Estatística - Aula 05

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Estatística – Aula 05
Prof. Msc. Marcus Vinícius
Probabilidade
• O que representa a distribuição das frequências relativas?
𝑛𝑖
𝑛
Probabilidades
• Exemplo: As frequências de ocorrência das faces de um dado
• 1) lançamos os dados em um certo número de vezes (n)
• 2) contamos quantas vezes aparecem as faces (i), sendo 
i = 1, 2, 3, 4, 5 e 6
Probabilidades
• Com base no modelo probabilístico, pode se escrever o seguinte:
Probabilidades
• Construção do espaço amostral (n)
• Considere que sejam retirados dois artigos de uma linha de produção. 
Estes podem ser classificados como Bom ou Defeituoso. Qual será o 
espaço amostral?
Probabilidades
• Construção do espaço amostral (n)
• Considere que sejam retirados dois artigos de uma linha de produção. 
Estes podem ser classificados como Bom ou Defeituoso. Qual será o 
espaço amostral?
n = {BB, BD, DD, DB}
Se o evento A consiste em retirar pelo menos um artigo defeituoso, 
qual a probabilidade da sua ocorrência?
Probabilidades
• Propriedades
• A frequência relativa sempre estará no intervalo 0 a 1.
0 =< P(A) =< 1
Probabilidades
• Propriedades
• A frequência relativa sempre estará no intervalo 0 a 1.
0 =< P(A) =< 1
• Se P(A) = 0 o evento é impossível
• Se P(A) = 1 o evento é certo
Probabilidades
• Propriedades
• Experimento aleatório = variações de resultados, se repetido sob as 
mesmas condições
Probabilidades
Curso Masculino Feminino Total
Matemática Pura 70 40 110
Matemática Aplicada 15 15 30
Estatística 10 20 30
Computação 20 10 30
Total 115 85 200
Sexo
Probabilidades
• Análise conjunta de eventos
Se tivermos o evento A e B:
• A U B -> reunião dos eventos A e B. 
• Quando pelo menos um dos eventos ocorre
• 𝐴 ∩ 𝐵 -> intersecção dos eventos A e B.
• Quando A e B ocorrem simultaneamente
Probabilidades
• S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
• A= {7} e B ={2,4,6,8,10}
• A U B = {7,2,4,6,8,10}
• A B = impossível
U
Probabilidades
• Tipos de eventos
• Mutuamente exclusivos
• Eventos não mutuamente exclusivos
• Complementar
• Condicionais
• Independentes
Probabilidades
• Para dois ou mais eventos a chance de ocorrer pelo menos um dos 
eventos é dada pela soma das probabilidades individuais:
P(A U B) = P(A + B – Intersecção AB) = P(A) + P(B) - 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
• Regra da adição de probabilidades
• Essa regra pode ser extrapolada para um número maior de eventos, 
desde que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos. Em eventos 
mutuamente exclusivos a intersecção é igual a 0.
Probabilidade
• Se lançarmos um dado:
• Evento A = {3}
• Evento B = {Sair um número ímpar}
• Qual a probabilidade de ocorrer o evento A ou B
Probabilidade
• Se lançarmos um dado:
• Evento A = {3}
• Evento B = {Sair um número ímpar}
1
6
+
3
6
−
1
6
=
1+3−1
6
= 0,5
Probabilidades
• Evento complementar
Probabilidades
• Probabilidade condicional
• Sendo A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral S. A 
probabilidade condicional do A, tendo ocorrido o evento B será 
indicada por P(A/B).
• Dado que seja escolhido um aluno ao acaso e que este esteja 
matriculado no curso de Estatística, qual a probabilidade de ser uma 
mulher?
Probabilidades
Curso Masculino Feminino Total
Matemática Pura 70 40 110
Matemática Aplicada 15 15 30
Estatística 10 20 30
Computação 20 10 30
Total 115 85 200
Sexo
Probabilidades
• Probabilidade a priori e probabilidade a posteriori
• a priori = Probabilidade de uma mulher
• a posteriori = Probabilidade de uma mulher depois que alguém do 
curso de estatística foi selecionado.
• No exemplo citado, a ocorrência de B aumentou a chance de 
selecionarmos uma mulher
Probabilidades
•𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑛
𝑃(𝐵)
𝑛
• Regra do produto das probabilidades => ocorrência simultânea de 
dois eventos de um mesmo espaço amostral
• Eventos independentes
Probabilidades
• Teorema de Bayes
• Relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa -> inferência 
estatística
• Sejam A1, A2,....,An, n eventos mutuamente exclusivos tais que a reunião da A1
U A2 U....An = S. 
𝑃 𝐴𝑖 𝐵 = 
𝑃 𝐴 ∗ 𝑃(𝐵|𝐴)
𝑃 𝐴1 ∗𝑃 𝐵 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 ∗𝑃 𝐵 𝐴2 +…..+𝑃 𝐴𝑛 ∗𝑃(𝐵|𝐴𝑛)
• Sorteamos uma urna e desta retiramos uma bola branca. Qual a 
probabilidade da bola ter vindo da urna 2?
Probabilidades
• Probabilidades a priori
P(u1); P(u2); P(u3)
• Probabilidades condicionais
P(br/u1); P(br/u2); P(br/u3)
P(u2/br) = ?
Probabilidades
• Exercício 1
Probabilidades
• Exercício 2
A chance de um aluno resolver esse exercício é de 5/15. A chance de 
um outro aluno resolver esse exercício é de 4/10. Qual a chance do 
exercício ser resolvido?