lista_adicional_incerteza1_com_gabarito

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Lista Adicional de Incerteza c/ Gabarito
Questão 1: Considere o caso típico de um investidor cuja renda total se divide em renda do
trabalho (salário) e renda do capital (rendimento de aplicações financeiras). Este investidor tem
uma riqueza financeira igual a WF e precisa decidir como alocá-la entre três ativos financeiros
disponíveis: fundo de títulos domésticos, fundo de títulos estrangeiros e poupança. O salário e o
retorno líquido de cada um destes ativos depende do desempenho da economia, para a qual existem
dois cenários possíveis: cenário de expansão com probabilidade de 50% e cenário de recessão com
probabilidade de 50%. O salário WL do investidor tem a seguinte distribuição de probabilidade:
WL =
½
$1000 c/expansão
$200 c/ recessão
O retorno líquido do fundo de títulos domésticos RD tem a seguinte distribuição de probabilidade:
RD =
½
10% c/expansão
-10% c/recessão
O retorno líquido do fundo de títulos estrangeiros RE tem a seguinte distribuição de probabilidade:
RE =
½
-10% c/expansão
10% c/recessão
O retorno líquido da poupança RS tem a seguinte distribuição de probabilidade:
RS =
½
0% c/expansão
0% c/recessão
A riqueza total do investidor, após a realização do cenário da economia, é dada por
W =WL + (1 +Rp)WF
onde Rp é o retorno líquido do portifólio de ativos do investidor. O investidor é avesso ao risco com
utilidade de Bernoulli na sua riqueza total dada por u (W ) = lnW. Responda:
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a) SuponhaWF = $0, ou seja, toda sua riqueza vem do trabalho. Neste caso, qual o equivalente-
certeza de sua riqueza?
Resposta:
u (EC) = 0, 5u (1000) + 0, 5u (200) =⇒
ln (EC) = 0, 5 ln (1000) + 0, 5 ln (200) = ln (1000)0,5 + ln (200)0,5
= ln
£
(1000)0,5 (200)0,5
¤
= ln
£
(1000 ∗ 200)0,5
¤
= ln (200000)0,5 =⇒
EC =
√
200000
b) Suponha agora WF = $1.000, 00 e que o investidor pode comprar apenas um ativo. Qual a
sua escolha? Justifique a resposta.
Resposta:
• investimento no fundo doméstico:
W = WL + (1 +RD)WF =
½
1000 + 1000 ∗ (1 + 0, 10) = 2100, c/expansão
200 + 1000 ∗ (1− 0, 10) = 1100, c/recessão
E(RD) = 0, 5 ∗ 0, 10 + 0, 5 ∗ (−0, 10) = 0
V AR(RD) > 0
E(W ) = 0, 5 ∗ 2100 + 0, 5 ∗ 1100 = 1600
E [u(W )] = 0, 5 ∗ ln (2100) + 0, 5 ∗ ln (1100) = 0, 5 ∗ 7, 65 + 0, 5 ∗ 7, 00 = 0, 5 ∗ 14, 65
• investimento no fundo estrangeiro
W = WL + (1 +RE)WF =
½
1000 + 1000 ∗ (1− 0, 10) = 1900, c/expansão
200 + 1000 ∗ (1 + 0, 10) = 1300, c/recessão
E(RE) = 0, 5 ∗ (−0, 10) + 0, 5 ∗ 0, 10 = 0
V AR(RE) > 0
E(W ) = 0, 5 ∗ 1900 + 0, 5 ∗ 1300 = 1600
E [u(W )] = 0, 5 ∗ ln (1900) + 0, 5 ∗ ln (1300) = 0, 5 ∗ 7, 55 + 0, 5 ∗ 7, 17 = 0, 5 ∗ 14, 72
• investimento em poupança
W = WL + (1 +RS)WF =
½
1000 + 1000 = 2000, c/expansão
200 + 1000 = 1200, c/recessão
E(RS) = 0, 5 ∗ 0 + 0, 5 ∗ 0 = 0
V AR(RS) = 0
E(W ) = 0.5 ∗ 2000 + 0, 5 ∗ 1200 = 1600
E [u(W )] = 0.5 ∗ ln (2000) + 0, 5 ∗ ln (1200) = 0.5 ∗ 7, 60 + 0, 5 ∗ 7, 10 = 0, 5 ∗ 14, 70
• Entre as três aplicações, o investidor prefere aplicar no fundo estrangeiro. Além disso,
poupança é melhor que fundo doméstico
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c) Comente a seguinte afirmação: se dois ativos têm o mesmo retorno esperado, um investidor
avesso ao risco prefere o de menor variância.
Resposta: Afirmação errada. No exemplo acima, os três ativos têm o mesmo retorno esperado,
ou seja, E(RD) = E(RE) = E(RS) = 0, enquanto a variância do retorno do fundo estrangeiro
é maior que a variância do retorno da poupança, ou seja, V AR(RE) > V AR(RS) = 0. Apesar
disso, o investidor prefere o fundo estrangeiro à poupança. Isto acontece porque o retorno do fundo
estrangeiro covaria negativamente com a renda do trabalho e assim proporciona para o investidor
uma proteção (hedge) contra um salário baixo no cenário de recessão. A poupança não proporciona
este hedge porque seu retorno não covaria com o salário. Desta forma, o fundo estrangeiro contribui
para reduzir a volatilidade total da riqueza do investidor, sendo então preferido pelo investidor
avesso ao risco. No final das contas, o que importa para o investidor é a contribuição do ativo para
a redução da volatilidade de sua riqueza total e não a volatilidade do ativo em si mesma.
d) (0,5) Suponha agora que o investidor pode alocar sua riqueza financeira nos três ativos
simultaneamente. Qual o efeito sobre o bem-estar do investidor de um aumento na covariância entre
o retorno do fundo de títulos domésticos e o retorno do fundo de títulos estrangeiros? Explique
intuitivamente, usando os conceitos da teoria de incerteza.
Resposta: O bem-estar diminui. Um aumento da covariância entre os ativos aumenta, ceteris
paribus, a variância de sua riqueza total. Como o investidor é avesso ao risco, isto provoca uma
redução de seu bem-estar. Lembre que a diversificação de portifólio é boa para o investidor porque o
mau desempenho de um ativo é compensado pelo bom desempenho do outro. Desta forma, quanto
menos estiverem correlacionados, maior o efeito positivo da diversificação de portifólio sobre o
bem-estar.
Atenção: os seguintes resultados podem ser úteis:
ln(2100) = 7, 65; ln(2000) = 7, 60; ln(1900) = 7, 55
ln(1300) = 7, 17; ln(1200) = 7, 10; ln(1100) = 7, 00
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Questão 2: Um agricultor tem 100 hectares de terra e, no momento, ele pode somente plantar
soja. Cada hectar de soja lhe rende (líquido de custos) 100 reais de lucro por ano, nos anos secos,
e 0 nos anos chuvosos. Em média, metade dos anos são secos e metade dos anos são chuvosos.
O fato de um ano ser chuvoso ou seco não diz nada a respeito do que ocorrerá no ano seguinte.
O fazendeiro valoriza a renda segundo uma função de Bernoulli u (·), crescente e continuamente
diferenciável.
1) Verdadeiro ou falso: se o fazendeiro fosse avesso ao risco, ele preferiria arrendar sua terra por
5000 reais anuais. Justifique em no máximo uma linha.
Resposta: Agricultor tem duas alternativas (loterias) para usar seus 100 hectares de terra:
plantar soja ou alugar. A alternativa de plantar soja rende um lucro líquido de 10000 reais com
prob. 50% (anos secos) e zero reais com prob. 50% (anos chuvosos). Logo, a utilidade v.N-M desta
loteria, definida como a esperança da utilidade de Bernoulli dos resultados, é dada por
0, 5 ∗ u (10000) + 0, 5 ∗ u (0)
Como o agricultor é avesso ao risco, a utilidade de Bernoulli u (·) é estritamente côncava, ou seja,
u00 (·) < 0. Logo, pode-se afirmar que a utilidade v.N-M desta loteria é menor que a utilidade de
Bernoulli da esperança dos resultados, ou seja,
0, 5 ∗ u (10000) + 0, 5 ∗ u (0) < u (0, 5 ∗ 10000 + 0, 5 ∗ 0) = u (5000)
A alternativa de alugar rende um lucro líquido de 5000 com certeza (prob. 100%) e assim sua a
utilidade v.N-M é dada por u (5000). Logo, segue diretamente dos resultados acima que o agricultor
avesso ao risco preferiria arrendar a terra que plantar trigo. Qual a intuição deste resultado?
Embora as duas alternativas tenham o mesmo lucro esperado de 5000 reais, o agricultor avesso
ao risco prefere arrendar a terra porque esta alternativa implica uma menor volatilidade para seu
lucro. (cqd)
Agora o governo faz um programa para ajudar a agricultura incentivando a produção de outro
produto, o feijão. Este programa, ao fim e ao cabo, implica que,cada hectare de feijão plantado dá
70 reais líquidos nos anos secos 29 reais líquidos nos anos de chuvosos.
2) Verdadeiro ou falso? Se agricultor fosse indiferente ao risco, a introdução deste programa
teria valor zero para ele. Justifique em no máximo duas linhas
Resposta: Como agora o agricultor é indiferente ao risco, ele é indiferente entre as duas alter-
nativas do ítem anterior, cuja utilidade v.N-M é dada por
0, 5 ∗ u (10000) + 0, 5 ∗ u (0) = u (0, 5 ∗ 10000 + 0, 5 ∗ 0) = u (5000)
Considere então a alternativa de plantar os 100 hectares com feijão. O agricultor ganha 7000 reais
nos anos secos e 2900 nos anos chuvosos. Logo, a utilidadev.N-M desta alternativa é dada por
0, 5 ∗ u (7000) + 0, 5 ∗ u (2900)
Além disso, indiferença ao risco, ou seja, u00 (·) = 0, implica que
0, 5 ∗ u (7000) + 0, 5 ∗ u (2900) = u (0, 5 ∗ 7000 + 0, 5 ∗ 2900) = u (4950)
Supondo não saciedade u0 (·) > 0, segue dos resultados anteriores que
u (5000) > u (4950)
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Logo, o programa tem valor 0 para o agricultor porque ele prefere plantar soja ou alugar que plantar
feijão. Qual a intuição? Como o agricultor é indiferente ao risco, ele se preocupa apenas com o
lucro esperado, o qual é sempre menor plantando feijão. (cqd)
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