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Autores: Prof. Túlio Cearamicoli Vivaldini Prof. Pedro José Gabriel Ferreira Profa. Thais Cavalheri dos Santos Profa. Iara Batista de Lima Colaboradores: Profa. Thais Cavalheri dos Santos Profa. Ana Carolina Bueno Borges Física Integrada EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Professores conteudistas: Thais Cavalheri dos Santos / Iara Batista de Lima / Túlio Cearamicoli Vivaldini / Pedro José Gabriel Ferreira © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) V855f Vivaldini, Túlio Cearamicoli. Física Integrada / Túlio Cearamicoli Vivaldini, et al. – São Paulo: Editora Sol, 2018. 120 p., il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXIV, n. 2-085/18, ISSN 1517-9230. 1. Sistemas de unidades. 2. Leis da física. 3. Estática. I. Ferreira, Pedro José Gabriel. II. Santos, Thais Cavalheri dos. III. Lima, Iara Batista de Lima. IV. Título. CDU 53 Thais Cavalheri dos Santos Bacharela em Física Médica pela Universidade de São Paulo (USP), tem MBA em Gerenciamento de Hospitais e Sistemas de Saúde pela Fundação Getúlio Vargas, mestrado em Ciências no Programa de Física Aplicada em Medicina e Biologia pela USP e doutorado em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela USP, pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen). Coordenadora do curso de licenciatura em Física, coordenadora do curso técnico em Edificações do Pronatec, professora titular do curso de Engenharia e líder das disciplinas de Estática dos Fluidos e Fenômenos de Transporte da Universidade Paulista (UNIP), ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos. Professora adjunta do curso de Engenharia da Universidade São Judas Tadeu (USJT), ministra disciplinas de Mecânica, Oscilações e Eletromagnetismo. Líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias (GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas tecnologias e técnicas de aprendizagem. Tem publicações em revistas e anais de congressos no Brasil e no exterior, premiados em 2015 nos Estados Unidos. Iara Batista de Lima Bacharela em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), mestre e doutora em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela USP, pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen). Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física Nuclear, atuando principalmente em pesquisa com detectores gasosos de radiação, operando em regime de ionização e em regime de multiplicação de cargas e transporte de elétrons em gases. É professora do curso de Engenharia e líder da disciplina Mecânica da Partícula da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos. Túlio Cearamicoli Vivaldini Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), mestre e doutor em Ciências – Tecnologia Nuclear – Aplicações pela Universidade de São Paulo (USP – SP), pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (Ipen). Possui experiência na área de Física, com ênfase em Métodos Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física Nuclear, atuando principalmente com análise de sinais de detectores de gasosos de radiação, operando em regime de ionização e em regime de multiplicação de cargas, e transporte de elétrons em gases. É professor do curso de Engenharia e líder da disciplina Tópicos de Física Geral e Experimental da UNIP, ministrando disciplinas ligadas à Física. Pedro José Gabriel Ferreira Bacharel em Engenharia de Controle e Automação, especialista em Ensino Superior e Mestre em Engenharia de Produção pela UNIP. Trabalhou como engenheiro nas áreas de manutenção, produção, normatização e projetos de novos equipamentos na área de engarrafamento de gás liquefeito do petróleo (GLP). Coordenador de laboratórios dos cursos do Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia (ICET) da UNIP, atuando na montagem e desenvolvimento de tecnologias educacionais. Atualmente coordena o curso de Engenharia da UNIP e atua como professor do no campus Marquês de São Vicente, ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos. Pesquisador do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias (GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas tecnologias, sistemas de controle e automação e técnicas de aprendizagem. Possui publicações em revistas e anais de congressos no Brasil e no Exterior, premiados em 2015 nos Estados Unidos.. EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar Prof. Ivan Daliberto Frugoli Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Aline Ricciardi Giovanna Oliveira EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Sumário Física Integrada APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7 INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7 Unidade I 1 SISTEMAS DE UNIDADES, PROJEÇÕES DE FORÇAS E CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS ........9 1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI) .........................................................................................9 1.2 Sistema CGS de Unidades ................................................................................................................. 11 1.3 Sistema Inglês de Unidades ............................................................................................................. 11 1.4 Projeções de forças e conceitos trigonométricos ................................................................... 12 2 LEIS DE NEWTON E FORÇAS ESPECIAIS .................................................................................................. 15 2.1 Primeira Lei de Newton ..................................................................................................................... 16 2.2 Segunda Lei de Newton ..................................................................................................................... 16 2.3 Terceira Lei de Newton ....................................................................................................................... 16 2.4 Forças especiais e suas propriedades ...........................................................................................17 2.4.1 Força peso .................................................................................................................................................. 17 2.4.2 Força normal ............................................................................................................................................. 18 2.4.3 Força de atrito .......................................................................................................................................... 18 2.4.4 Força de tração ........................................................................................................................................ 19 3 ESTÁTICA DO PONTO ...................................................................................................................................... 20 3.1 Estática do ponto I ............................................................................................................................... 20 3.2 Estática do ponto II ............................................................................................................................. 38 4 ESTÁTICA DO SÓLIDO E ATRITO SÓLIDO ................................................................................................. 45 4.1 Estática do sólido ................................................................................................................................. 45 4.2 Atrito sólido ............................................................................................................................................ 60 Unidade II 5 PITÁGORAS, ARISTÓTELES E ARQUIMEDES ........................................................................................... 75 5.1 Pitágoras .................................................................................................................................................. 75 5.2 Aristóteles ................................................................................................................................................ 77 5.3 Arquimedes ............................................................................................................................................. 79 6 KEPLER E GALILEU GALILEI .......................................................................................................................... 86 6.1 Leis de Kepler ......................................................................................................................................... 86 6.1.1 Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Planetárias ................................................................... 86 6.1.2 Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas Equivalentes ................................................................... 87 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 6.1.3 Terceira Lei de Kepler: Lei dos Períodos Iguais ............................................................................ 88 6.2 Galileu Galilei ......................................................................................................................................... 89 7 ISAAC NEWTON ................................................................................................................................................ 97 7.1 Descobertas de Newton ..................................................................................................................... 97 7.2 Principia .................................................................................................................................................100 7.2.1 As três leis de Newton ........................................................................................................................100 7.2.2 Lei da Gravitação Universal ..............................................................................................................101 8 EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE CALOR E TEMPERATURA ................................................................102 8.1 Termômetros ........................................................................................................................................102 8.2 Calor.........................................................................................................................................................103 8.3 Lei dos Gases ........................................................................................................................................104 7 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 APRESENTAÇÃO Caros alunos, Vivemos em um mundo onde a tecnologia foi desenvolvida com base em descobertas de grandes físicos e matemáticos. No século passado, houve uma explosão de teorias, algumas ainda são objetos de estudo, como: a Teoria da Evolução de Charles Darwin e a Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Diversas situações de nossas vidas têm relação com o estudo da Física. Na Grécia Antiga, o homem já procurava entender o funcionamento e princípio físico das coisas. Atualmente, a Física envolve diversos conceitos, como mecânica, ótica, ondas, eletricidade e física nuclear. A evolução da Física passa por Arquimedes, que descobriu que os corpos flutuam, pois deslocam volume de líquido para os lados. A descoberta de Galileu Galilei, que estabelece que os corpos caem numa mesma velocidade, sem depender de sua massa, e por Newton, definindo as principais leis da mecânica e demonstrando que os corpos se atraem pela ação da força da gravidade. A responsabilidade em estudar e compreender a interação entre dois corpos é de grande importância para o aprendizado em Engenharia e, para isso, faz-se necessário estudá-la a fundo, devendo ser muito bem fundamentadas as Leis Físicas e demais conceitos matemáticos. Temos como objetivo principal preparar o nosso aluno para interpretar e agir nas mais diferentes situações envolvendo a Física. Para estudar, o aluno deve compreender o que foi solicitado. Analise todos os dados necessários, imagine as hipóteses, aplique os conceitos matemáticos necessários a cada situação e utilize os sistemas de unidade apropriados. Apresentaremos todos os conceitos desenvolvidos por estes cientistas renomados de maneira simples e com muitos exemplos, como poderemos ver a seguir. INTRODUÇÃO Os tópicos abordados na disciplina de Física Integrada estão divididos em duas unidades. Iniciaremos apresentando as grandezas físicas, discutindo os Sistemas de Unidades, as principais conversões e trigonometria, habilitando o aluno a iniciar seus estudos na Física. Será apresentado o sistema de projeções de forças, as Leis de Newton, interação entre dois corpos e as forças especiais e suas propriedades. Ainda, são apresentados os conceitos de Estática do Ponto, Estática do Sólido e Força de Atrito. Assim, o aluno poderá fixar os conceitos aprendidos da interação entre dois corpos. 8 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Em seguida, é discutida a evolução dos conceitos da Física, fundamentada por cientistas e filósofos como Pitágoras, Aristóteles, Arquimedes e Kepler. Finalizaremos a fundamentação da evolução dos conceitos da Física apresentando Galileu, as descobertas de Newton, o Principia e a evolução do conceito. Para o bom entendimento do conteúdo, este livro-texto apresenta exemplos resolvidos, testes, exemplos de aplicação e indicação de conteúdos complementares ao estudo do aluno. 9 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Unidade I 1 SISTEMAS DE UNIDADES, PROJEÇÕES DE FORÇASE CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS Uma quantidade física inclui uma dimensão e uma unidade. Nas seções a seguir, serão mostradas as principais unidades segundo o Sistema Internacional (SI) e outros sistemas largamente empregados pela comunidade científica. 1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI) O Sistema Internacional de Unidades (SI), também conhecido como sistema métrico, foi estabelecido em 1960 na Conferência Geral de Pesos e Medidas (Conférence Générale des Poids et Mesures – CGPM), responsável por definir os padrões de medidas e suas unidades. Esse sistema é utilizado em quase todo o mundo. O SI possui sete unidades básicas independentes. No quadro a seguir, são mostradas as grandezas físicas básicas do SI com suas respectivas unidades. Quadro 1 – Grandezas físicas e unidades básicas do Sistema Internacional Grandeza física Unidade no SI Comprimento metro (m) Massa quilograma (kg) Tempo segundo (s) Temperatura kelvin (K) Quantidade de matéria mol (mol) Corrente elétrica ampere (A) Intensidade luminosa candela (cd) A partir das unidades básicas do SI, é possível definir as unidades secundárias (ou derivadas) das demais grandezas físicas. No quadro a seguir, são mostradas algumas das principais grandezas físicas, com suas respectivas unidades. Quadro 2 – Grandezas físicas, com suas respectivas unidades no sistema internacional Grandeza física Unidade no SI Velocidade m/s Aceleração m/s² 10 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Força kg m/s² = N Energia kg m²/s² = N m Pressão kg/m s² = N/m² Massa específica kg/m³ = N s²/m4 Peso específico kg/m² s² = N/m³ Além disso, o SI possui um método geral para formação de múltiplos e submúltiplos por meio da multiplicação por potências de base dez, que correspondem a prefixos que modificam as unidades básicas e secundárias. Na tabela a seguir, são mostrados esses prefixos, com seus símbolos e nomes. Tabela 1 – Prefixos para as unidades do Sistema Internacional (SI) Símbolo Nome Valor Y Yotta 1024 Z Zetta 1021 E Exa 1018 P Peta 1015 T Tera 1012 G Giga 109 M Mega 106 k Quilo 103 h Hecto 102 da Deca 101 d Deci 10−1 c Centi 10−2 m Mili 10−3 µ Micro 10−6 n Nano 10−9 p Pico 10−12 f Femto 10−15 a Atto 10−18 z Zepto 10−21 y Yocto 10−24 Lembrete É importante notar que o aluno deverá conhecer as unidades fundamentais, assim combinando-as para formar as unidades derivadas. 11 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA 1.2 Sistema CGS de Unidades As unidades básicas do sistema CGS são o centímetro (cm), o grama (g) e o segundo (s). Esse sistema é usualmente utilizado em física atômica e nuclear. No quadro a seguir, são apresentadas algumas grandezas físicas com suas respectivas unidades secundárias no sistema CGS. Quadro 3 – Grandezas físicas com suas unidades secundárias no sistema CGS Grandeza física Unidade CGS Velocidade cm/s Aceleração cm/s² Força dina Energia erg Pressão dina/cm² Massa específica g/cm³ Peso específico dina/cm³ 1.3 Sistema Inglês de Unidades Amplamente utilizado nos Estados Unidos, as unidades de força, comprimento e tempo do Sistema Inglês de Unidades são, respectivamente, libra-força (lbf), pé (ft) e segundo (s). Os fatores de conversão para as unidades no SI são: 1 lbf = 4,448 N 1 ft = 0,3048 m No quadro a seguir, são mostradas algumas grandezas físicas com suas unidades no Sistema Inglês. Nesse sistema, a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de massa é a libra-massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft) e a unidade de tempo é o segundo (s). A relação entre slug e lbm é: 1 slug = 32,2 lbm Quadro 4 – Grandezas físicas, com suas respectivas unidades no sistema inglês Grandeza física Unidade no Sistema Inglês Velocidade ft/s Aceleração ft/s² Força lbf Energia lbf ft Pressão lbf/ft² Massa específica slug/ft3 Peso específico lbf/ft³ 12 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Ainda, fazem parte do Sistema Inglês unidades maiores e menores como, por exemplo, a polegada e a milha. Os engenheiros devem saber trabalhar tanto com unidades no SI quanto com unidades no Sistema Inglês. Esse conhecimento é importante principalmente em projetos que envolvam pessoas de diversas nacionalidades, já que, dependendo do projeto, um equívoco de conversão pode ocasionar uma grande catástrofe. Uma falha de conversão de unidades foi a causa da destruição da sonda Mars Climate Orbiter, lançada em 1999 pela National Aeronautics and Space Administration (Nasa), para estudar o clima de Marte. Enquanto os engenheiros projetistas fizeram alguns cálculos com unidades do Sistema Inglês, a equipe de controle esperava valores com unidades do SI. Saiba mais No cotidiano, é comum dizermos que iremos à farmácia medir nosso peso, o que é um erro conceitual, pois na verdade medimos a nossa massa. Saiba mais em: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Unidades. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/ forcas/unidades/>. Acesso em: 27 dez. 2016. 1.4 Projeções de forças e conceitos trigonométricos Com o objetivo de melhor compreensão e retomada de conceitos trigonométricos, foram elaborados alguns exemplos, desenvolvidos passo a passo para o fácil e didático acompanhamento do aluno. Além disso, utilizando a trigonometria como ferramenta, é possível encontrar as componentes de uma força (grandeza vetorial) que se encontra inclinada em relação ao eixo de coordenadas adotado em cada caso. Exemplo 1 Calcule as medidas dos catetos do triângulo retângulo, sabendo que AB = 20 cm e que a = 30º. B C Aa Figura 1 13 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: cos cos , � � � � � � � � � � � � AB AC AC AC AC cm sen BC AC sen BC o o 30 20 0 87 20 23 30 223 23 30 115BC sen BC cmo� � � � , Exemplo 2 Sabendo que o triângulo a seguir é um triângulo retângulo, calcule a e b. B C Aa b 15 cm 30 cm Figura 2 Solução: tg BC AB tg tg o o o � � � � � � � � � � � � � � � � � � 15 30 0 5 0 5 26 56 180 90 26 5 1 , ( , ) , , 66 90 180 26 56 90 63 44 o o o o o o � � � � � � � � � �, , Exemplo 3 Uma escada de 15 m liga o primeiro andar de uma casa ao segundo andar, conforme representado a seguir. Determine a altura h entre um andar e outro. 30º h Figura 3 . 14 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: o o h sen30 15 h 15 sen30 h 7,5 m = = ⋅ ⇒ = Exemplo 4 Uma casinha do interior, em determinado horário do dia, projeta uma sombra de 5 m. Sabendo que ao lado dessa casa está uma árvore com 2 m de altura que também tem sua sombra projetada e, nesse instante, os raios solares fazem um ângulo de 45º com o solo, calcule a altura do prédio da casa. Figura 4 Solução: Analisando de forma trigonométrica a sombra projetada da árvore, temos: tg S S S mo45 2 1 2 2� � � � � Por meio da semelhança entre os triângulos das sombras projetadas da árvore e da casinha, determina-se a altura h1: 5 2 2 51 1� � � h h m Exemplo 5 Sabendo que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, determine osvalores de x e y. 15 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA A B C E F D 3 y x 9 12 6 Figura 5 Solução: DE AB EF BC DF AC x y x y x e y � � � � � � � � � � 6 3 9 12 2 9 12 4 5 6, Exemplo 6 De acordo com a figura a seguir, determine x. Figura 6 Solução: Em casos envolvendo triângulos quaisquer, utiliza-se a Lei dos Senos com o objetivo de encontrar medidas e ângulos desconhecidos. Logo a seguir, a Lei dos Senos é apresentada como solução do exercício anterior: x sen sen x x o o45 10 75 10 0 97 0 71 7 32� � � � � , , , 2 LEIS DE NEWTON E FORÇAS ESPECIAIS A obra Principia, maior e mais impactante publicação feita por Isaac Newton, apresenta as ferramentas matemáticas necessárias para a análise do movimento enumerando três leis, que são os fundamentos para a análise de qualquer problema em Mecânica. São elas: 16 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I 2.1 Primeira Lei de Newton 1ª Lei de Newton: todo corpo ou objeto tende a se manter em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a menos que haja uma força sobre ele compelindo-o a mudar seu estado. A Primeira Lei de Newton define o conceito de inércia. Todo objeto é dotado de uma determinada quantidade de movimento. Se o objeto estiver em repouso, tenderá a permanecer em repouso. Se estiver em movimento retilíneo e uniforme, permanecerá indefinidamente em movimento retilíneo e uniforme. 2.2 Segunda Lei de Newton 2ª Lei de Newton: a alteração de movimento é proporcional à força aplicada e ocorre na mesma direção, com certa aceleração. ASegunda Lei de Newton complementa a primeira. A fim de alterar a direção ou a velocidade de um objeto, é necessária a aplicação de uma força. A mudança de velocidade é diretamente proporcional à força aplicada. É importante ressaltar que corpos de diferentes massas se comportarão de modos diferentes. Matematicamente a segunda Lei de Newton é expressa por F=m.a , sendo F a força aplicada a um corpo de massa m produzindo uma aceleração a. 2.3 Terceira Lei de Newton 3ª Lei de Newton: para toda ação, existe uma reação igual e contrária. A Terceira Lei de Newton trata como as forças são verificadas na natureza. Como exemplo, para que uma pessoa salte, ela empurra o chão para baixo com uma determinada intensidade. O chão, por outro lado, reage produzindo uma força de mesma intensidade com direção contrária, fazendo com que ela saia do chão. Figura 7 – Ilustração de Terceira Lei de Newton 17 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Saiba mais Newton verificou algumas características das forças de interação entre dois objetos e ilustrou a lei da ação e reação, utilizando como exemplo um cavalo puxando uma pedra. Saiba mais em: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Introdução. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/3a_ lei_de_newton/intro/>. Acesso em: 27 dez. 2016. 2.4 Forças especiais e suas propriedades As forças especiais surgem devido à interação entre dois corpos. Essa interação pode acontecer de duas formas: de contato ou de campo que, nesse caso, independe do contato entre os corpos. Ainda, classificada como força especial, a força de tração corresponde a uma força de reação à força motora. Logo a seguir serão apresentadas e discutidas brevemente algumas forças tratadas como especiais. 2.4.1 Força peso A força peso é a consequência da atração gravitacional exercida pela Terra sobre os objetos. Essa interação entre os corpos Terra e objeto é do tipo interação à distância (de campo), pois o campo gravitacional também age tanto em objetos próximos à superfície terrestre quanto a longas distâncias. A força peso explica o porquê de os objetos caírem sobre a superfície terrestre. Sua direção é vertical com sentido sempre apontado para a superfície do planeta. Matematicamente, a força peso é calculada por: P m g � � sendo g a aceleração da gravidade local e m a massa do objeto. De forma geral, a aceleração da gravidade terrestre é adotada g = 9,8 m/s2. A aceleração da gravidade é uma característica local. Sendo assim, cada planeta possui a sua gravidade particular, ou seja, atrairá os objetos com uma intensidade específica. Figura 8 – Ilustração sobre a força peso 18 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I 2.4.2 Força normal Da mesma forma que a força peso, a força normal geralmente atua na vertical e classifica-se como uma força de contato. Ela é exercida pela superfície sobre o corpo. Tal força, na verdade, sempre se encontra perpendicular (normal) à superfície. Pode-se entender essa força como sendo uma resistência que as superfícies apresentam a fim de evitar que sólidos atravessem uns aos outros. Dessa forma ela pode ser interpretada como sendo a reação perpendicular do plano de apoio sobre a superfície inferior do corpo. n p Figura 9 – Forças atuantes em um carro posicionado em um plano inclinado Observação Em grande parte dos casos, a reação normal é numericamente igual à força peso, entretanto, não se pode adotar isso como regra. Saiba mais Quando um corpo está apoiado sobre uma superfície, surge a reação chamada de reação normal, que é perpendicular ao plano de apoio. Saiba mais em: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Centro de Ensino e Pesquisa Avançada (Cepa). Instituto de Física. Força normal. São Paulo, [s.d.]. Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/universitario/ cap09/cap09_36.htm>. Acesso em: 27 dez. 2016. 2.4.3 Força de atrito A força de atrito só surge devido ao contato entre duas superfícies, de forma a se opor sempre à tendência de deslizamento. A direção da força de atrito é a mesma do movimento e o sentido se opõe à tendência de deslizamento. É importante salientar que nem sempre o deslizamento e o movimento possuem o mesmo sentido. 19 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA O atrito pode se apresentar de duas formas: • Força de atrito estático: só existe na situação de repouso do corpo. Seu módulo varia de acordo com a força aplicada. O seu valor máximo, na situação de iminência de movimento, pode ser calculado por: Fat Ne e� �� sendo me o coeficiente de atrito estático (grandeza adimensional) e N a força normal. • Força de atrito dinâmico (cinético): só existe na situação de movimento do corpo. Seu módulo é praticamente constante e pode ser calculado por: Fat ND D� �� sendo mD o coeficiente de atrito dinâmico ou cinético. A fim de aprender mais a respeito da força de atrito, consulte o título deste livro-texto que trata do atrito sólido, e também o experimento de atrito sólido, localizado no apêndice deste livro-texto. Observação Um erro comum na análise da força especial chamada de atrito é definir o seu sentido como sendo contrário ao movimento do corpo. Esta força é sempre contrária à tendência de deslizamento! 2.4.4 Força de tração A força de tração pode ser considerada como uma força de reação que aparece em fios e cabos submetidos a forças de extensão ou resistência. A direção da força de atrito é sempre a mesma do fio, enquanto que o seu sentido é contrário ao da força exercida na corda. A intensidade da força (módulo) depende da análise das forças para o problema em questão.Figura 10 – Exemplo simples da força de tração 20 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Observação Na Física, adotam-se alguns parâmetros como ideais a fim de simplificar o estudo. No caso das trações, utilizamos o conceito de fios inextensíveis e de massa desprezível com este objetivo. 3 ESTÁTICA DO PONTO 3.1 Estática do ponto I Em um sistema de forças em equilíbrio estático, a força resultante é nula, portanto, a aceleração do sistema também será nula, uma vez que a sua velocidade vetorial permanece nula com o decorrer do tempo. As grandezas físicas são classificadas como grandezas escalares ou vetoriais. As grandezas escalares são caracterizadas e representadas somente por um número e por uma unidade. Por outro lado, as grandezas vetoriais necessitam de um valor numérico (módulo), direção e sentido para serem representadas. Observação Ponto material é um corpo de dimensões desprezíveis, e, sendo assim, de dimensões irrelevantes para descrever sua posição no espaço. A fim de operar com grandezas vetoriais, é necessário utilizar-se de determinadas regras de adição, subtração e multiplicação vetorial. Assim, para que ocorra o equilíbrio estático em um ponto, é necessário que o somatório de todas as forças sobre esse ponto material seja igual a zero (FR �� = 0 ). Representando: F F ou seja F FR i i N Rx Ry �� � 1 0 0 0 , : As projeções da força F no plano cartesiano, em duas diferentes situações, conforme representações gráficas nas figuras a seguir, são mostradas matematicamente: 21 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA F F F F sen x y cos F F F F sen x y cos Figura 11 – Projeção da força F no plano cartesiano Para o melhor entendimento e visualização do equilíbrio estático do ponto, desenvolva o experimento nomeado mesa de forças, o qual se encontra no apêndice deste livro-texto. Logo a seguir estão descritos diversos exemplos para melhor compreensão do conceito de estática do ponto. Observação Quando projetamos forças, podemos utilizar tanto o seno, quanto o cosseno de um ângulo. No caso da projeção utilizando o cosseno, realizamos o produto da intensidade da força pelo cosseno do ângulo da força com o eixo de projeção. Exemplo 7 Um bloco de massa 20 kg está pendurado conforme a figura a seguir (A). Sabendo que o fio é ideal e que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2, determine a tração no fio em kgf. Figura 12 22 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Admite-se o diagrama do corpo livre, representado na figura anterior (B): F F T P T P T m g T N x y AB AB AB AB 0 0 0 20 10 200 Sabendo que 9,8 N equivalem a 1 kgf, portanto: AB 1 kgf 200N T 20,41 kgf 9,8 N ⋅ ⇒ = Exemplo 8 Os blocos A e B possuem massa mA = 500 g e mB = 1000 g, respectivamente, e estão suspensos por um fio ideal, conforme a figura a seguir (C). Determine a intensidade das forças de tração que os suportam em N. Considere g = 10 m/s2. Figura 13 Solução: Força peso do bloco A: P m g P P N A A A A 0 5 10 5, 23 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Força peso do bloco B: P m g P P N B B B A 1 10 10 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (D): F F T P T P T N x y B B 0 0 0 10 1 1 1 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (E): F F T T P T T P T N x y A A 0 0 0 10 5 15 2 1 2 1 2 Exemplo 9 O bloco de peso G = 50 N está em equilíbrio e conectado a dois fios ideais. O fio AB é preso ao ponto B por meio de uma polia também ideal. Determine as trações TAB e TAC em N. Se necessário, admita g = 10 m/s 2. Figura 14 24 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Por meio da figura anterior, é possível realizar a análise dos ângulos: Figura 15 Figura 16 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco G, representado na figura anterior (A): x y F 0 F 0 T G 0 T G T 50 N = = ⇒ − = = ⇒ = ∑ ∑ Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (B): F T T T T T T x AB o AC o AB AC AB A 0 50 55 0 0 64 0 57 0 0 64 cos cos , , , CC AC ABT T 0 57 112 1, , ( ) 25 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA F T T T T T y AC o AB o AC AB 0 35 40 0 0 82 0 77 50 0 2 cos cos , , ( ) Substituindo a equação (1) em (2): AB AB AB AB AB AB (1,12 T ) 0,82 T 0,77 50 0 0,92 T 0,77 T 50 1,69 T 50 T 29,59 N ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⇒ = Substituindo o valor encontrado para TAB na equação (1): AC AB AC AC T 1,12 T T 1,12 29,59 T 33,14 N = ⋅ ⇒ = ⋅ = Exemplo 10 O bloco de peso P = 500 N está apoiado na superfície horizontal lisa. Ele é mantido em equilíbrio com a ajuda da força F = 300 N e do bloco A de peso 500 N. Determine a reação do plano de apoio e o ângulo q. Figura 17 26 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Figura 18 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (B): F F T P T P T N x y A A 0 0 0 500 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco P, representado na figura anterior (C): F F T T F x 0 0 500 300 300 500 0 6 53 1 cos cos cos cos , , 33o F N T sen P N T sen P N sen N y o 0 0 500 53 13 500 400 500 , N N100 Exemplo 11 Os cilindros A e B estão em equilíbrio conforme ilustrado a seguir. O cilindro A possui peso de 120 N e os fios e polias podem ser considerados ideais. Nessas condições, determine o peso do cilindro B e a tração CD. 27 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Figura 19 Solução: Figura 20 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro A, representado na figura anterior (F): F T P T P T N y CE A CE A CE 0 0 120 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro B, representado na figura anterior (G): F T P T P y B B 0 0 1( ) Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H): 28 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/01 /2 01 7 Unidade I F T T T T T x CD o CE o CD CE CD 0 45 30 0 0 71 0 87 0 0 71 12 cos cos , , , 00 0 87 120 0 87 0 71 147 , , , T T NCD CD F T T T T T T T y CD o CE o CD CE 0 45 60 0 0 71 0 5 0 147 0 cos cos , , ,771 120 0 5 104 37 60 164 37 , , ,T T N Substituindo o valor T na equação (1): T P P NB B ( ) ,1 164 37 Exemplo 12 Uma pessoa tenta suspender uma carga A, conforme representado na figura a seguir. Para isso, o sujeito aplica uma força de 150 N em um dos cabos. Sabendo que os fios são ideais e que o sistema está em equilíbrio, determine a massa suspensa e a tração no fio BD. Figura 21 29 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Figura 22 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao corpo A, representado na figura anterior (G): F T P T P T m g y A A A 0 0 1( ) Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H): F F T F T T x o BD o BD BD 0 45 60 0 0 71 0 50 0 150 0 71 0 cos cos , , , ,550 150 0 71 0 50 213T T NBD CD , , F T F T T F T T y BD o o BD 0 30 45 0 0 87 0 71 213 0 87 15 cos cos , , , 00 0 71 185 31 106 5 29181 , , , ,T T N 30 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Substituindo o valor T na equação (1): T m g m m m kg A A A A ( ) , , , 1 29181 10 29181 10 29 18 Exemplo 13 Os blocos A e B permanecem em equilíbrio estático devido à ação de fios e polias ideais, conforme mostrado na figura a seguir. Sabendo-se que o peso do corpo B vale 40 N, determine o peso de A e a tração no fio DE. Figura 23 Solução: Figura 24 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (F): F T P T P y A A 0 0 1 1 1 ( ) 31 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (G): F T P T P T N y B B 0 0 40 2 2 2 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H): F T T T T x DE o DE 0 45 0 0 71 0 2 1 1 cos , ( ) F T T T T T T y DE o DE DE DE DE 0 45 0 0 71 40 0 0 71 40 40 0 71 2cos , , , 56 34, N Substituindo o valor TDE na equação (2): T T T T N DE 0 71 0 2 56 34 0 71 0 40 1 1 1 , ( ) , , Substituindo o valor T1 na equação (1): T P P N A A 1 1 40 = = ( ) 32 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Exemplo 14 O bloco de peso B é sustentado pelos fios e polias ideais, conectados ao bloco A de peso 30 N. Determine a tração no fio DE e o peso do bloco B. Figura 25 Solução: Figura 26 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (F): F T P T P T N y A A 0 0 30 1 1 1 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (G): F T P T P y B B 0 0 1 2 2 ( ) 33 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H) e a análise trigonométrica, representada na figura que segue: Figura 27 tg tg o o 2 15 133 53 1 2 3 0 67 33 8 , , , , , F T T T T x DE DE DE 0 33 8 53 1 0 30 0 83 0 6 24 9 0 6 1 cos , cos , . , , , 4415, N F T sen T sen T T T y DE 0 33 8 53 1 0 30 0 55 415 0 8 16 1 2 2 2 , , , , , ,, , ,5 33 2 49 72 T N Substituindo o valor T2 na equação (1): T P P NB B2 1 49 7 ( ) , Exemplo 15 O bloco A, de peso 20 N, encontra-se apoiado em uma superfície lisa, mantido em equilíbrio com a ajuda de fios e polias ideais, conectados ao bloco B. Conforme ilustrado pela figura que segue, determine a reação normal e o peso do bloco B. 34 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Figura 28 Solução: Figura 29 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (F): F T P T P y B B 0 0 1( ) 35 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (G) e (H): F N P N P N N F P y A A x A 0 45 0 45 20 0 71 14 2 0 4 cos cos , , cos 55 0 45 20 0 71 14 2 T T P N N A cos , , Substituindo o valor T na equação (1): T P P NB B ( ,1) 14 2T P P NB B ( ,1) 14 2 Exemplo 16 Uma esfera é pendurada, por meio de fios considerados ideais, no teto do laboratório de física. Com o intuito de determinar a massa da esfera, foi instalado um dinamômetro em um dos cabos, com leitura de 20 N. De acordo com a ilustração a seguir, determine a massa da esfera em kg e a altura h que a distancia do teto. Figura 30 36 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Figura 31 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera, representado na figura anterior (F): F T P T P T m g y E E E 0 0 1 1 1 1 ( ) Por meio da análise trigonométrica, representada na figura anterior (G), no triângulo retângulo da direita, os ângulos são de 45º. Sendo assim, a altura h, sendo um dos catetos, também valerá 1 m. Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (H): F F T F T T T x o o 0 45 70 0 0 71 0 34 0 0 34 20 0 71 2 2 2 2 cos cos , , , , 20 0 71 0 34 41762 , , ,T N F T F T T F T T y o o 0 20 45 0 0 94 0 71 0 4176 0 2 1 2 1 1 cos cos , , , ,994 20 0 71 53 451 , ,T N 37 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADASubstituindo o valor T1 na equação (1): T m g m m kg E E E 1 1 53 45 10 5 34 ( ) , , Exemplo 17 Um sinal de trânsito tem massa de 15 kg e, em algumas situações, é suspenso por três fios. Considerando os fios ideais, determine as trações em todos os fios. Figura 32 Solução: Figura 33 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao semáforo, representado na figura anterior (F): F T P T P T m g T T N y 0 0 15 10 150 1 1 1 1 1 38 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao nó, representado na figura anterior (G): F T T T T T T x AB o AC o AB AC AB AC 0 45 60 0 0 71 0 5 0 0 71 cos cos , , , 0 5 0 5 0 71 0 70 1 , , , , ( )T T T TAB AC AB AC F T T T T T T T y AB o AC o AB AC AB 0 45 30 0 0 71 0 87 0 7 1 1 cos cos , , , 11 0 87 150 2 TAC , ( ) Substituindo a equação (1) na equação (2): T T T T T T AB AC AB AC AC AC 0 71 0 87 150 2 0 70 1 0 70 0 71 0 , , ( ) , ( ) , , ,, , , , , 87 150 0 5 0 87 150 137 150 150 137 10 T T T T T AC AC AC AC AC 99 5, N Substituindo TAC na equação (1): T T T T N AB AC AB AB 0 70 1 0 70 109 5 76 65 , ( ) , , , 3.2 Estática do ponto II Para que ocorra o equilíbrio estático em um ponto, é necessário que o somatório de todas as forças sobre esse ponto material seja igual a zero. ( FR = 0 ). Representando matematicamente: F FR i i N 1 0, ou seja: F F Rx Ry 0 0 39 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Em adição ao que foi discutido anteriormente, caso o ponto material esteja apoiado sobre uma superfície, as forças de reação normal deverão ser levadas em conta na condição descrita matematicamente, para que o equilíbrio do ponto material seja atingido. Para melhor compreensão, logo a seguir, incluímos diversos exercícios com suas respectivas soluções passo a passo. Exemplo 18 Uma esfera de peso P = 70 kg encontra-se suspensa por um fio e encostada em uma parede lisa conforme a figura. Determine o valor da força normal N em relação à parede. Figura 34 Solução: Figura 35 40 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera, representado na figura anterior: F T N T N N T x o 0 60 0 0 5 0 0 5 1 cos , , ( ) F T P T P T P T N y o o o 0 30 0 30 30 70 0 87 80 46 cos cos cos , , Substituindo T na equação (1): N T N N N 0 5 1 80 46 0 5 40 23 , ( ) , , , Exemplo 19 Um bloco de massa 80 kg está apoiado no plano inclinado, ilustrado a seguir, e em equilíbrio devido à ação de um fio, que está conectado ao bloco de massa M. Sabendo que a superfície de contato é lisa, determine a reação normal e a massa do bloco. Figura 36 41 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Figura 37 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco M, representado na figura anterior (F): F T P T P T M g y M M 0 0 1( ) Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado nas figuras (G) e (H): F T P N T m g N T y o o 0 60 45 0 0 5 0 71 0 0 5 80 10 0 cos cos , , , ,771 0 0 5 568 0 2 N T N, ( ) F T P T T T x o o 0 30 45 0 0 87 800 0 71 0 0 87 568 568 0 cos cos , , , ,887 652 87 T N, 42 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Substituindo T na equação (2): T N N N N N 0 5 568 0 2 652 87 0 5 568 0 326 43 568 0 24156 , ( ) , , , , Substituindo T na equação (1): T M g M M kg ( ) , , 1 652 87 10 65 29 Exemplo 20 Duas esferas foram colocadas dentro de um reservatório de paredes lisas. Sabendo que o sistema permanece em equilíbrio estático, determine a reação do fundo do reservatório, a reação entre as esferas e as reações nas paredes verticais. Dado: peso de cada esfera igual a 60 N. Figura 38 43 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Figura 39 Considere a análise trigonométrica referente à reação normal N3, representada na figura anterior (F): cos cos R R o 2 1 2 60 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera 1, representado na figura anterior (G): F N N N N N N x o o 0 60 0 60 0 5 1 4 3 4 3 4 3 cos cos , ( ) F N P N P N N N y o 0 30 0 0 87 60 0 87 68 96 3 1 3 1 3 3 cos , , , 44 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Admite-se o diagrama do corpo livre referente à esfera 2, representado na figura (H): F N N N N x o 0 60 0 0 5 2 3 2 2 3 cos , ( ) F N N P N N N N y o 0 30 0 68 96 0 87 60 0 60 60 120 1 3 2 1 1 1 cos , , Substituindo N3 na equação (1): 4 3 4 4 N N 0,5 (1) N 68,96 0,5 N 34,48 N = ⋅ = ⋅ ⇒ = Substituindo N3 na equação (2): N N N N N 2 3 2 2 0 5 2 68 96 0 5 34 48 , ( ) , , , Exemplo 21 Na figura a seguir, um cilindro de peso 120 N é apoiado entre dois planos perpendiculares. Sabendo que q1 = 35 o, determine as reações dos planos. Figura 40 45 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Figura 41 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao cilindro, representado na figura anterior (F) e ainda considere a análise trigonométrica complementar, representada nas figuras (G) e (H): cos , , 35 0 82 120 98 4 1 1 1 o N P N N N sen N P N N N o35 0 57 120 68 4 2 2 2 , , 4 ESTÁTICA DO SÓLIDO E ATRITO SÓLIDO 4.1 Estática do sólido No nosso cotidiano, tudo que está em repouso, de acordo com o nosso referencial padrão, está em equilíbrio estático. Se alguma força, suficientemente intensa, agir sobre esses corpos, de modo que a força resultante final seja diferente de zero, o objeto entrará em movimento.Considere um corpo extenso, cujas dimensões não possam ser desconsideradas nos cálculos, suspenso em equilíbrio. Para que exista esse equilíbrio, é necessário que a linha de ação da força que o mantém suspenso passe pelo seu centro de gravidade (baricentro). Caso o corpo seja suspenso por um ponto fora do seu baricentro, ele não mais manterá o seu equilíbrio na horizontal. Sendo assim, para reequilibrá-lo, outras forças externas serão aplicadas e estudadas. Como exemplos de equilíbrio estático de corpos rígidos, citam-se: 46 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Grua utilizada na construção civil A grua é um equipamento que permite elevar e movimentar cargas, contêineres e materiais pesados de forma geral. A carga suspensa pela grua é suportada por um contrapeso, posicionado e mantido fixo na parte horizontal da estrutura da grua, de tal forma que o baricentro do sistema se localize na vertical ao longo da estrutura vertical da grua. O contrapeso é fundamental para manter o corpo rígido em equilíbrio estático. Equilíbrio do corpo humano Admita um sistema de forças distribuídas ao longo do braço, antebraço e mão de uma pessoa. O antebraço é considerado o corpo extenso, podendo ser comparado a uma alavanca. As forças aplicadas possuem como polo a articulação do cotovelo. Um corpo rígido é dito em equilíbrio estático caso não se mova de nenhuma forma – nem em translação e nem em rotação, no sistema de referências em que o corpo está sendo estudado. O movimento de translação ocorre quando uma força não balanceada é aplicada em um corpo, enquanto que o movimento de rotação é produzido devido ao momento de uma força não balanceada aplicada no corpo. Portanto, para que um corpo rígido atinja o equilíbrio estático, duas condições devem ser satisfeitas: a soma de todas as forças atuantes no corpo (força resultante FR �� ) deve ser igual a zero e, também, o somatório de todos os momentos de cada força em relação a um polo qualquer (momento resultante MR � �� ) deve ser nulo. Matematicamente escreve-se: F F e M MR i N R i N�� � � �� ��� 1 1 1 1 0 0 Observação Esse caso é abordado com mais detalhes no exemplo 29, a seguir, em que estudamos o caso da gangorra. Para obter mais informações e conceitos sobre o estudo de estática dos sólidos, leia a introdução teórica do experimento nomeado equilíbrio estático de uma barra, que se encontra no apêndice deste livro-texto. 47 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Lembrete Um erro comum é cometido por muitas pessoas quando dizem que irão medir o peso de seu corpo quando vão à farmácia. Na realidade, a balança mede a massa, por isso utiliza a unidade kg. Observação O centro de massa de um corpo nem sempre está localizado dentro do corpo rígido. Exemplo 22 Uma pessoa aplica uma força de 90 kgf em uma chave de roda, conforme ilustrado a seguir. Determine o torque aplicado ao parafuso. Caso a chave esteja paralela ao chão, qual será o novo torque? Figura 42 Solução: Admite-se a situação 1 quando a chave estiver paralela ao chão, ou seja, braço de atuação da força igual a 25 cm; e a situação 2 com a chave oblíqua em relação ao chão – braço de atuação da força de 40 cm, conforme representado na figura anterior. 1 1 1 Situação 1 M F d M 90 0,25 M 22,5 Nm = ⋅ = ⋅ = Situa o 2çã M F d M M Nm 2 2 2 90 0 4 36 , 48 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Exemplo 23 Uma barra homogênea de massa 18 kg está fixa e articulada à parede no ponto A e, mantida em equilíbrio pela ação do cabo BD e da massa m = 4 kg. Determine a tração no fio BD e as componentes horizontal e vertical da reação em A. Figura 43 Solução: Analisando as forças atuantes no bloco que se encontra pendurado, representado na figura anterior: F T P T P T mg T T N y 0 0 4 10 40 Figura 44 49 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra, representado na figura anterior (F) e, de acordo com as figuras (G) e (H), realiza-se a análise trigonométrica: Diagrama G sen b b m b m o T T P ( ) , , 55 3 2 46 123 Diagrama H sen b b mo TBD TBD ( ) ,55 2 164 Analisando as forças atuantes na barra, representadas na figura (F) e analisando as condições de equilíbrio: F Hx A 0 0 F V T P T V T P T y A BD A BD 0 0 1( ) M T b P b T B T T A T P BD TBD BD BD 0 0 40 2 46 180 123 164 164 , , , , 319 8 319 8 164 195, , , T T NBD BD Substituindo TBD = 195 N na equação (1): V T P T V V N A BD A A ( )1 40 180 195 25 Exemplo 24 Uma barra de peso desprezível sustenta os blocos de massa m1 = 100 kg e m2 = 20 kg. Determine a distância x para que o sistema permaneça em equilíbrio. Figura 45 50 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Figura 46 Admitem-se os diagramas do corpo livre referentes aos blocos M1 e M2, de acordo com as figuras (F) e (G): Bloco M F N P N P N N y 1 1 1 1 1 1 0 0 1000 : Bloco M F N P N P N N y 2 2 2 2 2 2 0 0 200 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra, de acordo com a figura (H). Analisando as condições de equilíbrio: M N N x x x x m cm A 0 0 5 0 200 0 5 1000 0 1000 100 0 1 10 2 1, , , 51 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Exemplo 25 No laboratório da Universidade Paulista, os professores de Física utilizam o aparato a seguir e, a fim de estudar o equilíbrio estático de um sólido, massas são alocadas em uma escala graduada para atingir o equilíbrio. Determine o valor da massa m. Considere que a distância entre os orifícios da barra vale 0,091 L. Figura 47 Solução: Considerando o pino como a localização do polo (O) da barra e analisando as condições de equilíbrio: M L L m A 0 80 10 1000 0 455 60 10 1000 0 182 10 10 , , 000 0 455 0 0 364 0 1092 0 00455 56 , , , , L m m g Exemplo 26 Uma porta de alçapão, com peso de 80 kgf, é apoiada no ponto C, conforme representado na figura a seguir. Essa porta é articulada no ponto B, sendo acionada por meio de uma força aplicada em um fio ideal, que passa por uma polia, também ideal. Determine a força que permitirá o início da abertura do alçapão e os componentes horizontal e vertical da reação na articulação B. 52 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Figura 48 Solução:Figura 49 Admitem-se os diagramas do corpo livre referente à porta do alçapão de acordo com a figura anterior. Analisando as condições de equilíbrio: F H F H F x B o B 0 60 0 5 1 cos , ( ) F V P Fco V F y B o B 0 30 0 80 0 87 0 2, ( ) M P F F F F N B o 0 15 30 3 0 80 15 2 6 120 2 6 46 15 , cos , , , , Substituindo F = 46,15 N nas equações (1) e (2): B B H 46,15 0,5 H 23,08 N = ⋅ = V V N B B 80 46 15 0 87 0 39 85 , , , 53 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Exemplo 27 Uma barra prismática AB de peso próprio 60 kgf encontra-se em equilíbrio estático devido à ação da articulação A e do fio ideal conectado à carga Q, por meio da polia também ideal. Determine as componentes horizontal e vertical da reação em A e a carga Q. Figura 50 Solução: Analisando as forças atuantes no bloco que se encontra pendurado, representado na figura anterior: F T P T P y Q Q 0 0 1( ) Figura 51 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra AB, representado na figura anterior. Analisando as condições de equilíbrio: F T H H T x o A A 0 45 0 0 71 2 cos , ( ) 54 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I F V P T V T y A o A 0 45 0 60 0 71 3 cos , ( ) M T T T T T kgf A o 0 3 45 6 0 60 3 0 71 6 0 180 4 26 0 42 25 cos , , , Substituindo T = 42,25 kgf nas equações (1), (2) e (3): T P P kgf Q Q = = ( ) , 1 42 25 H T H H kgf A A A 0 71 2 0 71 42 25 30 , ( ) , , V T V V kgf A A A 60 0 71 3 60 0 71 42 25 30 , ( ) , , Exemplo 28 Uma barra homogênea, de massa 10 kg, é mantida em equilíbrio pela articulação C e pelo fio ideal AB. Determine a tração no cabo e as componentes horizontal e vertical da reação em C, sabendo que a carga P tem massa de 40 kg. Figura 52 55 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Analisando as forças atuantes no bloco P que se encontra pendurado, representado na figura anterior: F T P T P T N y P P 0 0 400 Figura 53 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra CD, representado na figura anterior (F) e, de acordo com as figuras (G) e (H), realiza-se a análise trigonométrica: Diagrama G b b m b m o T T p cos , , , 30 0 5 0 43 0 21 Diagrama H sen b b mo T AB T AB ( ) , ,30 0 4 0 20 56 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Analisando as forças atuantes na barra, representadas na figura (F) e analisando as condições de equilíbrio: F H T H T x C AB C AB 0 0 1( ) F V P T V V N y C C C 0 0 100 400 0 500 M P b T b T B T C P T AB T AB AB 0 0 100 0 21 400 0 43 0 20 21 172 , , , 00 20 965, T T NAB AB Substituindo TAB = 965 N na equação (1): H T H N C AB C = = ( )1 965 Exemplo 29 Duas crianças brincam de se equilibrar em uma gangorra. Sabe-se que quando se posicionam em pontos específicos, como mostrado na figura, o sistema mantém-se em equilíbrio. Sabendo que a gangorra tem distribuição de massa homogênea, determine a massa da criança que está posicionada a 1,5 m do eixo de rotação (A), sabendo que o peso da criança posicionada a 0,75 m do eixo de rotação é igual a 250 kgf. Figura 54 57 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Solução: Figura 55 Admite-se o diagrama do corpo livre referente à barra CB, representado na figura anterior. Analisando as forças atuantes na barra, e estudando as condições de equilíbrio: M P P P P P N A B C C C C 0 0 75 15 0 250 0 75 15 0 187 5 15 125 , , , , , , Substituindo PC = 125 N na equação PC=mC.g: P m g m m N C C C C 125 10 12 5, Exemplo 30 Uma barra homogênea, de peso 180 kgf, possui comprimento de 2,5 m e é mantida em equilíbrio estático, articulada no ponto B. Sabendo que sobre ela é aplicada uma carga Q de 270 kgf, determine as componentes da tração no fio (DE) e as componentes horizontal e vertical da reação B. Figura 56 58 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Figura 57 Analisando as forças atuantes na barra DE, representadas na figura anterior e analisando as condições de equilíbrio: M T P Q T T B y y y 0 2 5 125 0 6 0 2 5 180 125 270 0 6 0 2 5 , , , , , , , 2225 162 0 2 5 387 154 8 T T kgfy y, , tg T T EB DB T T T T kgf y x y x x x 3 2 5 154 8 3 2 5 129 , , , F T H T H H kgf x x B x B B 0 0 129 F V P Q T V P Q T V V kgf y B y B y B B 0 0 180 270 154 8 295 2 , , Exemplo 31 Um pedreiro fica parado com um carrinho de mão de massa total m = 150 kg, conforme figura a seguir. Determine a força exercida pelo carregador e o valor da reação normal na roda do carrinho. 59 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Figura 58 Solução: Figura 59 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao carrinho, representado na figura anterior. Analisando as forças atuantes na carriola, e estudando as condições de equilíbrio: M F P F F F P P P P 0 0 12 0 4 0 12 1500 0 4 0 12 600 0 12 600 , , , , , , F NP 500 60 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I F F P N N N N y P 0 0 500 1500 0 1000 4.2 Atrito sólido Os efeitos da força de atrito são fundamentais para a compreensão de algumas situações no dia a dia. Atuando sozinha, essa força faria com que uma roda gigante parasse, de fato, pararia qualquer eixo giratório. Por outro lado, se o atrito estivesse totalmente ausente, não seria possível andar a pé ou de bicicleta. Não haveria a possibilidade de segurar um lápis e, mesmo que fosse possível, não existiria a possibilidade de escrever. A água exerce uma força de atrito para o nadador. A atmosfera retarda o movimento de um avião.Existe a força de atrito exercida sobre os pneus dos carros pelo asfalto das ruas, empurrando-os para frente. Para o início do movimento de um objeto que está apoiado sobre uma superfície, certa resistência é sentida. Geralmente, essa resistência diminui assim que o movimento se inicia. Quando um caixote se encontrar apoiado em uma superfície, sob ação da gravidade (força peso P ), comprimindo-o contra a superfície que o apoia, a superfície irá reagir com uma força igual em módulo, mas em sentido contrário, denominada força normal (N). A fim de tentar empurrar o caixote, uma força F é aplicada. Se o objeto não entrar em movimento, a resultante sobre ele será nula. Portanto, outra força existe de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto, sendo denominada força de atrito estático (Fate � ��� ). Figura 60 Se a força F aplicada for gradativamente aumentada e o caixote ainda continuar em repouso, significará que Fate � ��� também aumentou proporcionalmente a F . Quando o bloco iniciar o movimento, 61 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA a resistência estática terá sido vencida. O valor da força de atrito estático Fate � ��� para a qual o caixote começa a se mover é proporcional ao valor da força normal, sendo essa força Fate � ��� a máxima que a superfície será capaz de aplicar no objeto, na direção horizontal. Fat Ne e sendo me o coeficiente de atrito estático. A partir do momento que o caixote entrar em movimento, a resistência diminuirá, permanecendo constante durante todo o movimento. Essa resistência é chamada de força de atrito dinâmico FatD � ��� . O valor da força de atrito dinâmico é dado por: Fat ND D Figura 61 sendo mD o coeficiente de atrito dinâmico. Os coeficientes adimensionais me e mD dependem da natureza das superfícies em contato, das condições de polimento e também da lubrificação entre as superfícies. Ainda, pode-se afirmar que mD é menor do que me isto é, no início do movimento, a força de atrito diminui sua intensidade. As forças de atrito estático e dinâmico e a força normal são forças aplicadas pela superfície sobre o objeto. Assim, essas forças são consideradas componentes da força que a superfície aplica no caixote. A força de atrito estático assume valores dentro de um intervalo, variando de zero até seu valor máximo (Fatmax = me.N). O me é o coeficiente de atrito estático, o qual depende do material e da rugosidade das superfícies em contato. Matematicamente representa-se a variação da força de atrito estático da seguinte forma: 0 < Fate < meN. Já a força de atrito dinâmico é aproximadamente constante e igual a FatD = mD.N, sendo mD o coeficiente de atrito dinâmico, que também depende do material e da rugosidade das superfícies em contato. 62 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Para obter mais informações e conceitos sobre o estudo do atrito sólido, leia a introdução teórica do experimento nomeado atrito sólido, que se encontra-se no apêndice deste livro-texto. Saiba mais A força de atrito é a força que se opõe ao movimento, ela é proporcional à força de reação normal. Seu coeficiente, chamado de coeficiente de atrito, pode ser dinâmico ou estático, e expressa propriedades das superfícies de contato. Saiba mais em: UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Introdução. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/ atrito/intro/>. Acesso em: 28 dez. 2016. Exemplo 32 Os blocos a seguir estão conectados por um cabo ideal, passando por uma polia também ideal. Uma força F é aplicada no bloco que está por baixo, deixando todo o sistema na iminência de deslizar. Sabendo que o coeficiente de atrito entre todas as superfícies vale m = 0,3 e que as massas dos blocos são m1 = 6 kg e m2 = 12 kg, determine a força F que coloca o sistema na condição citada. Figura 62 Solução: Figura 63 63 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco 1, representado na figura anterior (A): F Fat T Fat T x 0 0 1 1 1 ( ) F N P N P N N y 0 0 60 1 1 1 1 1 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco 2, representado na figura anterior (B): F F Fat T Fat x 0 0 21 2 ( ) F N N P N N P N N N y 0 0 60 120 180 2 1 2 2 1 2 2 2 Substituindo Fat1 = mN1 e N1 na equação (1): Fat T T N T T N 1 1 0 3 60 18 , Substituindo Fat1, T e Fat2 = mN2 na equação (2): F Fat T Fat F N F F N 1 2 2 0 18 18 0 36 0 3 180 90 , Exemplo 33 Um bloco de peso Q = 150 kgf encontra-se sobre um plano inclinado sob a ação da força F, inclinada 30º em relação ao plano, conforme figura a seguir. Sabendo que o coeficiente de atrito entre todas as superfícies vale m = 0,25, determine o intervalo de valores da força F que mantém o sistema em equilíbrio. 64 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Figura 64 Solução: Figura 65 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco, representado na figura anterior: F F Fat P F N F N x 0 30 75 0 0 87 150 0 26 0 0 87 0 25 cos , , , , 339 0 0 25 0 87 39 0 87 39 0 25 3 48 156 1 , , , , , ( ) N F N F N F 65 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 FÍSICA INTEGRADA F N F P N F N F N y o o 0 60 15 0 0 5 150 0 97 0 0 5 145 5 0 cos cos , , , , F 0 5 145 5 2, , ( ) Substituindo a equação (1) na equação (2): 145 5 0 5 3 48 156 3 98 3015 3015 3 98 75 75 0 7 , , , , , , , , F F F F F kgf F 55 75, kgf Exemplo 34 No arranjo a seguir, o bloco A possui massa de 20 kg e o sistema é mantido em equilíbrio pela ação do bloco B, conectado ao bloco A por meio de fios e polias ideais. Sabendo que o coeficiente de atrito entre o bloco A e a superfície vale m = 0,35, determine a maior massa possível que o bloco B pode ter para que o sistema permaneça em equilíbrio. Figura 66 66 EN G - Re vi sã o: A lin e - Di ag ra m aç ão : F ab io - 2 4/ 01 /2 01 7 Unidade I Solução: Figura 67 Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco B, representado na figura anterior (C): y B B B F 0 T P 0 T P T m g (1) = − = = = ⋅ ∑ Admite-se o diagrama do corpo livre referente ao bloco A, representado na figura anterior (D): x o F 0 Fat Tcos45 0 N 0,71T 0 0,35N 0,71T 0 0,71T N N 2,03T (2) 0,35 = − = m − = − = = ⇒ = ∑ y o F 0 N Tcos45 P 0 N 0,71T 200 0 (3) = + − = + − = ∑ Substituindo a equação (2) na equação (3): 2,03T 0,71T 200 0 2,74T 200 T 73 N + − = = = Substituindo a força de tração encontrada na equação (1): B B B T m g