Física Integrada Unidade I

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Autores: Prof. Túlio Cearamicoli Vivaldini
 Prof. Pedro José Gabriel Ferreira
 Profa. Thais Cavalheri dos Santos
 Profa. Iara Batista de Lima 
Colaboradores: Profa. Thais Cavalheri dos Santos
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
 Física Integrada
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Professores conteudistas: Thais Cavalheri dos Santos / Iara Batista de Lima / 
Túlio Cearamicoli Vivaldini / Pedro José Gabriel Ferreira 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
V855f Vivaldini, Túlio Cearamicoli.
Física Integrada / Túlio Cearamicoli Vivaldini, et al. – São Paulo: 
Editora Sol, 2018.
120 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIV, n. 2-085/18, ISSN 1517-9230.
1. Sistemas de unidades. 2. Leis da física. 3. Estática. I. Ferreira, 
Pedro José Gabriel. II. Santos, Thais Cavalheri dos. III. Lima, Iara Batista 
de Lima. IV. Título.
CDU 53
Thais Cavalheri dos Santos
Bacharela em Física Médica pela Universidade de São Paulo (USP), tem 
MBA em Gerenciamento de Hospitais e Sistemas de Saúde pela Fundação 
Getúlio Vargas, mestrado em Ciências no Programa de Física Aplicada 
em Medicina e Biologia pela USP e doutorado em Ciências – Tecnologia 
Nuclear – Aplicações pela USP, pertencente ao programa de tecnologia 
nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen).
Coordenadora do curso de licenciatura em Física, coordenadora do 
curso técnico em Edificações do Pronatec, professora titular do curso de 
Engenharia e líder das disciplinas de Estática dos Fluidos e Fenômenos 
de Transporte da Universidade Paulista (UNIP), ministrando disciplinas 
ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos.
Professora adjunta do curso de Engenharia da Universidade São 
Judas Tadeu (USJT), ministra disciplinas de Mecânica, Oscilações e 
Eletromagnetismo.
Líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias 
(GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas tecnologias e técnicas de 
aprendizagem. Tem publicações em revistas e anais de congressos no Brasil e 
no exterior, premiados em 2015 nos Estados Unidos.
Iara Batista de Lima
Bacharela em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), 
mestre e doutora em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela 
USP, pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de 
Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen). 
Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos 
Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física 
Nuclear, atuando principalmente em pesquisa com detectores gasosos de 
radiação, operando em regime de ionização e em regime de multiplicação 
de cargas e transporte de elétrons em gases.
É professora do curso de Engenharia e líder da disciplina Mecânica 
da Partícula da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica 
dos Fluidos. 
Túlio Cearamicoli Vivaldini
Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC 
– SP), mestre e doutor em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações 
pela Universidade de São Paulo (USP – SP), pertencente ao programa 
de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares 
(Ipen).
Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos 
Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física 
Nuclear, atuando principalmente com análise de sinais de detectores de 
gasosos de radiação, operando em regime de ionização e em regime de 
multiplicação de cargas, e transporte de elétrons em gases.
É professor do curso de Engenharia e líder da disciplina Tópicos de Física 
Geral e Experimental da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física.
Pedro José Gabriel Ferreira
Bacharel em Engenharia de Controle e Automação, especialista em 
Ensino Superior e Mestre em Engenharia de Produção pela UNIP.
Trabalhou como engenheiro nas áreas de manutenção, 
produção, normatização e projetos de novos equipamentos na área de 
engarrafamento de gás liquefeito do petróleo (GLP).
Coordenador de laboratórios dos cursos do Instituto de 
Ciências Exatas e Tecnologia (ICET) da UNIP, atuando na montagem e 
desenvolvimento de tecnologias educacionais.
Atualmente coordena o curso de Engenharia da UNIP e atua como 
professor do no campus Marquês de São Vicente, ministrando disciplinas 
ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos.
Pesquisador do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para 
Engenharias (GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas 
tecnologias, sistemas de controle e automação e técnicas de 
aprendizagem. Possui publicações em revistas e anais de congressos no 
Brasil e no Exterior, premiados em 2015 nos Estados Unidos.. 
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Aline Ricciardi
 Giovanna Oliveira
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Sumário
Física Integrada
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 SISTEMAS DE UNIDADES, PROJEÇÕES DE FORÇAS E CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS ........9
1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI) .........................................................................................9
1.2 Sistema CGS de Unidades ................................................................................................................. 11
1.3 Sistema Inglês de Unidades ............................................................................................................. 11
1.4 Projeções de forças e conceitos trigonométricos ................................................................... 12
2 LEIS DE NEWTON E FORÇAS ESPECIAIS .................................................................................................. 15
2.1 Primeira Lei de Newton ..................................................................................................................... 16
2.2 Segunda Lei de Newton ..................................................................................................................... 16
2.3 Terceira Lei de Newton ....................................................................................................................... 16
2.4 Forças especiais e suas propriedades ...........................................................................................17
2.4.1 Força peso .................................................................................................................................................. 17
2.4.2 Força normal ............................................................................................................................................. 18
2.4.3 Força de atrito .......................................................................................................................................... 18
2.4.4 Força de tração ........................................................................................................................................ 19
3 ESTÁTICA DO PONTO ...................................................................................................................................... 20
3.1 Estática do ponto I ............................................................................................................................... 20
3.2 Estática do ponto II ............................................................................................................................. 38
4 ESTÁTICA DO SÓLIDO E ATRITO SÓLIDO ................................................................................................. 45
4.1 Estática do sólido ................................................................................................................................. 45
4.2 Atrito sólido ............................................................................................................................................ 60
Unidade II
5 PITÁGORAS, ARISTÓTELES E ARQUIMEDES ........................................................................................... 75
5.1 Pitágoras .................................................................................................................................................. 75
5.2 Aristóteles ................................................................................................................................................ 77
5.3 Arquimedes ............................................................................................................................................. 79
6 KEPLER E GALILEU GALILEI .......................................................................................................................... 86
6.1 Leis de Kepler ......................................................................................................................................... 86
6.1.1 Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Planetárias ................................................................... 86
6.1.2 Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas Equivalentes ................................................................... 87
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6.1.3 Terceira Lei de Kepler: Lei dos Períodos Iguais ............................................................................ 88
6.2 Galileu Galilei ......................................................................................................................................... 89
7 ISAAC NEWTON ................................................................................................................................................ 97
7.1 Descobertas de Newton ..................................................................................................................... 97
7.2 Principia .................................................................................................................................................100
7.2.1 As três leis de Newton ........................................................................................................................100
7.2.2 Lei da Gravitação Universal ..............................................................................................................101
8 EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE CALOR E TEMPERATURA ................................................................102
8.1 Termômetros ........................................................................................................................................102
8.2 Calor.........................................................................................................................................................103
8.3 Lei dos Gases ........................................................................................................................................104
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APRESENTAÇÃO
Caros alunos,
Vivemos em um mundo onde a tecnologia foi desenvolvida com base em descobertas de 
grandes físicos e matemáticos. No século passado, houve uma explosão de teorias, algumas ainda 
são objetos de estudo, como: a Teoria da Evolução de Charles Darwin e a Teoria da Relatividade 
de Albert Einstein.
Diversas situações de nossas vidas têm relação com o estudo da Física. Na Grécia Antiga, o homem já 
procurava entender o funcionamento e princípio físico das coisas. Atualmente, a Física envolve diversos 
conceitos, como mecânica, ótica, ondas, eletricidade e física nuclear.
A evolução da Física passa por Arquimedes, que descobriu que os corpos flutuam, pois deslocam 
volume de líquido para os lados. A descoberta de Galileu Galilei, que estabelece que os corpos caem 
numa mesma velocidade, sem depender de sua massa, e por Newton, definindo as principais leis da 
mecânica e demonstrando que os corpos se atraem pela ação da força da gravidade.
A responsabilidade em estudar e compreender a interação entre dois corpos é de grande importância 
para o aprendizado em Engenharia e, para isso, faz-se necessário estudá-la a fundo, devendo ser muito 
bem fundamentadas as Leis Físicas e demais conceitos matemáticos.
Temos como objetivo principal preparar o nosso aluno para interpretar e agir nas mais diferentes 
situações envolvendo a Física.
Para estudar, o aluno deve compreender o que foi solicitado. Analise todos os dados necessários, 
imagine as hipóteses, aplique os conceitos matemáticos necessários a cada situação e utilize os sistemas 
de unidade apropriados.
Apresentaremos todos os conceitos desenvolvidos por estes cientistas renomados de maneira simples 
e com muitos exemplos, como poderemos ver a seguir.
INTRODUÇÃO
Os tópicos abordados na disciplina de Física Integrada estão divididos em duas unidades. 
Iniciaremos apresentando as grandezas físicas, discutindo os Sistemas de Unidades, as 
principais conversões e trigonometria, habilitando o aluno a iniciar seus estudos na Física. Será 
apresentado o sistema de projeções de forças, as Leis de Newton, interação entre dois corpos 
e as forças especiais e suas propriedades. Ainda, são apresentados os conceitos de Estática do 
Ponto, Estática do Sólido e Força de Atrito. Assim, o aluno poderá fixar os conceitos aprendidos 
da interação entre dois corpos.
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Em seguida, é discutida a evolução dos conceitos da Física, fundamentada por cientistas e 
filósofos como Pitágoras, Aristóteles, Arquimedes e Kepler. Finalizaremos a fundamentação da 
evolução dos conceitos da Física apresentando Galileu, as descobertas de Newton, o Principia e a 
evolução do conceito.
Para o bom entendimento do conteúdo, este livro-texto apresenta exemplos resolvidos, testes, 
exemplos de aplicação e indicação de conteúdos complementares ao estudo do aluno.
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 FÍSICA INTEGRADA
Unidade I
1 SISTEMAS DE UNIDADES, PROJEÇÕES DE FORÇASE CONCEITOS 
TRIGONOMÉTRICOS
Uma quantidade física inclui uma dimensão e uma unidade. Nas seções a seguir, serão mostradas 
as principais unidades segundo o Sistema Internacional (SI) e outros sistemas largamente empregados 
pela comunidade científica.
1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI)
O Sistema Internacional de Unidades (SI), também conhecido como sistema métrico, foi estabelecido 
em 1960 na Conferência Geral de Pesos e Medidas (Conférence Générale des Poids et Mesures – CGPM), 
responsável por definir os padrões de medidas e suas unidades.
Esse sistema é utilizado em quase todo o mundo. O SI possui sete unidades básicas independentes. 
No quadro a seguir, são mostradas as grandezas físicas básicas do SI com suas respectivas unidades.
Quadro 1 – Grandezas físicas e unidades básicas do Sistema Internacional
Grandeza física Unidade no SI
Comprimento metro (m)
Massa quilograma (kg)
Tempo segundo (s)
Temperatura kelvin (K)
Quantidade de matéria mol (mol)
Corrente elétrica ampere (A)
Intensidade luminosa candela (cd)
A partir das unidades básicas do SI, é possível definir as unidades secundárias (ou derivadas) das 
demais grandezas físicas. No quadro a seguir, são mostradas algumas das principais grandezas físicas, 
com suas respectivas unidades.
Quadro 2 – Grandezas físicas, com suas respectivas unidades no sistema internacional
Grandeza física Unidade no SI
Velocidade m/s
Aceleração m/s²
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Unidade I
Força kg m/s² = N
Energia kg m²/s² = N m
Pressão kg/m s² = N/m²
Massa específica kg/m³ = N s²/m4
Peso específico kg/m² s² = N/m³
Além disso, o SI possui um método geral para formação de múltiplos e submúltiplos por meio da 
multiplicação por potências de base dez, que correspondem a prefixos que modificam as unidades 
básicas e secundárias. Na tabela a seguir, são mostrados esses prefixos, com seus símbolos e nomes.
Tabela 1 – Prefixos para as unidades do Sistema Internacional (SI)
Símbolo Nome Valor
Y Yotta 1024
Z Zetta 1021
E Exa 1018
P Peta 1015
T Tera 1012
G Giga 109
M Mega 106
k Quilo 103
h Hecto 102
da Deca 101
d Deci 10−1
c Centi 10−2
m Mili 10−3
µ Micro 10−6
n Nano 10−9
p Pico 10−12
f Femto 10−15
a Atto 10−18
z Zepto 10−21
y Yocto 10−24
 Lembrete
É importante notar que o aluno deverá conhecer as unidades 
fundamentais, assim combinando-as para formar as unidades derivadas.
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 FÍSICA INTEGRADA
1.2 Sistema CGS de Unidades
As unidades básicas do sistema CGS são o centímetro (cm), o grama (g) e o segundo (s). Esse sistema 
é usualmente utilizado em física atômica e nuclear. No quadro a seguir, são apresentadas algumas 
grandezas físicas com suas respectivas unidades secundárias no sistema CGS.
Quadro 3 – Grandezas físicas com suas unidades secundárias no sistema CGS
Grandeza física Unidade CGS
Velocidade cm/s
Aceleração cm/s²
Força dina
Energia erg
Pressão dina/cm²
Massa específica g/cm³
Peso específico dina/cm³
1.3 Sistema Inglês de Unidades
Amplamente utilizado nos Estados Unidos, as unidades de força, comprimento e tempo do Sistema 
Inglês de Unidades são, respectivamente, libra-força (lbf), pé (ft) e segundo (s). Os fatores de conversão 
para as unidades no SI são:
1 lbf = 4,448 N
1 ft = 0,3048 m
No quadro a seguir, são mostradas algumas grandezas físicas com suas unidades no Sistema Inglês. 
Nesse sistema, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de massa é a libra-massa (lbm), a 
unidade de comprimento é o pé (ft) e a unidade de tempo é o segundo (s). A relação entre slug e lbm é:
1 slug = 32,2 lbm
Quadro 4 – Grandezas físicas, com suas respectivas unidades no sistema inglês
Grandeza física Unidade no Sistema Inglês
Velocidade ft/s
Aceleração ft/s²
Força lbf
Energia lbf ft
Pressão lbf/ft²
Massa específica slug/ft3
Peso específico lbf/ft³
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Unidade I
Ainda, fazem parte do Sistema Inglês unidades maiores e menores como, por exemplo, a polegada 
e a milha.
Os engenheiros devem saber trabalhar tanto com unidades no SI quanto com unidades no 
Sistema Inglês. Esse conhecimento é importante principalmente em projetos que envolvam 
pessoas de diversas nacionalidades, já que, dependendo do projeto, um equívoco de conversão 
pode ocasionar uma grande catástrofe.
Uma falha de conversão de unidades foi a causa da destruição da sonda Mars Climate Orbiter, 
lançada em 1999 pela National Aeronautics and Space Administration (Nasa), para estudar o clima de 
Marte. Enquanto os engenheiros projetistas fizeram alguns cálculos com unidades do Sistema Inglês, a 
equipe de controle esperava valores com unidades do SI.
 Saiba mais
No cotidiano, é comum dizermos que iremos à farmácia medir nosso 
peso, o que é um erro conceitual, pois na verdade medimos a nossa massa. 
Saiba mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Unidades. 
São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/
forcas/unidades/>. Acesso em: 27 dez. 2016.
1.4 Projeções de forças e conceitos trigonométricos
Com o objetivo de melhor compreensão e retomada de conceitos trigonométricos, foram elaborados 
alguns exemplos, desenvolvidos passo a passo para o fácil e didático acompanhamento do aluno. Além 
disso, utilizando a trigonometria como ferramenta, é possível encontrar as componentes de uma força 
(grandeza vetorial) que se encontra inclinada em relação ao eixo de coordenadas adotado em cada caso.
Exemplo 1
Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo, sabendo que AB = 20 cm e que a = 30º.
B
C
Aa
Figura 1 
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Solução:
cos cos
,
�
�
� � �
� � � �
� � �
AB
AC AC
AC AC cm
sen
BC
AC
sen
BC
o
o
30
20
0 87 20 23
30
223
23 30 115BC sen BC cmo� � � � ,
Exemplo 2
Sabendo que o triângulo a seguir é um triângulo retângulo, calcule a e b.
B
C
Aa
b
15 cm
30 cm
Figura 2 
Solução:
tg
BC
AB
tg
tg o
o o
� �
� �
� �
� � � �
� � �
� � � �
�
15
30
0 5
0 5 26 56
180 90 26 5
1
,
( , ) ,
, 66 90
180 26 56 90 63 44
o o
o o o o
� �
� � � � �
�
� �, ,
Exemplo 3
Uma escada de 15 m liga o primeiro andar de uma casa ao segundo andar, conforme representado 
a seguir. Determine a altura h entre um andar e outro.
30º
h
Figura 3 
.
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Solução:
o
o
h
sen30
15
h 15 sen30 h 7,5 m
=
= ⋅ ⇒ =
Exemplo 4
Uma casinha do interior, em determinado horário do dia, projeta uma sombra de 5 m. Sabendo que 
ao lado dessa casa está uma árvore com 2 m de altura que também tem sua sombra projetada e, nesse 
instante, os raios solares fazem um ângulo de 45º com o solo, calcule a altura do prédio da casa.
Figura 4 
Solução:
Analisando de forma trigonométrica a sombra projetada da árvore, temos:
tg
S S
S mo45
2
1
2
2� � � � �
Por meio da semelhança entre os triângulos das sombras projetadas da árvore e da casinha, 
determina-se a altura h1:
5
2 2
51 1� � �
h
h m
Exemplo 5
Sabendo que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, determine osvalores de x e y.
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A
B C E F
D
3 y
x 9
12
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Figura 5 
Solução:
DE
AB
EF
BC
DF
AC x y
x y
x e y
� � � � �
� � � � �
6
3
9 12
2
9 12
4 5 6,
Exemplo 6
De acordo com a figura a seguir, determine x.
Figura 6 
Solução:
Em casos envolvendo triângulos quaisquer, utiliza-se a Lei dos Senos com o objetivo de encontrar 
medidas e ângulos desconhecidos. Logo a seguir, a Lei dos Senos é apresentada como solução do 
exercício anterior:
x
sen sen
x
x
o o45
10
75
10
0 97 0 71
7 32� � � � �
, ,
,
2 LEIS DE NEWTON E FORÇAS ESPECIAIS
A obra Principia, maior e mais impactante publicação feita por Isaac Newton, apresenta as ferramentas 
matemáticas necessárias para a análise do movimento enumerando três leis, que são os fundamentos 
para a análise de qualquer problema em Mecânica. São elas:
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2.1 Primeira Lei de Newton
1ª Lei de Newton: todo corpo ou objeto tende a se manter em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme a menos que haja uma força sobre ele compelindo-o a mudar seu estado.
A Primeira Lei de Newton define o conceito de inércia. Todo objeto é dotado de uma determinada 
quantidade de movimento. Se o objeto estiver em repouso, tenderá a permanecer em repouso. Se estiver 
em movimento retilíneo e uniforme, permanecerá indefinidamente em movimento retilíneo e uniforme.
2.2 Segunda Lei de Newton
2ª Lei de Newton: a alteração de movimento é proporcional à força aplicada e ocorre na 
mesma direção, com certa aceleração.
ASegunda Lei de Newton complementa a primeira. A fim de alterar a direção ou a velocidade de um 
objeto, é necessária a aplicação de uma força. A mudança de velocidade é diretamente proporcional 
à força aplicada. É importante ressaltar que corpos de diferentes massas se comportarão de modos 
diferentes. Matematicamente a segunda Lei de Newton é expressa por F=m.a
 
, sendo F a força aplicada 
a um corpo de massa m produzindo uma aceleração a.
2.3 Terceira Lei de Newton
3ª Lei de Newton: para toda ação, existe uma reação igual e contrária.
A Terceira Lei de Newton trata como as forças são verificadas na natureza. Como exemplo, para que 
uma pessoa salte, ela empurra o chão para baixo com uma determinada intensidade. O chão, por outro 
lado, reage produzindo uma força de mesma intensidade com direção contrária, fazendo com que ela 
saia do chão.
Figura 7 – Ilustração de Terceira Lei de Newton
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 FÍSICA INTEGRADA
 Saiba mais
Newton verificou algumas características das forças de interação entre 
dois objetos e ilustrou a lei da ação e reação, utilizando como exemplo um 
cavalo puxando uma pedra. Saiba mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Introdução. São 
Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/3a_
lei_de_newton/intro/>. Acesso em: 27 dez. 2016.
2.4 Forças especiais e suas propriedades
As forças especiais surgem devido à interação entre dois corpos. Essa interação pode acontecer de 
duas formas: de contato ou de campo que, nesse caso, independe do contato entre os corpos. Ainda, 
classificada como força especial, a força de tração corresponde a uma força de reação à força motora. 
Logo a seguir serão apresentadas e discutidas brevemente algumas forças tratadas como especiais.
2.4.1 Força peso
A força peso é a consequência da atração gravitacional exercida pela Terra sobre os objetos. Essa 
interação entre os corpos Terra e objeto é do tipo interação à distância (de campo), pois o campo 
gravitacional também age tanto em objetos próximos à superfície terrestre quanto a longas distâncias.
A força peso explica o porquê de os objetos caírem sobre a superfície terrestre. Sua direção é vertical com 
sentido sempre apontado para a superfície do planeta. Matematicamente, a força peso é calculada por:
P m g
 
� �
sendo g a aceleração da gravidade local e m a massa do objeto. De forma geral, a aceleração da 
gravidade terrestre é adotada g = 9,8 m/s2. A aceleração da gravidade é uma característica local. 
Sendo assim, cada planeta possui a sua gravidade particular, ou seja, atrairá os objetos com uma 
intensidade específica.
Figura 8 – Ilustração sobre a força peso
18
EN
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- 
Re
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 A
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7
Unidade I
2.4.2 Força normal
Da mesma forma que a força peso, a força normal geralmente atua na vertical e classifica-se como 
uma força de contato. Ela é exercida pela superfície sobre o corpo. Tal força, na verdade, sempre se encontra 
perpendicular (normal) à superfície. Pode-se entender essa força como sendo uma resistência que as superfícies 
apresentam a fim de evitar que sólidos atravessem uns aos outros. Dessa forma ela pode ser interpretada como 
sendo a reação perpendicular do plano de apoio sobre a superfície inferior do corpo.
n
p
Figura 9 – Forças atuantes em um carro posicionado em um plano inclinado
 Observação
Em grande parte dos casos, a reação normal é numericamente igual à 
força peso, entretanto, não se pode adotar isso como regra.
 Saiba mais
Quando um corpo está apoiado sobre uma superfície, surge a reação 
chamada de reação normal, que é perpendicular ao plano de apoio. Saiba 
mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Centro de Ensino e Pesquisa 
Avançada (Cepa). Instituto de Física. Força normal. São Paulo, [s.d.]. 
Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/
cap09/cap09_36.htm>. Acesso em: 27 dez. 2016.
2.4.3 Força de atrito
A força de atrito só surge devido ao contato entre duas superfícies, de forma a se opor sempre à 
tendência de deslizamento. A direção da força de atrito é a mesma do movimento e o sentido se opõe 
à tendência de deslizamento. É importante salientar que nem sempre o deslizamento e o movimento 
possuem o mesmo sentido.
19
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7
 FÍSICA INTEGRADA
O atrito pode se apresentar de duas formas:
• Força de atrito estático: só existe na situação de repouso do corpo. Seu módulo varia de acordo 
com a força aplicada. O seu valor máximo, na situação de iminência de movimento, pode ser 
calculado por:
Fat Ne e� ��
sendo me o coeficiente de atrito estático (grandeza adimensional) e N a força normal.
• Força de atrito dinâmico (cinético): só existe na situação de movimento do corpo. Seu módulo é 
praticamente constante e pode ser calculado por:
Fat ND D� ��
sendo mD o coeficiente de atrito dinâmico ou cinético.
A fim de aprender mais a respeito da força de atrito, consulte o título deste livro-texto que trata do 
atrito sólido, e também o experimento de atrito sólido, localizado no apêndice deste livro-texto.
 Observação
Um erro comum na análise da força especial chamada de atrito é definir 
o seu sentido como sendo contrário ao movimento do corpo. Esta força é 
sempre contrária à tendência de deslizamento!
2.4.4 Força de tração
A força de tração pode ser considerada como uma força de reação que aparece em fios e cabos 
submetidos a forças de extensão ou resistência. A direção da força de atrito é sempre a mesma do fio, 
enquanto que o seu sentido é contrário ao da força exercida na corda. A intensidade da força (módulo) 
depende da análise das forças para o problema em questão.Figura 10 – Exemplo simples da força de tração
20
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7
Unidade I
 Observação
Na Física, adotam-se alguns parâmetros como ideais a fim de simplificar 
o estudo. No caso das trações, utilizamos o conceito de fios inextensíveis e 
de massa desprezível com este objetivo.
3 ESTÁTICA DO PONTO
3.1 Estática do ponto I
Em um sistema de forças em equilíbrio estático, a força resultante é nula, portanto, a aceleração do sistema 
também será nula, uma vez que a sua velocidade vetorial permanece nula com o decorrer do tempo.
As grandezas físicas são classificadas como grandezas escalares ou vetoriais. As grandezas 
escalares são caracterizadas e representadas somente por um número e por uma unidade. Por 
outro lado, as grandezas vetoriais necessitam de um valor numérico (módulo), direção e sentido 
para serem representadas.
 Observação
Ponto material é um corpo de dimensões desprezíveis, e, sendo assim, 
de dimensões irrelevantes para descrever sua posição no espaço.
A fim de operar com grandezas vetoriais, é necessário utilizar-se de determinadas regras de adição, 
subtração e multiplicação vetorial. Assim, para que ocorra o equilíbrio estático em um ponto, é necessário 
que o somatório de todas as forças sobre esse ponto material seja igual a zero (FR
��
= 0 ). Representando:
F F ou seja
F
FR i
i
N
Rx
Ry
�� �
 







1
0
0
0
, :
As projeções da força F

 no plano cartesiano, em duas diferentes situações, conforme representações 
gráficas nas figuras a seguir, são mostradas matematicamente:
21
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7
 FÍSICA INTEGRADA
F F
F F sen
x
y
 
 
cos

F F
F F sen
x
y
 
  
cos

Figura 11 – Projeção da força F

 no plano cartesiano
Para o melhor entendimento e visualização do equilíbrio estático do ponto, desenvolva o 
experimento nomeado mesa de forças, o qual se encontra no apêndice deste livro-texto.
Logo a seguir estão descritos diversos exemplos para melhor compreensão do conceito de estática 
do ponto.
 Observação
Quando projetamos forças, podemos utilizar tanto o seno, quanto o 
cosseno de um ângulo. No caso da projeção utilizando o cosseno, realizamos 
o produto da intensidade da força pelo cosseno do ângulo da força com o 
eixo de projeção.
Exemplo 7
Um bloco de massa 20 kg está pendurado conforme a figura a seguir (A). Sabendo que o fio é ideal 
e que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2, determine a tração no fio em kgf.
Figura 12 
22
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G 
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ra
m
aç
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ab
io
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7
Unidade I
Solução:
Admite-se o diagrama do corpo livre, representado na figura anterior (B):
F
F T P
T P T m g
T N
x
y AB
AB AB
AB

   
     



0
0 0
20 10
200
Sabendo que 9,8 N equivalem a 1 kgf, portanto:
AB
1 kgf
200N T 20,41 kgf
9,8 N
⋅ ⇒ =
Exemplo 8
Os blocos A e B possuem massa mA = 500 g e mB = 1000 g, respectivamente, e estão suspensos 
por um fio ideal, conforme a figura a seguir (C). Determine a intensidade das forças de tração que os 
suportam em N. Considere g = 10 m/s2.
Figura 13 
Solução:
Força peso do bloco A:
P m g
P P N
A A
A A
 
   0 5 10 5,
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m
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ab
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Força peso do bloco B:
P m g
P P N
B B
B A
 
   1 10 10
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (D):
F
F T P
T P T N
x
y B
B

   
  


0
0 0
10
1
1 1
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (E):
F
F T T P
T T P T N
x
y A
A

    
     


0
0 0
10 5 15
2 1
2 1 2
Exemplo 9
O bloco de peso G = 50 N está em equilíbrio e conectado a dois fios ideais. O fio AB é preso ao ponto B 
por meio de uma polia também ideal. Determine as trações TAB e TAC em N. Se necessário, admita g = 10 m/s
2.
Figura 14 
24
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G 
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m
aç
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ab
io
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7
Unidade I
Solução:
Por meio da figura anterior, é possível realizar a análise dos ângulos:
Figura 15 
Figura 16 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco G, representado na figura anterior (A):
x
y
F 0
F 0 T G 0
T G T 50 N
=
= ⇒ − =
= ⇒ =
∑
∑
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (B):
F
T T
T T
T T
x
AB
o
AC
o
AB AC
AB A

   
   
 

0
50 55 0
0 64 0 57 0
0 64
cos cos
, ,
, CC AC ABT T   0 57 112 1, , ( )
25
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7
 FÍSICA INTEGRADA
F
T T T
T T
y
AC
o
AB
o
AC AB

    
    

0
35 40 0
0 82 0 77 50 0 2
cos cos
, , ( )
Substituindo a equação (1) em (2):
AB AB
AB AB
AB AB
(1,12 T ) 0,82 T 0,77 50 0
0,92 T 0,77 T 50
1,69 T 50 T 29,59 N
⋅ ⋅ + ⋅ − =
⋅ + ⋅ =
⋅ = ⇒ =
Substituindo o valor encontrado para TAB na equação (1):
AC AB AC
AC
T 1,12 T T 1,12 29,59
T 33,14 N
= ⋅ ⇒ = ⋅
=
Exemplo 10
O bloco de peso P = 500 N está apoiado na superfície horizontal lisa. Ele é mantido em equilíbrio com a 
ajuda da força F = 300 N e do bloco A de peso 500 N. Determine a reação do plano de apoio e o ângulo q.
Figura 17 
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m
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Unidade I
Solução:
Figura 18 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (B):
F
F T P
T P T N
x
y A
A

   
  


0
0 0
500
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco P, representado na figura anterior (C):
F
F T
T F
x 
  
    
   

0
0
500 300
300
500
0 6 53 1
cos
cos cos
cos , ,

 
  33o
F
N T sen P
N T sen P
N sen
N
y
o

   
   
   
  

0
0
500 53 13 500
400 500


,
 N N100
Exemplo 11
Os cilindros A e B estão em equilíbrio conforme ilustrado a seguir. O cilindro A possui peso de 120 N 
e os fios e polias podem ser considerados ideais. Nessas condições, determine o peso do cilindro B e a 
tração CD.
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m
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 FÍSICA INTEGRADA
Figura 19 
Solução:
Figura 20 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro A, representado na figura anterior (F):
F T P
T P T N
y CE A
CE A CE
   
  

0 0
120
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro B, representado na figura anterior (G):
F T P
T P
y B
B
   


0 0
1( )
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H):
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G 
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m
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Unidade I
F
T T
T T
T
x
CD
o
CE
o
CD CE
CD

   
   
 

0
45 30 0
0 71 0 87 0
0 71 12
cos cos
, ,
, 00 0 87
120 0 87
0 71
147



 
,
,
,
T T NCD CD
F
T T T
T T T
T
y
CD
o
CE
o
CD CE

    
    
 

0
45 60 0
0 71 0 5 0
147 0
cos cos
, ,
,771 120 0 5
104 37 60 164 37
 
   
,
, ,T T N
Substituindo o valor T na equação (1):
T P P NB B  ( ) ,1 164 37
Exemplo 12
Uma pessoa tenta suspender uma carga A, conforme representado na figura a seguir. Para isso, o 
sujeito aplica uma força de 150 N em um dos cabos. Sabendo que os fios são ideais e que o sistema está 
em equilíbrio, determine a massa suspensa e a tração no fio BD. 
Figura 21 
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m
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 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Figura 22 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao corpo A, representado na figura anterior (G):
F T P
T P T m g
y A
A A
   
   

0 0
1( )
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H):
F
F T
F T
T
x
o
BD
o
BD
BD

   
   
  

0
45 60 0
0 71 0 50 0
150 0 71 0
cos cos
, ,
, ,550
150 0 71
0 50
213T T NBD CD

 
,
,
F
T F T
T F T
T
y
BD
o o
BD

    
   
  

0
30 45 0
0 87 0 71
213 0 87 15
cos cos
, ,
, 00 0 71
185 31 106 5 29181

   
,
, , ,T T N
30
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G 
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Unidade I
Substituindo o valor T na equação (1):
T m g m
m m kg
A A
A A
    
  
( ) ,
,
,
1 29181 10
29181
10
29 18
Exemplo 13
Os blocos A e B permanecem em equilíbrio estático devido à ação de fios e polias ideais, conforme mostrado 
na figura a seguir. Sabendo-se que o peso do corpo B vale 40 N, determine o peso de A e a tração no fio DE.
Figura 23 
Solução:
Figura 24 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (F):
F T P
T P
y A
A
   


0 0
1
1
1 ( )
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G 
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 FÍSICA INTEGRADA
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (G):
F T P
T P T N
y B
B
   
  

0 0
40
2
2 2
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H):
F
T T
T T
x
DE
o
DE

  
  

0
45 0
0 71 0 2
1
1
cos
, ( )
F
T T
T
T
T T
y
DE
o
DE
DE
DE DE

  
  
 
 

0
45 0
0 71 40 0
0 71 40
40
0 71
2cos
,
,
,
 56 34, N
Substituindo o valor TDE na equação (2):
T T
T
T N
DE   
  

0 71 0 2
56 34 0 71 0
40
1
1
1
, ( )
, ,
Substituindo o valor T1 na equação (1):
T P
P N
A
A
1 1
40
=
=
( )
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G 
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Unidade I
Exemplo 14
O bloco de peso B é sustentado pelos fios e polias ideais, conectados ao bloco A de peso 30 N. 
Determine a tração no fio DE e o peso do bloco B.
Figura 25 
Solução:
Figura 26 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (F):
F T P
T P T N
y A
A
   
  

0 0
30
1
1 1
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (G):
F T P
T P
y B
B
   


0 0
1
2
2 ( )
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G 
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H) e a análise 
trigonométrica, representada na figura que segue:
Figura 27 
tg
tg
o
o
 
 
   
   
2
15
133 53 1
2
3
0 67 33 8
,
, ,
, ,
F
T T
T
T
x
DE
DE
DE

     
  
 

0
33 8 53 1 0
30 0 83 0 6
24 9
0 6
1 cos , cos ,
. ,
,
,
4415, N
F
T sen T sen T
T
T
y
DE

      
   


0
33 8 53 1 0
30 0 55 415 0 8
16
1 2
2
2
, ,
, , ,
,, , ,5 33 2 49 72  T N
Substituindo o valor T2 na equação (1):
T P P NB B2 1 49 7  ( ) ,
Exemplo 15
O bloco A, de peso 20 N, encontra-se apoiado em uma superfície lisa, mantido em equilíbrio com a 
ajuda de fios e polias ideais, conectados ao bloco B. Conforme ilustrado pela figura que segue, determine 
a reação normal e o peso do bloco B.
34
EN
G 
- 
Re
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01
7
Unidade I
Figura 28 
Solução:
Figura 29 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (F):
F T P
T P
y B
B
   


0 0
1( )
35
EN
G 
- 
Re
vi
sã
o:
 A
lin
e 
- 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
4/
01
/2
01
7
 FÍSICA INTEGRADA
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (G) e (H):
F N P
N P
N N
F P
y A
A
x A
     
    

  


0 45 0
45 20 0 71
14 2
0 4
cos
cos ,
,
cos 55 0
45 20 0 71
14 2
  
    

T
T P
N N
A cos ,
,
Substituindo o valor T na equação (1):
T P P NB B  ( ,1) 14 2T P P NB B  ( ,1) 14 2
Exemplo 16
Uma esfera é pendurada, por meio de fios considerados ideais, no teto do laboratório de física. Com 
o intuito de determinar a massa da esfera, foi instalado um dinamômetro em um dos cabos, com leitura 
de 20 N. De acordo com a ilustração a seguir, determine a massa da esfera em kg e a altura h que a 
distancia do teto.
Figura 30 
36
EN
G 
- 
Re
vi
sã
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 A
lin
e 
- 
Di
ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
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/2
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7
Unidade I
Solução:
Figura 31 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera, representado na figura anterior (F):
F T P
T P T m g
y E
E E
   
   

0 0
1
1
1 1 ( )
Por meio da análise trigonométrica, representada na figura anterior (G), no triângulo retângulo da 
direita, os ângulos são de 45º. Sendo assim, a altura h, sendo um dos catetos, também valerá 1 m.
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H):
F
F T
F T
T
T
x
o o

   
   
  

0
45 70 0
0 71 0 34 0
0 34 20 0 71
2
2
2
2
cos cos
, ,
, ,


 
20 0 71
0 34
41762
,
,
,T N
F
T F T
T F T
T
y
o o

    
    
 

0
20 45 0
0 94 0 71 0
4176 0
2 1
2 1
1
cos cos
, ,
, ,994 20 0 71
53 451
 

,
,T N
37
EN
G 
- 
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 A
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e 
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ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
io
 -
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/2
01
7
 FÍSICA INTEGRADASubstituindo o valor T1 na equação (1):
T m g
m m kg
E
E E
1 1
53 45 10 5 34
 
   
( )
, ,
Exemplo 17
Um sinal de trânsito tem massa de 15 kg e, em algumas situações, é suspenso por três fios. 
Considerando os fios ideais, determine as trações em todos os fios.
Figura 32 
Solução:
Figura 33 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao semáforo, representado na figura anterior (F):
F T P
T P T m g
T T N
y    
   
   

0 0
15 10 150
1
1 1
1 1
38
EN
G 
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Di
ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
io
 -
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/2
01
7
Unidade I
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (G):
F
T T
T T
T T
x
AB
o
AC
o
AB AC
AB AC

   
   
 

0
45 60 0
0 71 0 5 0
0 71
cos cos
, ,
, 


  
0 5
0 5
0 71
0 70 1
,
,
,
, ( )T
T
T TAB
AC
AB AC
F
T T T
T T T
T
y
AB
o
AC
o
AB AC
AB

    
   


0
45 30 0
0 71 0 87
0 7
1
1
cos cos
, ,
, 11 0 87 150 2  TAC , ( )
Substituindo a equação (1) na equação (2):
T T
T T
T T
AB AC
AB AC
AC AC
   
 
   
0 71 0 87 150 2
0 70 1
0 70 0 71 0
, , ( )
, ( )
, , ,,
, ,
,
,
87 150
0 5 0 87 150
137 150
150
137
10

   
 
  
T T
T
T T
AC AC
AC
AC AC 99 5, N
Substituindo TAC na equação (1):
T T
T T N
AB AC
AB AB
 
   
0 70 1
0 70 109 5 76 65
, ( )
, , ,
3.2 Estática do ponto II
Para que ocorra o equilíbrio estático em um ponto, é necessário que o somatório de todas as forças 
sobre esse ponto material seja igual a zero. (

FR = 0 ). Representando matematicamente:
 
F FR i
i
N
 


1
0, ou seja: 
F
F
Rx
Ry





0
0
39
EN
G 
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ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
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/2
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Em adição ao que foi discutido anteriormente, caso o ponto material esteja apoiado sobre 
uma superfície, as forças de reação normal deverão ser levadas em conta na condição descrita 
matematicamente, para que o equilíbrio do ponto material seja atingido.
Para melhor compreensão, logo a seguir, incluímos diversos exercícios com suas respectivas soluções 
passo a passo.
Exemplo 18
Uma esfera de peso P = 70 kg encontra-se suspensa por um fio e encostada em uma parede lisa 
conforme a figura. Determine o valor da força normal N em relação à parede.
Figura 34 
Solução:
Figura 35 
40
EN
G 
- 
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e 
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ra
m
aç
ão
: F
ab
io
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7
Unidade I
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera, representado na figura anterior:
F
T N
T N N T
x
o

  
     

0
60 0
0 5 0 0 5 1
cos
, , ( )
F
T P
T P
T
P
T N
y
o
o
o

  
 
   

0
30 0
30
30
70
0 87
80 46
cos
cos
cos ,
,
Substituindo T na equação (1):
N T
N N N
 
   
0 5 1
80 46 0 5 40 23
, ( )
, , ,
Exemplo 19
Um bloco de massa 80 kg está apoiado no plano inclinado, ilustrado a seguir, e em equilíbrio devido 
à ação de um fio, que está conectado ao bloco de massa M. Sabendo que a superfície de contato é lisa, 
determine a reação normal e a massa do bloco.
Figura 36 
41
EN
G 
- 
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ag
ra
m
aç
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: F
ab
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Figura 37 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco M, representado na figura anterior (F):
F T P
T P T M g
y M
M
   
   

0 0
1( )
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado nas figuras (G) e (H):
F
T P N
T m g N
T
y
o o

    
     
   

0
60 45 0
0 5 0 71 0
0 5 80 10 0
cos cos
, ,
, ,771 0
0 5 568 0 2
 
   
N
T N, ( )
F
T P
T
T
T
x
o o

   
   
 


0
30 45 0
0 87 800 0 71 0
0 87 568
568
0
cos cos
, ,
,
,887
652 87 T N,
42
EN
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e 
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ra
m
aç
ão
: F
ab
io
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7
Unidade I
Substituindo T na equação (2):
T N
N
N
N N
   
   
  

0 5 568 0 2
652 87 0 5 568 0
326 43 568 0
24156
, ( )
, ,
,
,
Substituindo T na equação (1):
T M g
M
M kg
 
 

( )
,
,
1
652 87 10
65 29
Exemplo 20
Duas esferas foram colocadas dentro de um reservatório de paredes lisas. Sabendo que o sistema 
permanece em equilíbrio estático, determine a reação do fundo do reservatório, a reação entre as esferas 
e as reações nas paredes verticais. Dado: peso de cada esfera igual a 60 N.
Figura 38 
43
EN
G 
- 
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e 
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ra
m
aç
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Figura 39 
Considere a análise trigonométrica referente à reação normal N3, representada na figura anterior (F):
 
cos
cos

 

  
R
R
o
2
1
2
60
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera 1, representado na figura anterior (G):
F
N N
N N
N N
x
o
o

  
 
 

0
60 0
60
0 5 1
4 3
4 3
4 3
cos
cos
, ( )
F
N P
N P
N N N
y
o

  
 
  

0
30 0
0 87
60
0 87
68 96
3 1
3 1
3 3
cos
,
,
,
44
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: F
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Unidade I
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera 2, representado na figura (H):
F
N N
N N
x
o

  
 

0
60 0
0 5 2
3 2
2 3
cos
, ( )
F
N N P
N
N N N
y
o

   
   
   

0
30 0
68 96 0 87 60 0
60 60 120
1 3 2
1
1 1
cos
, ,
Substituindo N3 na equação (1):
4 3
4 4
N N 0,5 (1)
N 68,96 0,5 N 34,48 N
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
Substituindo N3 na equação (2):
N N
N N N
2 3
2 2
0 5 2
68 96 0 5 34 48
 
   
, ( )
, , ,
Exemplo 21
Na figura a seguir, um cilindro de peso 120 N é apoiado entre dois planos perpendiculares. Sabendo 
que q1 = 35
o, determine as reações dos planos. 
Figura 40 
45
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m
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: F
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Figura 41 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro, representado na figura anterior (F) e ainda 
considere a análise trigonométrica complementar, representada nas figuras (G) e (H):
cos ,
,
35 0 82
120
98 4
1 1
1
o N
P
N
N N
  

sen
N
P
N
N N
o35 0 57
120
68 4
2 2
2
  

,
,
4 ESTÁTICA DO SÓLIDO E ATRITO SÓLIDO
4.1 Estática do sólido
No nosso cotidiano, tudo que está em repouso, de acordo com o nosso referencial padrão, está em 
equilíbrio estático. Se alguma força, suficientemente intensa, agir sobre esses corpos, de modo que a 
força resultante final seja diferente de zero, o objeto entrará em movimento.Considere um corpo extenso, cujas dimensões não possam ser desconsideradas nos cálculos, suspenso 
em equilíbrio. Para que exista esse equilíbrio, é necessário que a linha de ação da força que o mantém 
suspenso passe pelo seu centro de gravidade (baricentro).
Caso o corpo seja suspenso por um ponto fora do seu baricentro, ele não mais manterá o seu equilíbrio na 
horizontal. Sendo assim, para reequilibrá-lo, outras forças externas serão aplicadas e estudadas.
Como exemplos de equilíbrio estático de corpos rígidos, citam-se:
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Unidade I
Grua utilizada na construção civil
A grua é um equipamento que permite elevar e movimentar cargas, contêineres e materiais pesados 
de forma geral.
A carga suspensa pela grua é suportada por um contrapeso, posicionado e mantido fixo na parte 
horizontal da estrutura da grua, de tal forma que o baricentro do sistema se localize na vertical ao 
longo da estrutura vertical da grua. O contrapeso é fundamental para manter o corpo rígido em 
equilíbrio estático. 
Equilíbrio do corpo humano
Admita um sistema de forças distribuídas ao longo do braço, antebraço e mão de uma pessoa. O 
antebraço é considerado o corpo extenso, podendo ser comparado a uma alavanca. As forças aplicadas 
possuem como polo a articulação do cotovelo.
Um corpo rígido é dito em equilíbrio estático caso não se mova de nenhuma forma – nem em 
translação e nem em rotação, no sistema de referências em que o corpo está sendo estudado.
O movimento de translação ocorre quando uma força não balanceada é aplicada em um corpo, 
enquanto que o movimento de rotação é produzido devido ao momento de uma força não balanceada 
aplicada no corpo. 
Portanto, para que um corpo rígido atinja o equilíbrio estático, duas condições devem ser 
satisfeitas: a soma de todas as forças atuantes no corpo (força resultante FR
��
) deve ser igual a zero e, 
também, o somatório de todos os momentos de cada força em relação a um polo qualquer (momento 
resultante MR
� ��
) deve ser nulo. Matematicamente escreve-se:
F F e M MR i
N
R i
N�� � � �� ���
   
 
 1 1 1 1
0 0
 Observação
Esse caso é abordado com mais detalhes no exemplo 29, a seguir, em 
que estudamos o caso da gangorra.
Para obter mais informações e conceitos sobre o estudo de estática dos sólidos, leia a introdução 
teórica do experimento nomeado equilíbrio estático de uma barra, que se encontra no apêndice deste 
livro-texto.
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7
 FÍSICA INTEGRADA
 Lembrete
Um erro comum é cometido por muitas pessoas quando dizem que irão 
medir o peso de seu corpo quando vão à farmácia. Na realidade, a balança 
mede a massa, por isso utiliza a unidade kg.
 Observação
O centro de massa de um corpo nem sempre está localizado dentro do 
corpo rígido.
Exemplo 22
Uma pessoa aplica uma força de 90 kgf em uma chave de roda, conforme ilustrado a seguir. Determine 
o torque aplicado ao parafuso. Caso a chave esteja paralela ao chão, qual será o novo torque?
Figura 42 
Solução:
Admite-se a situação 1 quando a chave estiver paralela ao chão, ou seja, braço de atuação da força 
igual a 25 cm; e a situação 2 com a chave oblíqua em relação ao chão – braço de atuação da força de 
40 cm, conforme representado na figura anterior.
1
1
1
Situação 1
M F d
M 90 0,25
M 22,5 Nm
= ⋅
= ⋅
= 
Situa o 2çã
M F d
M
M Nm
2
2
2
90 0 4
36
 
 

,
 
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7
Unidade I
Exemplo 23
Uma barra homogênea de massa 18 kg está fixa e articulada à parede no ponto A e, mantida em 
equilíbrio pela ação do cabo BD e da massa m = 4 kg. Determine a tração no fio BD e as componentes 
horizontal e vertical da reação em A.
Figura 43 
Solução:
Analisando as forças atuantes no bloco que se encontra pendurado, representado na figura anterior:
F
T P T P
T mg T T N
y 
   
     

0
0
4 10 40
Figura 44 
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G 
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra, representado na figura anterior (F) e, de 
acordo com as figuras (G) e (H), realiza-se a análise trigonométrica:
Diagrama G
sen
b
b m
b m
o T
T
P
( )
,
,
55
3
2 46
123
  
 
Diagrama H
sen
b
b mo
TBD
TBD
( )
,55
2
164  
 
Analisando as forças atuantes na barra, representadas na figura (F) e analisando as condições 
de equilíbrio:
F Hx A   0 0 
F
V T P T
V T P T
y
A BD
A BD

   
  

0
0
1( )
M
T b P b T B
T
T
A
T P BD TBD
BD
BD

     
    


0
0
40 2 46 180 123 164
164
, , ,
,     319 8
319 8
164
195,
,
,
T T NBD BD
Substituindo TBD = 195 N na equação (1):
V T P T
V V N
A BD
A A
  
    
( )1
40 180 195 25
Exemplo 24
Uma barra de peso desprezível sustenta os blocos de massa m1 = 100 kg e m2 = 20 kg. Determine a 
distância x para que o sistema permaneça em equilíbrio.
Figura 45 
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m
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Unidade I
Solução:
Figura 46 
Admitem-se os diagramas do corpo livre referentes aos blocos M1 e M2, de acordo com as figuras (F) 
e (G):
Bloco M
F
N P N P
N N
y
1
1 1 1 1
1
0
0
1000
:

   


Bloco M
F
N P N P
N N
y
2
2 2 2 2
2
0
0
200

   


Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra, de acordo com a figura (H). Analisando as 
condições de equilíbrio:
M
N N x
x
x x m cm
A 
   
   
    

0
0 5 0
200 0 5 1000 0
1000 100 0 1 10
2 1,
,
,
51
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G 
- 
Re
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Di
ag
ra
m
aç
ão
: F
ab
io
 -
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7
 FÍSICA INTEGRADA
Exemplo 25
No laboratório da Universidade Paulista, os professores de Física utilizam o aparato a seguir e, a 
fim de estudar o equilíbrio estático de um sólido, massas são alocadas em uma escala graduada para 
atingir o equilíbrio. Determine o valor da massa m. Considere que a distância entre os orifícios da 
barra vale 0,091 L.
Figura 47 
Solução:
Considerando o pino como a localização do polo (O) da barra e analisando as condições de equilíbrio:
M
L L
m
A 








 







 

0
80 10
1000
0 455
60 10
1000
0 182
10
10
, ,
000
0 455 0
0 364 0 1092 0 00455
56






 
   

,
, , ,
L
m
m g
Exemplo 26
Uma porta de alçapão, com peso de 80 kgf, é apoiada no ponto C, conforme representado na figura 
a seguir. Essa porta é articulada no ponto B, sendo acionada por meio de uma força aplicada em um fio 
ideal, que passa por uma polia, também ideal. Determine a força que permitirá o início da abertura do 
alçapão e os componentes horizontal e vertical da reação na articulação B. 
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Unidade I
Figura 48 
Solução:Figura 49 
Admitem-se os diagramas do corpo livre referente à porta do alçapão de acordo com a figura 
anterior. Analisando as condições de equilíbrio:
F
H F
H F
x
B
o
B




0
60
0 5 1
cos
, ( ) 
F
V P Fco
V F
y
B
o
B

  
  

0
30 0
80 0 87 0 2, ( )
M
P F
F
F
F N
B
o

   
 



0
15 30 3 0
80 15 2 6
120 2 6
46 15
, cos
, ,
,
,
Substituindo F = 46,15 N nas equações (1) e (2): 
B
B
H 46,15 0,5
H 23,08 N
= ⋅
=
V
V N
B
B
   

80 46 15 0 87 0
39 85
, ,
,
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 FÍSICA INTEGRADA
Exemplo 27
Uma barra prismática AB de peso próprio 60 kgf encontra-se em equilíbrio estático devido à ação 
da articulação A e do fio ideal conectado à carga Q, por meio da polia também ideal. Determine as 
componentes horizontal e vertical da reação em A e a carga Q.
Figura 50 
Solução:
Analisando as forças atuantes no bloco que se encontra pendurado, representado na figura anterior:
F
T P T P
y
Q Q

   

0
0 1( )
Figura 51 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra AB, representado na figura anterior. 
Analisando as condições de equilíbrio:
F
T H
H T
x
o
A
A

 


0
45 0
0 71 2
cos
, ( )
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Unidade I
F
V P T
V T
y
A
o
A

  
 

0
45 0
60 0 71 3
cos
, ( )
M
T T
T
T
T kgf
A
o

   
   
 


0
3 45 6 0
60 3 0 71 6 0
180 4 26 0
42 25
cos
,
,
,
Substituindo T = 42,25 kgf nas equações (1), (2) e (3):
T P
P kgf
Q
Q
=
=
( )
,
1
42 25
H T
H
H kgf
A
A
A

 

0 71 2
0 71 42 25
30
, ( )
, ,
 
V T
V
V kgf
A
A
A
 
  

60 0 71 3
60 0 71 42 25
30
, ( )
, ,
Exemplo 28
Uma barra homogênea, de massa 10 kg, é mantida em equilíbrio pela articulação C e pelo fio ideal 
AB. Determine a tração no cabo e as componentes horizontal e vertical da reação em C, sabendo que a 
carga P tem massa de 40 kg.
Figura 52 
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 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Analisando as forças atuantes no bloco P que se encontra pendurado, representado na figura anterior:
F
T P
T P T N
y
P
P

 
  

0
0
400
Figura 53 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra CD, representado na figura anterior (F) e, de 
acordo com as figuras (G) e (H), realiza-se a análise trigonométrica:
Diagrama G
b
b m
b m
o T
T
p
cos
,
,
,
30
0 5
0 43
0 21
  

 
Diagrama H
sen
b
b mo
T AB
T AB
( )
,
,30
0 4
0 20  
 
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Unidade I
Analisando as forças atuantes na barra, representadas na figura (F) e analisando as condições 
de equilíbrio:
F
H T
H T
x
C AB
C AB

 


0
0
1( ) 
F
V P T
V
V N
y
C
C
C

  
  


0
0
100 400 0
500
M
P b T b T B
T
C
P T AB T AB
AB

     
    
 

0
0
100 0 21 400 0 43 0 20
21 172
, , ,
00 20 965, T T NAB AB 
Substituindo TAB = 965 N na equação (1):
H T
H N
C AB
C
=
=
( )1
965
Exemplo 29
Duas crianças brincam de se equilibrar em uma gangorra. Sabe-se que quando se posicionam em 
pontos específicos, como mostrado na figura, o sistema mantém-se em equilíbrio. Sabendo que a 
gangorra tem distribuição de massa homogênea, determine a massa da criança que está posicionada a 
1,5 m do eixo de rotação (A), sabendo que o peso da criança posicionada a 0,75 m do eixo de rotação é 
igual a 250 kgf.
Figura 54 
57
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 FÍSICA INTEGRADA
Solução:
Figura 55 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra CB, representado na figura anterior. Analisando 
as forças atuantes na barra, e estudando as condições de equilíbrio:
M
P P
P
P
P N
A
B C
C
C
C

   
   
 


0
0 75 15 0
250 0 75 15 0
187 5 15
125
, ,
, ,
, ,
Substituindo PC = 125 N na equação PC=mC.g:
P m g
m
m N
C C
C
C
 
 

125 10
12 5,
Exemplo 30
Uma barra homogênea, de peso 180 kgf, possui comprimento de 2,5 m e é mantida em equilíbrio 
estático, articulada no ponto B. Sabendo que sobre ela é aplicada uma carga Q de 270 kgf, determine as 
componentes da tração no fio (DE) e as componentes horizontal e vertical da reação B.
Figura 56 
58
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Unidade I
Solução:
Figura 57 
Analisando as forças atuantes na barra DE, representadas na figura anterior e analisando as condições 
de equilíbrio:
M
T P Q
T
T
B
y
y
y

     
     
 

0
2 5 125 0 6 0
2 5 180 125 270 0 6 0
2 5
, , ,
, , ,
, 2225 162 0
2 5 387 154 8
 
   T T kgfy y, ,
tg
T
T
EB
DB
T
T T
T kgf
y
x
y
x x
x
  
    
3
2 5
154 8 3
2 5
129
,
,
,
F
T H
T H H kgf
x
x B
x B B

 
  

0
0
129 
F
V P Q T
V P Q T
V
V kgf
y
B y
B y
B
B

   
  
  


0
0
180 270 154 8
295 2
,
,
Exemplo 31
Um pedreiro fica parado com um carrinho de mão de massa total m = 150 kg, conforme figura a 
seguir. Determine a força exercida pelo carregador e o valor da reação normal na roda do carrinho.
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 FÍSICA INTEGRADA
Figura 58 
Solução:
Figura 59 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao carrinho, representado na figura anterior. 
Analisando as forças atuantes na carriola, e estudando as condições de equilíbrio:
M
F P
F
F
F
P
P
P
P
0 0
12 0 4 0
12 1500 0 4 0
12 600 0
12 600

   
   
  
 

, ,
, ,
,
,  F NP 500
60
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Unidade I
F
F P N
N
N N
y
P

  
  


0
0
500 1500 0
1000
4.2 Atrito sólido
Os efeitos da força de atrito são fundamentais para a compreensão de algumas situações no dia a 
dia. Atuando sozinha, essa força faria com que uma roda gigante parasse, de fato, pararia qualquer eixo 
giratório.
Por outro lado, se o atrito estivesse totalmente ausente, não seria possível andar a pé ou de bicicleta. 
Não haveria a possibilidade de segurar um lápis e, mesmo que fosse possível, não existiria a possibilidade 
de escrever. A água exerce uma força de atrito para o nadador. A atmosfera retarda o movimento de um 
avião.Existe a força de atrito exercida sobre os pneus dos carros pelo asfalto das ruas, empurrando-os 
para frente.
Para o início do movimento de um objeto que está apoiado sobre uma superfície, certa resistência é 
sentida. Geralmente, essa resistência diminui assim que o movimento se inicia.
Quando um caixote se encontrar apoiado em uma superfície, sob ação da gravidade (força peso P

), 
comprimindo-o contra a superfície que o apoia, a superfície irá reagir com uma força igual em módulo, 
mas em sentido contrário, denominada força normal (N).
A fim de tentar empurrar o caixote, uma força F

 é aplicada. Se o objeto não entrar em movimento, 
a resultante sobre ele será nula. Portanto, outra força existe de mesma intensidade, mesma direção e 
sentido oposto, sendo denominada força de atrito estático (Fate
� ���
).
Figura 60 
Se a força F

 aplicada for gradativamente aumentada e o caixote ainda continuar em repouso, 
significará que Fate
� ���
 também aumentou proporcionalmente a F

. Quando o bloco iniciar o movimento, 
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7
 FÍSICA INTEGRADA
a resistência estática terá sido vencida. O valor da força de atrito estático Fate
� ���
 para a qual o caixote 
começa a se mover é proporcional ao valor da força normal, sendo essa força Fate
� ���
 a máxima que a 
superfície será capaz de aplicar no objeto, na direção horizontal.
Fat Ne e 
sendo me o coeficiente de atrito estático.
A partir do momento que o caixote entrar em movimento, a resistência diminuirá, permanecendo 
constante durante todo o movimento. Essa resistência é chamada de força de atrito dinâmico FatD
� ���
. O 
valor da força de atrito dinâmico é dado por:
Fat ND D 
Figura 61 
sendo mD o coeficiente de atrito dinâmico.
Os coeficientes adimensionais me e mD dependem da natureza das superfícies em contato, das 
condições de polimento e também da lubrificação entre as superfícies. Ainda, pode-se afirmar que mD é 
menor do que me isto é, no início do movimento, a força de atrito diminui sua intensidade.
As forças de atrito estático e dinâmico e a força normal são forças aplicadas pela superfície 
sobre o objeto. Assim, essas forças são consideradas componentes da força que a superfície aplica 
no caixote.
A força de atrito estático assume valores dentro de um intervalo, variando de zero até seu valor 
máximo (Fatmax = me.N). O me é o coeficiente de atrito estático, o qual depende do material e da rugosidade 
das superfícies em contato. Matematicamente representa-se a variação da força de atrito estático da 
seguinte forma: 0 < Fate < meN.
Já a força de atrito dinâmico é aproximadamente constante e igual a FatD = mD.N, sendo mD o 
coeficiente de atrito dinâmico, que também depende do material e da rugosidade das superfícies 
em contato.
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Unidade I
Para obter mais informações e conceitos sobre o estudo do atrito sólido, leia a introdução teórica do 
experimento nomeado atrito sólido, que se encontra-se no apêndice deste livro-texto. 
 Saiba mais
A força de atrito é a força que se opõe ao movimento, ela é proporcional 
à força de reação normal. Seu coeficiente, chamado de coeficiente de atrito, 
pode ser dinâmico ou estático, e expressa propriedades das superfícies de 
contato. Saiba mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Introdução. 
São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/
atrito/intro/>. Acesso em: 28 dez. 2016.
Exemplo 32
Os blocos a seguir estão conectados por um cabo ideal, passando por uma polia também ideal. 
Uma força F é aplicada no bloco que está por baixo, deixando todo o sistema na iminência de deslizar. 
Sabendo que o coeficiente de atrito entre todas as superfícies vale m = 0,3 e que as massas dos blocos 
são m1 = 6 kg e m2 = 12 kg, determine a força F que coloca o sistema na condição citada.
Figura 62 
Solução:
Figura 63 
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 FÍSICA INTEGRADA
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco 1, representado na figura anterior (A):
F
Fat T
Fat T
x 
 


0
0
1
1
1 ( ) 
F
N P
N P N N
y 
 
  

0
0
60
1 1
1 1 1
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco 2, representado na figura anterior (B):
F
F Fat T Fat
x 
   

0
0 21 2 ( ) 
F
N N P
N N P N
N N
y 
  
    


0
0
60 120
180
2 1 2
2 1 2 2
2
Substituindo Fat1 = mN1 e N1 na equação (1):
Fat T T N
T T N
1 1
0 3 60 18
   
   

,
Substituindo Fat1, T e Fat2 = mN2 na equação (2): 
F Fat T Fat
F N
F
F N
   
    
  

1 2
2
0
18 18 0
36 0 3 180
90

,
Exemplo 33
Um bloco de peso Q = 150 kgf encontra-se sobre um plano inclinado sob a ação da força F, 
inclinada 30º em relação ao plano, conforme figura a seguir. Sabendo que o coeficiente de atrito entre 
todas as superfícies vale m = 0,25, determine o intervalo de valores da força F que mantém o sistema 
em equilíbrio.
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Unidade I
Figura 64 
Solução:
Figura 65 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco, representado na figura anterior:
F
F Fat P
F N
F N
x 
      
    
  
0
30 75 0
0 87 150 0 26 0
0 87 0 25
cos
, ,
, ,

339 0
0 25 0 87 39
0 87 39
0 25
3 48 156 1

    


 
, ,
,
,
, ( )
N F
N
F
N F
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G 
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 FÍSICA INTEGRADA
 
F
N F P
N F
N F
N
y
o o

  
    
   

0
60 15 0
0 5 150 0 97 0
0 5 145 5 0
cos cos
, ,
, ,
   F 0 5 145 5 2, , ( ) 
Substituindo a equação (1) na equação (2):
145 5 0 5 3 48 156
3 98 3015
3015
3 98
75 75
0 7
, , ,
, ,
,
,
,
  

  
 
F F
F
F F kgf
F 55 75, kgf
Exemplo 34
No arranjo a seguir, o bloco A possui massa de 20 kg e o sistema é mantido em equilíbrio pela ação 
do bloco B, conectado ao bloco A por meio de fios e polias ideais. Sabendo que o coeficiente de atrito 
entre o bloco A e a superfície vale m = 0,35, determine a maior massa possível que o bloco B pode ter 
para que o sistema permaneça em equilíbrio. 
Figura 66 
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G 
- 
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m
aç
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Unidade I
Solução:
Figura 67 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (C):
y
B
B
B
F 0
T P 0
T P
T m g (1)
=
− =
=
= ⋅
∑
 
Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (D):
x
o
F 0
Fat Tcos45 0
N 0,71T 0
0,35N 0,71T 0
0,71T
N N 2,03T (2)
0,35
=
− =
m − =
− =
= ⇒ =
∑
 
y
o
F 0
N Tcos45 P 0
N 0,71T 200 0 (3)
=
+ − =
+ − =
∑
Substituindo a equação (2) na equação (3):
2,03T 0,71T 200 0
2,74T 200
T 73 N
+ − =
=
=
Substituindo a força de tração encontrada na equação (1):
B
B B
T m g