APOST -MAT-FINAN-CCONTAB-2015

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO 
UNINOVE 
 
 
 
 
 
Material de apoio 
Matemática Financeira 
5ª edição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
 
 
 
 
 
 
 
Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
São Paulo, 2015 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 2 
 
ÍNDICE 
 
APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................... ...................................................03 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...............................................................................................04 
 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................. ...................................................04 
REGRA DE TRÊS SIMPLES ..................................................................................................................... ...................................................04 
 PORCENTAGEM ............................................................................................................................................ ...................................................05 
JUROS .................................................................................................................................................................... ...................................................09 
 JUROS SIMPLES............................................................................................................................................. ...................................................11 
DESCONTOS .SIMPLES... ........................................................................................................................... ...................................................19 
JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................................... ...................................................23 
DESCONTOS COMPOSTOS ...........................................................................................................................................................................28 
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS........................................................................................... ...................................................30 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO FLUXO DE CAIXA ............................................................................................................38 
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E PERPETUIDADE......................................................................................................................42 
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS .................................................................................... ...................................................47 
 POSTECIPADA ................................................................................................................................................ ...................................................47 
 ANTECIPADA........................................................................................................................................................................................................55 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO................................................................................................................................................................61 
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE.............................................................................................................61 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE -SAC ................................................................ ...................................................73 
EXERCICIOS SUPLEMENTARES...............................................................................................................................................................76 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................................................................88 
 ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C.....................................................................................90 
 
 
 
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ou quaisquer outros. 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
Caro(a) aluno(a), 
 
 
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam 
diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras 
específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e 
profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será 
que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas? 
 
 Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e 
linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas 
que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a 
acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe 
disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das 
ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a 
decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu 
vocabulário quanto de seu repertório de práticas. 
 
 O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o 
desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes 
aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como 
objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da 
matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil 
compreensão. 
 
 Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e 
apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve 
como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, 
em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. 
 
 
 
O autor, 
 
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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em função 
do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo do 
valor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo da 
matemática financeira. 
 
 Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas 
operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o risco 
envolvido em várias operações de créditos. 
 
 Prejuízo (ou despesa): Emqualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de 
juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como 
pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de 
despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira. 
 
 Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o 
como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou 
simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a 
calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado. 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que é 
direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. 
 
 A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas. 
 
Exemplos: 
 
1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m? 
 
Resolução: (grandezas diretamente proporcionais) 
Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. 
Chamamos de x o valor que desejamos conhecer. 
Então dispomos em duas colunas: 
 Comprimento(m) Preço(R$) 
 6 15 
 8 x 
 
Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada para 
ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma 
segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 
 
 6 15 
 8 x 
 
 Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas: 
 
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 6 = 15 
 8 x 
 
 e determinamos o valor de x: 
 
 x = 8 . 15  x = 120  x = 20 
 6 6 
 
 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 
 
2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma 
obra? 
 
Resolução: (grandezas inversamente proporcionais) 
 
Então dispomos em duas colunas: 
 Operários Dias 
 6 10 
 20 x 
 
A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com 
uma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim: 
 
 6 10 
 20 x 
Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandeza 
inversamente proporcional à de número de dias): 
 20 10 
 6 x 
 Daí: 
 
 20 = 10 
 6 x 
 e determinamos o valor de x: 
 
 x = 6 . 10  x = 60  x = 3 
 20 20 
 
 Logo, serão necessários: 3 dias. 
 
PERCENTAGEM (%) 
 
Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo: 
 
“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” 
“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.” 
“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.” 
“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.” 
Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. 
 
 
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Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma 
taxa. 
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 
Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. 
 No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual. 
 
Representando: 
O principal por P; 
A porcentagem por p; 
A taxa por i; 
Temos, genericamente: 
100
i
P
p

 
 
 
3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00? 
Resolução: 
Neste caso teremos que: 
 
 p 10 
 
800 100 
 
100p = 800 . 10 
100p = 8000 
 p = 8000/100 
 p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E X E R C I C I O S 
 
REGRA DE TRÊS 
 
1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg? 
 R. R$ 37,50 
 
2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20 
 
3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 
R. R$ 1463,00 
 
4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas 
 
5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 
refrigerantes? R. 8 horas 
 
6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários para 
fazer o mesmo muro? R. 6 dias 
 
7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo 
conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias 
 
8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo 
trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg 
 
9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam 
essa casa? R. 90 dias 
 
10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, 
aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas 
 
11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, 
nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias 
 
12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviço 
em 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas três 
máquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos 
 
PORCENTAGEM 
13) Calcule as porcentagens: 
 
a) 8% de R$ 700,00 R p = 56 
b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 200 
c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 600 
d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 0,48 
 
14) Qual a taxa percentual que: 
a) 125 representa de 250? R. i = 50% 
b) 112 representa de 320? R. i = 35% 
c) 28 representa de 80? R. i = 35% 
d) 352 representa de 1800? R. i = 19,55% 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. PauloSergio P. da Silva 8 
15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$ 
120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado 
de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxas 
de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem á 
vista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c) 
 
a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00 
 
16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionários 
ausentes? R. i = 3% 
 
17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia: 
 
 
 R$ 367,20 x 4 
 ou 
 R$ 1.080,00 à vista 
 
 
Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36% 
 
18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO: 
R. 7% 
 DESINFETANTE PINHO CHEIRO 
Água 47g 
Álcool 12g 
Sabão 7g 
Óleo pinho 34g 
TOTAL 100g 
 
19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultado 
obtido foi o seguinte: 
PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOAS 
Azul 11 
Branco 9 
Preto 1 
Verde 10 
Amarelo 14 
Vermelho 5 
 
Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ? 
R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%. 
 
20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dos 
estudantes ausentes? R. i = 5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 9 
JUROS (J) 
 
 É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a 
partir de dois pontos de vista: 
 
- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, 
etc. 
 
- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc. 
 
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprio 
ou de terceiros. 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P) 
 
 É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação 
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou 
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros. 
Taxa (i) 
 
 É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado 
em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como por 
exemplo: 
- taxa de inflação; 
- taxa real de juros; 
- taxa acumulada; 
- taxa unitária; 
- taxa percentual; 
- taxa over; 
- taxa equivalente; 
- taxa nominal, entre outras. 
- 
Prazo ou Tempo ou Períodos (n) 
 
 É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para 
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um 
exemplo: 
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc. 
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias, 
um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de como 
estão sendo tratados nos problemas. 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S) 
 
 É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira 
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J). 
 
Assim temos: M = C + J 
 
Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 10 
Exemplo 01: 
 
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foi 
o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ? 
 
Solução algébrica: 
J = 78,25 C= 1.568,78 M = ? 
M = C + J 
M = 1,568,78 + 78,25 
M = R$ 1.647,03 
 
 
Exemplo 02: 
 
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 e 
que gerou um montante de R$ 1.380,75 ? 
 
 
Solução algébrica: 
C = 1250,18 M= 1380,75 J= ? 
J = M - C 
J = 1380,75 – 1250,18 
J = R$ 130,57 
 
 
Exemplo 03: 
 
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimento 
deste investimento foi de R$ 378,25 ? 
 
Solução algébrica: 
M= 1500,00 J=378,25 C= ? 
C = M - J 
C = 1500,00 – 378,25 
C = R$ 1.121,75 
 
 
Regimes de Capitalização 
 
 São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em 
Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente. 
 
Exemplo 04: 
 
Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor 
acumulado no final de cada período pelo regime de capitalização simples ? 
Solução algébrica: 01 
Regime de Capitalização Simples 
n Capital aplicado(R$) Juros de cada período Montante 
1 1000,00 1000 . 0,1= 100 1000 + 100 = 1100,00 
2 1000,00 1000 . 0,1 =100 1100 + 100 = 1200,00 
3 1000,00 1000 . 0,1 =100 1200 + 100 = 1300,00 
Solução pela HP-12C 
 
1568,78 ENTER 
 
78,25 + 
 R$ 1.647,03 
Solução pela HP-12C 
 
1380,75 ENTER 
 
1250,18 - 
 
 R$ 130,57 
Solução pela HP-12C 
 
1500 ENTER 
 
378,25 - 
 
 R$ 1.121,75 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 11 
JUROS SIMPLES 
 
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime de 
juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ou 
seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros. 
 
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples: 
 
 J= PV . i . n 
 
Colocando o PV em evidência, teremos: 
 
 PV = J 
 i.n 
 
Colocando o n em evidência, teremos: 
 
 n = J 
 PV.i 
 
Colocando o i em evidência, teremos: 
 
 i = J ou i = FV - 1 
 PV.n PV 
 
 
Exemplo 05: 
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao 
mês. 
 
Solução algébrica: 
 
J = 1250 . 0,055 . 5 
J = R$ 343,75 
 
 
 
 
 
Exemplo 06: 
 
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% ao 
mês ? 
 
Solução algébrica: 
J= 342,96 
PV = 342,96 
 0,025 . 11 
 
PV = 342,96 = R$ 1.247,13 
 0,275 
 
Solução pela HP-12C 
 
1250,00 ENTER 
 
0,055 X 
 
5 X 
R$ 343,75 
 
 
 
 
 
 R$ 1.121,75 Solução pela HP-12C 
 
342,96 ENTER 
 
0,025 ENTER 
 
11X ÷ 
R$ 1.247,13 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 12 
 
Exemplo 07: 
Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobre 
uma prestação de R$ 537,17. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ? 
 
Solução algébrica: 
i = 2,14 
 537,17 . 1 
i = 2,14 = 0,003984.... 
 537,17 
i = 0,003984 . 100 
i = 0,3984% ao dia 
imensal = 0,3984 . 30 
imensal = 11,95% 
 
 
Exemplo 08: 
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45 
com uma taxa de 1,5% ao mês ? 
Solução algébrica: 
n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45 
n = 226,45 = 226,45 
 967,74 . 0,015 14,52 
 
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias 
 
 
 
 OBSEVAÇÃO: 
 
- A parte inteira 15 representa os 15 meses. 
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmos 
os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18). 
 
 
Exemplo 09: 
André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. André 
efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? 
Qual foi a taxa mensal de juros? 
Solução algébrica: 
PV = 15,00 
FV = 23,75 
N = 6 meses 
i(ac) = ? 
imensal = ? 
 
 
 
 
 
 
 
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) 
Solução pela HP-12C 
2,14 ENTER 
 
537,17 ENTER 
 
1 
 
100 30 
11,95% ao mês 
 
 
X 
X 
X 
 
Solução pela HP-12C 
 
226,45 
 
967,74 
 
0,015 
 
15,60meses 
 
 
ENTER 
X 
ENTER 
 
 
 
i(ac) = 23,75 - 1 . 100 
 15 
 
 
i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100 
 
i(ac) = 0,5833 . 100 
i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestre 
imensal = 58,33 / 6 
imensal = 9,72% ao mês 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
15 
 
23,75 
 
 
 58,33 a . p. 
 
6 
 
 9,72% ao mês 
ENTER 
% 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 13 
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias, 
onde tenhamos que: 
FV = PV + J e J = PV . i . n 
Assim teremos: 
 
FV = PV ( 1 + i . n) 
 
Exemplo 10: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90 
dias, a uma taxa de 1,45% ao mês? 
 
Solução algébrica: 
n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ? 
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3) 
FV = 84.975,59(1 + 0,0435) 
FV = 84.975,59(1,0435) 
FV = R$ 88.672,03 
 
 
 
 
 
 
 
Capital (C) ou Valor Presente (PV) 
 
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montante 
ou Valor Futuro (FV). 
 
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n) 
Colocando PV em evidência: 
 
 PV = FV 
 (1 + i . n) 
 
Exemplo 11: 
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 
3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. 
 
 Solução algébrica: 
 
PV = 84.248,00 
 (1 + 0,0177 . 3) 
 
PV = 84.248,00 = 84.248,00 
 (1 + 0,0531 ) 1,0531 
 
PV = R$ 80.000,00 
 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
84975,59 
 
1,45 
 
3 
 
R$ 88.672,03 
ENTER 
% 
X + 
Solução pela HP-12C 
 
84248 
 
1 
 
0,0177 
 
3 
R$ 80.000,00 
ENTER 
ENTER 
ENTER 
X
x 
+  
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 14 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00 
 
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine a 
taxa correspondente. R. i = 2,5% 
 
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. 
Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655% 
 
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de 
5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim 
 
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias? 
R. PV = R$ 2827,38 
 
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ? 
 R. J = R$ 525,00 
 
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à 
taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51 
 
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular a 
taxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m. 
 
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha? 
R. i = 48% aa 
 
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimento 
deste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 221,50 
 
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre uma 
prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira? 
R. i = 21,1% am. 
 
12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ? 
R. PV = R$ 5000,00 
 
13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao 
mês. R. J = R$ 343,75 
 
14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a. 
Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00 
 
15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8% 
a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00 
 
16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% 
a.m.? R. PV = R$ 30000,00 
 
17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18 
meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ 108000,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 15 
18) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ 108.000,00, à taxa de 
juros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ 150000,00 
 
19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00, durante 15 meses, à 
taxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ 406000,00 
 
20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ 23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa de 
juros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00 
 
21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ 20.000,00, se transforme à taxa de 3% ao 
mês, em R$ 23.600,00? R. n = 6 meses 
 
22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de 
entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. 
Admitindo-se o regime de jurossimples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo 
é de: R. (b) 
 
a) 94% 
b) 96% 
c) 98% 
d) 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 16 
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes 
 
 Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período da 
taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente . 
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período 
de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento. 
 
Exemplo 12: 
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de 
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ? 
 
Solução algébrica: 
PV = 15.000,00 
i = 28% ao ano 
n = 92 dias 
J = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Exato e Comercial 
 
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário, 
ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo: 
Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. 
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim, 
um ano comercial vai ter sempre 360 dias. 
 
Exemplo 13: 
 
Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com a 
taxa de 48% ao ano. Pede-se: 
 a) Determinar os juros exato 
 b) Determinar os juros comercial 
 
Solução algébrica: 
PV = R$ 14.500 
i = 48% ao ano 
 
a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88 
 365 
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00 
 360 
 
Opção1: transformando a taxa 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,000778 . 92 
J = R$ 1.073,33 
Opção2: transformando o prazo 
J = 15000 . 0,28 . 92 
 360 
J = 15000 . 0,28 . 0,255556 
J = R$ 1.073,33 
Opção3: transformando o produto 
J = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00 
 360 360 
J = R$ 1.073,33 
 
Solução pela HP – 12C 
 
15000 
 
0,28 
 
92 
 
360 
 
R$ 1.073,33 
ENTER 
X 
X 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE e 
JUROS EXATO E COMERCIAL 
Considerar o ano comercial (360 dias) 
 
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros 
simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato 
(365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61 
 
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/01 sendo quitada em 17/05 do mesmo 
ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial. 
R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27 
 
3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para: 
a) 7 dias; R. 0,77% 
b) 29 dias; R. 3,22% 
c) 1 mês; R. 3,33% 
d) 32 dias; R. 3,56% 
e) 1 trimestre; R. aprox. 10% 
f) 45 dias; R. 5% 
g) 1 semestre; R. aprox. 20% 
 
4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo 
de 32 dias. R. J = R$ 821,18 
 
5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês. 
R. J = R$ 268,33 
 
6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês. 
R. i22dias = 2,24% 
 
Solução pela HP-12C 
 
14500 
 
0,48 
 
42 
 
365 
 
R$ 800,88 
 
14500 
 
0,48 
 
42 
 
360 
 
R$ 812,00 
ENTER 
X 
X
x 
X
+ 
 
X 
ENTER 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 18 
7) Calcule a taxa mensal proporcional a: 
 
a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano. 
R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês 
 
8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro 
obtido. R$ 500,00 
 
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 
dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ 15.725,00 
 
 
10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regime 
de juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor do 
Montante final são: R. (c) 
 
a) R$ 946,67 e R$ 4946,67 
b) R$ 946,67 e R$ 4864,00 
c) R$ 864,00 e R$ 4864,00 
d) R$ 946,67 e R$ 8644,00 
e) R$ 360,00 e R$ 4864,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 19 
DESCONTOS 
 
 É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatado 
antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial, 
em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., pode 
levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente, 
libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar os 
tipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial). 
 
Desconto Racional ou Real Simples - “ desconto por dentro” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor 
de resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou 
de resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros 
simples. 
Vamos aplicar as seguintes fórmulas: 
 
Para calcular o desconto racional simples: 
 
 DRS = VN – VL 
 
 
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte 
fórmula: 
 
 DRS = VN . i . n 
 ( 1 + i . n ) 
 
 Para calcular o valor líquido: 
 
 VL = VN - DRS . 
 
O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula: 
 
 
 VL = VN . 
 ( 1 + i . n ) 
 
Exemplo 01: 
 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DRS = ? 
 
DRS = 25000,00 . 0,025 . 2 
 ( 1 + 0,025 . 2 ) 
DRS= 1250 
 1,05 
DRS = R$ 1190,48 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
1 ENTER 
0,025 ENTER 
2 X +  
CHS 
25000,00 + 
R$ 23.809,52 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 20 
VL = VN - DRS 
VL = 25000 – 1190,48 
VL = R$ 23.809,52 
 
Desconto Bancário ou Comercial - “ desconto por fora ” 
 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ou 
valor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto é 
obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco pelo 
prazo a decorrer até o vencimento do título. 
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula: 
 
 DBS = VN . i . n e VL = VN – DBS 
 
 
OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS 
 
Exemplo 02: 
 
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 i = 2,5% ao mês; DBS = ? 
DBS = 25000,00 . 0,025 . 2 
DBS = R$ 1250,00 
VL = 25000 – 1250,00 
VL = R$ 23.750,00 
 
Exemplo 03: 
 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de 
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia 
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria 
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? 
 
Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses; 
 id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%; 
i = 2,8% ao mês(empréstimo) 
VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ? 
ONDE: 
D = despesas 
DIOF = despesas com IOF 
Dadm = despesas administrativas 
VL = VN – DBS – DIOF - Dadm 
DBS = VN . id . n 
DBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00 
Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00 
DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50 
Solução pela HP-12C 
25000 ENTER 
0,025 X 2 X 
CHS 
25000 + 
R$ 23.750,00 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 21 
VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50 
VL= R$ 23.438,50 
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa desta 
operação será: 
i = FV - PV 
 FV . n 
i = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês 
 25.000(2) 50.000 
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção. 
 
Operações com um conjunto de títulos 
 
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô de 
títulos ou duplicatas. 
 
Exemplo 04: 
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa 
de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ? 
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento) 
A 2.500,00 25 dias 
B 3.500,00 57 dias 
C 6.500,00 72 dias 
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título. 
Solução algébrica: 
a)Duplicata A: 
DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50 
 30 
b)Duplicata B: 
DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50 
 30 
c)Duplicata C: 
DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00 
 30 
Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$ 225,00 
 
2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valor 
nominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3% 
 
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o 
borderô a seguir: 
 
a) 6.000 15 dias 
b) 3.500 25 dias 
c) 2.500 45 dias 
R. VL = R$ 11.768,00 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 22 
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um 
banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
R. VL = R$ 29408,00 
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao 
mês. R. VL = R$ 4461,11 
Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento) 
X 800,00 13 dias 
Y 1350,00 29 dias 
Z 2430,00 53 dias 
 
6) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, 
tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título? 
R. VL = R$ 2.740,00 
 
7) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento, 
sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, de 
quanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00 
 
8) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes de 
seu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no 
mercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00 
 
9) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não dispor 
de numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focal 
atual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor do 
novo título será de: R. VL = R$ 235.600,00 
 
10) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada dever 
ser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título? 
R. VN = R$ 3.000,00 
 
11) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxa 
de 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00 
 
12) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3 
meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1% 
 
13) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00, 
que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias 
 
14) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento. 
Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando: 
a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00 
b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 23 
JUROS COMPOSTOS 
 
 Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de juros 
sobre juros. 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil 
para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é 
conhecido por cálculo exponencial de juros. 
 
FÓRMULAS: 
 Para calcular o Montante: 
 
 
 FV = PV( 1 + i )
nMontante para taxa em meses consecutivos – ( Obs.: n sempre igual a 1) 
 
 FV = PV( 1 + i )
n 
.
 
( 1 + i )
n 
. ( 1 + i )
n 
..... 
 
 
 Para calcular o Capital: 
 
PV = FV 
 ( 1 + i )
n
 
 
 Para calcular a Taxa em período quebrado: 
 
 
 FV 
QQ/QT
 
 
 
 i = - 1 . 100 
 PV 
 
 
Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada) 
 QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado) 
 
 Taxa acumulada: 
 
 iac = FV - 1 
 PV 
 
 Para calcular o prazo : 
 
 n = LN (FV/ PV) 
 LN(1 + i) 
 
 
Onde: LN = Logaritmo neperiano 
Para calcular os juros : 
 
 J = PV[(1 + i )
n
 – 1] 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 24 
Exemplo 01: 
 
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. 
 
Solução algébrica: 
 
FV = 5000(1 + 0,04)
5 
FV = 5000(1,04)
5 
FV = 5000(1,2166529)
 
FV = R$ 6.083,26 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02: 
 
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ? 
 
Solução algébrica: 
PV = FV = 14000 
 ( 1 + i ) 
n 
(1,15)
6
 
 
PV = 14000
 
 = R$ 6.052,59
 
 2,31306
 
 
 
 
Exemplo 03: 
 
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja ? 
 
Dados: 
i = ? 
PV = R$ 10.210,72 
FV = R$ 14.520,68 
n = 276 dias 
 
Solução algébrica: 
 
i = 14.520,68 
30/276 
 - 1 . 100
 
 10.210,72 
 
 i = {(1,422101...)
0,108696...
 – 1} . 100 
 i = {0,039018...} . 100
 
i = 3,90% ao mês 
 
 
 
Solução pela HP-12C 
 
5000 
 
4 
 
5 
 
 
R$ 6.083,26 
CHS PV 
i 
n 
FV
V 
Solução pela HP-12C 
 
14000 
 
15 
 
6 
 
 
R$ 6.052,59 
CHS FV 
i 
n 
PV
V 
Solução pela HP-12C 
 
10210,72 
 
14520,68 
 
276 
 
30 
 
 
3,90% ao mês 
CHS PV 
i 
n 
FV
V 
ENTER 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 25 
Exemplo 04: 
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 
41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ? 
Dados: 
n = ? i = 3% ao mês 
PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33 
Solução algébrica: 
 
 LN 41.524,33 
 
 24278,43 
n = 
 LN ( 1 + 0,03) 
 
 n = LN(1,710338) 
 LN(1,03) 
 n = 0,536691... 
 0,029559... 
 
n = 18,156731... meses 
 
Exemplo 05: 
Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10% 
ao mês. 
Dados: 
PV = R$ 1.000,00? 
i = 10% ao mês 
n = 5 meses 
J = ? 
Solução algébrica: 
J= 1000[(1 + 0,10)
5
 – 1] 
J= 1000[(1,10)
5
 – 1] 
J= 1000[1,61051 – 1] 
J= 1000[0,61051 ] 
J= R$ 610,51 
 
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros 
 
As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas se 
adotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir: 
1 ano exato = 365 ou 366 dias; 
1 ano = 360 dias; 
1 semestre = 180 dias; 
1 trimestre = 90 dias; 
1 mês comercial = 30 dias; 
1 mês exato = 29 ou 31 dias; 
1 quinzena = 15 dias. 
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo 
n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias. 
 QT (Quanto eu Tenho) 
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV): 
 
 FV = PV (1 + i )
QQ/QT
 
Solução1 pela HP-12C 
 6 
 
41524,33 
 
24278,43 LN 
 
 
1,03 LN 
 
 
18,156731.. meses 
 
g 
g 
ENTER 
 
f 
Solução 2 pela HP-12C 
 
41524,33 
 
24278,43 
 
3 
 
 
 
19 meses 
FV 
PV 
i 
n 
CHS 
Solução pela HP-12C 
 
1000 
 
10 
 
5 
 
 1.610,51 
 
 R$ 610,51 
 
PV 
FV 
i 
n 
CHS 
RCL PV + 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 26 
Exemplo 06: 
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, 
para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos. 
Dados: 
PV = R$ 13.500,00 
i =25% ao ano 
n = 92 dias 
FV = ? 
 
Solução algébrica: 
 
FV = 13500(1 + 0,25)
92/360
 
FV = 13500(1,25)
0,255556
 
FV = 13500(1,058683) 
FV = R$ 14.292,22 
 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-se 
uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27 
 
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor 
resgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,69 
 
3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45 
com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56 
 
4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$ 
4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am. 
 
5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% ao 
mês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38 
 
6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, com 
uma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses. 
R. PV = R$ 1253,46 
 
7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ? 
R. J = R$ 875,97 
 
8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano, 
para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43 
 
9) Determinar o capital que, aplicado por 7 mesesa juros efetivos de 4% ao mês, rende R$ 
10.000,00. R. PV = R$ 31652,40 
 
10) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único 
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano? 
R. n = 5 anos 
OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias. 
As perguntas: 
Qual é o prazo que eu Quero? 
Qual é o prazo que eu Tenho ? 
Solução pela HP-12C 
 
13500 
 
1 0,25 
 
92 360 
 
 R$ 14.292,22 
ENTER 
ENTER + 
ENTER  
y
x
 X 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 27 
 
11) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5% 
ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período? 
R. FV = R$ 2802,32 
 
12) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a 
tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco. 
BANCO X Y Z 
Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês 
Prazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses 
 
a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco 
 R. FVx = R$ 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.742,07 
b) Qual é a melhor opção? 
 
13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feito 
em 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal de 
juros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m 
 
14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capital 
aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 10.000,00, determine: 
 
a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ 10.456,69 
b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. iac = 4,56% 
 
15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e as 
respectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos. 
 
Investidor Capital Taxa 
A 100 000 100% ao ano 
B 100 000 60% ao semestre 
 
Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b) 
 
a) 480.000 
b) 456.000 
c) 440.000 
d) 336.000 
e) 420.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 28 
 
DESCONTOS COMPOSTOS 
 
Desconto Racional Composto 
 
 O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou 
(VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto. 
 
 DRC = VN – VL 
 
 VL = VN .… 
 (1 + i)
n 
Exemplo 01: 
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerando 
uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento. 
Dados: 
VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ? 
 
Solução algébrica: 
VL = 5000 .…… 
 (1 + 0,035)
3
 
 VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= … 
 (1,035)
3 
1,10872 
DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29 
 
 
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos) 
 
O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado 
em nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), com 
vencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a 
VN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos 
verificar: 
 
 DBC = VN – VL 
Onde: DBC = Desconto Bancário Composto 
 
VL = VN (1 - i)
n
 
Exemplo 02: 
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa 
de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido 
creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido. 
 Solução algébrica: 
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 60dias (2 meses); 
 i = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ? 
VL = 25000(1- 0,025)
2
 
VL = 25000(0,975)
2 
VL = 25000 (0,950625) 
VL = R$ 23765,63 
DBC = 25000 – 23765,63 = R$ 1.234,38 
 
 
Solução pela HP-12C 
5000 FV 
3,5 i 
3 n 
PV 4509,71 
5000 + 
R$ 490,29 
Solução pela HP-12C 
 
25000 ENTER 
1 ENTER 
0,025 - 
2 Y
x 
 X 
23.765,63 
CHS 25000 + 
R$ 1.234,38 
FV 23795,35 
25000 - 
R$ 1204,64 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 29 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxa 
mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título? 
R. VL = R$ 45.000,00 
 
2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00 
considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu 
vencimento. R. DRC = R$ 206,62 
 
3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5% 
ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado na 
conta e o valor do Desconto Racional concedido. 
R. VL = R$ 16.257,39 e DRC = R$ 742,61 
 
4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 meses 
antes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82 
 
5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes do 
vencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano, capitalizado mensalmente. R. DRC = 681,17 
 
6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à uma 
taxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ 23.907,89 e DRC = R$ 1.092,11 
 
7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do 
vencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC. 
R. VL = R$ 4. 712,98 e DRC = R$ 287,02 
 
8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um título 
cujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de desconto 
composto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 30 
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS 
 
Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeira 
representam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco dias 
úteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito. 
 A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela soma 
da taxa média e dos encargos fiscais e operacionais. 
 
Taxas Equivalentes a Juros CompostosDuas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmo 
capital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento. 
 
 
 ieq = ( 1 + ic)
QQ/QT
 - 1 . 100 
 
 
Onde: 
ieq = taxa equivalente 
ic = taxa conhecida 
QQ = Quanto eu Quero 
QT = Quanto eu Tenho 
 
Exemplo 01: 
Calcular a equivalência entre as taxas: 
 
Taxa Conhecida Taxa equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5 ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias) 
 
Solução algébrica: 
 a) 
ieq = { ( 1 + ic)
QQ/QT
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,7958)
30/360
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,7958)
0,083333
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100 
ieq = { 0,049997 } . 100 
ieq = 5% ao mês 
 
 
Solução algébrica: Solução algébrica 
 c) 
 ieq = { ( 1 + 0,025)
105/30
 - 1 } . 100 
 ieq = { ( 1, 025)
3,5
 - 1 } . 100 
 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100 
 ieq = { 0,090269 } . 100 
 ieq = 9,03 %ao período 
 
 
Solução algébrica: 
 b) 
ieq = { ( 1 + 0,2859)
180/90
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1 + 0,2859)
2
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100 
ieq = { 0,653539 } . 100 
ieq = 65,35% ao semestre 
 
 
Solução pela HP-12C - a) 
1,7958 
 
30 360 
 
1 100 
 
5% ao mês 
ENTER 
ENTER  Yx 
- X
x 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação 
 
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e 
comerciais). 
 Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há 
inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes: 
- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação. 
 
Sendo: 
C: capital inicial 
R: taxa real de juros 
I: taxa de inflação 
i: taxa aparente 
 
 Procurando entender melhor: os nomes das taxas se referem essencialmente ao poder de 
compra, ou seja, real e aparente se referem, portanto, à capacidade do dinheiro realmente ou 
aparentemente comprar. 
A taxa aparente é aquela que é apresentada pelo investimento, pelo aumento de salário, 
pelo crescimento do PIB, etc. Assim, um investimento que rende 20% ao ano tem uma taxa 
aparente de 20% ao ano. 
Por que aparente? Porque aparentemente, o valor inicialmente aplicado é capaz de comprar 
20% a mais. Mas isso é falso! 
Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcularmos a 
verdadeira rentabilidade é necessário calcularmos a taxa real. 
Desse modo, o cálculo da taxa Real tem como objetivo descontar a Inflação deste ganho 
aparente. 
Se a inflação, por exemplo, for de 8% ao ano, fica claro que sua capacidade de compra não 
aumentou em 20%. 
E aí vem a Matemática: De quanto aumentou sua capacidade de compra? O pensamento 
natural é subtrair as taxas. As pessoas pensam assim. Mas subtrair não resolve esse problema. 
Vejamos uma situação: 
Suponha que você tenha hoje R$ 1000,00 e que um produto A custe, hoje, R$ 1,00. Você investe 
esse dinheiro, e um ano depois, ele rende alegres 20%. Entretanto, a inflação nesse período, para 
esse produto, foi de 8%. Assim você está mais rico, com R$ 1200,00 no bolso, mas o produto está 
Solução algébrica 
d) 
ieq = { ( 1 + 0,005)
360/1
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1,005)
360
 - 1 } . 100 
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100 
ieq = { 5,022575 } . 100 
ieq = 502,265% ao ano 
 
 
 
 
 
Solução algébrica 
e) 
ieq = { ( 1 + 0,25)
365/360
 - 1 } . 100 
ieq = { ( 1, 25)
1,013889
 - 1 } . 100 
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100 
ieq = { 0,253880 } . 100 
ieq = 25,39% ao período 
 
 
 
Daí, 
 
 (1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 32 
mais caro e custa R$ 1,08. Qual foi o aumento do poder de compra desse produto, ou seja, quantos 
produtos a mais você poderá comprar? Para isso basta comparar o antes e o depois. Uma simples 
divisão é o suficiente. Antes poderia comprar 1000 produtos. Agora pode comprar 1200/8 = 1111 
produtos, aproximadamente. Assim, seu poder de compra aumentou em 11,1% aproximadamente. 
Conclusão: APARENTEMENTE você estava 20% mais rico. Mas, REALMENTE você está apenas 
11,1% mais rico! As aparências enganam, não? 
 No entanto, a diferença entre taxa real e aparente é: 
- Que uma taxa está sempre referida a um período. Taxa e tempo são inseparáveis. 
- Que a rentabilidade proporcionada pelos investimentos é afetada pela inflação, por exemplo. 
 Matematicamente isso acontece, ao analisar o impacto da inflação e da variação cambial no 
poder de compra das pessoas e empresas. 
EXEMPLOS PRÁTICOS (Neste exemplo, temos uma investigação que mostra como a variação 
cambial altera o poder de compra e qual é a relação disso com as taxas reais e aparente). 
O sonho de consumo dos adolescentes no próximo ano será o “MP 20” (aparelho eletrônico “ultra-
mega-moderno”). Para atender à procura, as importadoras precisarão reforçar seus estoques. 
Considere que a empresa R3I importava, em dólar, 24 aparelhos "MP 20" a um custo total de R$ 
36.000,00. Com a valorização do dólar em relação ao real, mesmo que o preço dos aparelhos não 
varie, em dólares, compram-se menos aparelhos dispondo-se da mesma quantia em reais. 
 
 Fonte: http://eduardo.tetera.com.br/2008/10/a-nota-de-um-dolar-apos-a-crise-financeira-mundial 
Considerando que no mês de Outubro a alta do dólar foi de 20% em relação ao real, e que o preço 
do “MP 20” em dólares não variou, responda às questões a seguir: 
a) O que significa a expressão “... a alta do dólar foi de 20% em relação ao real”. Por exemplo, se 1 
dólar valesse 1 real, e sofresse um aumento de 20%, um dólar passaria custar quantos reais? E com 
um real, quantos dólares eu compraria agora? 
Solução: Se 1 dólar valia 1 real, com a alta, temos 1 dólar valendo R$ 1,20. Com isso, com 1 real, 
eu consigo comprar: 
1,00/1,20 = 0,83 dólares. 
 
b) Considere ainda a relação de 1 dólar para 1 real. Uma pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares 
antes do aumento. Outra pessoa tinha 1000 reais e comprou dólares depois do aumento. Quantos 
dólares cada uma comprou? 
Solução: 1000 x 1 = U$ 1000,00 e 0,83 x 1000 = U$ 833,33 respectivamente. 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 33 
c) Qual o novo custo (em reais) para a importadora de um “MP 20” após a alta do dólar 
mencionada? 
Solução: (36000/24) x 1.20 = R$ 1.800,00. 
 
d) Quantos aparelhos a menos a importadora poderá comprar com os mesmos R$ 36.000,00? 
Solução: 24/1,2 = 20  24 – 20 = 4 aparelhos a menos. 
 
Considerenos itens e, f, g e h que a empresa não repassará o aumento do dólar para o preço dos 
produtos. 
e) Se as vendas da empresam aumentarem em 40% durante um ano, qual o aumento real percentual 
da receita da empresa com a venda desse produto, considerando uma valorização de 20% do dólar 
em relação ao real. 
Solução: Observe que o preço para a importadora aumentou em 20%, apesar de não ter sido 
repassado para o cliente. Por outro lado, a importadora vende 40% a mais. Assim, entram 40% a 
mais de dinheiro, mas o produto está 20% mais caro, logo o ganho real para a importadora foi de 
1,40/1,20 = 1,1667 vezes, o que corresponde a 16,67%. 
Outra forma de pensar: 
Vendia 150.000 reais e comprava 100 aparelhos para revender. 
Agora eu vendo 40% a mais, logo vendo 210.000 reais. Mas o aparelho custa 1800, logo consigo 
comprar 116,67 aparelhos. Como o preço para o consumidor não aumentou, minha receita cresceu 
16,67%, em relação ao que vendia antes. 
 
f) Qual o fator de aumento das vendas, no item anterior? E qual foi o fator do aumento do dólar? 
Solução: 1,4 e 1,2 respectivamente. 
 
g) Dividindo esses fatores, obtemos um novo fator. Qual é a relação desse fator, com a taxa 
encontrada no item d? 
Solução: 1,40/1,20 = 1,1667. Fator que representa o ganho real. 
 
h) Qual foi a taxa aparente do aumento da receita pela venda dos aparelhos “MP 20”? Considerando 
a desvalorização do real, qual a taxa real do aumento da receita? 
Solução: A taxa aparente do aumento de receita é de 40% no período. A taxa real foi de 
16,67% no mesmo período. 
i) Se a empresa resolvesse aumentar o preço dos produtos em 10% para o consumidor aqui no 
Brasil, para minimizar a alta do dólar, qual seria o novo aumento real percentual da receita? 
Solução: Se os produtos aumentaram 10%, a receita, para a importadora com esse produto crescerá 
10%. Logo teremos: (1,40 x 1,1)/1,20 = 1,2833 vezes mais vendas, o que dá um aumento real de 
28,33%. 
OUTRO EXEMPLO PRÁTICO: Um banco oferece uma aplicação na qual a taxa de juros 
efetiva corresponde a 12% ao ano. Considerando-se que no mesmo período fora registrada uma 
inflação de 5%, podemos afirmar que a taxa de 12% oferecida pelo banco não foi a taxa real de 
remuneração do capital, mas sim uma taxa aparente, pois os preços nesse período foram 
reajustados. 
Para descobrirmos a taxa de juros real, devemos aplicar o capital à taxa de 12% e corrigir 
monetariamente o mesmo capital usando o índice inflacionário do período. Feitos esses cálculos 
basta realizar a comparação entre os valores obtendo a taxa real de rendimento. Supondo um capital 
de R$ 150,00, determine a taxa real de acordo com as condições demonstradas. 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 34 
Montante da aplicação referente à taxa de juros de 12% 
150 (1,12) = 168 
Montante da correção do índice inflacionário correspondente a 5% 
150 (1,05) = 157,5 
Observe que o ganho real foi de 168 – 157,5 = R$ 10,50 em relação ao valor corrigido de acordo 
com o índice inflacionário. Portanto, a taxa real pode ser dada pela seguinte divisão: 
10,5 / 157,5 = 0,066 = 6,6%  A taxa real foi de 6,6%. 
Exemplo 01: 
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do período 
for 11,9% ? 
Resolução: 
i = ? R = 9%ao ano I = 11,9% 
 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119) 
(1 + i) = (1,09) . (1,119) 
(1 + i) = 1,22 
 i = 1,22 - 1 
 i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano 
 
Exemplo 02: 
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for 
11,9% ? 
Resolução: 
i = 22% ao ano R = ? I = 11,9% 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119) 
 (1,22) = (1+ R) . (1,119) 
 1,22 = (1 + R) 
 1,119 
 1,09 = (1 + R) 
 1,09 – 1 = R 
 0,09 = R 
 R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano 
 
Exemplo 03: 
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real for 
no período 9% ? 
Resolução: 
I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano 
 
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I) 
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I) 
 (1,22) = (1,09) . (1 + I) 
 1,22 = (1 + I) 
 1,09 
 1,119 = (1 + I) 
 1,119 – 1 = I 
 0,119 = I 
 I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano 
Resolução pela HP 12C: 
 1,22 CHS FV 
 1,09 PV 
 1 n 
 i 11,9 
Resolução pela HP 12C: 
 1,22 CHS FV 
 1,119 PV 
 1 n 
 i 9 
 
Resolução pela HP 12C: 
 1,09 ENTER 
 1,119 X 
 1 - 
 100 X 22 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 35 
Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis 
 
 É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, 
atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. 
 A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas, 
nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativa 
como do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc. 
Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxa 
negativa (1 –i). assim teremos a seguinte fórmula genérica: 
 
 iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )– 1] . 100 
 
 
Exemplo 04 
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%. 
Resolução: 
iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100 
iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100 
iac = [1,1118...- 1] . 100 
iac = 11,18% ao período 
 
 
 
 
 
Taxa Média de Juros 
 
 Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade de 
elementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica: 
 
 ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]
1/n 
 - 1} . 100 
 
onde n = número de taxas analisadas 
 
Exemplo 05 
Com base nos dados a seguir calcular a taxa média. 
Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62% 
 IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23% 
 IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56% 
 IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00% 
 IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86% 
 
 
Resolução: 
im = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]
1/5
 – 1} . 100 
im ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]
1/5
 – 1} . 100 
im = {[1,033113...]
0,2– 1} . 100 
im = {0,006536} . 100 
im = 0,6536%ao mês 
 
 
 
Resolução pela HP 12C: 
 1,05 ENTER 
 1,03 X 
 1 ENTER 0,015 - X 
 1 ENTER 0,02 - X 
1,065 X 
1 - 100 X 
 11,18% 
Resolução pela HP 12C: 
 1,0062 ENTER 
 1,0023 X 
 1,0056 X 
 1,01 X 
 1,0086 X 
 5 1/X Y
X
 
 1 - 100 X 
 0,65% ao mês 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 36 
E X E R C I C I O S 
 
1) Determinar a taxa: 
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82% 
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99% 
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57% 
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09% 
 
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de juros 
reais quando a inflaçãofor de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa 
 
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que 
remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa 
 
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais, 
caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa 
 
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5. 
179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5% 
ao ano ? R. i = 36,5%aa 
 
6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real da 
operação? R. R = 3,32%aa 
 
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a 
taxa real? R. R = 7,14% 
 
8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs: 
Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para o 
ano de 1998. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa média no período? R. 1,82% ao mês 
b) Qual a taxa acumulada no período? R. 11,41% ao período 
 
9) Calcular a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%. 
R. iac = 8,56% ao período; im = 1,66% ao mês. 
 
10) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante os meses 
de junho/2000 a setembro/2000. 
 
Junho/2000 0,85% 
Julho/2000 1,57% 
Agosto2000 2,39% 
Setembro/2000 1,16% 
R. iac = 6,1% ao período 
11) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa mensal nominal de 36% ao ano. 
Utilize o conceito de juros compostos. R. (a) 
 
a) 2,595% ao mês 
b) 19,405% ao semestre 
c) 18% ao semestre 
d) 9,703% ao trimestre 
e) 6,825% ao bimestre 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 37 
12) Uma instituição financeira cobra uma taxa real aparente de 20% ano, com a intenção de ter um 
retorno real de 8% ao ano. Qual deve ser a taxa de inflação? R. I = 11,11% 
 
13) Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do 
período foi de 21%, determine a taxa real anual. R. R = 9,09% 
 
14) Qual deve ser a taxa aparente que equivale a uma taxa real de 1,2% ao mês e uma inflação de 
15% no período? R. i = 16,38% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 38 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO FLUXO DE CAIXA 
 Um diagrama de fluxo de caixa, é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos 
períodos e dos valores monetários envolvidos em cada período, considerando-se uma certa taxa de 
juros i. 
 Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados 
os valores monetários, considerando-se a seguinte convenção: 
 
 dinheiro recebido  seta para cima valor positivo 
 dinheiro pago  seta para baixo valor negativo 
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir: 
 
 O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento 
inicial de 800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 
no segundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano. 
 Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais 
referidos às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV). 
 
 O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. 
Neste caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto 
acima, concluímos que o valor presente (PV) do fluxo de caixa será: 
 
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos 
exemplos a seguir. 
Exemplo 01: 
Numa loja de veículos usados, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um carro: 
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do 
décimo segundo mês. 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 39 
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do 
segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento? 
Solução 
Inicialmente , devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes: 
PLANO A: 
 
PLANO B: 
 
Teremos para o Plano A: 
 
Teremos para o Plano B: 
 
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este 
plano A é mais atraente do ponto de vista do consumidor. 
Exemplo 02: 
Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00 
mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a 
entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atratividade é de 5% 
a.m.? 
Solução: 
Vamos desenhar os fluxos de caixa: 
À vista: 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 40 
À prazo: 
 
Vamos calcular o valor atual ou valor presente (PV) para esta alternativa: 
 
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso, é a melhor 
alternativa, do ponto de vista do consumidor. 
 
Exemplo 03: 
Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o 
seguinte plano: Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior 
à primeira, vencíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do 
mercado, calcule o valor da última parcela. 
Solução: 
 
Teremos: 
 
50000 = 15000 + 
1255,1
22500
 + 
2668,1
x
 
50000 = 15000 + 19991,11 + 
2668,1
x
 
50000 - 15000 - 19991,11 = 
2668,1
x
 
 15008,89 = 
2668,1
x
 
 x = 15008,89 (1,2668)  x = 19013,26 
Portanto, o valor da prestação é $ 19013,26 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 41 
E X E R C I C I O S 
1) Um terreno é comercializado à vista por R$ 4.500,00 e a prazo ele é oferecido com uma entrada 
de R$ 1.500,00 e uma única parcela de R$ 3.500,00. Pede-se: Determinar o fluxo desta operação. 
2) Um projeto de investimento inicial de R4 120.000,00 gera entradas de caixa de R$ 25.000,00; 
nos próximos 10 anos, em cada ano, será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção. 
Pede-se: Determinar o fluxo de caixa desta operação. 
3) Um investimento inicial de R$ 200.000,00 com entradas anuais de R$ 300.000,00 nos próximos 
10 anos, no final do 10º ano terá o ativo vendido por R$ 50.000,00. As saídas de caixa devem ser de 
R$ 20.000,00, exceto no quando uma reforma exigirá uma saída de caixa complementar de R$ 
500.000,00. Pede-se: Determinar o fluxo de caixa da operação. 
4) Uma empresa prevê o pagamento de R$ 2.000,00 daqui a um mês, $ 3.000,00 daqui a dois meses 
e $ 5.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% ao 
mês, para fazer frente a essas despesas sobrando saldonulo após o último pagamento? Pede-se 
também a representação gráfica do fluxo de caixa da operação. R. PV= R$ 9.664,01 
5) Uma loja vende um conjunto de sofás por R$ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de 
$ 800,00 cada uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% ao mês, quanto 
deverá dispor hoje para poder efetuar a compra? Pede-se também a representação gráfica do fluxo 
de caixa da operação. R. PV= R$ 2.843,53 
6) Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo em três prestações mensais 
iguais, sem entrada. Qual o valor de cada prestação se a loja pretende ganhar 3% ao mês no 
financiamento? R. PMT = R$ 530,30 
7) Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: $ 400,00 de entrada, mais 
duas parcelas mensais de $ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista do 
televisor se a taxa de juros mensal é de 3% ?R. o valor à vista é $ 1165,38. 
8) Numa loja de motocicletas usadas, são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de 
uma motocicleta: 
Plano A: dois pagamentos, um de R$ 1.000,00 no final do quinto mês e outro de R 1.2000,00 no 
final do nono segundo mês. 
Plano B: três pagamentos iguais de R$ 900,00 de dois em dois meses, com início no final do 
segundo mês. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 3% a.m., qual o melhor plano de pagamento? Qual 
o valor da diferença entre os valores do Plano A e o B? R. Plano A. Diferença de R$ 614.42 
9) Uma máquina pode ser adquirida pelo preço de $ 40.000,00 à vista ou, a prazo conforme o 
seguinte plano: Entrada de 25% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 40% superior 
à primeira, vencíveis em três e seis meses, respectivamente. Sendo 2% a.m. a taxa de juros do 
mercado. Pede-se: A representação gráfica do fluxo de caixa e o valor da última parcela. R. $ 
23.102,96 é a última prestação 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 42 
CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA E PERPETUIDADE 
 
Cada vez mais as operações financeiras ocorrem em tempo real, ou seja, instantaneamente. A 
capitalização contínua é uma dessas operações em que os juros são capitalizados instantaneamente. 
Mas você pode estar se perguntando: Em que mundo ocorre esse tipo de capitalização? Os juros não 
são devidos somente no final do período da operação? Respondemos que sim, mas existem 
modelos matemáticos no mercado de capitais que se utilizam desse conceito para tentar prever ou 
mesmo blindar determinadas operações que ocorrem nesse universo. Esse universo chama-se 
operações de opções, e utiliza o modelo matemático de uma dupla de pesquisadores denominados 
Black-Scholes. 
Outro conceito importante usado na matemática financeira é o de perpetuidade. Onde você irá 
usar esse conceito? Você fará uso do conceito de perpetuidade em larga escala no mundo 
corporativo, pois, por hipótese, as empresas são perpétuas. E, sendo perpétuas, suas ações tendem à 
perpetuidade, como é o caso de pagamento de dividendo aos seus acionistas. Você terá 
oportunidade de fazer aplicação desse conceito em finanças empresariais no modelo de um 
estudioso do assunto chamado Gordon. 
O conceito de capitalização continua será apresentado conforme, Hazzan e Pompeo (2006, p. 
53): "[...] se um capital PV é aplicado à taxa nominal i (num certo período) e o número de 
capitalizações tende a infinito, o montante naquele período é dado por: 
 
 FV = PV . e
i . n
 
 
Onde: 
FV = montante 
PV = Capital 
e = número neperiano ( que vale: 2,718281...) 
i = taxa 
n = prazo 
 
 Para entender melhor o conceito de capitalização contínua, vamos nos lembrar de eventos 
que ocorrem continuamente na natureza, por exemplo, o aumento da população de um país. As 
pessoas não nascem somente no final de cada período; muito pelo contrário, elas estão nascendo 
instantaneamente. Veja os exemplos a seguir. 
 
Exemplo 01: 
Conforme o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), a população brasileira em 2010 
era de 190.732694, e a taxa de crescimento da população é de 1,17% ao ano. Com base nessas 
informações, estime a população brasileira para daqui a 10 anos, usando o modelo de capitalização 
contínua. 
Dados: PV = 190.732.694 n = 10 anos i = 1,17% ao ano FV = ? 
Resolução algébrica: 
 
FV = 190.732.694 . e
0,0117 . 10
 
FV = 214.406.327,3 
 
 Portanto, a essa taxa de crescimento, a população brasileira daqui a dez anos será de 
214.406.327,3 pessoas. 
 
 Outros exemplos são encontrados nos mercados derivativos de bolsas, aos quais você será 
apresentado no devido tempo. Você já deve ter visto em noticiário de televisão o 
IMPOSTÔMETRO mantido pelo Instituto Brasileiro de Estudos Tributário, em que são 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 43 
apresentados, instantaneamente, o crescimento dos impostos pagos por nós, brasileiros. Os dados 
daquele painel são calculados na hora, ou seja, pela capitalização contínua. 
 Vamos tratar agora de outro conceito muito importante utilizado em finanças, que é o de 
perpetuidades. Conforme Muller. (2012, p.303), "Uma perpetuidade é um fluxo de caixa que se 
repete com periodicidade definida, mas não tem uma data certa de vencimento, ou seja, não é 
possível "resgatar" uma perpetuidade. 
 São vários os exemplos de perpetuidades, no entanto ações, títulos públicos e melhorias 
operacionais facilmente ilustram esse fato financeiro: 
 
 Quando um investidor adquire uma ação, por direito passa a receber dividendos, dos 
quais não é possível precisar o término, ou quando irão cessar, pois têm período de 
vencimento infinito. 
 Alguns tipos de títulos emitidos pelos governos não têm vencimento, ou seja, o 
investidor pode resgatá-los mediante condições, a qualquer tempo, mas enquanto estiver 
na posse dos mesmos recebe seus rendimentos periodicamente. 
 Benefícios gerados por ações administrativas que resultaram em aumentos de receitas 
ou redução de despesas. 
 
 O valor presente de uma perpetuidade é calculado utilizando o mesmo conceito de um título 
comum, porém, neste caso, não teremos uma data de vencimento definida. 
 Segundo ensina a Matemática financeira, o valor presente (PV) de uma quantia de 
pagamentos futura (FV), dada uma determinada taxa de juros ( i ), pode ser calculada pela seguinte 
fórmula: 
 
 PV = 
i
FV
 
 
Em resumo, o valor presente de uma perpetuidade é esta mesma dividida pela taxa de 
atratividade. 
 
Onde: 
FV = valor presente de todos os pagamentos, infinitos, de uma renda (dividendos futuros) 
PV = é o valor presente dessa renda finita 
i = taxa em que esse título é negociado no momento. 
 
Exemplo 02: 
Calculando o valor presente dos dividendos decorrentes do lote de 1.000 ações, no valor de R$ 
32,84, para um período indefinido ou perpétuo e uma taxa de juros de 12,25% ao ano. Quanto 
valeira a minha ação hoje? 
Dados: FV = 32,84 i = 12,25% ao ano PV = ? 
Resolução algébrica: 
 
PV = 32,84/0,1225 → PV = R$ 268,08 
 
Exemplo 03: 
Tenho uma ação da Petrobrás da espécie preferencial que tem pago dividendos regularmente por no 
R$ 2,00. Sabe-se também que a s taxas de juros de oportunidades de mercado são: 
 Títulos públicos: 12,50% ao ano. 
 Títulos privados de renda fixa: 16% ao ano. 
 Taxa de crescimento de dividendos do mercado: 5% ao ano. 
 Com base nessas informações, quanto estaria valendo a minha ação para cada taxa de custo 
oportunidade? 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição- Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 44 
Atenção! 
 Vamos exemplificar as aplicações de situações de perpetuidades. 
 Sabemos que os dividendos são um tipo de renda perpetua. E com base no valor dessa renda 
perpetua e na taxa de custo oportunidade é que calculamos o valor presente do título gerador dessa 
renda: ação. 
 
Resolução algébrica: 
● Para o custo oportunidade da taxa de rentabilidade dos títulos públicos: 
PV = Dividendo/i 
PV = 2,00/0,125 → PV = R$ 16,00 
 
 Portanto, se a base de avaliação da ação fosse a taxa dos títulos públicos, a minha ação 
valeira hoje R$ 16,00. 
 
● Para o custo oportunidade da taxa de rentabilidade dos títulos privados de renda fixas: 
PV = Dividendo/i 
PV = 2,00/0,16 → PV = R$ 12,50 
 
 Portanto, se a base de avaliação da ação fosse a taxa dos títulos privados de renda fixa, a 
minha ação valeira hoje R$ 12,50. 
 
 Mas esses título são avaliados pela taxa de crescimento do valor dos dividendos distribuídos 
pelas companhias. Veja que não se trata de rentabilidade, mas de crescimento do valor de 
pagamento de dividendos. 
 
● Valor da ação com base na taxa de crescimento de dividendos: 
PV = Dividendo/i 
PV = 2,00/0,05 → PV = R$ 40,00 
 
 Portanto, o valor da ação da Petrobrás que paga dividendos anuais de R$ 2,00 e que tem taxa 
de crescimento de pagamento de dividendos valerá hoje R$ 40,00. 
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Uma empresa que tem um contrato comercial de prestação de serviços de telefonia fixa, com o 
serviços de PABX, links integradores de unidades e filiais remotas, serviços de acesso à internet, 
conexão com bancos, troncos de entrada para serviço de atendimento ao cliente (0800), dentre 
outros. Com vistas a otimizar o processo e especialmente custos, foram estudadas várias outras 
alternativas e a solução única, juntou todos os sistemas e transformou todas as chamadas 
intraempresa, mesmo as geradas pelo PABX, em chamadas internas. Ademais, pelo porte do novo 
contrato, também foi possível obter um desconto maior, o qual resultou numa economia anual geral 
de R$ 68.200,00. Desse modo, foram apresentados os valores futuros em forma de perpetuidades. 
Dito isso, com base no valor anual e a uma taxa de atratividade de 12,25% ao ano, qual o valor da 
ação? R. PV = R$ 4.638,367,35 
 
2) Considere que um cliente obtenha empréstimo em um banco no valor de R$ 100.000,00. O prazo 
é de dois meses a taxa de juros cobrada é 3,5% ao mês. O banco utiliza o processo de capitalização 
contínua a juros compostos. Qual o valor do empréstimo ao final do prazo? R. (e) 
a) R$ 106.000,45 
b) R$ 106.100,12 
c) R$ 106.213,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 45 
d) R$ 107.134,67 
e) R$ 107.250,86 
 
3) Um investidor quer ter uma renda anual de R$ 50.000,00. Sabendo que a instituição “A” paga 8% ao 
ano, quanto deverá aplicar? R. (c ) 
a) R$ 623.000,00 
b) R$ 624.678,00 
c) R$ 625.000,00 
d) R$ 628.000,00 
e) R$ 628.400,00 
 
4) O banco “Floresta” acaba de lançar no exterior o primeiro bônus perpétuo do Brasil. Os títulos, que 
não têm vencimento, mas podem ser resgatados pelo banco a partir do quinto ano, somam $ 250 milhões. 
Esta é a primeira operação de bônus perpétuo de dívida subordinada – que entra como capital no balanço 
do banco – de todos os mercados emergentes. Supondo que cada título lançado pague juros anuais de $ 60 
(com o primeiro sendo pago em 12 meses) e que a taxa de juros “justa”, dada pelo mercado em relação a 
esta operação (risco “Floresta”), seja de 9% ao ano, quanto vale este bônus hoje? R. (e) 
a) $ 569,78 
b) $ 559,98 
c) $ 601,87 
d) $ 661,97 
e) $ 666,67 
 
5) Um acionista vai adquirir uma empresa em regime de perpetuidade de $ 1.000 com taxa de desconto 
de 10% ao ano. Qual o valor da perpetuidade? R. (d) 
a) $ 13.000,00 
b) $ 12.000,00 
c) $ 11.000,00 
d) $ 10.000,00 
e) $ 9.000,00 
 
6) Quanto um investidor deverá aplicar hoje em uma caderneta de poupança (que rende uma taxa real de 
0,5% ao mês) para ter uma renda perpétua mensal (infinita) de $ 8.000,00 atualizados monetariamente 
pelo índice de correção da poupança? Considere a primeira retirada um mês após a aplicação. R. (a) 
a) $ 1.600.000,00 
b) $ 1.598.000,00 
c) $ 1.580.000,00 
d) $ 1.572.000,00 
e) $ 1. 555.000,00 
 
7) Considere um bônus perpétuo do governo americano que pague, anualmente, $ 5, com o primeiro 
pagamento para daqui a 12 meses. Supondo uma taxa de juros para esta operação, definida pelo mercado, 
de 4,1% ao ano, qual o valor definido para esta perpetuidade? R. (d) 
a) $ 371,20 
b) $ 386,00 
c) $ 310,34 
d) $ 121,95 
e) $ 114,87 
 
8) Tenho uma ação da Petrobrás da espécie preferencial que tem pago dividendos regularmente por ano 
de R$ 4,53. Sabe-se também que as taxas de juros de oportunidades de mercado são: títulos públicos 
8,5% ao ano; títulos privados de renda fixa 10,5% ao ano e a taxa de crescimento de dividendos do 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 46 
mercado é de 6,5% ao ano. Pergunta-se: Quanto estaria valendo a minha ação para cada taxa de custo 
oportunidade? R. (b) 
a) R$ 43,14 
b) R$ 69,69 
c) R$ 53,29 
d) R$ 76,53 
e) R$ 84,12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 47 
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS 
 
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos 
iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras. 
 
 Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou 
ocorrendo em sucessão espacial ou temporal. 
 Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes. 
 Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível. 
 
Classificação das séries de pagamentos 
 
a) Quanto ao tempo 
 Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos; 
 Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos. 
 
b) Quanto à constância ou periodicidade 
 Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; 
 Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis. 
 
c) Quanto ao valor dos pagamentos 
 Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais; 
 Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam. 
 
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento 
 Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da 
série; 
 Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou 
seja, ocorrerá em períodos seguintes. 
 
e) Quanto ao momento dos pagamentos 
 Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série de 
pagamentos; 
 Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos. 
 
 
Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA 
 
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também 
chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n). 
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT) 
será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipadas através da 
seguinte fórmula: 
 
 
 (1 + i)
n
 - 1 
 PV = PMT 
 (1 + i)n
 . i 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 48 
Exemplo 01: 
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 
1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês a 
taxa de juros negociada na operação. 
Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00 
Resolução algébrica: 
 
 (1 + i)
n
 - 1 
PV = PMT 
 (1 + i)
n
 . i 
 
 
 (1 + 0,035)
6
 - 1 
PV = 1500 
 (1 + 0,035)
6
 . 0,035 
 
 
 (1,035)
6
 - 1 
PV = 1500 
 (1,035)
6
 . 0,035 
 
 
 
 1,229255 - 1 
PV = 1500 
 1,229255 . 0,035 
 
 
 0,229255 
PV = 1500 
 0,043024 
 
PV = 1500[5,328553] 
 
PV = R$ 7992,83 
 
Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT) 
 
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de 
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte 
fórmula: 
 
 
 
 (1 + i)
n
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
1500 CHS PMT 
6 n 
3,5 i 
 PV 7992,83 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 49 
Exemplo 02: 
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o 
comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a 
taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? 
Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ? 
Resolução algébrica: 
 
 (1 + 0,05)
5
 . 0,05 
PMT = 500 
 (1 + 0,05)
5
 - 1 
 
 
 (1,05)
5
 . 0,05 
PMT = 500 
 (1,05)
5
 - 1 
 
 
 1,276282 . 0,05 
PMT = 500 
 1,276282 - 1 
 
 
 0,063814 
PMT = 500 
 0,276282 
 
PMT = 500[0,230975] 
 
PMT = R$ 115,49 
 
Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT) 
 
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série de 
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte 
fórmula: 
 
 
 i 
 PMT = FV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
Exemplo 03: 
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 
meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos. 
 Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ? 
Resolução algébrica: 
 0,04 
PMT = 5000 
 (1 + 0,04)
7
 - 1 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 500 CHS PV 
5 n 
5 i 
 PMT 115,49 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 5000 FV 
7 n 
4 i 
 PMT 633,05 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 50 
 0,04 
PMT = 5000 
 (1,04)
7
 - 1 
 
 
 0,04 
PMT = 5000 
 1,315932 - 1 
 
 
 0,04 
PMT = 5000 
 0,315932 
 
PMT = 5000[0,126610] 
 
PMT = R$ 633,05 
 
 
Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n) 
 
Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestação(PMT) 
em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos 
ou prazo(n), através da seguinte fórmula: 
 
 
 
 PV 
 LN 1 - . i 
 PMT 
 n = - 
 
 LN(1+ i) 
 
 
Exemplo 04: 
Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este 
produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o 
comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste 
financiamento. 
 Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81 
Resolução algébrica: 
 
 
 1750 
 LN 1 - . 0,03 
 175,81 
 n = - 
 
 LN(1+ 0,03) 
 
 
Resolução pela HP-12C 
f REG 
1750 PV 
3 i 
175,81 CHS PMT 
 n 12 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 51 
 
 LN [1 – (9,953928) . 0,03 ] 
 n = - 
 LN(1,03) 
 
 
 LN [1 – (0,298618) ] 
 n = - 
 LN(1,03) 
 
 
 LN[0,701382 ] 
 n = - 
 LN(1,03) 
 
 -0,354702 
 n = - 
 0,02956 
 
 
 n = - - 12  n = 12meses 
 
 
Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n) 
 
Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série 
uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n), 
através da seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 05: 
Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado 
tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de 
poupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador. 
Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ? 
Resolução algébrica: 
 
 30032,62 . 0,0008 
 LN +1 
 150 
 
 n = - 
 LN(1+ 0,0008) 
 
 
 
 FV . i 
 LN +1 
 PMT 
 
n = - 
 LN(1 + i) 
 
Resolução pela HP-12C 
f REG 
30032,62 CHS FV 
150 PMT 
 0,08 i 
 n 186 meses 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 52 
 
 24,026096 
 LN + 1 
 150 
 
 n = - 
 LN(1,0008) 
 
 LN[ 0,160174 + 1] 
 n = - 
 LN(1,0008)LN[ 1,160174 ] 
 n = - 
 LN(1,0008) 
 
 0,148570 
 n = -  n = 185,712500  n = 186 meses 
 0,000800 
 
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV) 
 
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT) 
de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV), 
através da seguinte fórmula: 
 
 
 FV = PMT (1 + i )
n
 - 1 
 i 
 
 
Exemplo 06: 
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; 
considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado 
após este período? 
Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ? 
 
Resolução algébrica: 
 
FV = 100 (1 + 0,008)
360 
 - 1 
 0,008 
 
 
FV =100 (1,008)
360 
 - 1 
 0,008 
 
FV = 100 17,611306
 
 - 1 
 0,008 
 
FV = 100 16,611306
 
  FV = 100 (2076,4132)  FV = R$ 207.641,32 
 0,008 
 
Resolução pela HP-12C 
f REG 
100 CHS PMT 
0,8 i 
360 n 
FV 207.641,32 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 53 
 
E X E R C Í C I O S 
 
1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de 
5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63 
 
2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$ 
10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é 
remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24 
 
3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 
2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses. 
R. PMT = R$ 265,82 
 
4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas 
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações. 
R. PMT = R$ 453,06 
 
5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcular 
o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28 
 
6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $ 
100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% ao 
mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02 
 
7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o 
montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento? 
R. n = 8,78 aprox. 9anos 
 
8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando 
nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o 
saldo credor. R. PMT = R$ 367,66 
 
9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao 
fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das 
prestações. R. PMT = R$ 618,89 
 
10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário para 
liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120. 
R. n = 7,99 aproxima. 8 meses 
 
11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$ 
200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao 
mês. R. FV = R$ 6.084,37 
 
12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 no 
final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês? 
R. PMT = R$ 750,00 
 
13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a 
0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 9.868,44 
 
14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao 
mês, quanto possuirá em 2,5 anos? R. FV = R$ 25.526,30 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 54 
 
15) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se 
tenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada ? 
R. PMT = R$ 2.348,83 
 
16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter um 
montante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = 10 prestações 
 
17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas de 
R$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule o 
valor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 6.873,95 
 
18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$ 
1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando a 
taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. 
R. n = 4,99 ou 5 prestações 
 
19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendo 
o pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento do 
dinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês. 
R. PV = R$ 5.524,04 
 
20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00 
num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$ 9.904,90 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 55 
Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA 
 
 As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamento 
ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de 
pagamento com entrada (1 + n). 
 
Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV) 
 
 Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível 
calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: 
 
 
 (1 + i)
n
 –1 
 PV = PMT 
 (1 + i )
n-1
 . i 
 
Exemplo 01: 
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa 
de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o 
preço à vista desta mercadoria. 
Resolução algébrica: 
Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ? 
 
 (1 + 0,05)
4
 –1 
PV = 185 
 (1 + 0,05 )
4-1
 . 0,05(1 ,05)
4
 –1 
PV = 185 
 (1,05 )
3
 . 0,05 
 
 
 1,215506 –1 
PV = 185 
 1,157625 . 0,05 
 
 
 0,215506 
PV = 185 
 0,057881 
 
 
PV = 185[ 3,723248 ] 
 
PV = R$ 688,80 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 g BEG 
185 CHS PMT 
5 i 
4 n 
P V 688,80 
OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME 
ANTECIPADA, ANTES DE 
FAZER A RESOLUÇÃO PELA 
HP12-C PRESSIONAR AS 
TECLAS: g BEG 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 56 
Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT) 
 
 Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcular 
o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através da 
seguinte fórmula: 
 
 (1 + i)
n-1
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i )
n
 - 1 
 
 
Exemplo 02: 
Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; 
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal 
deste financiamento. 
Resolução algébrica: 
Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00 
 
 (1 + 0,0199)
36-1
 . 0,0199 
PMT = 17800 
 (1 + 0,0199 )
36
 - 1 
 
 
 (1,0993039)
35 
 . 0,0199 
PMT = 17800 
 (1,0199 )
36
 - 1 
 
 
 0,039661 
PMT = 17800 
 2,032700 - 1 
 
 
 0,039661 
PMT = 17800 
 1,032700 
 
PMT = 17800[ 0,038405 ] 
 
PMT = R$ 683,62 
 
Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n) 
 
 Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possível 
calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: 
 
 
 PV . i 
 ln 1 - 
 n = - PMT. (1 + i) 
 
 ln(1 + i) 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 g BEG 
17800 CHS PV 
1,99 i 
36 n 
P MT 683,62 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 57 
Exemplo 03: 
Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 
170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada 
foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? 
Resolução algébrica: 
 
Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00 
 
 
 1500 . 0,03 
 ln 1 - 
 n = - 170,72 . (1 + 0,03) 
 
 ln(1 +0,03) 
 
 
 45 
 ln 1 - 
 n = - 170,72 . (1,03) 
 
 ln(1,03) 
 
 
 45 
 ln 1 - 
 n = - 175,84 
 
 0,029559 
 
 
 
 ln [1 - 0,255972 ] 
 n = - 
 0,029559 
 
 
 
 ln [ 0,744028 ] 
 n = - 
 
 0,029559 
 
 
 - 0,295596 
 n = - 
 0,029559 
 
 
 n = - { - 10,000275 } 
 
 n = 10 meses 
 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 g BEG 
1500 PV 
3 i 
170,72 CHS PMT 
n 10 meses 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 58 
Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV) 
 
 Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular o 
valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula: 
 
 
 
 (1 + i)
n
 - 1 
 FV = PMT . (1+ i ) 
 i 
 
Exemplo 04: 
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita 
que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos 
mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em 
média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que 
precisa? 
Resolução algébrica: 
Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ? 
 
 (1 + 0,008)
60
 - 1 
FV = 500 . (1 + 0,008) 
 0,008 
 
 
 (1,008)
60
 - 1 
FV = 500 . (1,008) 
 0,008 
 
 
 1,612991 - 1 
FV = 500 . (1,008) 
 0,008 
 
 
 0,612991 
FV = 500 . ( 1,008)0,008 
 
FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008) 
FV = 38.311,93 . (1,008) 
FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro) 
 
Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT) 
 
 Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular o 
valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte 
fórmula: 
 
 FV . i 
 PMT = 
 [(1 + i)
n
 – 1] . ( 1 + i) 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 g BEG 
500 CHS PMT 
0,8 i 
60 n 
FV 38.618,43 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 59 
Exemplo 05: 
Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, para 
resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais. 
Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósito 
para que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00? 
Resolução algébrica: 
Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00 
 
 
 37.500,00 . 0,008 
 PMT = 
 [(1 + 0,008)
60
 – 1] . ( 1 + 0,008) 
 
 300 
 PMT = 
 [(1,008)
60
 – 1] . (1,008) 
 
 300 
 PMT = 
 [1,612991 – 1] . (1,008) 
 
 300 
 PMT = 
 [0,612991] . (1,008) 
 
 300 
 PMT = → PMT = R$ 485,52 
 0,617895 
 
E X E R C I C I O S 
 
1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$ 
100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 
2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,10 
 
2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros 
compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósito 
foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49 
 
3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a 
primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista? 
 R. PV= R$ 498.244,80 
 
4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira 
dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês? 
R. PV = R$ 33.917,75 
 
5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12 
prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato da 
compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada 
prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ 27.811,65 
 
Resolução pela HP-12C 
 f REG 
 g BEG 
37500 CHS FV 
0,8 i 
60 n 
PMT 485,52 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 60 
6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à 
taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada prestação? 
R. PMT = R$ 20.000,00 
 
7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$ 
20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestações 
deverão ser pagas? R. n = 6 meses 
 
8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00 pagando 
prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês? 
R. n = 5 meses 
 
9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$ 
305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95 
 
10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendo 
de 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$ 62.681,63 
 
11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituição 
financeira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitos 
antecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R. PMT = R$ 17.524,73 
 
12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, e 
um dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista? 
R. PV = $ 2300,98 
 
13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de 
$168, 30, sendo que a 1
a
 será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foi 
de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n = 20 meses 
 
14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo a 
primeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% ao 
mês. R. PV = R$ 7.114,54 
 
15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, no 
máximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro. 
Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento. 
R. n = 4,77 ou 5 meses 
 
16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatro 
prestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar o 
contrato. R. PMT = R$ 258,59 
 
17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendo 
de 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ 26.989,74 
 
18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguais 
e antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês. 
R. PMT = R$ 309,16 
 
19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$ 
256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$ 2.579,40 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 61 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO 
 
 
Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, 
e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam 
a cada período do empréstimo ou financiamento. 
 
 Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à 
sua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto ao 
Consumidor), entre outros. 
 
 Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à 
sua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário, entre outros. 
 
No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos 
recursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia de 
devolução dos recursos financeirosemprestados. 
 Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhas 
de amortização. 
 
 Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou 
simplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcela 
de amortização a cada período (n). 
 
 Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. 
 
 Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor e 
posteriormente somado à parcela de amortização. 
 
 Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de 
amortização mais juros compensatórios. 
 
Sistema Francês de Amortização (SFA) - (Tabela PRICE) 
 
Neste sistema, o financiamento (PV) tem as seguintes características: 
 
 a prestação (PMT) é constante durante todo o período do financiamento (uma parte é 
para pagar juros mensais e outra é para amortização); 
 a parcela de amortização (PAn) aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos 
são periódicos, constantes e sucessivos; 
 os juros (J) compensatórios diminuem a cada período (n). 
 
 
Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições 
financeiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price 
 
 
OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformes 
postecipados. 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 62 
Exemplo 01: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização 
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação do financiamento 
 
 
 (1 + i)
n
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
 
 (1 + 0,1)
5
 . 0,1 
PMT =10.000 
 (1 + 0,1)
5
 - 1 
 
 
 (1,1)
5
 . 0,1 
PMT =10000 
 (1,1)
5
 - 1 
 
 
 
 1,610510 . 0,1 
PMT =10000 
 1,610510 - 1 
 
 
 0,1610551 
PMT =10000 
 0,610510 
 
PMT = 10000[0,263797] 
 
PMT = R$ 2.637,97 
 
b) Cálculo dos juros (J) 
 
 J = PV . i . n 
 
Juros para o 1
o
 período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2
o
 período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 
Juros para o 3
o
 período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 
Juros para o 4
o
 período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 
Juros para o 5
o
 período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 63 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
 
Parcela de amortização para o 1
o
 período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 
Parcela de amortização para o 2
o
 período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 
Parcela de amortização para o 3
o
 período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94 
Parcela de amortização para o 4
o
 período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 5
o
 período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15 
 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03 
SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26 
SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32 
SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18 
SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97 
2 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97 
3 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97 
4 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97 
5 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97 
  9.999,97 3.189,88 13.189,85 
 
OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
 
1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03 
 
1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26 
 
1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32 
 
1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18 
 
1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03 
 
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Sistema Francês (carência + juros compensatórios) 
 
 Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas o 
pagamento dos juros compensatórios. 
 
Exemplo 2: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 
pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização 
(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação do financiamento 
 
 
 (1 + i)
n
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
 
 (1 + 0,1)
5
 . 0,1 
PMT =10.000 
 (1 + 0,1)
5
 - 1 
 
 
 (1,1)
5
 . 0,1 
PMT =10000 
 (1,1)
5
 - 1 
 
 
 
 1,610510 . 0,1 
PMT =10000 
 1,610510 - 1 
 
 
 0,1610551 
PMT =10000 
 0,610510 
 
PMT = 10000[0,263797] 
 
PMT = R$ 2.637,97 
 
b) Cálculo dos juros compensatórios 
 
 J = PV . i . n 
 
Juros para o 1
o
 período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2
o
 período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 65 
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. 
 
Juros para o 3
o
 período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 4
o
 período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20 
Juros para o 5
o
 período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03 
Juros para o 6
o
 período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83 
Juros para o 7
o
 período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82 
 
 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
 
Parcela de amortização para o 1
o
 período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 2
o
 período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 3
o
 período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97 
Parcela de amortizaçãopara o 4
o
 período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77 
Parcela de amortização para o 5
o
 período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94 
Parcela de amortização para o 6
o
 período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 7
o
 período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15 
 
 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
 
SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00 
SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00 
SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03 
SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26 
SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32 
SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18 
SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03 
 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
2 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00 
3 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97 
4 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97 
5 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97 
6 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97 
7 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97 
  9.999,97 5.189,88 15.189,85 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido) 
 
 Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldo 
devedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação com 
base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipado. 
 
Exemplo 3: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 
pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros 
durante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo 
Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
a) atualização do saldo devedor durante o período de carência 
 
período 1: 
SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00 
Período 2: 
SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00 
 
Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ? 
 
b) cálculo do valor da prestação 
 
 
 (1 + i)
n
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 ENTER % 1000 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
 X Y 10 % 1000 
10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97 
 
1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03 
 
1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26 
 
1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32 
 
1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18 
 
1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 67 
 
 (1 + 0,1)
5
 . 0,1 
PMT =12.100 
 (1 + 0,1)
5
 - 1 
 
 
 (1,1)
5
 . 0,1 
PMT =12100 
 (1,1)
5
 - 1 
 
 
 1,610510 . 0,1 
PMT =12100 
 1,610510 - 1 
 
 
 0,1610551 
PMT =12100 
 0,610510 
 
PMT = 12100[0,263797] 
 
PMT = R$ 3.191,95 
 
c) Cálculo dos juros compensatórios 
 
 J = PV . i . n 
 
Juros para o 1
o
 período: J1 = 0,00 
Juros para o 2
o
 período: J2 = 0,00 
Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior. 
 
Juros para o 3
o
 período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00 
Juros para o 4
o
 período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 = R$ 1.011,81 
Juros para o 5
o
 período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 = R$ 793,79 
Juros para o 6
o
 período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 = R$ 553,98 
Juros para o 7
o
 período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 290,18 
 
 
d) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
 
Parcela de amortização para o 1
o
 período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 2
o
 período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00 
Parcela de amortização para o 3
o
 período: PA = 3.191,95 - 1.210,00 = R$ 1.981,95 
Parcela de amortização para o 4
o
 período: PA = 3.191,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14 
Parcela de amortização para o 5
o
 período: PA = 3.191,95 - 793,79 = R$ 2.398,16 
Parcela de amortização para o 6
o
 período: PA = 3.191,95 - 553,98 = R$ 2.637,97 
Parcela de amortização para o 7
o
 período: PA = 3.191,95 - 290,18 = R$ 2.901,77 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 68 
e) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
 
SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00 
SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00 
SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05 
SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91 
SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75 
SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78 
SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01 
 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 11.000,00 0,00 0,00 0,00 
2 12.100,00 0,00 0,00 0,00 
3 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,95 
4 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,95 
5 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,95 
6 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,95 
7 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95 
  12.099,99 3.859,76 15.959,75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100 
CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95 
 
1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05 
 
1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV – 7937,90 
 
1 f [AMORT] 793,79 X Y 2398.15 RCL PV – 5539,74 
 
1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV – 2901,77 
 
1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV – 0,00 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 69 
Exemplo 4: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxade 12% ao ano, para ser pago em 7 
pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Pede-se: 
Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
 
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT = ? 
 
a) cálculo do valor da prestação 
 
 
 (1 + i)
n
 . i 
 PMT = PV 
 (1 + i)
n
 - 1 
 
 
 
 (1 + 0,01)
7
 . 0,01 
PMT =10.000 
 (1 + 0,01)
7
 - 1 
 
 
 (1,01)
7
 . 0,01 
PMT =10000 
 (1,01)
7
 - 1 
 
 
 1,072135 . 0,01 
PMT =10000 
 1,072135 - 1 
 
 
 0,010721 
PMT =10000 
 0,072135 
 
PMT = 10000[0,148628] 
 
PMT = R$ 1.486,28 
 
 
 
b) Cálculo dos juros 
 
 J = PV . i . n 
Juros para o 1
o
 período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00 
 
c) cálculo da parcela de amortização (PAn) 
 
 PAn = PMT - J 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 70 
Parcela de amortização para o 1
o
 período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28 
 
d) cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72 
 
 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,28 
2 7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,28 
3 5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,28 
4 4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,28 
5 2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,28 
6 1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,28 
7 0,03 1.471,56 14,72 1.486,28 
  9.999,97 403,99 10.403,96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução pela HP-12C 
 f [REG] 
10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28 
 
1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72 
 
1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV – 7213,58 
 
1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV – 5799,44 
 
1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV – 4371,15 
 
1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV – 2928,58 
 
1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV – 1471,59 
 
1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV – 0,03 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 71 
E X E R C Í C I O S (SFA- Tabela Price) 
 
1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensais 
postecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização. 
 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 ------------------------- 
 
 
2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serão 
pagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização. 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 ---------------------------- 
 
 
3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros são 
capitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização. 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 ---------------------------- 
 
 
4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas. 
Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir a 
tabela de amortização. 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 ------------------------- 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 72 
5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor do 
empréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais com 
carência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os juros 
serão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência. 
 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 ---------------------------- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 73 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido como 
Método Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de empresas 
por parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelo 
número de prestações. 
- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinado 
fator que é constante. 
- O valor dos juros é decrescente . 
- Os pagamentos são periódicos e sucessivos. 
 
Exemplo 01: 
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 
pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. 
 
Resolução algébrica 
Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ? 
a) Cálculo da parcela de amortização(PAn) 
 
 PAn = PV ou SD 
 n 
 
PAn = 10.000 = R$ 2.000,00 
 5 
b) Cálculo dos juros (J) 
 
 J = PV . i . n 
Juros para o 1
o
 período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00 
Juros para o 2
o
 período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00 
Juros para o 3
o
 período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00 
Juros para o 4
o
 período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00 
Juros para o 5
o
 período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00 
 
c) Cálculo do saldo devedor (SD) 
 
 SDn = SD(anterior) - PAn 
 
SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00 
SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00 
SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00 
SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00 
SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00 
 
d) Cálculo da prestação (PMTn) 
 
 PMTn = PAn + Jn 
 
 
PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00 
PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00 
PMT3= 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 74 
PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00 
PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00 
 Assim teremos nossa planilha de financiamento 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00 
1 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,00 
2 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,00 
3 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,00 
4 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,00 
5 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00 
  10.000,00 3.000,00 13.000,00 
 
E X E R C I C I O S ( SAC) 
 
1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, à 
taxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês? 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
  
 
2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa de 
juros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintes 
procedimentos: 
a) calcular a amortização; 
b) calcular a parcela de juros; 
c) calcular o valor das prestações; 
d) apurar o saldo devedor do período. 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
  
3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais, 
com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento? 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 75 
n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
  
 
4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao mês para ser 
amortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3
a
 prestação? 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
  
 
5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas, 
mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor da 
amortização? R. R$ 30.000 
 
6) (Concurso Controlador da Arrecadação Fiscal) Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000 é 
concedido à taxa de juros compostos de 10% ao ano, a ser reembolsado em 5 anos de acordo com o 
SAC. Determine o valor total do financiamento após a quitação através da construção da planilha de 
dados dessa operação financeira. 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 TOTAL 
 
7) (Concurso Controlador da Arrecadação Fiscal) Um empréstimo de R$ 30.000,00 deve ser 
devolvido de acordo com o sistema de amortizações constantes em 60 prestações mensais a taxa de 
juros de 1% ao mês. Construa a planilha referente as 5 primeiras prestações. 
N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT) 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 TOTAL 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 76 
 
E X E R C I C I O S S U P L E M E N T A R E S 
 
PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam o 
item de custo de acordo com a distribuição a seguir: 
Produto Custo ( R$) 
K 20.000,00 
T 80.000,00 
R 70.000,00 
Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto R ? (R. C) 
a) 21,69% 
b) 21,56% 
c) 14,28% 
d) 16,09% 
e) 12,05% 
 
2) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$ 
3.600,00? (R. R$ 108) 
 
3) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são mulheres. Quantos funcionários 
possui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700) 
 
4) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%) 
 
5) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual 
a quantidade de sacas para este consumo? (R. 317.000sacas) 
 
6) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 
habitantes? (R. R$ 37,5%) 
 
7)0 Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: 
- bolas chutadas fora:10; 
- bolas defendidas pelo goleiro adversário:6; 
- bolas na trave:2; 
- gols:2. 
 
a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%) 
b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R. 50%) 
c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R. 30%) 
 
 
JURO SIMPLES 
1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20%a .t. durante 9 meses a juro simples? 
(R. PV =R$ 500,00) 
2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ 36.000,00 à taxa de 15% aa . , 
durante 3 anos. 
(R. J = R$ 16200,00) 
 
3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de juros R$ 240,00 à taxa de 0,2% 
a m. (R. n = 10 meses) 
 
4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valor 
do juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00) 
 
5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema de 
capitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00) 
 
6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre pelo 
regime de capitalização simples.(R. R$ 1.380,00) 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 77 
7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido 
pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00) 
 
8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido. 
 (R. R$ 500,00) 
 
9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 
36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 15.725,00) 
 
10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. 
(R. R$ 1.462,50) 
 
11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% 
ao ano. (R. R$ 2.800,00) 
 
12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 
45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de juro simples? (R. R$ 1.360,00) 
 
13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro? 
(R. R$ 9.800,00) 
 
14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 
19.008,00? (R. R$ 88.000,00) 
 
15)A quetaxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 de 
juro? (R. 35% aa) 
 
16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anual 
correspondente? (R. 42% aa) 
 
17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu 
R$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses) 
 
18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro 
através da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias) 
 
19) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de 
42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias) 
 
20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um 
juro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ 32.000,00) 
 
21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 de 
juro? (R. 3,66%ao mês) 
 
22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro? 
(R. 1ano e 5 meses) 
23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00) 
 
24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. 
Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%) 
 
25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ 107.800,00 
após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ 45.872,34) 
 
26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00 
pelo regime de juro simples? (R. 8 meses) 
 
27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 16% ao ano, para obtermos 
um montante de R$ 8.320,00 ? (R. 0,25ano ou 3 meses) 
 
28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$ 
116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa) 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 78 
29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de 
3% ao mês ? (R. R$ 40.600,00) 
 
30) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 de juro, aplicado a juro 
simples? (R. 3,3 ano) 
 
TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES 
1) Calcular a taxa anual equivalente a: 
a) 6% ao mês; R. 72% 
b) 10% ao bimestre. R. 60% 
2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a: 
 a) 60% ao ano; R. 30% 
 b) 9% ao trimestre. R. 18% 
 
JURO EXATO e COMERCIAL - 
1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano. 
Determine; 
 
 a) O juro exato; R. R$ 1.094,79 
 b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00 
 
2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32% 
ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato. R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05 
 
DESCONTO SIMPLES 
1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular: 
 
a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10 
b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90 
 
2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô a 
seguir: 
 
DUPLICATAS VALOR($) PRAZO (VENCIMENTO) 
C 4.500,00 12 dias 
E 2.800,00 27 dias 
B 1.900,00 51 dias 
TOTAL................. 9.200,00 .................................. 
 
R. DBSc = $ 23,40 DBSe = $ 32,76 DBSb = $ 41,99 VA = $ 9.101,85 
 
3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu 
vencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valor 
líquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,00 
 
4) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simples 
de 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R. e) 
a) R$ 500,79 
b) R$ 200,43 
c) R$509,00 
d) R$308,00 
e) R$ 416,51 
 
5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 
2,4%a m?(R. a) 
a) R$ 2.208,00 
b) R$ 2.356,00 
c) R$ 5.167,00 
d) R$ 3.000,00 
e) R$ 1.500,00 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 79 
6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, 
determine: 
 
a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00) 
b) o valor atual (líquido) . (R. R$ 5.811,00) 
 
7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40 
dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e 48.076,92) 
 
8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias 
antes do vencimento. (R. R$ 230,77) 
 
JURO COMPOSTO 
1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de 
poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ 22.463,70) 
 
2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros 
composta de 3,5% ao mês? (R. $ 15.801, 70) 
 
3) Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um 
montante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. (R. 8 meses) 
 
4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês. 
 (R. $ 21.664,02) 
 
5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ 66.671,80) 
 
6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41) 
 
7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 
1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23) 
 
8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 1,5% ao mês, no fim de 6 
meses. (R. R$ 82.008,22) 
 
9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? 
(R. R$ 26.496,47) 
 
10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante de 
R$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46) 
 
11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeu 
um montante de R$ 79.475, calcule esse capital. (R. R$ 72.000,42) 
 
12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada, para pagamento em uma 
única prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto? 
(R. 4%) 
 
13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regimede juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. 
(R. R$ 2.205) 
 
14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. 
Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74) 
 
15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125, 
sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses) 
 
16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para receber R$ 16.127 daqui a 10 
meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (R. 3% ) 
 
17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 
11.456. Calcule esse tempo. (R. 8meses) 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 80 
18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ 21.284,66) 
19) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime de 
juro composto. (R. R$ 12.101,71) 
 
20) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a juro 
composto. (R. R$ 8.442,01) 
 
21) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa 
de 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02) 
 
22) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ 22.823,04) 
 
23) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montante 
de R$ 19.752. (R. R$ 15.000) 
 
24) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% ao mês a juros 
compostos? (R. 13 meses) 
 
25)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante um período de 8 meses, 
elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.3,29% ao mês) 
 
26) O capital de R$ 18.000 foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. 
Qual o montante? (R. R$ 26.594,19) 
 
27) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juros 
compostos? (R. 7,99trimestres ~ 8 trimestres) 
 
DESCONTO COMPOSTO 
1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3 
meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se: 
a) O valor atual; R. $ 30.008,12 
b) O desconto. R. $ 4.991,88 
 
2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $ 3.500,00 adotando uma 
taxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97 
e DRC = $ 366,03 
 
3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto 
racional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07) 
 
4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 
36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 415,22) 
 
5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 365,71) 
 
6) Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado 
à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$ 
1.907,10) 
„ 
7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ 36.954 como valor líquido. 
Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ 40.064,26) 
 
8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calcule 
o valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.290,42) 
 
9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa de 
desconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ 28.951,90.) 
 
TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO – TAXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO 
1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at) 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 81 
2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparente 
seja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa) 
 
3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmo 
período de 8% ? (R. R = 3,70%) 
 
4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%) 
 
SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA 
1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o 
montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. 
(R. FV = R$ 520,40) 
 
2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada mês uma empresa aplica $ 
2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de 
12% ao ano? (R. FV = $ 16.230,37) 
 
3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisar 
seu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00. 
Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capital 
que a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ 16.474,75) 
 
4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizados 
anualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ 400.000,00? 
(R. PMT = R$ 30.347,18) 
 
5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa de 25% ao ano. 
(R. PMT = R$ 17.763,89) 
 
6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir o 
montante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais) 
 
7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18 
meses. (R. PV= $ 2.870,67) 
 
8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso ocorra a seguinte hipótese 
sobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87) 
 
9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor a 
vista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses) 
 
10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais 
postecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês, 
quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? (R. n = 6) 
 
11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular o valor futuro formado ao 
final da sua sexta e última aplicação, sabendoque a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ 12.645,98) 
 
12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, se 
tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67) 
 
13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15 prestações mensais iguais, a 
primeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar o 
valor de cada uma das prestações. (R. PMT = $ 157,76) 
 
14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com prestação mensal de $ 
1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês, 
qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15) 
 
15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com o 
primeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxa 
de juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ 14.591,47) 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 82 
16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quanto 
terá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ 11.308,66) 
 
17) O preço a vista de um equipamento é de $ 16.000,00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com a 
primeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas? 
(R. PMT = $ 2.833,95) 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC 
1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensais 
consecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência. 
 
N SD PAN JUROS PMT 
0 1200,00 ----- --------- -------- 
1 1200,00 ----- 36,00 36,00 
2 1200,00 ---- 36,00 36,00 
3 
4 
5 
6 
 TOTAL 
 
2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser pago em 5 pagamentos mensais 
sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento. 
 
N SD PAN JUROS PMT 
0 15.000,00 ----- ------ ----- 
1 
2 
3 
4 
5 
 TOTAL 
 
3) Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo que 
será adotado o SFA, construa a planilha de amortização. 
 
N SD PAN JUROS PMT 
0 180.000,00 ----- ----- ----- 
1 
2 
3 
4 
5 
 TOTAL 
 
4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao ano 
devendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de amortização pelo SFA. 
N SD PAN JUROS PMT 
0 80.000,00 ----- ----- ----- 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 TOTAL 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 83 
5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de 
15% ao ano. Monte a planilha de amortização. 
N SD PAN JUROS PMT 
0 100.000,00 ----- ----- ----- 
1 
2 
3 
4 
 TOTAL 
 
6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxa 
de juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização. 
 
N SD PAN JUROS PMT 
0 200.000,00 ----- ----- ----- 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 TOTAL 
 
7) Um financiamento de R$ 30.000,00 deverá ser amortizado em 6 meses com taxa de juros de 
1,5% ao mês. Faça a planilha de amortização pedida abaixo, sabendo que o empréstimo foi no dia 
01/06/2008 com pagamento da primeira parcela em 01/07/2008. 
 
a) Pelo Sistema Francês de Amortização – Tabela Price. 
b) Pelo Sistema de Amortização Constante. 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
HISTÓRIA DOS JUROS 
 
Juro é a remuneração paga pelo uso do dinheiro emprestado ou remuneração 
paga pelo capital aplicado em atividades produtivas. 
Os juros existem desde a época dos primeiros registros de civilizações na 
Terra. O conceito de juros surgiu naturalmente quando o homem percebeu existir 
uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e 
a desvalorização da moeda levariam normalmente à ideia de juros, pois se realizavam 
basicamente devido ao valor temporal do dinheiro. 
Um dos primeiros indícios apareceu na Babilônia no ano de 2000 a.C. Nas 
citações mais antigas, os juros eram pagos pelou uso de sementes ou de outras 
conveniências emprestadas; sob a forma de sementes ou de outros bens. 
A História também revela que a ideia se tinha tornado tão bem estabelecida 
que já existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 a. C., com os 
escritórios centrais na Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros 
cobrados pelo uso de seu dinheiro para o financiamento do comércio internacional. 
Como em todas as instituições que têm existido por milhares de anos, 
algumas das práticas relativas a juros têm sido modificadas para satisfazerem às 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 84 
exigências atuais, mas alguns dos antigos costumes ainda persistem. Devemos 
lembrar que todas as antigas práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas 
no tempo de sua origem. Por exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a 
semeadura de certa área, era lógico esperar o pagamento na próxima colheita – no 
prazo de um ano. Assim, o cálculo de juros numa base anual era mais razoável. 
Conforme a necessidade de cada época, foram criando-se novas formas de se 
trabalhar com a relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário etc.). 
 
OS BANCOS E OS JUROS 
 O aparecimento dos bancos está diretamente ligado ao cálculo de juros 
compostos e ao uso da Matemática Comercial e Financeira de modo geral. Na época 
em que o comércio começava a chegar ao auge, uma das atividades do mercador foi 
também a do comércio de dinheiro: com o ouro e a prata. 
 Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram conhecendo muito bem 
as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes quantidades. Dessa 
forma, decidiram-se exclusivamente ao câmbio de dinheiro. Num espaço de tempo 
relativamente curto, acumularam-se enormes somas de dinheiro nas mãos dos 
cambistas. Com o tempo, foram se ocupando de uma nova atividade: guardar e 
emprestar dinheiro. Naquela época, e devido à deficiente organização das instituições 
responsáveis pela segurança social do indivíduo, não era recomendável que tivesse 
em sua casa muitas moedas de ouro e prata. Essas pessoas entregavam seu dinheiro à 
custódia do cambista rico, que o guardava e devolvia ao dono quando ele pedisse. 
Imaginemos um cambista qualquer que tenha acumulado, dessa forma, em seus 
cofres, imensa quantidade de dinheiro. 
Era natural que a seguinte ideia ocorresse: “Por que essas grandes somas de dinheiro 
haverão de permanecer em meu poder sem qualquer lucro para mim”? – Aí se 
percebe que a palavra “lucro” está diretamente interligada com o conceito de finanças 
– “É pouco provável que todos os proprietários, ao mesmo tempo e num mesmo dia, 
exijam a devolução imediata de todo seu dinheiro. Emprestarei parte desse dinheiro a 
quem pedir, sob a condição de que seja devolvido num prazo determinado. E como 
meu devedor empregará o dinheiro comoquiser é natural que eu obtenha alguma 
vantagem. Por isso, além do dinheiro emprestado, deverá entregar-me, no vencimento 
do prazo estipulado, uma soma adicional”. Vimos que nesse pensamento do 
mercador, a ideia de lucro já aparece fortemente. 
Assim tiveram início as operações creditícias. Aqueles que, por alguma razão, 
se encontravam sem dinheiro – comerciantes, senhores feudais e não raras vezes o 
próprio rei ou o erário nacional -, recorriam ao cambista que lhes emprestava grandes 
somas de dinheiro a juros “razoáveis”. 
O juro era pago pelo usufruto do dinheiro recebido ou, mais propriamente, era 
a “compensação pelo temor” de quem dava dinheiro emprestado e assim se expunha a 
um grande risco. Entretanto, esses juros alcançaram, em alguns casos, quantias 
incríveis: na antiga Roma os usuários exigiam de 50 a 100 por cento e na Idade Média, 
de 100 a 200 por cento, às vezes mais, em relação direta com a necessidade do 
solicitante ou do montante da soma. 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 85 
 Esses juros foram chamados de usuário; o dinheiro recebido emprestado, de 
capital usuário; e o credor, de usureiro. O cambista exercia sua profissão sentado num 
banco de madeira em algum lugar do mercado. Daí a origem da palavra “banqueiro” e 
“banco”. 
 
PAPEL DA IGREJA 
 Os primeiros bancos da História foram criados pelos sacerdotes. No mundo 
antigo, entre os egípcios, babilônicos e mais tarde entre os gregos e romanos, estava 
amplamente difundido o costume segundo o qual os cidadãos mais abastados deviam 
confiar a custódia de seu ouro aos sacerdotes. 
 A Igreja cristã não só deu continuidade à tradição das operações creditícias dos 
antigos sacerdotes, que considerava pagãos, mas desenvolve-as em grande escala. A 
Igreja Católica criou o “Banco do Espírito Santo” cujo propósito era tornar mais 
expedita a exação, aos fiéis, dos chamados “denários de São Pedro”, destinados a 
satisfazer as frugalidades do Papa e para facilitar o pagamento de dízimos e 
indulgências, assim como para a realização de transações relacionadas com os 
empréstimos, em outras palavras, com a usura. 
 Ao mesmo tempo condenou os cidadãos que emprestavam dinheiro a juros, 
mesmo que esse juro fosse menor do que aquele que ela exigia por seu dinheiro. A 
Igreja proibia a seus fiéis que cobrassem juros por seu dinheiro para assegurar para si o 
monopólio absoluto na exação de juros. 
 Apesar das maldições e ameaças, a Igreja não pôde conter a avidez por ganhos 
e lucros das pessoas, tanto mais que o próprio desenvolvimento do comércio exigia a 
criação de uma ampla rede bancária. As iniciadoras dessa atividade foram as cidades-
estado da Itália, que tinham um vasto comércio. 
 O primeiro banco privado foi fundado pelo duque Vitali em 1157, em Veneza. 
Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. Assim os 
bancos foram um dos grandes propulsores práticos para o avanço da Matemática 
Comercial e Financeira e da Economia durante os séculos X até XV. 
 
TEXTO EXTRAÍDO DA REVISTA“CASE EDITORIAL” – Curso Básico de Matemática 
Financeira: Juros e Porcentagem. 2014. pp. 6-7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 86 
 
TEXTO EXTRAÍDO DO “JORNAL METRÔ NEWS” – quinta-feira, 10 de maio de 2012. p. 2. 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 87 
 
TEXTO EXTRAÍDO DO “JORNAL METRÔ NEWS” – quinta-feira, 10 de maio de 2012. p. 2. 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 88 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSAF, Neto Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo: 
Atlas, 2000. 
 
ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes. Matemática Financeira – 3a ed. – São 
Paulo: Atlas,2002. 
 
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP- 
12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo: 
Saraiva, 2002. 
 
FARO, Clovis de. Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982. 
 
HAZZAN, Samuel, José Nicolau Pompeo. Matemática Financeira –54a ed. – São Paulo: Saraiva, 
2007. 
_________. Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual, 1993. 
 
MULLER, Aderbal Nicolas. Matemática Financeira: instrumentos financeiros para tomada de 
decisão em Administração, , Economia e Contabilidade - São Paulo: Saraiva, 2012. 
 
SÁ, Ilydio Pereira de. Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira- R. de Janeiro: Editora 
Ciência Moderna Ltda., 2008. 
 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 3a 
ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002. 
 
SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes. Matemática para o Ensino Médio- São 
Paulo: IBEP, 2000 
 
VIEIRA Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000. 
 
SITES: 
 
http://eduardo.tetera.com.br/2008/10/a-nota-de-um-dolar-apos-a-crise-financeira-mundial 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=25784. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 89 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - GRADE: 1º SEMESTRE/ 2015 
CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 3º Semestre 
Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horas 
O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre 
 
EMENTA 
Principais fundamentos. Conceitos básicos de Juros Simples. Estudo dos juros compostos, taxas equivalentes 
das rendas, dos coeficientes, de financiamentos, dos sistemas de amortização e análise de investimento. 
OBJETIVO 
 Ao final do curso, o aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: identificar os problemas e 
resolvê-los com as ferramentas do cálculo (fórmulas), prático calculadora HP-12C , utilizando o raciocínio 
matemático e aplicando os conceitos matemáticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior 
acuidade nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios financeiros no 
âmbito das Ciências Contábeis. 
Conteúdo 
1. Apresentação dos Conteúdos Fundamentais básicos de Matemática Financeira, Porcentagem; 
2. Conceito: Valor Presente (Capital), Juro, Valor Futuro (Montante), Taxa; 
3. Juros Simples: Taxas, Juro Exato e Juro Comercial; 
4. Desconto Simples; 
5. Juros Compostos: 
6. Taxas (nominal, equivalente, efetiva, média, acumulada, real, aparente e de inflação); 
7. Desconto Composto; 
8. Representação Gráfica de Fluxo de caixa; 
9. Capitalização Contínua e Perpetuidade; 
10. Seqüência de Pagamentos Uniforme: Capitalização e Amortização (antecipada e postecipada) 
11. Empréstimos: Sistema Francês – Price, SAC, 
 
METODOLOGIA DE ENSINO 
A metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os 
conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do 
corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau 
da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado. 
 
SISTEMA DE AVALIAÇÃO: 
A avaliação do aproveitamento do aluno é realizada por meio de três instrumentos de avaliação, como Av1, 
Av2 e Av3. A avaliação é expressa por nota(s) representadas numericamente, em escala de 0 (zero) a 10 (dez). 
As avaliaçõesAv1, Av2, Av3, prova escrita sem consulta e individual. Média de aprovação ≥ 6. 
Sendo: Av2 – Integrada e Av3– Integrada 
 
 Média = Av1 +(maior nota entre Av2 e Av3) 
 2 
Além da nota mínima, o aluno tem que apresentar frequência mínima de 75% (setenta e cinco por cento). 
ATENÇÃO !!!!!!!!! 
 Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e 
expedido pela Secretaria; 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª Ed. São Paulo: Editora Atlas, 2009. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Editora Thomson/Pioneira, 
2008. 
HAZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005. 
Bibliografia Complementar: 
 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo: Editora Atlas, 2003. 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, Maria José. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora 
Atlas, 2009. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001. 
 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 90 
ANEXO 
 PEQUENO MANUAL HP 12C 
 
Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seus 
cálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla? 
 
 
 
 
 
 
 
I) Teclas Principais: entenda-se por teclas principais aquelas cujos signos estão nos 
corpos das teclas ou flags, em branco. 
 
1) ON: liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente. 
2) Para mudar de ponto para virgula e vice-versa: segue . junto com o ON e solte primeiro o ON e 
depois o . 
3)f a) pressionando essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em dourado; 
 b) aumentar ou diminuir o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que você quer 
trabalhar com 3 casas decimais, pressione f e depois 3 e todos os números aparecerão no formato 
00,000. À medida em que reduzimos o número de casas decimais, o valor que aparece no visor 
será automaticamente arredondado, usando a seguinte convenção: 
 
Se o número seguinte for: 
 0 a 4, mantém-se 
 5 a 9, arredonda-se 
 c) usar notação exponencial. Pressione f e . 
 d) para retirar a notação exponencial. Pressione f e qualquer número. 
4) g: pressione esta tecla quando quiser usar as funções escritas em azul. 
5) ENTER: colocar o número mostrado na tela (visor). 
Linha financeira 
Teclas especiais 
Teclas comuns em 
calculadoras científicas 
Acesso 
função 
amarela 
Acesso 
à 
memória 
entrada 
Ligar 
e 
desligar 
Acesso 
função 
azul 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 91 
6) CHS: muda o sinal do número ou expoente atual. 
7) EEX: depois de pressionar essa tecla, o próximo número ele considera como um expoente de 
base 10. 
8) CLX: limpa a tela (visor). 
9) f / CLX: limpará todos os registros 
10) f / FIN: limpa a memória dos financiadores 
11) f / PRGM: limpa as memórias de programação. 
12) f / REG: limpa toda a memória financeira e da função STO 
13) f / 

: limpa as funções estatísticas 
14) + - 

: são operações aritméticas. 
15) STO : esta teclas seguida de um número armazena na memória o valor desejado para posterior 
utilização. Vamos dizer que você esta fazendo uma conta e quer guardar o resultado, ao invés de 
escrever num pedaço de papel você digita STO 2 e arquiva na memória o valor, só não pode 
esquecer com que número armazenou determinado valor. 
16) RCL: seguido por um número recupera da memória e apresenta na tela o valor armazenado 
naquele registro. 
17) %: usado nos cálculos de porcentagem. Só que ele também armazena o resultado em uma seção 
da memória que vamos chamar de registro Y. 
18) 

%: Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no registro Y e o valor 
mostrado no visor. 
19) i: armazena e calcula os juros. 
20) n: armazena e calcula a quantidade de períodos. 
21) PV: armazena e calcula o valor presente. 
22) PMT: armazena e calcula os pagamentos (prestações). 
23) FV: armazena e calcula o valor futuro. 
24) g / BEG: “Begin” significa início do período, ou seja, quando a prestação é antecipada, ela é paga 
no início do período. 
25) g / END: quando as prestações forem postecipadas. 
26) y
x
: eleva o número registrador y pelo registrador x. 
27) 1/x: divide 1 pelo número mostrado no visor. 
28) x< > y: troca o conteúdo dos registradores x e y entre si. 
29) R

: baixa o conteúdo registrado anterior no visor. 
30) SST: mostra o número da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo de 
programação. 
31) f / PRGM: mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo (RUN) 
executa as instruções, mostra o resultado e move para a próxima linha. 
32) g / CF0 : Significa fluxo de caixa do momento zero (fluxo de caixa inicial) 
33) g / CFj : Fluxo de caixa nos períodos seguintes 
34) g / Nj : Repete fluxos iguais e consecutivos 
35) f / IRR :Taxa interna de retorno (ou TIR) 
36) f / NPV: Valor presente líquido 
 
II) Cálculos aritméticos simples: 
 Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução do 
primeiro número, pressione a tecla ENTER e, em seguida, o segundo número e a operação a ser 
realizada (   x ou : ); a resposta aparecerá no visor. 
Exemplo: 15 + 27 = 42 
Teremos: 15 ENTER 27 + 72 
Resultado: 72 
 
III) Cálculos em cadeia: 
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Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outro 
cálculo em seguida, não será necessário pressionar Enter , pois o resultado será armazenado 
automaticamente. Isto ocorre porque a HP-12C possui quatro registradores, os quais são usados para 
armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos por memórias de 
pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T. 
Exemplos: 
 a) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 
Demonstração Gráfica dos Registradores da Pilha Operacional 
 
 X Y Z T 
Digitar 1 1, 
ENTER 1,00 1,00 
Digitar 2 2, 1,00 
ENTER 2,00 2,00 1,00 
Digitar 3 3, 2,00 1,00 
ENTER 3,00 3,00 2,00 1,00 
Digitar 4 4, 3,00 2,00 1,00 
+ 7,00 2,00 1,00 
+ 9,00 1,00 
+ 10,00 1,00 
b) 
  
18
24 15 3
3 00
 






 ,
 
 Teclado Visor 
 18 ENTER 18,00 
 24 ENTER 24,00 
 15 ENTER 15,00 
 3 + 18,00 
  6,00 
   3,00 
Lembre-se: 
A regra matemática diz que, primeiro, devemos resolver a multiplicação e a divisão, depois a soma 
e a subtração, respeitando parênteses, colchetes e chaves. 
 
Vamos exercitar? 
Calcule: 
 
a) 7500 ENTER 230 + 2220 / 3,48 
 
 
b) 4621 ENTER 2730 - 6230 ENTER 1723 + / 0,24 
 
 
IV) Funções: 
1) Memórias de Armazenamento: 
a) STO: armazena na memória. 
b) RCL: recupera da memória 
( 7.500 + 230 
) 
2.220 
(4.621 – 2.730) 
(6.230 + 1.723) 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 93 
- A HP-12C possui 20 memórias para armazenamentode valores, que vão de 0 a 9 e de  0 a  
9. 
- Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla STO seguida do 
número da memória desejada. 
- Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla RCL seguida do 
número da memória. 
Exemplo: 
Armazenar o número 15 na memória 0. 
Digitar: 15 STO 0 o número continua no visor, porém já está armazenado. Quando você for 
utilizar o número armazenado basta pressionar RCL 0 , que ele retornará ao visor, podendo ser 
utilizado para qualquer cálculo. 
 
2) Como extrair % de um número? 
10% de 1000 é? 
1000 enter 10% 
resposta:100 
 
3) Como calcular a variação porcentual? 
a) 500 enter 800 

% 
resposta: 60% 
b) No pregão de ontem, as ações da Cia. X S.A. subiram de R$ 5,37 para R$ 5,90. Qual foi a variação 
percentual? 
5,37 ENTER 5,90 % = 9,87% 
 
4) Como extrair o porcentual total ? 
Vamos supor que você tenha: 200,00 de despesas gerais; 
 90,00 de despesas com alimentação; 
 41,00 de despesas com farmácia. 
Digite 200 enter 90 + 41 + aparecerá o total de 331,00 
200 tecle %T = 60,42% (despesas gerais) 
CLX 
90 tecle %T = 27,19% (despesas com alimentação) 
CLX 
41 tecle %T = 12,39% (despesas com farmácia) 
 
5) Funções calendário 
A)Temos dois modos de operação: um modo brasileiro e outro americano. 
a) modo brasileiro: g 4(D.MY) aparecerá no visor direito D.MY(dia, mês e ano) 
b) modo americano: g 5(M.DY) aparecerá no visor direito M.DY(mês, dia e ano) 
 
B) Operando intervalos de datas 

DYS: Quantos dias há entre 21/02/2000 e 27/12/2000? 
21.012000 ENTER 27.122000 g 

DYS 
Resposta: 341 dias 
 
C) Função Data Futuro: permite você calcular o futuro das datas, com os dias da semana: Quando 
vencerá uma duplicata comprada em 60 dias em 14/03/2006? 
14.032006 ENTER 60 g DATE 
Resposta: vencerá em 13/05/2006 (6 = sábado) 
 
D) Função Data Passado: permite você calcular o passado das datas, com os dias da semana: No 
exemplo anterior vimos que o vencimento foi no dia 13.05.2006. Se a compra fosse feita com 
pagamento em 45 dias, qual a data da compra? 
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13.052006 ENTER 45 CHS g DATE 
Resposta: a compra foi feita em 29.032006 (3 = quarta- feira) 
 
6) Função Potência 
Para calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, em seguida, 
digite o expoente e pressione a tecla y
x
 . 
Exemplos: 
a) 4
5 
= 1.024 
 Na calculadora: 4 ENTER 5 y
x 
  1.024 
 b) 
25
30
360
 = 1,31 
 Na calculadora: 25 ENTER 30 ENTER 360 

 Y
x
  1,31 
c) 3 
–5
 = 0,0041 
 Na calculadora: 3 ENTER 5 CHS y
x
 = 0,0041 
7) Função Fluxo de Caixa 
 A capacidade da HP-12C no fluxo de caixa é de 20 memórias, isto significa dizer que somente 
podemos calcular fluxos limitados a 20 valores informados nas funções CF0 e CFj , pois, quando temos 
valores iguais na seqüência, podemos utilizar a função Nj que não conta como memória. 
Outro detalhe importante é que, como nem sempre utilizamos todas as memórias disponíveis, é 
necessário que antes de iniciar os cálculos sejam zeradas as memórias f CLX . 
a) Valor Presente Líquido (NPV) 
O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o 
valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxa 
conhecida. 
 
V) Juros Simples e Juros Compostos 
 
1) Conceitos: 
a) Capital ou Principal (C ou PV): entende-se por capital, sob ponto de vista da matemática 
financeira, como qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
b) Juro (J): é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como sendo o aluguel 
pago pelo uso do dinheiro. 
c) Prazo(n): é o intervalo de tempo existente entre cada aplicação. 
d) Taxa de juro (i): é a razão entre o juro recebido ou pago no fim de um período de tempo e o 
capital inicial emprestado. 
e) Valor futuro (FV): é o valor total a ser pago ou recebido, é a soma do capital com o juro. 
f) Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial. 
g) Juro composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo é calculado sobre o 
montante relativo ao período anterior. Assim, o juro produzido no fim de cada período é somado ao 
capital que o produziu, passando os dois capital e juro a render no período seguinte. 
 
2) Calculo de juro simples 
 
a) Fórmula do juro simples: J= PV.i.n 
b) Fórmula do montante a juro simples: FV= PV(1+i.n) 
 
Material de Apoio Matemática Financeira – 5ª edição - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 95 
Exemplo: Marcelo fez um empréstimo no banco, no valor de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de 
juros simples é de 4,5% ao mês, quanto pagará de juros no final de 4 meses e qual o montante a ser 
pago? 
Dados: PV= 1.000,00 
 n = 4 meses 
 i= 4,5% a.m. = 0,045 
Resolução: FV= PV(1+i.n) 
 FV= 1000(1+0,045 . 4) 
 FV= 1.180,00 
HP 12C: limpe os financiadores f FIN 
 Digite 1000 CHS PV 
 O prazo tem que estar em dias 4 ENTER 30 x n 
 A taxa deve estar em ano 4,5 ENTER 12 x i 
 O valor do juro aparecerá f INT 180,00 
 Aparecerá o valor do montante + 1180,00 
 
3) Juro bancário e juro exato 
a) Juro bancário e comercial considera-se o ano com 360 dias e o mês com 30 dias 
b) Juro exato considera-se a quantidade exata de dias , sendo assim o ano tem 365 dias e quando for 
bissexto 366. 
Exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 120.000,00 a taxa de 30% ao ano, no 
período de 20/05/2004 a 15/09/2004. Utilizando os processos de juros simples. 
Dados: PV= 120.000,00 
 i = 30% ao ano = 0,3 
 n= 20/05/2004 à 15/09/2004 
HP12C: calculo de período 20.052004 ENTER 15.092004 
 g 

DYS = 118 dias exatos 
 x><y =115 dias comerciais 
 juro bancário 120.000 CHS PV 
 30 i 118 n 
 f INT 11.800 
 juro exato f INT R

 
 x><y 11.638,35 
4) Método Hamburguês 
É utilizado para calculo de juros em qualquer tipo de conta corrente sujeita a juros. 
Exemplo: No extrato abaixo sua conta ficou negativa por um determinado tempo e a taxa de juros 
cobrada foi de 50% ao ano, qual o total de juros a ser debitado em sua conta corrente? 
Saldo Negativo dias 
1.250,00 6 
530,00 8 
 
HP 12C f REG 
 1250 ENTER 6 

+ =1 
 530 ENTER 8 

+ =2 
 RCL 6 11740 
 CHS PV 
 50 i 1 n 
 f INT 16,30(juro a ser debitado) 
5) Juros compostos 
a) Fórmula do montante a juros compostos: FV= PV(1+i)
n
 
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Exemplo: Qual o valor futuro para uma aplicação de R$ 5.000,00 aplicado durante 5 meses, a taxa 
de juros compostos de 12% ao mês? 
Dados: PV= 5000 
 n = 5 meses 
 i = 12% ao mês = 0,12 
Resolução: FV= PV(1+i)
n
 
 FV= 5000(1+0,12)
5
 
 FV= 5000 (1,12)
5
 
 FV= 5000 . 1,762 
 FV= 8.811,71 
HP 12C: 5000 CHS PV 
 12 i 5 n FV 8.811,71 
 
6) Equivalência de taxas a juros compostos 
Duas taxas são equivalente quando são expressas em períodos distintos, mas produzem o mesmo 
montante, quando aplicadas pelo mesmo período de tempo, para um mesmo capital inicial. 
a) Formula: ieq= {[1+ic]
QQ/QT
- 1 }. 100 
Onde: iq= taxa equivalente que queremos 
 Q= prazo no qual queremos a taxa equivalente 
 ic= taxa conhecidaQQ/QT= QUANTO EU QUERO/QUANTO EU TENHO (prazo no qual temos a taxa dada) 
Exemplo: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
Dados: ic= 2% = 0,02 
 Q= 12 meses 
 ieq = ? 
 QT= 1 mês 
Resolução: ieq= {[1+it]
QQ/QT
- 1 }. 100 
 ieq={[1+0,02]
12/1
- 1}.100 
 ieq={[1,02]
12
-1}.100 
 ieq= {1,2682 – 1}.100 
 ieq= 0,2682 .100 
 ieq= 26,82% a. a. 
HP 12C: 2 ENTER 100 

 1 + 
12 ENTER 1 

 y
x
 = 1,26824 
1 - 100 x = 26,82 
Programação para este cálculo: 
F P/R F PRGM RCL i 
100 

 1 + RCL PV 
RCL FV 

 y
x
 1 - 
100 x F P/R 
Para que este programa seja utilizado, lembre-se: 
 coloque a taxa que você tem no i; 
 o tempo da taxa que você colocou na tecla i em FV; 
 o tempo que você deseja ver a nova taxa em PV; 
 agora é só pressionar R/S 
 
7) Taxa Nominal e Efetiva a Juros compostos 
A taxa nominal anual = a taxa efetiva mensal x 12 
A taxa nominal mensal= a taxa efetiva diária x 30 
 
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Exemplo 1 : Desta forma, se temos uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização mensal, e 
quisermos calcular a taxa efetiva ao ano, temos que calcular primeiro a taxa efetiva por período de 
capitalização mensal. 
Portanto: 125%a.a. 

 12=10,43%a.m.(taxa efetiva mensal) 
Agora iremos calcular a taxa efetiva ao ano fazendo a equivalência de taxa. 
HP 12C: 10,43 ENTER 100 

 1 + 
12 ENTER 1 

 y
x
 = 3,288 
1 - 100 x = 228,89%a.a 
 
Exemplo 2 : Se quisermos a taxa efetiva de 58%a.a., com capitalização mensal e precisarmos 
calcular a nominal ao ano. 
Calcule primeiro a taxa efetiva mensal fazendo a equivalência de taxa. 
HP 12C: 58 ENTER 100 

 1 + 
1 ENTER 12 

 y
x
 = 1,03885 
1 - 100 x = 3,885%a.m 
Portanto: 3,885%a.m. x 12 = 46,63%a.a. 
 
VI) Para conferir se a calculadora esta funcionando perfeitamente 
 
1) Com a calculadora desligada, aperte as teclas ON e 

 juntas, soltando primeiro o ON aparecerá 
alguns traços. Aperte todas as teclas da direita para esquerda e de cima para baixo, o enter deverá 
ser apertado duas vezes. Quando chegar na ultima tecla (+) o visor apresentará o valor 12. 
 
2) Com a calculadora desligada aperte as teclas ON e x juntas, soltando primeiro o ON a 
calculadora começara piscar e todas as funções ficaram acesas no visor. 
 
VII) Para corrigir um número digitado errado 
 
Ex.: Quero somar 10 + 2; 
No lugar do 2 digitei 5, então quero apagar o número 5. 
g ∑ + 
Digito o número desejado, no caso 2 e + . Obtenho como resposta 12.