EngComp e Prod 2018 1 Calculo II MCA502 P2 GABARITO

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AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P2 
 
 Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
 Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
 
 É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Sobre o campo vetorial �⃗�(𝑥,𝑦) = (
1
𝑦
+ 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦sen⁡(𝑥2𝑦))𝑖 + (
−𝑥
𝑦2
+ 𝑥2 − 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥2𝑦))𝑗 é correto afirmar que: 
 
a) o campo não é conservativo, pois 𝑟𝑜𝑡�⃗� ≠ 0⃗⃗. 
b) 𝑟𝑜𝑡�⃗� = 0⃗⃗⁡e o campo não é conservativo. 
c) o campo é conservativo e 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ 𝑥2y + cos(𝑥2𝑦) é uma função potencial. 
d) o campo é conservativo e 𝜑(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
+ 𝑥2y − cos(𝑥2𝑦) é uma função potencial. 
e) nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 2 (2 pontos) 
Calcule a massa da placa plana descrita por 𝑥2 +𝑦2 ≤ 4, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0, com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦) =
√𝑥2 + 𝑦2. 
 
a) 𝜋 
b) 
2𝜋
3
 
c) 
8𝜋
3
 
d) 
3𝜋
2
 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Calcule ∬ 𝑒𝑦
3
√2𝑧 +13
3
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑦𝑧2𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 +⁡ ln(𝑥2 + 𝑦4 + 1) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦⁡𝑆 através da superfície S que é o 
bordo do elipsoide 
𝑥2
9
+ 𝑦2 +
𝑧2
4
≤ 1,⁡orientada com a normal que aponta para fora. 
 
Questão 4 (3 pontos) 
Calcule a massa do pedaço do cilindro 𝑥2+ 𝑦2 = 4 , 𝑦 ≥ 0,⁡acima do plano 𝑧 = −2 e abaixo da superfície 𝑧 =
4 − 𝑦, com densidade 𝛿 = 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 . 
 
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GABARITO 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre P2 
 
Questão 1 
Alternativa A. 
Como o campo é plano, segue que: 
 𝑟𝑜𝑡�⃗� = (
𝜕𝑄
𝜕𝑥
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
) �⃗⃗� = (
−1
𝑦2
+ 2𝑥 − 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥2𝑦) − 2⁡𝑥3𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥2𝑦) − (
−1
𝑦2
+ 𝑥 − 2𝑥sen⁡(𝑥2𝑦) − 2⁡𝑥3𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥2𝑦)))�⃗⃗� = 
𝑥�⃗⃗� ≠ 0⃗⃗ . Logo o campo não é conservativo. 
 
 
Questão 2 
Alternativa E. 
Massa = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝐷 = ∬ √𝑥
2 + 𝑦2𝑑𝐴𝐷 . 
Vamos usar coordenadas polares no cálculo da integral dupla. 
Parametrização: 
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
 , (𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0) 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 
Jacobiano = 𝑟. 
∬ √𝑥2+ 𝑦2𝑑𝐴𝐷 = ∫ ∫ 𝑟 ∙ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫
1
3
𝑟3|
2
0
𝑑𝜃 =
𝜋
2
0
2
0
𝜋
2
0 
= ∫
8
3
𝜋
2
0 𝑑𝜃 =
8
3
∙
𝜋
2
=
4𝜋
3
. 
 
 
Questão 3 
Pelo Teorema de Gauss vale: 
 ∬ 𝑒𝑦
3
√2𝑧 + 13
3
𝑑𝑦 ∧ 𝑑𝑧 + 𝑦𝑧2𝑑𝑧 ∧ 𝑑𝑥 + ⁡ln(𝑥2+ 𝑦4 + 1) 𝑑𝑥 ∧ 𝑑𝑦⁡𝑆 = 
 =∭ (
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧𝑉
)𝑑𝑉 = ∭ 𝑧2𝑑𝑉𝑉 
Usamos coordenadas esféricas adaptadas ao elipsoide: 
𝑥 = 3 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 0 ≤ 𝜌 ≤ 1 
𝑧 = 2𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋 
Jacobiano = 3 ∙ 1 ∙ 2𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑 = 6𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑 . 
∭ 𝑧2𝑑𝑉𝑉 = ∫ ∫ ∫ 4𝜌
2𝑐𝑜𝑠2𝜑 ∙ 6𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 =
1
0
𝜋
0
2𝜋
0 
= 24 ∙ 2𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑
1
5
𝜌5|
1
0
𝑑𝜑 =
𝜋
0
48𝜋
5
∙
1
3
(−𝑐𝑜𝑠3𝜑)|
𝜋
0
=
96𝜋
15
=
32𝜋
5
 
 
 
disciplina: MCA502 – Cálculo II 
3 
 
Questão 4 
Massa = ∬ 𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝐷 = ∬ 2𝑦𝑑𝐴𝐷 
Parametrização: 
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 , pois ⁡𝑦 ≥ 0 
𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 −2 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝑧 = 𝑧 𝑑𝐴 = 2𝑑𝑧𝑑𝜃 
∬ 2𝑦𝑑𝐴𝐷 = ∫ ∫ 4𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 2𝑑𝑧𝑑𝜃 = ∫ 8𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑧|
4 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃
−2
𝑑𝜃 =
𝜋
0
4−2𝑠𝑒𝑛𝜃
−2
𝜋
0 
= ∫ (32𝑠𝑒𝑛𝜃 − 16𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜋
0 +16𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝜃 = ∫ (48𝑠𝑒𝑛𝜃 − 16(
1−𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝜋
0 ))𝑑𝜃 
 
(−48𝑐𝑜𝑠𝜃 − 8𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛(2𝜃))|
𝜋
0
= 48 − 8𝜋 + 0 − (−48 − 0 +0) = 96 − 8𝜋