Capítulo 2 Equação de Slutsky

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Microeconomia II Capítulo 2 
 
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Capítulo 2 – Equação de Slutsky 
Estática comparada – estudo da forma como a escolha responde às variações do ambiente 
económico, sendo “comparada” porque se pretende comparar a situação antes e a situação 
depois da variação ocorrida no ambiente económico e “estática” na medida em que não 
estamos preocupados com o processo de ajustamento quer possa estar subjacente à 
passagem de uma escolha para a outra, limitando-nos a examinar a escolha de equilíbrio. 
Bem normal – a quantidade procurada do bem varia sempre no mesmo sentido que a variação 
do rendimento: 
∆��
∆�
> 0 
Bem inferior – a quantidade procurada do bem diminui quando o rendimento aumenta. 
Bem de Giffen – a quantidade procurada do bem varia sempre no mesmo sentido que a 
variação do preço: 
∆��
∆��
> 0 
A alteração do preço é, em certa medida, como que uma alteração do rendimento. Embora o 
rendimento monetário se mantenha constante, a alteração do preço de um bem fará variar o 
poder de compra (em sentido oposto) e, desse modo, alterará a procura. 
Um bem de Giffen tem de ser obrigatoriamente um bem inferior, mas nem todos os bens 
inferiores são bens de Giffen. 
Curvas rendimento-consumo e curvas de Engel 
Curva de rendimento-consumo – união dos vários cabazes ótimos de dois bens para cada nível 
de rendimento, obtidos enquanto a reta orçamental se vai deslocando. Pode também ser 
designada como via de expansão do rendiemento. 
Para cabazes compostos por bens normais a curva rendimento-consumo terá sempre declive 
positivo. 
Curva de Engel – estabelece a relação entre o nível de rendimento e a procura de um 
determinado bem, mantendo constantes os preços. 
Exemplos 
Substitutos perfeitos: 
 Admitindo que p1 <p2, o consumidor vai consumir apenas bem 1; 
 Quando o rendimento aumenta o consumidor aumentará o consumo do bem 1; 
 A curva rendimento-consumo será o eixo horizontal; 
 Como a curva da procura do bem 1 é �� =
�
��
, então a curva de Engel será uma reta 
com declive igual a p1. 
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Complementos perfeitos: 
 O consumidor irá consumir sempre a mesma quantidade de cada um dos bens; 
 A curva rendimento-consumo é a diagonal que passa pela origem; 
 Como a procura do bem 1 é �� =
�
�����
, então a curva de Engel é uma reta com declive 
igual a p1+p2. 
Preferências Cobb-Douglas: 
 Admitindo que �(��, ��) = ��
���
���, a procura do bem 1 é �� =
��
��
 e a procura do bem 
2 é �� =
(���)�
��
; 
 Para cada nível de preços fixo as funções de procura dos bens são lineares e 
dependem apenas de m; 
 As vias de expansão do rendimento são linhas retas a passar pela origem; 
 A curva de Engel do bem 1 será uma reta com declive igual a 
��
�
. 
Preferências homotéticas: 
 As curvas de Engel vistas até agora têm sido linhas retas, no entanto, as verdadeiras 
curvas de Engel não o são necessariamente, já que quando o rendimento varia a 
quantidade procurada do bem pode variar mais ou menos rapidamente; 
 Bem de luxo – o consumo do bem aumenta em maior proporção do que o rendimento; 
 Bem necessário – o consumo do bem aumenta proporcionalmente menos do que o 
rendimento; 
 Os casos que analisamos até agora constituíam o exemplo de bens que variam na 
mesma proporção do rendimento; 
 Preferências homotéticas – o consumidor prefere (tx1,tx2) a (ty1,ty2) para qualquer 
valor positivo de t, já que o rácio entre o bem 1 e o bem 2 é sempre o mesmo; 
 Curvas de rendimento-consumo são retas que passam pela origem, já que quando o 
rendimento varia num dado valor de t>0 o cabaz procurado aumenta na mesma 
proporção; 
 Curvas de Engel são igualmente linhas retas. 
Preferências quase-lineares: 
 Preferências onde todas as curvas de indiferença são versões deslocadas de uma outra 
curva de indiferença; 
 A função de utilidade assume a forma: �(��, ��) = �(��) + ��; 
 Se uma curva é tangente à reta orçamental em (x1*,x2*), então outra curva de 
indiferença será tangente em (x1*,x2*+k) para qualquer valor constante k; 
 O aumento do rendimento não altera em nada a quantidade procurada do bem 1, logo 
o rendimento extra vai todo para o consumo do bem 2 (efeito de rendimento nulo no 
bem 1); 
 Curva rendimento-consumo é uma reta vertical; 
 Curva de Engel do bem 1 é uma reta vertical, já que à medida que o rendimento varia a 
quantidade procurada do bem 1 mantém-se constante. 
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Bens normais: 
 
Bens inferiores: 
 
Equação de Slutsky 
Vamos analisar a partir de agora o modo como o consumidor de um bem responde, em termos 
de escolhas, a uma variação do preço desse bem. 
Quando o preço de um bem se altera a variação na quantidade procurada adevem da: 
 Variação da taxa à qual se substitui um bem por outro – efeito substituição; 
 Variação do poder total de compra do rendimento – efeito rendimento. 
Assim: ∆�� = ∆��
� + ∆��
� → Iden�dade de Slutsky 
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Suponhamos que a restrição orçamental inicial é dada por: 
 
Imaginado que o preço do bem 1 diminuiu (p1 → p’1), então com o mesmo rendimento 
podemos comprar mais unidade do bem 1, pelo que a restrição orçamental roda para fora: 
 
O efeito total da redução do preço do bem 1 na procura será: ∆�� = ��
� − �� 
Para que o poder de compra se mantenha constante (igual ao da restrição orçamental inicial) 
depois da variação de preço é necessária uma variação do rendimento: 
∆� = �� − � 
ó∆� = ����� − ���� + ���� − ���� 
ó∆� = ∆���� 
 
Efeito de substituição / variação da procura compensada 
Mede a variação da quantidade procurada de um bem causada pela variação do preço desse 
bem, mantendo constante o poder de compra: 
∆��
� = ����
�
�, �
�� − ��(��, �) 
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Para bens normais, o efeito de substituição tem sempre um sinal contrário ao da variação do 
preço: 
 ∆�� < 0 → ∆��
� ≥ �, ou seja, quando o preço do bem 1 desce, o poder de compra do 
consumidor aumenta, logo temos de reduzir-lhe o rendimento para que o poder de 
compra seja igual ao inicial; 
 ∆�� > 0 → ∆��
� ≤ �, ou seja, quando o preço do bem 1 aumenta, o poder de compra 
do consumidor diminui, logo temo de aumentar-lhe o rendimento para que o poder de 
compra seja igual ao inicial. 
Para bens inferiores, o efeito de substituição tem sempre o mesmo sinal que a variação do 
preço: 
 ∆�� < 0 → ∆��
� ≤ � 
 ∆�� > 0 → ∆��
� ≥ � 
Efeito rendimento 
Diferença entre o efeito total da variação do preço e o efeito substituição: 
∆��
� = ∆�� − ∆��
� 
ó ∆��
� = �����
�
�, �� − ��(��, �)� − �����
�
�, �
�� − ��(��, �)� 
ó ∆��
� = ����
�
�, �� − ����
�
�, �
�� 
 
Efeito total da variação de preço de bem 1 na sua procura 
Para bens normais: 
 ∆ p1 > 0 
o ∆ x1
s < 0 
o ∆ x1
n < 0 
 ∆ x1 < 0 
 ∆ p1 < 0 
o ∆ x1
s > 0 
o ∆ x1
n > 0 
 ∆ x1 > 0 
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Para bens inferiores: 
 ∆ p1 > 0 
o ∆ x1
s < 0 
o ∆ x1
n > 0 
 ∆ x1 ? 
 |∆ x1
n| > |∆ x1
s| → ∆ x1 > 0 → Bem de Giffen 
 |∆ x1
n| < |∆ x1
s| → ∆ x1 < 0 → Bem de Normal 
 ∆ p1 < 0 
o ∆ x1
s > 0 
o ∆ x1
n < 0 
 ∆ x1 ? 
 |∆ x1
n| < |∆ x1
s| → ∆ x1 < 0 → Bem de Giffen 
 |∆ x1
n| > |∆ x1
s| → ∆ x1 > 0 → Bem de Normal 
Bens de Giffen: 
 
Lei da procura: Se a procura de um bem aumentar quando o rendimento aumenta, então a 
quantidade procurada desse bem tem de diminuir quando o preço sobe. Esta lei pode ser 
demonstrada utilizando a identidade de slutsky e o axioma fraco das preferências reveladas. 
 
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Efeito substituição e efeito rendimento para diferentes tipos de preferências 
Complementos perfeitos: 
 
 Quando rodamos a reta do orçamento em torno do ponto escolhido e construímos a 
nova reta orçamental compensada, a escolha ótima desta nova reta do orçamento é a 
mesma que a da reta do orçamento inicial → efeito de substituição é zero; 
 A variação da quantidade procurada do bem deve-se unicamente ao efeito 
rendimento. 
Substitutos perfeitos: 
 
 Quando rodamos a reta do orçamento em torno do ponto escolhido, a escolha ótima 
salta do eixo vertical para o eixo horizontal, não sendo possível fazer qualquer 
deslocamento → efeito rendimento é zero; 
 A variação da quantidade procurada do bem deve-se inteiramente ao efeito de 
substituição. 
Inicial: 
��
��
>
�
�
= ��� → só compra bem 2 
 
Se p1 baixar muito: 
 
Final: 
���
��
<
�
�
 → só compra bem 1 
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 Quando rodamos a reta do orçamento em torno do ponto escolhido e construímos a 
nova reta orçamental compensada, a escolha ótima desta nova reta do orçamento é a 
mesma que a da reta do orçamento inicial → efeito de substituição é zero; 
 A variação da quantidade procurada do bem deve-se unicamente ao efeito 
rendimento. 
Preferências quase lineares: 
�(��, ��) = �(��) + �� 
Curvas de indiferença: �(��, ��) = � 
 �� = �(��, ��) − �(��) 
 �� = � − �(��) 
 
 Quando rodamos a reta do orçamento em torno do ponto escolhido e construímos a 
nova reta orçamental compensada, obtemos o cabaz Y que é o resultado o cabaz X 
sujeito ao efeito de substituição; 
 O cabaz que vai ser escolhido depois da variação de preço (Z) terá exatamente a 
mesma quantidade de x1 que o cabaz Y, já que as preferências estão empilhadas 
verticalmente. Deste modo, o efeito de rendimento é zero. 
Inicial: 
��
��
<
�
�
= ��� → só compra bem 1 
 
Se p1 desce: 
 
Final: 
���
��
≪
�
�
 → compra ainda mais bem 1 
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Distinção entre o efeito de substituição de Slutsky e o de Hicks 
Efeito de substituição de Slutsky – variação da quantidade procurada de um bem quando o 
seu preço se altera mas o poder de compra do consumidor permanece constante, de modo a 
que ele ainda possa adquirir o cabaz inicial. 
Efeito de substituição de Hicks – variação da quantidade procurada de um bem quando o seu 
preço se altera mas a utilidade do consumidor permanece constante, de modo a que o cabaz 
escolhido esteja na mesma curva de indiferença que o cabaz inicial (através da variação do 
rendimento e mantendo a utilidade constante). 
 
Para obter o efeito de substituição de Hicks, em vez de rodarmos a restrição orçamental em 
torno do cabaz original, fazemos girar a reta ao longo da curva de indiferença do cabaz inicial. 
Deste modo, o consumidor ficará numa reta orçamental com os mesmos preços relativos que 
os da restrição orçamental final mas em que o rendimento não é o mesmo. Assim, o poder de 
compra final do consumidor já não é suficiente para adquirir o cabaz de bens inicial, mas chega 
para comprar um cabaz de bens que é, relativamente ao inicial, indiferente para o consumidor 
(compensamos o rendimento do consumidor para que ele volte à curva de indiferença inicial). 
O efeito de substituição de Hicks tem sempre sinal contrário ao da variação do preço, tal como 
acontece com o efeito de substituição de Slutsky. 
Curvas da procura 
Curva da procura compensada (Hicks): Curva da procura de Slutsky: 
 
DS – curva da procura vulgar (mantém o rendimento constante). 
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Identidade de Slutsky com derivadas 
Função da procura normal: ��(��, ��, �) 
Função da procura de Slutsky: ��
�(��, ��, �̅�, �̅�) 
Mantendo x1 e x2 constantes e compensando o rendimento de modo a que este cabaz esteja 
sempre na restrição orçamental: ��
�(��, ��, �̅�, �̅�) ≡ �����, ��, ��(��, ��)� 
Com: �� = �� ∗ �̅� + �� ∗ �̅� 
Aplicando a regra da diferenciação: 
���
�(��, ��, �̅�, �̅�)
���
≡
���(��, ��, ��)
���
+
���(��, ��, ��)
��
���(��, ��)
���
 
���(��, ��, ��)
���
≡
���
�(��, ��, �̅�, �̅�)
���
−
���(��, ��, ��)
��
�̅� 
Efeito total: 
���(��,��,�� )
���
 
Efeito substituição: 
���
�(��,��,�̅�,�̅�)
���
 
Efeito rendimento: −
���(��,��,�� )
��
�̅� 
	Capítulo 2 – Equação de Slutsky
	Equação de Slutsky
	/
	Efeito de substituição / variação da procura compensada
	Efeito rendimento
	Efeito total da variação de preço de bem 1 na sua procura
	Lei da procura: Se a procura de um bem aumentar quando o rendimento aumenta, então a quantidade procurada desse bem tem de diminuir quando o preço sobe. Esta lei pode ser demonstrada utilizando a identidade de slutsky e o axioma fraco das preferências reveladas.
	Efeito substituição e efeito rendimento para diferentes tipos de preferências
	Distinção entre o efeito de substituição de Slutsky e o de Hicks
	Curvas da procura
	Identidade de Slutsky com derivadas