Física Integrada Unidade II

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FÍSICA INTEGRADA
Unidade II
5 PITÁGORAS, ARISTÓTELES E ARQUIMEDES
5.1 Pitágoras
Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego nascido em meados de 570 a.C. na ilha de 
Samos. Ele adquiriu um vasto conhecimento viajando pelo Egito e outras civilizações, acreditando que 
os números seriam suficientes para descrever a natureza por completo.
Figura 74 – Pitágoras
Sobre a vida de Pitágoras, existe pouca informação e a maior parte dos escritos sobre sua vida foi 
elaborada após a sua morte. Como principais estudos, Pitágoras desenvolveu o problema do monocórdio, 
verificando que diferentes notas musicais (oitavas) seriam obtidas ao exercer pressão em posições 
proporcionais da corda. Como curiosidade, há evidências de que o chamado “Teorema de Pitágoras” já 
seria conhecido pelos babilônicos.
Logo a seguir, a figura representa o aparato experimental utilizado por Pitágoras no problema 
do monocórdio.
Figura 75 – Desenho esquemático do aparato experimental representando o Problema do Monocórdio
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Unidade II
Conforme a figura, devido a um peso, a corda é mantida tensionada. Pitágoras observou os 
efeitos no som emitido ao se aplicar pressão em diferentes posições proporcionais da corda. 
Usando o mesmo peso e variando o comprimento da corda, ele constatou que os pares de 
harmônicos eram obtidos quando os comprimentos da corda eram mantidos em relações 
numéricas simples.
A frequência f dos harmônicos em uma corda tensionada com as duas extremidades fixas é 
dada por:
 
n F
f
2L
=
m
sendo L o comprimento da corda, n o número do harmônico, F a força de tração e m a 
densidade linear da corda. A equação apresentada anteriormente também é conhecida como 
equação de Lagrange.
Na figura que segue, estão representados os primeiros cinco modos de vibração em uma corda 
vibrando em frequências de ressonância específicas para cada um dos harmônicos.
Figura 76 – Diagrama esquemático dos cinco primeiros harmônicos em uma corda
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FÍSICA INTEGRADA
 Observação
Algumas formas de visualizar os harmônicos mais facilmente são 
observar o comportamento das cordas vibrantes e das ondas dos 
tubos sonoros.
5.2 Aristóteles
Nascido em 384 a.C. na cidade de Estagira, Aristóteles foi um dos mais influentes filósofos da Grécia 
Antiga. Filho de um médico que cuidava do rei da Macedônia, aos dezessete anos de idade, Aristóteles 
mudou-se para Atenas para estudar na Academia de Platão, onde ficou por vinte anos, até a morte de 
Platão em 348 a.C. Posteriormente, Aristóteles tornou-se o tutor de Alexandre, o Grande, e fundou sua 
própria escola.
Figura 77 – Busto de Aristóteles, cópia romana de uma escultura de Lísipo
Aristóteles escreveu sobre diversos assuntos, como: política, metafísica, ética, linguagem e diversos 
campos da ciência. Seu grande propósito era sistematizar o conhecimento existente e, para tanto, 
realizou observações críticas, coletou espécimes, reuniu e classificou grande parte do conhecimento 
existente. Segundo Aristóteles, a estrutura do conhecimento humano poderia ser entendida de acordo 
com o diagrama apresentado na figura a seguir.
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Unidade II
Ciência
Teoria
Teologia Matemática
Metafísica Aritmética Biologia Política Retórica
Lógica Geometria Botânica Etc. Etc.
Etc. Etc. Química
Etc.
Ética ArteCiência Natural
Prática Produtiva
Figura 78 – Diagrama da estrutura do conhecimento humano segundo Aristóteles
Após a morte de Aristóteles em 322 a.C., seus cadernos de anotações foram preservados próximos 
à sua casa e posteriormente transferidos para a biblioteca de Alexandria. Com relação às contribuições 
de Aristóteles para a Física, vale destacar as relacionadas com a constituição da matéria e a origem do 
movimento dos corpos, detalhadas a seguir.
Constituição da matéria
Aristóteles acreditava que a matéria era formada por diferentes combinações de quatro elementos: 
terra, ar, fogo e água. Além disso, esses elementos poderiam se combinar nas formas: quente ou frio, e 
seco ou molhado. Para os gregos, essas concepções pareciam razoáveis para explicar o mundo que os 
cercava, já que a matéria era observada em quatro formas: sólida (composta por terra), gasosa (composta 
por ar), líquida (composta por água) ou na forma de labaredas (composta por fogo).
O movimento segundo Aristóteles
Na Grécia Antiga, os conceitos relacionados com o movimento baseavam-se nas observações 
da natureza. Para Aristóteles, os movimentos dos corpos podiam ser classificados como naturais ou 
violentos. Os movimentos de seres vivos classificavam-se como naturais. Além desses, os movimentos 
de corpos terrestres inanimados eram retilíneos, ascendentes ou descendentes, e também podiam ser 
entendidos como naturais. Por exemplo, uma pedra liberada de certa altura possuía um movimento 
naturalmente descendente e a explicação de Aristóteles baseava-se em seu postulado de que:
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FÍSICA INTEGRADA
Os elementos tendem a se mover em direção aos seus lugares naturais.
Dessa forma, a pedra se move para baixo, pois este é o seu lugar natural – do mesmo modo 
como bolhas de ar na água movem-se para cima, em direção ao seu lugar natural. Quando os 
movimentos observados diferiam do descrito anteriormente, como por exemplo, uma pedra 
lançada na horizontal, como o movimento é contrário à natureza do corpo, esse movimento podia 
ser classificado como violento.
Já o movimento de corpos celestes podia ser entendido, segundo Aristóteles, a partir da existência 
de um quinto elemento; o éter. Para Aristóteles, todos os corpos celestes moviam-se em torno da Terra 
em círculos e eram compostos por éter, cujo movimento natural seria circular.
Além disso, vale destacar o conceito de força motriz empregado por Aristóteles. Para ele, os movimentos 
podiam ser entendidos a partir de um balanço entre força e resistência. Ou seja, para haver movimento, a 
força motriz deveria ser maior do que a resistência a esse movimento. Aristóteles argumentava que a força 
(peso) atuando no corpo em queda livre produziria uma velocidade constante. Isso implicaria que outro 
corpo de mesmo tamanho, porém, com o dobro de peso, produziria o dobro de velocidade.
A concepção de que corpos mais pesados cairiam mais rapidamente do que corpos mais leves foi 
aceita por aproximadamente dois mil anos, até que, no início do século XVI, o cientista italiano Galileu 
Galilei demonstrou que todos os corpos em queda livre, independentemente de seus pesos e excluindo 
os efeitos da resistência do ar, chegam juntos ao solo.
5.3 Arquimedes
Arquimedes viveu na Grécia no século III a.C. e, durante um dos seus banhos, constatou que um 
corpo imerso na água torna-se “mais leve” devido a certa força, vertical para cima, exercida pelo líquido 
sobre o corpo, a qual “alivia” o peso do corpo. Essa força à qual Arquimedes se referia é denominada 
empuxo (E

). Em vista disso, o Princípio de Arquimedes enuncia:
Todo corpo mergulhado em um fluido sofre, por parte deste, uma força vertical para cima, 
cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
Seja ∀f o volume do fluido deslocado pelo corpo. Portanto, a massa do fluido deslocado (mf) será, 
lembrando que rf éa massa específica do fluido:
f
f f f
f
m
m fr = ⇒ = r ⋅∀
∀
Segundo o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso dessa massa de fluido deslocada:
E = mf . g ⇒ E = rf . ∀f . g
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Unidade II
Peso real e peso aparente
Considera-se um experimento: uma esfera de alumínio (d = 2,7 g/cm3), maciça, imersa no ar, 
pendurada em um dinamômetro que indica um valor P para o peso da esfera (figura a seguir (a)). Em 
seguida, a esfera é imersa em um líquido, por exemplo, água. Seja Pa a nova indicação do dinamômetro 
para o peso da esfera – (figura a seguir (b)).
Figura 79 – (a) Objeto imerso no ar; (b) objeto imerso em água
O peso P, quando a esfera encontrar-se imersa no ar, é chamado de peso real, enquanto que o peso 
Pa, quando o objeto encontrar-se imerso em água, receberá o nome de peso aparente. A diferença entre 
o peso real e o peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo líquido:
P > Pa ⇒ E = Preal -Paparente ⇒ E =P - Pa
 Observação
A massa específica de um fluido pode ser alterada pelas condições de 
temperatura e pressão onde este está acondicionada.
Roldanas ou polias
Durante toda a história da humanidade, o homem buscou métodos e ferramentas que facilitassem 
sua vida. Uma das máquinas desenvolvidas com essa finalidade foi a roldana, também chamada de 
polia. Esse dispositivo é considerado um dos mais antigos criados pelo homem para diminuir o esforço 
necessário na aplicação de uma força. Na História, foi relatado que Arquimedes foi inventor e usuário 
desse instrumento, com o propósito de deslocar grandes pesos exercendo pequenas forças.
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A fim de demonstrar o princípio de funcionamento das roldanas, Arquimedes propôs um experimento: 
conectou a um navio da frota real grega várias polias associadas (figura a seguir) com o objetivo de 
tirá-lo da água e convidou o rei Hieron para puxar a extremidade livre da corda. Sem grandes esforços, 
o rei conseguiu sozinho arrastar o navio das águas até a areia. Essa experiência contribuiu para que a 
admiração do rei por Arquimedes aumentasse ainda mais.
Figura 80 – Ilustração do rei Hieron utilizando o sistema de polias
As polias podem ser fixas ou móveis. As fixas têm seu eixo preso a um suporte rígido e o seu movimento 
é apenas de rotação com as forças, tanto a motora (aplicada pelo homem) quanto a força resistente, 
agindo nas extremidades da corda. Já as polias móveis têm seu eixo livre, permitindo movimentos de 
rotação e translação. Para esse tipo de polia, a força resistente é aplicada no eixo da polia, já a força 
motora age no ponto extremo livre da corda (veja os exemplos 39, 40 e 41 a seguir). 
Para explicitar, é importante definir os tipos de forças:
• Força motora: força aplicada ao dispositivo, à máquina.
• Força resistente: força a ser vencida pela força motora.
 Lembrete
Um jeito engenhoso e simples de mover cargas pesadas é utilizar 
polias. Esse sistema foi desenvolvido pelo homem para facilitar o dia a dia, 
desprendendo-se pouca energia.
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Lei das Alavancas
Ainda como contribuição importante para a ciência, Arquimedes estudou o que se chama 
de Lei das Alavancas. A Lei das Alavancas mostra que um pequeno peso pode equilibrar um 
grande peso, desde que ele esteja bem mais afastado do polo que o peso maior. Assim, de forma 
matemática e geral, define-se que uma força motora (exercida pelo operador) F1 aplicada à 
distância d1 do polo é equilibrada pela força resistente (alavanca aplicada na carga) F2 atuando 
à distância d2 do outro lado do polo quando (para melhor compreensão, estude o exemplo 42 
a seguir).
1 2
2 1
F d
F d
=
Alguns exemplos comuns de alavancas vividas e usadas no nosso dia a dia: carrinho de mão, abridor 
de garrafas, chave inglesa, manivela, entre outros.
 Lembrete
O efeito das forças aplicadas em um corpo sólido dependerá da 
intensidade, da direção, do sentido e do ponto de aplicação de uma força.
Exemplo 38
O recipiente a seguir é preenchido com um fluido de massa específica r = 7 kg/m3. No fundo dele, 
uma esfera de massa 4 kg e volume 0,8 m3 é presa por um fio de aço e permanece totalmente submersa. 
Determine a tração no fio, sabendo que a gravidade local vale 10 m/s2. 
Figura 81 
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Solução:
Admite-se o digrama do corpo livre referente à esfera, representado na figura anterior (B):
E T P 0
T E P
T g m g
T 7 10 0,8 4 10 T 16 N
− − =
= −
= r⋅ ⋅∀ − ⋅
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒ =
Exemplo 39
O arranjo das roldanas é preso ao teto, com o objetivo de suspender uma massa de 30 kg. Sabendo que 
os fios são inextensíveis, as massas das roldanas e fios desprezíveis e desprezando os atritos, determine 
o valor da força F necessária para equilibrar o sistema.
Figura 82 
Solução:
Considere o digrama de forças representado na figura anterior (B):
T P
F e T P F
4 4
= = ⇒ =
P m g
F
4 4
30 10
F F 75 N
4
⋅
= =
⋅
= ⇒ =
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Exemplo 40
O peso de 1000 N é sustentado devido à ação da força F, por meio de fios e polias ideais. Para que o 
sistema se mantenha em equilíbrio, qual deverá ser o valor da força F?
Figura 83 
Solução:
Considere o digrama de forças representado na figura anterior (B):
T
F e T 1000 N
2
1000
F F 500 N
2
= =
= ⇒ =
Exemplo 41
Um sistema de polias é utilizado para manter em equilíbrio dois cilindros, sabendo que o cilindro D tem 
peso igual a 600 N e que os fios e polias podem ser considerados ideais, determine o peso do cilindro B.
Figura 84 
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Solução:
Considere o diagrama de forças representado na figura anterior (F):
1 D 1
1
2 2
2 B B
T P T 600 N
T 600
T T 150 N
4 4
T P P 150 N
= ⇒ =
= ⇒ = =
= ⇒ =
Exemplo 42
Logo a seguir é representada uma alavanca de Arquimedes em que são aplicadas as forças F1 e F2. 
Com base na tabela, determine os parâmetros x, y e z. 
Figura 85 
Tabela 2 
F1 (N) d1 (m) F2 (N) d2 (m)
60 0,8 y 0,2
x 0,4 40 1,6
400 z 100 0,5
Solução:
F d F d
y
y
y N
1 1 2 2
60 0 8 0 2
60 0 8
0 2
240
  
  



, ,
,
,
 
F d F d
x
x
x N
1 1 2 2
0 4 40 16
40 16
0 4
160
  
  



, ,
,
,
 
F d F d
z
z
z N
1 1 2 2
400 100 0 5
100 0 5
400
0 125
  
  



,
,
,
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6 KEPLER E GALILEU GALILEI
6.1 Leis de Kepler
O movimento dos planetas, que aparenta ser desordenado quando visto em relação ao fundo das 
estrelas, tem sido um enigma desde os primórdios da História.
Dentre os modelos planetários, no Sistema Geocêntrico, aceito até o final do século XV, a Terra 
ocupava o centro do universo e todos os outros astros giravam em torno dela. Os principais defensores 
desse sistema foram Aristóteles, que viveu no século IV antes deCristo, e Ptolomeu, que viveu no século 
II da Era Cristã e é considerado o mais importante astrônomo da Antiguidade.
Já no Sistema Heliocêntrico, foi proposto que o Sol ocupava o centro do sistema planetário. Aristarco 
(310 a.C. – 230 a.C.) chegou a propor esse modelo planetário na Grécia Antiga, baseado em cálculos que 
mostravam que o Sol era muito maior que a Terra, e que, portanto, deveria ser o corpo central. Nicolau 
Copérnico (1473-1543), em seu artigo publicado pouco antes de sua morte, defendia a ideia de que os 
movimentos dos corpos no céu deveriam ser explicados de um modo simples. Para Copérnico, todos os 
planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do Sol em órbitas circulares.
Galileu Galilei (1564-1642), em sua obra Diálogo sobre Duas Novas Ciências, mostrou que 
todo movimento é relativo, e levantou a questão de que perceber o movimento da Terra, para um 
observador que se move junto com ela, não era possível sem observações exteriores ao sistema. O 
problema não era simplesmente escolher qual corpo ficava imóvel no centro, mas sim explicar as 
trajetórias esquisitas que alguns planetas descreviam.
O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), depois de uma vida dedicada aos estudos 
e com base nos trabalhos e apontamentos levantados por Tycho Brache (1546-1601), o último dos 
grandes astrônomos a fazer observações sem a ajuda de um telescópio, Kepler aperfeiçoou o modelo de 
Copérnico e deduziu as Três Leis do Movimento Planetário que explicam o movimento dos planetas no 
Sistema Solar.
Os estudos de Kepler foram publicados em 1690 na obra De Motibus Stellae Martis, tornando-se 
base para os estudos de Isaac Newton (1642-1727), o qual mostrou que as leis empíricas de Kepler 
podiam ser deduzidas da sua Lei da Gravitação.
6.1.1 Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Planetárias
Todos os planetas giram em torno do Sol em órbitas elípticas, sendo que o Sol ocupa um dos 
focos da elipse. 
O desenho a seguir representa a trajetória elíptica de um planeta em torno do Sol. O ponto A 
representa o periélio, e o ponto B representa o afélio.
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Figura 86 – Ilustração da primeira Lei de Kepler
O periélio corresponde ao ponto de maior proximidade do planeta em relação ao Sol e o afélio, o 
ponto de maior afastamento do planeta em relação ao Sol.
A órbita circular pode ser entendida como o caso extremo em que os focos da elipse coincidem 
(de acordo com a figura apresentada anteriormente: F1 = F2) e, nesse caso, o Sol ocupa o centro da 
circunferência descrita pelo planeta.
6.1.2 Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas Equivalentes
Um planeta, em sua órbita em torno do Sol, se move de tal forma que o vetor posição, com 
origem no centro do Sol e extremidade no centro do planeta, varre áreas iguais em intervalos 
de tempos iguais. 
Figura 87 – Ilustração da segunda Lei de Kepler
Um planeta qualquer do sistema solar movimenta-se ao redor do Sol com velocidade variável, 
apresentando um valor máximo no periélio e um valor mínimo no afélio. No caso específico da Terra, a 
velocidade no periélio é cerca de 30,3 km/s e, no afélio, cerca de 29,3 km/s.
A figura anterior representa áreas iguais (A1 = A2) em intervalos iguais (Dt1 = Dt2). Ainda de acordo 
com a figura anterior:
1
1
1
s
v
t
D
=
D e 
2
2
2
s
v
t
D
=
D
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Como Dt1 = Dt2 e Ds1 > Ds2, conclui-se que v1 > v2, ou seja, a velocidade de translação de um 
planeta em torno do Sol é variável.
Figura 88 – Ilustração da segunda Lei de Kepler
6.1.3 Terceira Lei de Kepler: Lei dos Períodos Iguais
Esta lei relaciona o intervalo de tempo gasto por um planeta numa volta completa ao redor do Sol 
(período) com a distância média do planeta ao Sol (raio médio da órbita).
O quadrado do período de qualquer planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio 
médio da sua órbita. 
Para órbitas circulares, o raio médio é o próprio raio da órbita. Para órbitas elípticas, o raio médio é 
a medida do semieixo maior da elipse. 
Figura 89 – Ilustração da terceira Lei de Kepler
Sendo Ra a distância do planeta até o Sol no afélio e Rp, a distância no periélio:
a pR RR
2
+
=
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Considerando T o período de um planeta ao redor do Sol e R o raio médio da órbita descrita 
pelo planeta:
2
3
T
k
R
= (constante)
Observações:
• a constante k não depende da massa do corpo que está orbitando, mas depende da massa do 
corpo central;
• as leis de Kepler valem também para o movimento de satélites ao redor dos planetas. Nesses casos, 
o corpo central é o próprio planeta.
 Saiba mais
Entre as contribuições científicas de Kepler, estão a descoberta de dois 
poliedros regulares e tábuas astronômicas de alta precisão. Obtenha mais 
informações acessando:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Instituto de Física Johann Kepler. São 
Paulo, 2012. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/kepler.htm>. 
Acesso em: 29 dez. 2016.
6.2 Galileu Galilei
Conhecido como um dos fundadores da ciência moderna, Galileu Galilei (ou Galileo Galilei) – nasceu 
em 1564 em Pisa, na Itália, e contribuiu para áreas como Física, Matemática, Astronomia e Filosofia. 
Grande parte de suas contribuições para a ciência baseia-se em conclusões a partir da experimentação. 
A partir de seu trabalho, Galileu demonstrou que a as ideias de Aristóteles a respeito do movimento dos 
corpos e das forças que causam esses movimentos estavam erradas.
Além disso, Galileu considerava que a matemática era a chave para compreender o universo. Esse 
fato é evidenciado no seguinte trecho:
A filosofia está escrita neste grande livro – o universo – que permanece aberto 
para nós, mas não pode ser compreendido senão por quem entenda a linguagem 
e interprete os caracteres em que foi escrito. Sua linguagem é a matemática 
e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem os 
quais é humanamente impossível compreender uma só palavra dele; sem eles, 
estaremos vazando em um labirinto escuro (GALILEI, 2004, p. 46).
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Figura 90 – Retrato de Galileu Galilei
Filho mais velho de um músico, com profundo interesse em atividades culturais, Galileu matriculou-se 
no curso medicina na Universidade de Pisa, e posteriormente transferir-se para matemática. Em 1589, 
foi nomeado professor de matemática na Universidade de Pisa, onde desenvolveu interesse pelo estudo 
do movimento dos corpos e começou a desenvolver ideias conflitantes com as de seus contemporâneos, 
que sustentavam os pensamentos aristotélicos de movimento.
Em 1592, Galileu passou a lecionar na Universidade de Pádua e tornou-se defensor da teoria do 
astrônomo polonês Copérnico sobre o Sistema Solar. Como suas análises difundiram-se rapidamente 
pela Itália, logo Galileu foi advertido pela Igreja a não ensinar e nem defender as ideias de Copérnico. 
Como não seguiu essa advertência por muito tempo, Galileu enfrentou julgamento da Inquisição e foi 
considerado culpado. Por essa razão, foi sentenciado à prisão perpétua domiciliar, onde morreu em 
1642, ano de nascimento de Isaac Newton.
Pêndulo simples
Segundo historiadores da ciência, enquanto observava a oscilação de um candelabro sobre efeito 
do vento em uma missa na Catedral de Pisa (figura a seguir), Galileu foi levado a concluir, pormeio de 
seus experimentos, que o tempo de uma oscilação (período) não dependia da massa dos corpos em 
oscilação. Para realizar as medições de tempo, Galileu comparou os períodos das oscilações com suas 
próprias pulsações.
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Figura 91 – Candelabro na Catedral de Pisa
Assim, Galileu analisou diferentes comprimentos de corda e massas e verificou que, apesar de 
apresentarem diferentes amplitudes, resultavam no mesmo período de oscilação. Essas configurações, 
nas quais uma massa oscila em torno de ponto fixo, presa por um fio leve inextensível, são chamadas de 
pêndulos simples (figura a seguir):
Figura 92 – Representação do movimento de um pêndulo simples
Hoje, sabe-se que o período (T) de oscilação de um pêndulo simples pode ser calculado pela seguinte 
aproximação:
2L
T 2 1
g 16
 θ
= π ⋅ ⋅ + 
 
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sendo:
L o comprimento do fio;
g a aceleração da gravidade local; e
θ a amplitude da oscilação (em radianos).
Contudo, para valores de amplitudes menores do que 50º (ou 0,873 radiano), o período de oscilação 
pode ser representado, com desvio menor do que 5%, pela seguinte expressão:
L
T 2
g
= π ⋅
Queda livre
Outra conclusão importante de Galileu foi a que trata dos corpos caindo em queda livre. Galileu 
afirmou que, desprezando os efeitos da resistência do ar, objetos com massas diferentes chegariam 
juntos ao solo, o que conflitava com as ideias de Aristóteles.
Segundo Galileu, objetos em queda livre adquirem a mesma quantidade de velocidade, para o mesmo 
intervalo de tempo. Ou seja, a velocidade dos objetos aumenta à medida que estão caindo e a taxa de 
aumento dessa velocidade não se altera durante a queda. Segundo a lenda, para comprovar sua afirmação, 
Galileu deixou cair dois objetos, um mais leve e outro mais pesado, do alto da Torre de Pisa (figura a seguir):
Figura 93 – Representação da lendária demonstração de Galileu Galilei sobre a queda de corpos na Torre de Pisa
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Contudo, existiam problemas técnicos para Galileu realizar as medições de tempo de queda dos objetos, 
devido á precisão limitada dos relógios da época. Para contornar essas limitações, Galileu empregou corpos 
movendo-se em planos inclinados, assumindo que o movimento em queda livre seria um caso limite (para 
o ângulo de inclinação equivalente a 90º) do movimento de corpos em planos inclinados.
Para efetuar as medições temporais, Galileu empregava um grande recipiente com água 
posicionado a uma determinada altura. Ao fundo do recipiente, era soldado um tubo de pequeno 
diâmetro, resultando em um fino jato de água em sua saída. Esse jato de água era coletado em 
um pequeno copo, cada vez que um objeto descia o plano inclinado. Dessa forma, com o auxílio 
de uma balança, Galileu podia comparar a quantidade de água no copo para cada movimento com 
seus respectivos intervalos de tempos.
A partir de suas medições de intervalo de tempo e distância com o plano inclinado, Galileu 
concluiu que se a taxa de variação da velocidade (v) de um objeto liberado do repouso é constante, 
então a distância (d) percorrida por esse objeto será proporcional ao quadrado do intervalo de 
tempo (t) necessário para o objeto percorrer essa distância. Ou seja, em notação matemática 
atual, essas conclusões podem ser expressas por meio das seguintes equações do movimento 
uniformemente variado:
1
d a t²
2
= ×
v = a x t
em que:
a é a aceleração do objeto.
 Observação
Uma forma simples de se comprovar as características do movimento 
de um corpo em queda livre é utilizar uma esfera e uma escala graduada, 
analisando as posições ocupadas pelo móvel em função do tempo.
Galileu e o heliocentrismo
No início do século XVII, Galileu recebeu informações de um dispositivo constituído por lentes e 
desenvolvido por um holandês, que permitia enxergar objetos a grandes distâncias, o telescópio. Com 
essas informações, Galileu foi capaz de construir seu próprio telescópio e, apesar de não ter sido o 
inventor desse dispositivo, ele foi o primeiro a realizar observações astronômicas com ele a partir de 
1609 (figura a seguir).
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Unidade II
Figura 94 – Telescópio de Galileu Galilei em uma exposição em Florença, na Itália
Com seu telescópio, Galileu observou algumas características da superfície lunar, as luas de Júpiter, os 
anéis de Saturno, as fases de Vênus e algumas manchas solares. Suas observações o levaram a sustentar 
o modelo heliocêntrico do astrônomo polonês Nicolau Copérnico (1473-1543), no qual o Sol é orbitado 
pela Terra e pelos demais planetas.
As observações de Galileu eram contrárias aos conceitos de Aristóteles, que afirmava que corpos 
celestes seriam perfeitos e a Terra ocupava o centro do Universo e os demais planetas, o Sol, a Lua e 
as estrelas estariam em esferas girando em torno da Terra (figura a seguir). Esse modelo de universo, 
consolidado por Ptolomeu, é conhecido como modelo geocêntrico.
Figura 95 – Modelo de universo segundo Aristóteles
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As conclusões de Galileu foram difundidas para um grande número de leitores, o que levou a Igreja 
a adverti-lo a abandonar tais ideias e não sustentar o modelo heliocêntrico de Copérnico. Para alguns 
membros da Igreja, seus estudos eram considerados contrários à filosofia natural de Aristóteles e às 
Sagradas Escrituras.
Galileu manteve-se afastado de suas polêmicas discussões com a Igreja por alguns anos. Porém, 
quando Urbano III, um antigo admirador de Galileu, foi eleito novo papa, Galileu recebeu permissão para 
escrever sobre o sistema de Ptolomeu e Copérnico, desde que deixasse evidenciado que a obra tratava de 
conceitos puramente matemáticos, sem influência na realidade. Essa obra foi intitulada Diálogos sobre 
os Dois Máximos Sistemas do Mundo (figura a seguir) e foi publicada em 1632.
 Lembrete
Durante a evolução da Ciência, acreditava-se que a Terra era o centro 
do universo. Mais tarde Galileu estabeleceu que, na realidade, o Sol era o 
centro do universo.
Figura 96 – Diálogos sobre os Dois Máximos Sistemas do Mundo, de Galileu, publicado em 1632
Contudo, na obra, Galileu não abandonou suas convicções sobre a teoria de Copérnico, o que irritou 
a Igreja e o levou a ser julgado e condenado, em 1633, pela Inquisição. Galileu foi condenado à prisão 
domiciliar e a se retratar em público por seus “erros”. Com a visão debilitada por conta de observações 
do Sol com seu telescópio, Galileu ainda escreveu Discursos e Demonstrações Matemáticas sobre Duas 
Novas Ciências, que serviu de base para a mecânica de Newton.
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Unidade II
 Saiba mais
Galileu é considerado o pai da física moderna experimental e o grande 
precursor da astronomia telescópica. Seus experimentos revolucionaram a 
história da ciência e originaram diversas inovações, como a bússola e o 
termômetro. Saiba mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Instituto de Física de São Carlos. Galileu 
Galilei: quem foi ele? São Carlos, 2012. Disponível em: <http://www.if.sc.usp.
br/index.php?option=com_content&view=article&id=930:galileu-galilei-quem-foi-ele&catid=7:noticias&Itemid=224>. Acesso em: 29 dez. 2016.
Exemplo 43
Um corpo de pequenas dimensões está preso em um fio e oscila, conforme representado a seguir. 
Esse mecanismo pode ser denominado pêndulo simples e executa um movimento harmônico simples. Se 
o corpo desloca-se de sua posição inicial A para A’ e retorna a A, 40 vezes em 20 s, determine o período 
do pêndulo, sua frequência de oscilação e o comprimento L indicado. Considere pequena amplitude.
Figura 97 
Solução:
2 2
20s
T T 0,5 s
40
1 1
f f f 2 Hz
T 0,5
L L
T 2 0,5 2
g 10
L
(0,5) (2 ) 0,25 1,97 L
10
L 0,13 m
= ⇒ =
= ⇒ = ⇒ =
= π ⋅ ⇒ = π ⋅
= π ⋅ ⇒ = ⋅
=
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Exemplo 44
Um pêndulo simples tem comprimento L = 0,5 m e oscila em um campo de gravidade g = 10 m/s2. 
Sabendo que sua amplitude é de θ0 = 80º, determine seu período de oscilação.
Figura 98 
Solução:
2
0
0 0
2
L
T 2 1
g 16
80
1,4
180
0,5 1,4
T 2 1
10 16
T 2 0,22 1,12 T 1,55 s
 θ
= π ⋅ ⋅ + 
 
⋅ π
θ = ⇒ θ =
 
= π ⋅ ⋅ + 
 
= π ⋅ ⋅ ⇒ =
7 ISAAC NEWTON
7.1 Descobertas de Newton
Após o Renascimento, a Ciência se desenvolveu rapidamente, com um aumento considerável no 
número de trabalhos publicados.
Tido por muitos como o maior cientista de todos os tempos, Newton revolucionou a Ciência ao 
desenvolver o Cálculo Diferencial e Integral, criar os fundamentos da Mecânica Clássica e estabelecer a 
Lei da Gravitação Universal.
Isaac Newton nasceu em 1642 na Inglaterra e não conheceu seu pai, que havia falecido três meses 
antes. Aos três anos de idade, sua mãe se casou pela segunda vez e Newton foi largado aos cuidados de 
seus avós.
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A vida familiar conturbada apresentou consequências na formação de sua personalidade. Newton 
aparentava diversos problemas de socialização durante a vida. Aos doze, ele foi enviado à escola King’s 
School, que oferecia aulas de latim, grego, e o básico de geometria e aritmética, como qualquer outro 
colégio primário na época.
Newton começou a se destacar intelectualmente após um incidente nessa escola. Depois de arrumar 
uma briga, ele venceu a luta física. Não satisfeito, começou a se esforçar para vencer academicamente 
o adversário, tornando-se o primeiro aluno da classe.
Aos dezoito anos, Newton foi para a Universidade de Cambridge e como era um autodidata, teve 
um desempenho apenas regular em suas avaliações. Nas aulas, os conteúdos eram baseados nos 
ensinamentos de Aristóteles, mas, na biblioteca, teve acesso a Descartes, Kepler e outros.
Durante sua permanência na universidade, Newton fez contribuições em diversas áreas do 
conhecimento, como na Óptica, Matemática, Mecânica de Sólidos e de Fluidos. Ganhou então notoriedade 
e juntou-se a Royal Society’s, a academia científica mais importante da Inglaterra.
Devido a uma série de dificuldades de socialização durante a vida, Newton chegou a vivenciar 
períodos de isolamento. Não se sabe ao certo se teve qualquer relacionamento amoroso ou qual era sua 
orientação sexual, mas é de conhecimento geral que ele apresentou crises de depressão e posteriormente 
de paranoia.
Em 1727, Newton faleceu dormindo, provavelmente devido a problemas renais. Em seus cabelos, 
foram encontrados altos traços de mercúrio. Suspeita-se que os seus estudos em alquimia possam 
tê-lo envenenado lentamente, produzindo problemas neurológicos que justificariam o comportamento 
anômalo no final de sua vida.
Matemática
Na Matemática, Newton desenvolveu o Binômio de Newton e o Cálculo Diferencial. Embora a 
formulação do Cálculo por Leibniz seja mais robusta do que a de Newton em alguns aspectos, Newton 
foi o primeiro a aplicar tais conhecimentos na análise de fenômenos físicos.
Óptica
Na óptica, Newton mostrou que a luz branca é composta pela interferência de luzes de diversas 
cores. Os espectros podem ser separados pela utilização de um prisma e recompostos pela utilização 
de um prisma e uma lente. Estudando a refração da luz, Newton desenvolveu um telescópio 
utilizando espelhos refletivos, ao invés de lentes. Este tipo de telescópio é chamado atualmente de 
telescópio newtoniano.
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Figura 99 – Sistema usado em um telescópio newtoniano
Mecânica dos fluidos
Na mecânica dos fluidos, Newton analisou o comportamento de fluidos lineares em escoamento, 
atualmente, intitulados de fluidos newtonianos.
Devido a sua vasta e notória contribuição na produção científica, Newton é tido como um dos 
maiores gênios de todos os tempos. Seus estudos são, até hoje, referência em cursos universitários de 
Física, Engenharia e Matemática. Foi a partir dos seus trabalhos que diversos campos se abriram para 
pesquisas futuras. Além disso, Newton demonstrou que os fenômenos naturais podem ser quantificados 
e previstos a partir de simples formulações.
 Observação
Os fluidos de viscosidade constante, quando submetidos a uma 
força, são denominados newtonianos. Podemos citar como exemplo a 
água e o leite.
 Saiba mais
Os primeiros anos escolares de Isaac Newton não revelaram nenhum 
dom especial, entretanto ele viria a realizar descobertas científicas que 
mudariam a história da ciência. Leia mais em:
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Instituto de Física. Isaac Newton, 
sir (1642-1727). São Paulo, [s.d.]. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/newton.htm>. Acesso em: 3 jan. 2017.
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7.2 Principia
Principia é o trabalho científico mais relevante de Newton, foi publicado pela primeira vez em 1687. 
Após correções próprias, Newton o publicou pela segunda e terceira vez em 1713 e 1726. O livro trata 
do movimento de objetos sólidos sujeitos ou não submetidos a forças resistivas ou propulsoras. Ainda, 
além de ser a base de toda Mecânica Clássica, o trabalho abrange o movimento de órbitas celestes e de 
projéteis na Terra.
Em 1666, a peste negra invade a Europa em uma devastadora epidemia. Dentro desse contexto, 
Cambridge foi fechada e Newton retornou a sua cidade Natal. Com 24 anos, Newton permaneceu 
recluso em sua casa durante um ano, formulando e estudando os fundamentos de suas principais 
realizações científicas. Algumas descobertas só seriam finalizadas e apresentadas anos depois com a 
publicação do Principia em 1687.
7.2.1 As três leis de Newton
Philosophiae Naturalis Principia Matemática (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), 
popularmente chamado de Principia, é a realização máxima de Newton. O livro apresenta as ferramentas 
matemáticas necessárias para a análise do movimento e termina por estabelecer a Lei da Gravitação 
Universal. Em seu livro, Newton enumera três leis, que são os fundamentos para a análise de qualquer 
problema em mecânica. São elas:
1ª Lei de Newton: todo corpo ou objeto tende a se manter em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme a menos que haja uma força sobre ele compelindo-o a mudar seu estado.
A primeira Lei de Newton define o conceito de inércia. Todo objeto é dotado de uma determinada 
quantidade de movimento. Se estiver em repouso, tenderá a permanecer em repouso. Se estiver em 
movimento, permanecerá indefinidamente em movimento. A quantidade de movimento é uma grandeza 
que se conserva.
2ª Lei de Newton: a alteração de movimento é proporcional à força aplicada e ocorrena 
mesma direção, com certa aceleração.
A segunda Lei de Newton complementa a primeira. A fim de alterar a direção ou a velocidade de 
um objeto, é necessária a aplicação de uma força. A mudança de velocidade é diretamente proporcional 
à força aplicada. É importante ressaltar que corpos de diferentes massas se comportarão de modos 
diferentes. Matematicamente, a segunda Lei de Newton é expressa da seguinte forma:
F m a
dp
dt
 
  
sendo F a força aplicada a um corpo de massa m produzindo uma aceleração a. O termo dp/dt 
significa a taxa de variação da quantidade de movimento em relação ao tempo. Em outras palavras, uma 
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força produz uma variação na quantidade de movimento de um corpo. Quanto maior for a força, mais 
rápida será a variação da quantidade de movimento.
3ª Lei de Newton: para toda ação, existe uma reação igual e contrária.
A terceira Lei de Newton trata de como as forças são verificadas na natureza. Como exemplo, para 
que uma pessoa salte, ela empurra o chão para baixo com uma determinada intensidade. O chão, por 
outro lado, reage produzindo uma força de mesma intensidade com direção contrária, fazendo com que 
ela saia do chão. Qualquer que seja a situação analisada, todas as forças são fruto da conservação de 
momento, ou seja, ação e reação.
7.2.2 Lei da Gravitação Universal
A Lei da Gravitação Universal, desenvolvida por Newton, descreve efeitos devidos à ação da gravidade. 
Mesmo verificadas algumas limitações, ela responde com clareza todos os fenômenos que fazem parte 
de nosso cotidiano.
A teoria da gravitação universal começou a ser formulada no ano de retiro de Newton, o qual refletia 
sobre aspectos da ação da gravidade: a mesma gravidade que age nos corpos na Terra também está 
presente na Lua? Por que a Lua não cai sobre a Terra como uma maçã? Em argumentos posteriormente 
publicados em seu livro Principia, Newton afirma que se, do alto de uma montanha, uma bala for 
disparada na direção horizontal, seu movimento consistirá de duas componentes: um movimento 
horizontal com a mesma velocidade com que a bala abandonou o cano da arma e outro, de queda livre 
acelerado sob a ação da força da gravidade.
A composição desses dois movimentos descreverá uma trajetória parabólica e atingirá o solo 
a alguma distância a partir dali. Se a terra fosse plana, a bala sempre atingiria o chão, mesmo que 
cada vez mais longe da arma que a disparou. Porém, como a Terra é redonda, sua superfície se curva 
continuamente embaixo do caminho da bala e, para determinada velocidade, a trajetória curva da bala 
seguirá a curvatura do globo terrestre. Portanto, se não existisse resistência do ar, a bala jamais cairia no 
chão, mas continuaria a circular na Terra a uma altitude constante.
Por meio do argumento apresentado anteriormente, Newton ilustra o princípio aplicado 
para manter satélites em órbita ao redor da Terra. Apesar de o satélite estar sendo atraído para 
a Terra, e estar em queda livre, nunca chegará a chocá-la. Verifica-se o mesmo comportamento 
para a Lua (satélite natural). A intenção de determinar a força necessária para mantê-la em 
órbita foi o ponto de partida para seus estudos. Utilizando as leis de Newton e relações 
geométricas, obteve-se a expressão para a força gravitacional:
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G.m.M
F = 
R
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sendo F a força gravitacional, G a constante de proporcionalidade, R a distância entre a Terra e a Lua, 
m a massa da Lua e M a massa da Terra.
A partir da equação para a força gravitacional, Newton deduziu todas as Leis de Kepler, confirmando 
sua teoria aos dados experimentais. Em adição, explicou a ocorrência de diversos fenômenos, como a 
precessão dos equinócios, o comportamento das marés, entre outros. 
Figura 100 – Comportamento da força inversamente proporcional ao quadrado da distância
8 EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE CALOR E TEMPERATURA
8.1 Termômetros
Galileu Galilei inventou o primeiro termômetro, dispositivo capaz de medir alterações de temperatura. 
Por se tratar de um dispositivo sem escala, muitas vezes, é chamado de termoscópio. A partir de seus 
experimentos, Galileu observou que, ao posicionar de cabeça para baixo um frasco de vidro, preenchido 
com água até a metade, em um recipiente também com água, variações de temperatura causavam 
variações da altura da coluna de liquido. Essa configuração é mostrada na figura a seguir:
Figura 101 – Termoscópio de Galileu
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Posteriormente, Evangelista Torricelli, que foi aluno de Galileu, percebeu que o movimento do líquido 
na coluna de vidro era influenciado pela pressão atmosférica externa, o que tornava o termômetro 
impreciso para as medições de temperatura. Daniel Fahrenheit foi o primeiro a desenvolver um bom 
dispositivo para medir a temperatura, que consistia em um bulbo conectado a um capilar com mercúrio 
em seu interior (o termômetro de mercúrio).
Vale destacar que o desenvolvimento de bons termômetros e a utilização de escalas termométricas 
adequadas permitiram a evolução de conceitos importantes da termodinâmica. Entre as escalas 
termométricas, é importante citar a escala absoluta, ou escala kelvin. Nessa escala, o zero absoluto é 
atingido quando a energia cinética das moléculas é nula.
 Lembrete
Atualmente temos diferentes escalas de temperatura, estabelecidas em 
momentos distintos da história. É importante lembrarmos que a diferença entre 
elas está no valor adotado na escala para o ponto de fusão e de ebulição da água.
8.2 Calor
Um conceito importante para termodinâmica é o de calor, que corresponde à energia transferida 
entre um sistema e sua vizinhança, devido à diferença de temperatura entre estes. No século XVIII, 
existiam duas hipóteses sobre a natureza do calor. O físico e químico escocês Joseph Black (figura a 
seguir) foi o primeiro a oferecer uma explicação sobre o calor. Ele verificou que um pedaço de gelo, ao 
derreter, não alterava sua temperatura, o que podia ser explicado pela absorção de calor pelo gelo. Com 
base em suas observações, ele sugeriu que o calor flui entre corpos como um fluido.
Antoine Laurent de Lavoisier (figura a seguir) foi o primeiro cientista a formalizar o conceito de fluido térmico, 
chamando-o de teoria “calorífica”. Imaginava o calor como um fluido insípido, inodoro e invisível que ele chamava 
de fluido calorífico. Ele também sugeriu que os corpos quentes contêm mais do fluido calorífico do que os corpos 
frios. Esses conceitos foram utilizados nos trabalhos do engenheiro francês Sadi Carnot em 1824. Já cientistas 
como Francis Bacon e Robert Hooke acreditavam que o calor era o resultado do movimento das partículas.
 
A B
Figura 102 – (A) Joseph Black e (B) Antoine Laurent de Lavoisier
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8.3 Lei dos Gases
Os gases são as substâncias que apresentam comportamento termodinâmico mais simples. No 
século XVIII, os cientistas verificaram que o volume de um gás sob pressão constante varia linearmente 
com a temperatura.
Dessa maneira, com o aumento da temperatura de um gás à pressão constante, seu volume 
aumenta e, com a diminuição da temperatura, seu volume diminui. Essa é conhecida como lei de 
Charles (ou lei de Gay-Lussac).
Para gases perfeitos, que correspondem à idealização de um gás real, no caso limite de rarefação, em 
que as moléculas do gás não interagementre si, a relação entre as grandezas termodinâmicas pressão, 
volume e temperatura é dada pela Lei dos Gases Perfeitos:
P V n R T⋅ = ⋅ ⋅
em que:
P é a pressão;
V é o volume;
n é o número de mols;
R é a constante universal dos gases; e
T é a temperatura absoluta.
Apesar de nenhum gás real obedecer completamente à equação anterior, ela corresponde a uma boa 
aproximação para a maioria dos gases, desde que rarefeitos e longe de seu ponto de liquefação.
Exemplo 45
A seguir, é representada uma associação de três resistores em série. Sabendo que a diferença de 
potencial entre os pontos B e D é de 400 V, determine a corrente nos resistores, a queda de tensão em 
cada um deles e a resistência equivalente dessa associação.
B D
10Ω 5Ω 35Ω
Figura 103 
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Solução:
eq 1 2 3
eq eq
R R R R
R 10 5 35 R 50
V R I 400 50 I
I 8 A
= + +
= + + ⇒ = Ω
= ⋅ ⇒ = ⋅
=
Sabendo que a corrente elétrica é a mesma para resistores associados em série, tem-se as quedas de tensões:
V R I V V V
V R I V V V
V R I V
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3
10 8 80
5 8 40
35 8
      
      
      V V3 280
Exemplo 46
A resistência do filamento de uma lâmpada incandescente vale 14 Ω. Sabendo que este filamento 
possui raio de 2x10-2 mm e resistividade de 5,6x10-8 Ωm, determine seu comprimento.
Solução:
2
8
5 2
L
R A R
A
L
14 5,6x10
(2x10 )
14 44,59 L L 0,314 m 31,4 cm
−
−
= r⋅ = π ⋅
= ⋅
⋅ π
= ⋅ ⇒ = =
Exemplo 47
5 g de oxigênio estão pressurizados em um recipiente de volume 0,85 l a uma temperatura de 30 oC. 
De acordo com as informações, determine a pressão desse recipiente em atm.
Solução:
Considere:
n = número de mols
R = constante dos gases è R = 0,082 atm.l/mol.K
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Unidade II
M = massa molar
m
P V n R T sendo n
M
M 32 g / mol T 30 273 303 K
5
P 0,85 0,082 303
32
P 0,85 3,88 P 4,6 atm
⋅ = ⋅ ⋅ =
= = + =
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⇒ =
 Resumo
Como principais estudos, Pitágoras desenvolveu o problema do 
monocórdio, verificando que diferentes notas musicais (oitavas) seriam 
obtidas ao se exercer pressão em posições proporcionais da corda. Usando 
o mesmo peso e variando o comprimento da corda, ele constatou que os 
pares de harmônicos eram obtidos quando os comprimentos da corda eram 
mantidos em relações numéricas simples.
A frequência f dos harmônicos em uma corda tensionada com as duas 
extremidades fixas é dada por:
n F
f
2L
=
m
Segundo o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso dessa 
massa de fluido deslocada:
E = mf . g ⇒ E = rf . ∀f . g 
Durante toda a história da humanidade, o homem busca métodos e 
ferramentas que facilitem sua vida. Uma das máquinas desenvolvida com 
essa finalidade foi a roldana, também chamada de polia. Na história, é 
relatado que Arquimedes foi o inventor e usuário desse instrumento, com 
o propósito de deslocar grandes pesos exercendo pequenas forças. Ainda 
como contribuição importante para a ciência, Arquimedes estudou o que 
se chama Lei das Alavancas. A Lei das Alavancas mostra que um pequeno 
peso pode equilibrar um grande peso, desde que esteja bem mais afastado 
do polo que o peso maior.
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FÍSICA INTEGRADA
Os estudos de Kepler foram publicados em 1690 na obra De Motibus 
Stellae Martis, tornando-se base para os estudos de Isaac Newton 
(1642-1727), o qual mostrou que as leis empíricas de Kepler podiam ser 
deduzidas da sua Lei da Gravitação. As Leis de Kepler são: 1ª Lei de Kepler 
– Lei das Órbitas Planetárias, a qual afirma que todos os planetas giram em 
torno do Sol em órbitas elípticas, sendo que o Sol ocupa um dos focos da 
elipse; 2ª segunda Lei de Kepler – Lei das Áreas Equivalentes, a qual afirma 
que o planeta, em sua órbita em torno do Sol, se move de tal forma que 
o vetor posição, com origem no centro do Sol e extremidade no centro do 
planeta, varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais; 3ª Lei de Kepler – 
Lei dos períodos iguais, que afirma que o quadrado do período de qualquer 
planeta é diretamente proporcional ao cubo do raio médio da sua órbita.
Segundo Galileu, objetos em queda livre adquirem a mesma quantidade 
de velocidade, para o mesmo intervalo de tempo. Ou seja, a velocidade dos 
objetos aumenta à medida que estão caindo e a taxa de aumento dessa 
velocidade não se altera durante a queda. Além disso, as observações de 
Galileu eram contrárias aos conceitos de Aristóteles, que afirmava que 
corpos celestes seriam perfeitos e a Terra ocupava o centro do Universo e 
os demais planetas, o Sol, a Lua e as estrelas estariam em esferas girando 
em torno da Terra.
Principia é o trabalho científico mais relevante de Newton, publicado 
pela primeira vez em 1687. O livro apresenta as ferramentas matemáticas 
necessárias para a análise do movimento e termina por estabelecer a 
Lei da Gravitação Universal. Em seu livro, Newton enumera três leis, já 
apresentadas, que são os fundamentos para a análise de qualquer problema 
em Mecânica. A Lei da Gravitação Universal, desenvolvida por Newton, 
descreve efeitos devidos à ação da gravidade.
Por meio do argumento apresentado anteriormente, Newton 
ilustra o princípio aplicado para manter satélites em órbita ao redor 
da Terra. Apesar de o satélite estar sendo atraído para a Terra, e 
estar em queda livre, este nunca chegará a chocá-la. Verifica-se o 
mesmo comportamento para a Lua. Determinar a força necessária 
para mantê-la em órbita foi o ponto de partida para seus estudos. 
Utilizando as Leis de Newton e relações geométricas, obteve-se a 
expressão para a força gravitacional:
2
G.m.M
F = 
R
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Unidade II
Galileu Galilei inventou o primeiro termômetro, dispositivo capaz 
de medir alterações de temperatura. Posteriormente, Evangelista 
Torricelli, que foi aluno de Galileu, percebeu que o movimento do 
líquido na coluna de vidro era influenciado pela pressão atmosférica 
externa, o que tornava o termômetro impreciso para as medições de 
temperatura. Entre as escalas termométricas, é importante citar a 
escala absoluta, ou escala kelvin.
Um conceito importante para termodinâmica é o de calor, que 
corresponde à energia transferida entre um sistema e sua vizinhança, devido 
à diferença de temperatura entre estes. O físico e químico escocês Joseph 
Black foi o primeiro a oferecer uma explicação sobre o calor. Ele verificou 
que um pedaço de gelo, ao derreter, não alterava sua temperatura, o que 
podia ser explicado pela absorção de calor pelo gelo.
Os gases são substâncias que apresentam comportamento 
termodinâmico mais simples. No século XVIII, os cientistas verificaram que 
para gases perfeitos, que correspondem à idealização de um gás real, a 
relação entre as grandezas termodinâmicas pressão, volume e temperatura 
é dada pela Lei dos Gases Perfeitos:
P V n R T⋅ = ⋅ ⋅
 Exercícios
Questão 1 (UFSC 2017). Sobre as leis de Kepler, são dadas proposições para o Sistema Solar.
I – O valor da velocidade de revolução da Terra em torno do Sol, quando sua trajetória está mais 
próxima do Sol, é maior do que quando está mais afastada dele.
II – Os planetas mais afastados do Sol têm um período de revolução em torno dele maior que os 
mais próximos.
III – Os planetas de maior massa levam mais tempo paradar uma volta em torno do Sol, devido à 
sua inércia.
IV – O Sol está situado em um dos focos da órbita elíptica de um dado planeta.
V – Quanto maior for o período de rotação de um dado planeta, maior será o seu período de revolução 
em torno do Sol.
VI – No caso especial da Terra, a órbita é exatamente uma circunferência.
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FÍSICA INTEGRADA
Qual(ais) a(s) proposição(ões) verdadeira(s) para o Sistema Solar?
A) I, III e V.
B) I, II e IV.
C) II, III e VI.
D) II, IV, V.
E) III, V, VI.
Resposta correta: alternativa B.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa verdadeira. 
Justificativa: de acordo com a 2ª Lei de Kepler, o segmento de retraçado pelo Sol até qualquer 
planeta varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais. Portanto, para que isso seja verdade, quando 
a distância até o sol for menor, a velocidade dos planetas será maior.
II – Afirmativa verdadeira. 
Justificativa: a 3ª Lei de Kepler diz que os períodos dependem das distâncias dos planetas ao Sol. 
Assim, conforme a distância, os períodos aumentam.
III – Afirmativa falsa. 
Justificativa: os períodos não dependem das massas.
IV – Afirmativa verdadeira.
Justificativa: de acordo com a primeira Lei de Kepler, os planetas movem-se em órbitas elípticas e o 
Sol está localizado em um dos focos.
V – Afirmativa falsa. 
Justificativa: os movimentos de rotação e translação não dependem um do outro.
VI – Afirmativa falsa. 
Justificativa: o movimento da Terra ao redor do Sol possui uma pequena excentricidade.
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Unidade II
Questão 2 (Enade 2008). Cinco sensores foram utilizados para medir a temperatura de um 
determinado corpo. As curvas de calibração da resistência elétrica, em função da temperatura destes 
sensores, são apresentadas no gráfico a seguir:
Analisando-se o gráfico, foram feitas as afirmativas a seguir.
I – O sensor (2) só deve ser utilizado para temperaturas superiores a 20 K.
II – Para temperaturas entre 1 K e 3 K, apenas o sensor (5) pode ser utilizado.
III – Quando a resistência do sensor (1) atingir o valor de cerca de 7Ω, o sensor (4) estará com uma 
resistência um pouco superior a 2 kΩ.
IV – O sensor (3) é o único a ser empregado para temperaturas na faixa de 20 K a 300 K.
São verdadeiras apenas as afirmativas:
A) I e II.
B) I e IV.
C) II e III.
D) II e IV.
E) III e IV.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 7
CUB_ROCKETS_LESSON02_FIGURE3.JPG. Disponível em: <https://teachengineeringprod.blob.core.windows.
net/content/cub_/lessons/cub_images/cub_rockets_lesson02_figure3.jpg>. Acesso em: 4 jan. 2017.
Figura 8
GARFIELDPESO.JPG. Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/imagens/mecanica/universitario/
cap09/garfieldpeso.jpg>. Acesso em: 30 dez. 2016.
Figura 74
PITAGORASSS.JPG. Disponível em: <http://www.fccr.sp.gov.br/images/pitagorasss.jpg>. Acesso em: 
30 dez. 2016.
Figura 75
MONOCHORD3.PNG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/Monochord3.
png>. Acesso em: 4 jan. 2017.
Figura 77
IMAGE_PREVIEW. Disponível em: <http://ieg-ego.eu/illustrationen/oriental-despotism-bilderordner/
aristotle-3842013322-bc-img/image_preview>. Acesso em: 30 dez. 2016.
Figura 80
573PX-ARCHIMEDES_USES_A_LEVER_TO_MOVE_A_SHIP.JPG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.
org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Archimedes_uses_a_lever_to_move_a_ship.jpg/573px-Archimedes_
uses_a_lever_to_move_a_ship.jpg>. Acesso em: 4 jan. 2017.
Figura 90
GALILEOSUSTERMANSCARLTON.JPG. Disponível em: <https://hea-www.harvard.edu/~fine/Observatory/
images/GalileoSustermansCarlton.jpg>. Acesso em: 30 dez. 2016.
Figura 91
PISA_DUOMO_DOME_RIMINALDI01.JPG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/7/73/Pisa.Duomo.dome.Riminaldi01.jpg>. Acesso em: 30 dez. 2016.
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Figura 93
PISA_EXPERIMENT.PNG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Pisa_
experiment.png>. Acesso em: 5 jan. 2017. 
Figura 94
AAAAGALILEO_TELESCOPE.JPG. Disponível em: <http://www.scitechantiques.com/Galileo_telescope/
AAAAgalileo_telescope.jpg>. Acesso em: 30 dez. 2016.
Figura 95
A12FIG01.GIF. Disponível em: <http://www.scielo.br/img/revistas/rbef/v26n3/a12fig01.gif>. Acesso 
em: 30 dez. 2016.
Figura 96
GALILEOS_DIALOGUE_TITLE_PAGE.PNG. Disponível em: <https://commons.wikimedia.org/wiki/
File:Galileos_Dialogue_Title_Page.png>. Acesso em: 30 dez. 2016.
Figura 101
THERMOSCOPE.JPG. Disponível em: <https://galileo.ou.edu/sites/default/files/thermoscope.jpg>. 
Acesso em: 30 dez. 2016. 
Figura 102
A) BLACK_JOSEPH.JPG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/
thumb/9/94/Black_Joseph.jpg/477px-Black_Joseph.jpg>. Acesso em: 4 jan. 2017.
Figura 102
B) ANTOINE-LAVOISIER.JPG. Disponível em: <http://www.antoinelavoisier.org/wp-content/uploads/
sites/2/2015/11/Antoine-Lavoisier.jpg>. Acesso em: 4 jan. 2017.
REFERÊNCIAS
Textuais
ASSIS, A. K. T. Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca. Montreal: Apeiron Montreal, 
2008. Disponível em: <http://www.ifi.unicamp.br/~assis/Arquimedes.pdf>. Acesso em: 3 jan. 2017.
BALBINOT, A.; BRUSAMARELLO, V. P. Instrumentação e fundamentos de medidas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
LTC. 2011. v. 2.
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BARNES, J. Aristotle: a very short introduction. Oxford: Oxford University Press, 1996.
BAUER, W.; WESTFAL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários: mecânica. Porto Alegre: AMGH, 2012.
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. 
ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
CENTRE of gravity. TutorVista.com. 2017. Disponível em: <http://www.tutorvista.com/content/physics/
physics-i/forces/center-gravity.php>. Acesso em: 3 jan. 2017.
CENTROID. Mathisfun. 2016. Disponível em: <https://www.mathsisfun.com/geometry/centroid.html>. 
Acesso em: 3 jan. 2017.
CÉSAR, J.; DE PAOLI, M. A.; ANDRADE, J. C. de. A determinação da densidade de sólidos e líquidos. 
Chemkeys, jul., 2004. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/
mec/11544/articleI.pdf?sequence=3>. Acesso em: 3 jan. 2017.
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
DOESCHER, A. M. L. Trabalho: uma grandeza física. 2010. Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.
gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19734>. Acesso em: 3 jan. 2017.
FEYNMAN, R. P.; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. Lições de Física de Feynman. Porto Alegre: AMGH, 2008. v. 1.
GEYMONAT, L., Galileo Galilei. Nova Iorque: McGraw-Hill, 1965.
GALILEI, G. O ensaiador. São Paulo: Nova Cultural, 2004. (Coleção Os Pensadores).
GRUPO DE REELABORAÇÃO DO ENSINO DE FÍSICA (GREF). Física 1: mecânica. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2001.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. v. 1.
HEWITT, P. G. Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makrons Books do Brasil, 1997. v. 1.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2009.
MARQUES, G. C. Dinâmica do movimento dos corpos. São Paulo, [s.d.]. Disponível em: <http://midia.atp.usp.br/plc/plc0002/impressos/plc0002_17.pdf>. Acesso em: 3 jan. 2017.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: estática. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1.
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NUSSENZVEIG, M. Curso de física básica. São Paulo: Edgard Blücher, 1981. v. 1.
SOUZA, S. Mecânica do corpo rígido. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2009. v. 1.
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP). Centro de Ensino e Pesquisa Avançada (Cepa). Instituto de 
Física. Força normal. São Paulo, [s.d.]. Disponível em: <http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/
universitario/cap09/cap09_36.htm>. Acesso em: 27 dez. 2016.
___. Instituto de Física. Unidades. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/
basico/forcas/unidades/>. Acesso em: 27 dez. 2016.
___. Instituto de Física. Introdução. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/
basico/3a_lei_de_newton/intro/>. Acesso em: 27 dez. 2016.
___. Instituto de Física. Introdução. São Paulo, 2007. Disponível em: <http://efisica.if.usp.br/mecanica/
basico/atrito/intro/>. Acesso em: 28 dez. 2016.
___. Instituto de Física. Isaac Newton, sir (1642-1727). São Paulo, [s.d.]. Disponível em: <http://
ecalculo.if.usp.br/historia/newton.htm>. Acesso em: 3 jan. 2017.
___. Instituto de Física. Johann Kepler. São Paulo, 2012. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/
historia/kepler.htm>. Acesso em: 29 dez. 2016.
___. Instituto de Física de São Carlos. Galileu Galilei: quem foi ele? São Carlos, 2012. Disponível em: 
<http://www.if.sc.usp.br/index.php?option=com_content&view=article&id=930:galileu-galilei-quem-
foi-ele&catid=7:noticias&Itemid=224>. Acesso em: 29 dez. 2016.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ (PUCPR). Vestibular de Inverno 
2016: Matemática. Questão 9. Disponível em: <http://vestibular.pucpr.br/wp-content/uploads/2014/09/
PROVA-COMENTADA-DEMAIS-CURSOS-BRANCA_comentada.pdf>. Acesso em: 6 jan. 2017.
Unidade II – Questão 1: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA (UFSC). Vestibular 2017. Questão 1. 
Disponível em: <http://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-fisica/exercicios-sobre-leis-
movimento-planetario.htm>. Acesso em: 6 jan. 2017.
UNIDADE II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (ENADE) 2008: Física. Questão 16. 
Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/FISICA.pdf>. Acesso em: 9 
jan. 2017.
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000