08-ESTATISTICA-5

Prévia do material em texto

Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
	
TEMA 05: PROBABILIDADE – Introdução & Propriedades 
 
Introdução 
 
Há muita História por trás do desenvolvimento da Estatística, em específico do ramo do 
cálculo de Probabilidades. Já no séc. XII, os cálculos realizados por Aben Ezra com a 
finalidade de fazer previsões astronômicas (motivados por estudos hebreus/judeus da 
bíblia), podem ser considerados os primeiros rascunhos rumo à Teoria das Probabilidades. 
O livro “Jogos de Azar, de Girolamo Cardano, publicado por volta de 1550, é o primeiro 
manual organizado que traz algumas noções sobre probabilidade. 
No séc. XVII os matemáticos Blaise Pascal e Pierre de Fermat estabeleceram conceitos 
como expectativa, chance e média. Em 1657, Christian Huygens publicou seu livro “O 
Raciocínio nos jogos de dados”, onde apresenta importantes contribuições ao estudo das 
probabilidades. 
Finalmente em 1812, o matemático Pierre Simon Laplace, em seu livro “Teoria Analítica da 
Probabilidade”, deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições que 
estabeleceu a Probabilidade e a Estatística como importantes ramos da Matemática. 
 
Dica de leitura (livro): “O andar do bêbado: como o acaso determina nossas vidas”, de 
Leonard Mlodinow. 
 
DEFINIÇÕES E CONCEITOS 
 
 
1. Experimentos Aleatórios 
 
São aqueles que, repetidos em condições idênticas, não produzem sempre o mesmo 
resultado. 
 
2. Espaço Amostral (U) 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, normalmente 
indicado pela letra U. 
 
2.1 Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral 
 
Exemplo 1: lançamos três moedas e observamos as faces que ficam voltadas para cima. 
Representar (a) o espaço amostral do experimento e (b) o evento A: sair exatamente uma 
cara. 
 
Solução: 
 
(a) U = {(Ca,Ca,Ca); (Ca,Ca,Co); (Ca,Co,Ca); (Co,Ca,Ca); (Ca,Co,Co); (Co,Co,Ca); 
(Co,Ca,Co); (Co,Co,Co)} 
 
Este resultado pode ser obtido com o auxílio da árvore de decisões. 
 
(b) A = {(Ca,Co,Co); (Co,Co,Ca); (Co,Ca,Co)} 
 
3. Tipos de Eventos 
 
Considere o lançamento de um dado. O espaço amostral será: 
U = {1,2,3,4,5,6} 
 
Veja os diversos tipos de eventos que podemos definir para este experimento: 
3.1 Evento Elementar: qualquer subconjunto unitário de U. Exemplo: A= {5}, B = {3}, C = 
{2}. 
3.2 Evento Certo: é o próprio espaço amostral, U. Exemplo: ocorrência de um divisor de 60 
à à D = {1,2,3,4,5,6}. 
3.3 Evento Impossível: é o conjunto vazio, { } ou f. Exemplo: ocorrência de um múltiplo de 
8 à E = { } 
 
3.4 Evento União: é a reunião de dois eventos. Exemplo: Evento A, ocorrência de um 
número primo, A = {2,3,5}; evento B, ocorrência de um número ímpar, B = {1,3,5}. Evento 
J ∪ L = {1,2,3,5}. 
 
3.5 Evento Intersecção: é o conjunto formado apenas pelo elementos em comum a dois, 
ou mais, conjuntos. Exemplo: Evento A, ocorrência de um número primo, A = {2,3,5}; evento 
B, ocorrência de um número ímpar, B = {1,3,5}. Evento J ∩ L: ocorrência de um número 
primo e ímpar. J ∩ L = {3, 5}. 
 
3.6 Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral são 
chamados mutuamente exclusivos quando 9! ∩ 9" = {	}. Exemplo: evento A, ocorrência de 
um número par, A = {2,4,6} e evento B, ocorrência de um número ímpar, B= {1,3,5}. A e B 
são eventos mutuamente exclusivos, pois J ∩ L = {	}. 
 
3.7 Evento Complementar: é o evento 9+ = N − 9. Exemplo: evento A, ocorrência de um 
número primo {2,3,5}, e evento J̅, ocorrência de um número não primo, J̅ = N − J = {1,4,6}. 
Ou seja J ∪ J̅ = N. 
 
4. Probabilidade Estatística: quando o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer é 
feito experimentalmente, essa probabilidade é chamada experimental ou estatística. Por 
exemplo, a probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida através do 
levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos. 
 
5. Probabilidade Teórica: quando o cálculo da probabilidade de um evento aleatório é 
feito sem a necessidade de ‘estudos de caso’, apenas com as informações teóricas 
pertinentes ao evento. É esse tipo de cálculo no qual nos iremos concentrar. Esta 
probabilidade é dada por: 
 
P(J) = SúU>V@	E>	WXY@Y	8XZ@VáZ>\Y	X	JSúU>V@	E>	WXY@Y	]@YYíZ>\Y =
S(J)
S(N) 
 
Exemplo 2: retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a 
probabilidade de que a carta retirada seja um rei? 
 
Solução: G(!) = /ú!"9#	;"	.-<#<	=->#9á>"@<	-	A/ú!"9#	;"	.-<#<	B#<<í>"@< G(!) =
D
E4 =
5
5F = 0,0769 = 7,69% 
 
Exemplo 3: em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a 
probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais. 
 
Solução: podemos montar a árvore de decisões e obter os conjuntos: U = {(1,1); (1,2); 
(1,3),...,(6,4); (6,5); (6,6)}, ou seja, n(U) = 36. Já o conjunto de eventos favoráveis é E = 
{(1,1); (2,2); (3,3), (4,4); (5,5); (6,6)}, em que temos n(E) = 6, logo: 
 
 G(!) = /(H)/(J) =
6
F6 =
5
6 = 0,1667 = 16,67% 
 
Exercício 1: considerando as seis permutações possíveis dos números 1, 2 e 3, uma é 
escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine 
a probabilidade de ele ser (a) par; (b) múltiplo de três e (c) múltiplo de 5. (1/3; 1; 0) 
 
 Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil Estatística – Prof. Dr. Pedro Ivo Brasil 
	
6. Propriedades das Probabilidades 
 
6.1 A probabilidade do evento impossível é 0. P(f) = 0; 
6.2 A probabilidade do evento certo é 1, ou 100% à P(E) = n(E)/n(U) = n(U)/n(U) = 1 = 
100%; 
6.3 Sendo A um evento de espaço amostral U, a probabilidade de A é um número racional 
entre 0 e 1, ou seja, 0 ≤ P(J) ≤ 1; 
6.4 Sendo J um evento e J̅ seu complementar, então P(J) + P(J̅	) = 1. 
 
Demonstração: sabemos que S(N) = S(J) + S(J̅	) , dividindo toda a equação por S(N) 
temos /
(J)
/(J) =
/(A)
/(J)+
/(A̅	)
/(J) que pode ser escrita como 1 = P(J) + P(J̅	), C.Q.D. 
 
 
Exercício 2: os 900 números de três algarismos estão colocados em 900 envelopes iguais. 
Um dos envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, 
pelo menos, dois algarismos iguais? Dica: use a propriedade de eventos complementares, calculando a 
probabilidade da quantidade de números sem repetição de algarismos. 28% 
 
Exercício 3: três moedas são lançadas simultaneamente. (a) Descreva o espaço amostral e 
(b) calcule a probabilidade de se obter três coroas. 
 
Exercício 4: dois dados são lançados simultaneamente e observadas as faces voltadas 
para cima. Determine (a) o espaço amostral do experimento e (b) o evento A: a soma é 
maior que 8 
 
Exercício 5: lançando-se um dado honesto, qual a probabilidade de se obter um número 
menor que 4? 50% 
 
Exercício 6: uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a 
probabilidade de que esta carta seja (a) uma dama e (b) uma dama ou um rei. 1/13 e 2/13 
 
Exercício 7: uma moeda não viciada é lançada três vezes seguidas. Qual a probabilidade 
de se obter (a) 3 coroas, (b) obter exatamente 2 caras e (c) obter pelo menos 2 caras? 1/8, 3/8, 
1/2 
 
Exercício 8: numa urna existem 1000 bolas numeradas de 1 a 1000. Retirando-se uma bola 
ao acaso, qual a probabilidade de (a) se observar um número múltiplo de 7 e (b) o número 
obtido não ser múltiplo de 7? 14,2% e 85,8% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICA DE LEITURA
pedro.brasil docente.unip.br
201042021
PROBABILIDADES
CONCEITOS BÁSICOS
1 Experimentos Aleatórios plmesmas condições temos
resultados diferentes
2 Espaço Amostral U conjunto 4 todos os eventos
possíveis
ex.is moeda U Ca Ca
evento evento
dado U 1,2 3,4 5,6
2 1 Evento subconjunto de U
3 Tipos de Eventos
E x base seja o lançamento de um dado A l 4345
3 1 EventoElementar A_111,1314 C134
subconjunto unitário
3 2 Evento Certo lcerteza U
mex divisores de 60 3,451,1912
O lançamento de um dado com certeza resulta
em um no que é divisor de 60
3.3 Evento impossível p ou
ex lançar um dado e obter um no maior
que 6
a ftp 34,56
3.4 Evento Unido U III
ex em um dado números primos A 12 3,5
números pares 13 144,61
números ou pares Av B 33,4 5,6
primos
3 5 Evento Intersecção n ae
ex em um dado números primos A 12 3,5
números pares 13 144,61
números e pares A AB a
primos
a
3.6 Eventos mutuamente exclusivos quando
não há intersecapletementos em comum
eventos
ex nospares A 2 4,6 A AB
nos ímpares 13 11 3,5 ou
3.7 Evento Complementar E E U
para U 1,2 3,4 5,6
evento E ir se E 1,2 3,64
evento complementar É U E
E 4,5
no divisores de 6
4 Probabilidade Estatística
É obtida empiricamente com pesquisaEVENTOSde campo para variáveis que não têmvalor predeterminado
5 Probabilidade Teórica
Sem a necessidade de experimentos efetivamente
probabilidade
q
evento
p no
de eventos favoráveis
PLA n A
n Lu
no total de possibilidades
noelamis do espaço
lançamentode amostral
uma moeda
ex evento A tirar cara PLA 0,550
lancamentode
um dado
evento B n menor que 3 PIB 3,3J
B no maior ou igual a 3 66,67
se
j zÍÉÉ
HÃ impart Esses
2 1 3 6 e
2 3 1 61 b Binuitt 3 P B 100
1 2 61
3 2 1 61 c mútt 5 Plc 0g 0
nenhum
termina em OMS
6 Propriedades das Probabilidades
6 A probabilidade do evento impossível P 0
6 2 certo PE 111004
6 3 probabilidades sempre Of PIA E 100
6 4 Eventos complementares sempre têm PLAYMATE
1004
CASA
TENTAR
CASA
TENTAR
wifi.iq f
i r
E sjs
números stiff de algarismos
C D V
HEI 648 possibilidades de nos
Üoff Ü
t sem repetiu
logo temos 900 648 252 nos d repetirão
U E E
Espaçoamostral Enffementar
eventosfavorável
Portanto a probabilidade é p
de nos4 repetia 900
total de
Ped 28
eventos
Evâtos lca.co.ca Ca Ca Ca
1Moeda 2 Moeda 3amada
Z z z 8resuftfg.rs
ca 8
Ca Ca Ca
Ca Ca Ca
a A ESPAÇOWwii AMOSTRAL
b lcqco.co P 1zI 12,5mina
Dois dados
DADO 1 DADO 2 a
6possibis 6pohibb 36totdyespa.co AMOSTRAL
1 1 1411,1 21,1731 141,451,46
2 2 711,134,14 14411451,146
3 3
4 4
5 5 6,416,216,31 6,4 6,516,6
6 6
b soma maior que 8
A 13,6
4,5 14,6
15,4 5,5 15,6
6,31 6,4 16,5 6,6