EngComp e Prod 2018 1 Calculo II MCA502 P1 GABARITO
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1 
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
CADERNO DE PERGUNTAS 
 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre ano: 2018 | 2sem 
CÓDIGO DA PROVA 
P1 
 
\uf0b7 Preencha atentamente o cabeçalho de TODAS AS FOLHAS DE RESPOSTA que você utilizar. 
\uf0b7 Ao término da prova, entregue apenas a folha de resposta ao aplicador. Leve este caderno de 
perguntas consigo. 
Boa prova! 
 
disciplina: MCA502 \u2013 Cálculo II 
 
\uf0b7 É permitido o uso de formulário impresso. Não é permitido o uso de calculadora. 
 
Questão 1 (2 pontos) 
Sobre o campo vetorial \ufffd\u20d7\ufffd(\ud835\udc65,\ud835\udc66) = (
1
\ud835\udc66
\u2212 2\ud835\udc65\ud835\udc66sen\u2061(\ud835\udc652\ud835\udc66))\ud835\udc56 + (
\u2212\ud835\udc65
\ud835\udc662
\u2212 \ud835\udc652\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(\ud835\udc652\ud835\udc66))\ud835\udc57 é correto afirmar que: 
 
a) o campo não é conservativo, pois \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61\ufffd\u20d7\ufffd \u2260 0\u20d7\u20d7. 
b) \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61\ufffd\u20d7\ufffd = 0\u20d7\u20d7, mas o campo não é conservativo. 
c) o campo é conservativo e \ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
+ cos(\ud835\udc652\ud835\udc66) é uma função potencial. 
d) o campo é conservativo e \ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
\u2212 cos(\ud835\udc652\ud835\udc66) é uma função potencial. 
e) nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 2 (2 pontos) 
Calcule a massa do paralelepípedo [0, 2]\ud835\udc4b[0, 3]\ud835\udc4b[0, 1] com densidade \ud835\udeff = \ud835\udeff(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) = 4\ud835\udc67. 
 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 10. 
e) Nenhuma das outras alternativas. 
 
 
Questão 3 (3 pontos) 
Calcule \u222b 2\ud835\udc65\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc65 + \ud835\udc652\ud835\udc51\ud835\udc66 + (\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc67 + \ud835\udc652)\ud835\udc51\ud835\udc67\u2061\ud835\udefe , sendo \ud835\udefe a curva que é o bordo do retângulo de vértices (0,0,2), 
(2,0,2), (0,2,0), (2,2,0) percorrida de modo que a projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. 
Obs: \ud835\udefe é formada por 4 segmentos de reta todos contidos no plano\u2061\ud835\udc67 = \u2061\u2212\ud835\udc66 + 2. 
 
 
Questão 4 (3 pontos) 
Calcule a massa do pedaço do cilindro \ud835\udc652+ \ud835\udc662 = 4 , \ud835\udc66 \u2265 0,\u2061acima do plano \ud835\udc67 = \u22123 e abaixo da superfície \ud835\udc67 =
8 \u2212 \ud835\udc66, com densidade \ud835\udeff = \ud835\udeff(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) = 2\ud835\udc66 . 
 
2 
 
GABARITO 
curso: 
Engenharia de Computação/ 
Engenharia de Produção 
bimestre: 4º bimestre P1 
 
Questão 1 
Alternativa C. 
Procuramos uma função \ud835\udf11 = \ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) que satisfaça: 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc65
=
1
\ud835\udc66
\u2212 2\ud835\udc65\ud835\udc66sen\u2061(\ud835\udc652\ud835\udc66) e 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc66
=
\u2212\ud835\udc65
\ud835\udc662
\u2212\ud835\udc652\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(\ud835\udc652\ud835\udc66). Integrando a primeira em \ud835\udc65 e a segunda em \ud835\udc66 obtemos: 
\ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
+ cos(\ud835\udc652\ud835\udc66) + \ud835\udc54(\ud835\udc66) e \ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
+ cos(\ud835\udc652\ud835\udc66) + \u210e(\ud835\udc65). Comparando, concluímos que 
\ud835\udf11(\ud835\udc65, \ud835\udc66) =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
+ cos(\ud835\udc652\ud835\udc66) é uma função potencial. 
 
 
 
Questão 2 
Alternativa B. 
Massa = \u222d \ud835\udeff(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67)\ud835\udc51\ud835\udc49\ud835\udc37 = \u222d 4\ud835\udc67\ud835\udc51\ud835\udc49\ud835\udc37 = \u222b \u222b \u222b 4\ud835\udc67\ud835\udc51\ud835\udc67\ud835\udc51\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc65 = \u222b \u222b 2\ud835\udc67
2|
1
0
\ud835\udc51\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc65 =
3
0
2
0
1
0
3
0
2
0
\u222b \u222b 2\ud835\udc51\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc65 =
3
0
2
0 
= \u222b 2\ud835\udc66|
3
0
\ud835\udc51\ud835\udc65 = \u222b 6\ud835\udc51\ud835\udc65 = 12
2
0
2
0
 
 
 
Questão 3 
\ud835\udc45\ud835\udc5c\ud835\udc61\ufffd\u20d7\ufffd = |
\ud835\udc56 \ud835\udc57 \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc65
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc66
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc67
2\ud835\udc65\ud835\udc66 \ud835\udc652 \ud835\udc652 + \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc67
| = (0, \u22122\ud835\udc65, 0) \u2260 0\u20d7\u20d7, segue que o campo não é conservativo. 
Vamos aplicar o teorema de Stokes. 
Seja S o pedaço do plano \u2061\ud835\udc67 = \u2061\u2212\ud835\udc66 + \u20613 limitado pelos vértices do enunciado. A orientação coerente com o 
enunciado é aquela em que a normal aponta para cima. 
 Parametrização: 
 \ud835\udc65 = \ud835\udc62 0 \u2264 \ud835\udc62 \u2264 2 
 \ud835\udc66 = \ud835\udc63 0 \u2264 \ud835\udc63 \u2264 2 
 \ud835\udc67 = 2 \u2212 \ud835\udc63 
 \u2061\u2061\u2061\u2061\ud835\udc4b\ud835\udc62\u20d7\u20d7 \u20d7\u20d7 \u20d7\u20d7 = (1,0,0) 
 \ud835\udc4b\ud835\udc63\u20d7\u20d7\u20d7\u20d7 \u20d7 = (0,1, \u22121) 
\ud835\udc4b\ud835\udc62\u20d7\u20d7 \u20d7\u20d7 \u20d7 \u2227 \ud835\udc4b\ud835\udc63\u20d7\u20d7\u20d7\u20d7 \u20d7 = |
\ud835\udc56 \ud835\udc57 \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd
1 0 0
0 1 \u22121
| = (0,1,1) 
 Esta é a orientação pedida. 
 
 \u222b 2\ud835\udc65\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc65 + \ud835\udc652\ud835\udc51\ud835\udc66 + (\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc67 + \ud835\udc652)\ud835\udc51\ud835\udc67\u2061\ud835\udefe = \u222c \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61\ufffd\u20d7\ufffd \u2219 \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd\ud835\udc51\ud835\udc46\ud835\udc46 = \u222c \u27e8(0, \u22122\ud835\udc65, 0)|(0,1,1)\u27e9\ud835\udc51\ud835\udc34 =D 
 
= \u222c \u22122\ud835\udc65\ud835\udc51\ud835\udc34 = \u2212\u222b \u222b 2\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63\ud835\udc51\ud835\udc62 = \u2212 \u222b 2\ud835\udc62\ud835\udc63 |
2
0
\ud835\udc51\ud835\udc62
2
0 = \u2212 \u222b 4\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc62
2
0
2
0
2
0D = \u22122\ud835\udc62
2|
2
0
= \u22128. 
 
disciplina: MCA502 \u2013 Cálculo II 
3 
 
 
Questão 4 
Massa = \u222c \ud835\udeff(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67)\ud835\udc51\ud835\udc34\ud835\udc37 = \u222c 2\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc34\ud835\udc37 
Parametrização: 
\ud835\udc65 = 2\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udf03 0 \u2264 \ud835\udf03 \u2264 \ud835\udf0b , pois \u2061\ud835\udc66 \u2265 0 
\ud835\udc66 = 2\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 \u22123 \u2264 \ud835\udc67 \u2264 8 \u2212 2\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 
\ud835\udc67 = \ud835\udc67 \ud835\udc51\ud835\udc34 = 2\ud835\udc51\ud835\udc67\ud835\udc51\ud835\udf03 
\u222c 2\ud835\udc66\ud835\udc51\ud835\udc34\ud835\udc37 = \u222b \u222b 4\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 \u2219 2\ud835\udc51\ud835\udc67\ud835\udc51\ud835\udf03 = \u222b 8\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 \u2219 \ud835\udc67|
8 \u2212 2\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03
\u22123
\ud835\udc51\ud835\udf03 =
\ud835\udf0b
0
8\u22122\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03
\u22123
\ud835\udf0b
0 
= \u222b (64\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 \u2212 16\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b2
\ud835\udf0b
0 \ud835\udf03 + 24\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03)\ud835\udc51\ud835\udf03 = \u222b (88\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udf03 \u2212 16(
1\u2212\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc602\ud835\udf03
2
\ud835\udf0b
0 ))\ud835\udc51\ud835\udf03 
 
(\u221288\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udf03 \u2212 8\ud835\udf03 + 4\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(2\ud835\udf03))|
\ud835\udf0b
0
= 88 \u2212 8\ud835\udf0b + 0 \u2212 (\u221288 \u22120 + 0) = 176 \u2212 8\ud835\udf0b