninguém deriva utilidade (ou desutilidade) deste
bem.
uR(c1, c2) = u
T (c1, c2) = 4 log(c1) + log(c2)
As dotações iniciais são:
(eR1 , e
R
2 , e
R
3 ) = (0, 0, 2) e (e
T
1 , e
T
2 , e
T
3 ) = (0, 1, 1)
A empresa produz 1 abóbora para cada unidade de trabalho do Roberto. Qual
é o preço de equilíbrio do trabalho do Tomás?
RESPOSTA: ZERO, OBVIAMENTE. A demanda por seu trabalho é zero
(já que é inútil), e a oferta é zero (já que o preço é zero).
Calcule o equilíbrio Walrasiano e mostre que ele é eficiente do ponto de vista
de Pareto.
RESPOSTA:
Em equilíbrio, adivinhe que a firma usará todo o trabalho do roberto para
produzir abóbora. Neste caso, a condição de lucro zero da firma implica que
p1 = p3, isto é, para que a firma produza em equilíbrio é preciso que o preço do
trabalho do Roberto seja igual ao preço da aboóbora. Assim, caímos novamente
em uma economia de trocas pura, com a seguinte alocação inicial:
(eR1 , e
R
2 ) = (2, 0) e(e
T
1 , e
T
2 ) = (0, 1)
Roberto tem 2 unidades de abóbora porque tem duas unidades de trabalho,
e o preço de equilíbrio da abóbora é igual ao do trabalho. Logo ele sempre
pode comprar duas abóboras. Deixo a cargo de vocês, a derivação do equilíbrio
neste contexto. Note que não há taxa marginal de transformação, pois só
há uma fima que transforma algo que não é diretamente valorizado (trabalho
do Roberto) em um dos bens. Ou seja, não há que se abrir mão de banana para
produzir abóbora.
Para ver que este equilíbrio é eficiente, note que:
• Qualquer alocação eficiente envolve a firma usar todo o trabalho do Roberto
para produzir abóbora, já que trabalho não entra na função utilidade e
abóbora entra.
3
• Como caímos numa economia de troca, sabemos pelo 1o teorema do bem-
estar que o equilíbrio que emerge tem que ser eficiente do ponto de vista
de pareto.
3) Retornos decrescentes
Mais uma vez temos Roberto e Tomás em uma ilha. Eles se importam, nova-
mente, com abóboras (bem 1) e bananas (bem 2), e têm utilidades idênticas:
uR(c1, c2) = uT (c1, c2) = log(c1) + log(c2)
As dotações iniciais são:
(eR1 , e
R
2 ) = (1, 2) e (e
T
1 , e
T
2 ) = (1, 2)
Há uma empresa na economia, que transforma bananas em abóboras de
acordo com a seguinte tecnologia:
Y =
©
(y1, y2) ∈ R2 : y2 ≤ 0, y1 = ln (−y2)
ª
ou seja, a empresa transforma o logaritmo natural de banana em uma abób-
ora. Esta é uma sociedade bastante igualitária, de modo que cada um deles é
dono de metade da empresa. Note que esta firma não tem retornos constantes à
escala, de modo que não temos a facilidade de determinar os preços de equilíbrio
olhando somente para a condição de lucro zero da empresa.
Siga os passos abaixo. O objetivo final é calcular o equilíbrio Walrasiano e
mostrar que ele é eficiente do ponto de vista de Pareto.
AS RESPOSTAS TODAS SERÃO INDICATIVAS. MUITAS VEZES AS
CONTAS NÃO SERÃO FEITAS.
a) Sejam p1 e p2 os preços da abóbora e da banana, respectivamente. Resolva o
problema de maximização da firma, supondo que ela é tomadora de preços
tanto no mercado de produto (abóbora) como no mercado de insumos
(banana).
RESPOSTA:
Note que a firma não possui retornos constantes à escala. Logo, já não podemos
usar a condição de lucro 0 para determinar os preços relativos. Ela resolve
o seguinte problema de maximização de lucros:
max
y2
p1 ln (−y2)− p2y2
A condição de primeira ordem é:
−y2 =
p1
p2
4
b) Qual é a oferta de abóbora da empresa, como função de p1 e p2? Qual é a
demanda de bananas (insumo) da empresa, como função de p1 e p2?
RESPOSTA:
Substituindo na função de produção, temos:
y1 = ln
µ
p1
p2
¶
c) Qual é o lucro da empresa como função de p1 e p2? Note que, como a
tecnologia não apresenta retornos constantes à escala, é possível que a
empresa tenha lucro positivo em equilíbrio.
O lucro da firma (supondo que é positivo) é:
Π (p1, p2) = p1 ln
µ
p1
p2
¶
− p2
p1
p2
= p1
µ
ln
µ
p1
p2
¶
− 1
¶
d) Qual é a demanda por abóbora e por banana de Roberto e Tomás? Qual
é a demanda agregada de abóbora e de banana? Dica 1: note que agora
a empresa pode ter lucro, de modo que você tem que levar isto em conta
quando derivar qual é a renda do Roberto e do Tomás. Dica 2: somente
Roberto e Tomás demandam banana?
RESPOSTA: A grande diferença aqui é que Roberto e Tomás, como donos da
firma, recebem dividendos. Suas rendas, que são iguais, são dadas pela
seguinte expressão:
m = p1 + 2p2 +
p1
³
ln
³
p1
p2
´
− 1
´
2
Deste modo, as funções demanda são:
cR1 (p1, p2) = c
T
1 (p1, p2) =p1 + 2p2 +
p1
³
ln
³
p1
p2
´
−1
´
2
2p1
cR2 (p1, p2) = c
T
2 (p1, p2) =
p1 + 2p2 +
p1
³
ln
³
p1
p2
´
−1
´
2
2p2
e) Qual é a oferta agregada de abóbora e de banana?
RESPOSTA:
A oferta agregada de abóbora é:
5
eR1 + e
T
1 + y1 = 2 + ln
µ
p1
p2
¶
De banana é
eR2 + e
T
2 + y2 = 4−
p1
p2
f) Ache os preços do equilíbrio Walrasinano.
RESPOSTA:
Pela Lei de Walras, precisamos equilibrar somente um mercado. Normalizando
um dos preços (digamos, p1) para 1, o preço p2 de equilíbrio sai da seguinte
equação:
2 + 4p2 + (− ln (p2)− 1)
2p2
= 4− 1
p2
←→ 3 = 4p2 + ln (p2)
Resolvendo esta esta equação, nos p2 = 0.80441
g) Avalie a seguinte proposição: Marx estava certo! Mesmo retornos decres-
centes à escala, a demanda continua não tendo nenhum papel na determi-
nação dos preços.
RESPOSTA: Estava claramente errado. Note que a demanda tem um papel
h) Calcule as alocações de equilíbrio
RESPOSTA: As alocações são (aproximadamente):
cR1 = c
R
1 =
1 + 2× 0.80441 + (− ln(0.80441)−1)2
2
= 1.1088
cR2 = c
R
2 =
1 + 2× 0.80441 + (− ln(0.80441)−1)2
2× 0.80441 = 1.3784
−y2 =
1
0.80441
= 1.2431
y1 = ln
µ
1
0.80441
¶
= 0.21765
i) Desenhe o conjunto de possibilidades de consumo agregado da sociedade. No
equilíbrio, qual é a Taxa Marginal de Transformação da Economia?
6
 
Banana 
Abóbora 
2 
3.39 
4 
j) No equilíbrio, qual é a Taxa Marginal de Substituição do Roberto? E do
Tomás?
RESPOSTA:
Susbtituindo as alocações na fórmula da taxa marginal de substituição (que é
igual para os dois), temos:
∂u
∂c2
∂u
∂c1
=
1.1088
1.3784
= 0.80444
A taxa marginal de transformação é:
MRT =
dy1
d (−y2)
=
1
1.2431
= 0.80444
k) Baseado nos seus resultados, avalie a segiunte proposição: com retornos
decrescentes à escala, o primeiro teorema do bem-estar não mais funciona.
7
RESPOSTA: Claramente falsa, mais uma vez, no equilíbrio, a taxa marginal
de transformação é igual às taxas marginais de substituição e vale o 1o
terorema do bem-estar: todo equilíbrio Walrasiano é eficiente do ponto de
vista de Pareto.
8