AD1 MB 2008 2 gabarito CORRIGIDO

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Matema´tica Ba´sica - AD1 - Gabarito
Questa˜o 1. Efetue:
a)10%.(3, 4)÷2; b) 5
3
√
2
.24/3−0, 11.
Soluc¸a˜o:
a)10%.(3, 4)÷2 = 10
100
×34
10
×1
2
=
1
100
×17 = 0, 17.
b)
5
3
√
2
.24/3−0, 11 = 5
3
√
2
× 3
√
24−0, 11 = 5
3
√
2
×2 3
√
2−0, 11 = 5×2−0, 11 = 10−0, 11 = 9, 89
Questa˜o 2. Efetue:
a)
√
62 + 92; b) 22/3 + 2−1/3 (racionalize o denominador da frac¸a˜o
final).
Soluc¸a˜o:
a)
√
62 + 92 =
√
36 + 81 =
√
85 =
√
32.13 = 3
√
13.
Esta e´ uma questa˜o de resoluc¸a˜o simples. O mais importante aqui e´ prestar atenc¸a˜o para
o fato de que na˜o podemos fazer a conta
√
62 + 92 =
√
62+
√
92, pois, de modo geral, temos
que
√
a2 + b2 6= √a2 +√b2.
b) Para esta resolver esta questa˜o usaremos que x1/n = n
√
x:
22/3 + 2−1/3 = 3
√
22 +
1
3
√
2
=
3
√
22. 3
√
2
3
√
2
+
1
3
√
2
=
3
3
√
2
=
3 3
√
4
2
.
1
Tambe´m podemos desenvolver a questa˜o usando a notac¸a˜o e as propriedades de poteˆncia.
Deste modo uma soluc¸a˜o seria:
22/3 + 2−1/3 = 22/3 +
1
21/3
=
22/3 × 21/3
21/3
+
1
21/3
=
22/3+1/3 + 1
21/3
=
3
21/3
=
3.22/3
2
=
3 3
√
4
2
.
Questa˜o 3. Simplifique as frac¸o˜es dadas.
a)
5a2 + 10ab
15ab
; b)
x3 − 1
x2 − 1 .
Soluc¸a˜o:
a)
5a2 + 10ab
15ab
=
5a(a+ 2b)
3.5ab
=
a+ 2b
3b
.
b)
x3 − 1
x2 − 1 =
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1)(x+ 1) =
x2 + x+ 1
x+ 1
.
Observe que x2 + x + 1 na˜o tem ra´ızes reais, pois ∆ = 1 − 4.1.1 = −3 < 0. Assim, a
expressa˜o x2 + x+ 1 na˜o pode ser fatorada, donde x
2+x+1
x+1
e´ uma frac¸a˜o irredut´ıvel.
Questa˜o 4. Resolva a equac¸a˜o x5 − 4x3 = 0.
Soluc¸a˜o:
A equac¸a˜o x5 − 4x3 = 0 e´ equivalente a` equac¸a˜o x3(x2 − 4) = 0. Desta u´ltima equac¸a˜o,
temos x3 = 0 ou x2 − 4 = 0. A equac¸a˜o x3 = 0 tem como soluc¸a˜o x = 0. A equac¸a˜o
x2 − 4 = 0 e´ equivalente a` equac¸a˜o x2 = 4 e tem como soluc¸a˜o x = −2 e x = 2. Assim, o
conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o x5 − 4x3 = 0 e´ V = {−2, 0, 2}.
2
Questa˜o 5. Encontre uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o x3 + 8 = 0.
Soluc¸a˜o:
Se x3 + 8 = 0 enta˜o x3 = −8. Como o expoente da expressa˜o e´ impar uma soluc¸a˜o e´
dada por x = 3
√−8 = −2. (Observac¸a˜o: a Matema´tica vista ate´ agora na˜o nos da´ recursos
para discutir sobre outras poss´ıveis soluc¸o˜es.)
Questa˜o 6. Discuta a existeˆncia, ou na˜o, de soluc¸a˜o em R da equac¸a˜o ax+ b = 0, quando:
a) a = 2, b = 0;
b) a = 0, b = 0;
c) a = 0, b = 3.
Soluc¸a˜o:
a) Se a = 2 e b = 0 enta˜o a expressa˜o fica 2x = 0. Se x = 0, temos 2x = 2.0 = 0, isto e´,
x = 0 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x = 0.
Ale´m disso, a soluc¸a˜o x = 0 e´ a u´nica soluc¸a˜o. De fato, se x e´ uma soluc¸a˜o, isto e´, se
2x = 0 enta˜o 1
2
.2x = 1
2
.0, donde 1.x = 0, donde x = 0. Neste caso, o conjunto V das soluc¸o˜es
da equac¸a˜o e´ dado por V = {0}.
b) Se a = 0 e b = 0 enta˜o a expressa˜o fica 0x = 0. Todo nu´mero real satisfaz esta u´ltima
equac¸a˜o. Neste caso, V = R.
c) Se a = 0 e b = 3 enta˜o a expressa˜o fica 0x+3 = 0, isto e´, 0x = −3. Como o produto 0x e´
sempre 0, a equac¸a˜o nunca sera´ verdadeira, qualquer que seja o valor de x. Logo, na˜o existe
soluc¸a˜o para a equac¸a˜o 0x+ 3 = 0, isto e´, V = ∅.
Questa˜o 7. Resolva o sistema:
3
 2x+ y = −x+ 3y − 2x− 1 = −2y
Soluc¸a˜o: Arrumando o sistema, temos 3x− 2y = −2x+ 2y = 1
Somando as duas equac¸o˜es, temos
4x+ 0y = −1.
Da´ı, x = −1
4
. Substituindo este valor na segunda equac¸a˜o, temos
2y = 1−
(
−1
4
)
,
donde
y =
5
4
÷ 2 = 5
8
.
Assim, a soluc¸a˜o e´ dada por x = −1
4
e y = 5
8
.
Questa˜o 8. Uma pessoa trabalhou por 5 meses e foi demitida. Se ela tivesse trabalhado
os 12 meses do ano, teria direito a um 13o sala´rio. Como trabalhou so´ 5/12 do ano, na
demissa˜o, deve receber, referente ao 13o sala´rio, o proporcional trabalhado. Suponha que o
sala´rio l´ıquido seja de R$432,00. (a) Calcule o proporcional de 13o que ele deve receber. (b)
Ele tambe´m tem direito a receber 1/3 do sala´rio, referente a`s fe´rias, que deve ser calculado
com base no tempo trabalhado. Calcule o proporcional de fe´rias pelos 5 meses trabalhados.
Soluc¸a˜o:
a) Ele deve receber 5/12 de um sala´rio, isto e´, 5
12
.432 = 5.108
3
= 5.36 = 180 reais.
4
b) O valor proporcional relativo ao adicional de fe´rias e´ de 5/12 de 1/3 de um sala´rio, isto
e´, 5
12
.1
3
.432 = 1
3
.180 = 180
3
= 60 reais. O valor que sera´ recebido proporcional ao sala´rio de
fe´rias mais o adicional de fe´rias e´ de 5
12
.(432 + 1
3
.432) = 5
12
.4
3
.432 = 5
9
.432 = 240 reais. Sera˜o
aceitas as duas respostas (60 ou 240 reais).
Questa˜o 9. O triplo da idade de Pedro menos quatro terc¸os desta idade e´ igual a` idade de
Joa˜o, que nasceu dez anos antes de Pedro. Quanto anos tem cada um deles?
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de P a idade de Pedro e de J a de Joa˜o. Enta˜o, o enunciado nos
diz que:  3P − 43P = JJ = P + 10
Arrumando o sistema, ficamos com:
 53P = JP + 10 = J
Da´ı segue que P + 10 = 5
3
P , isto e´, 5
3
P − P = 10, o que significa que 2
3
P = 10. Mas isso
implica que um terc¸o da idade de Pedro e´ 5 anos, o que equivale a dizer que Pedro tem 15
anos. Como Joa˜o e´ dez anos mais velho, ele tem 25 anos.
Questa˜o 10. Resolva a equac¸a˜o: 2x2 − 10x+ 12 = 0.
Soluc¸a˜o: Observando a equac¸a˜o percebemos que ela pode ser simplificada atrave´s da divisa˜o
por dois. Obtemos assim a equac¸a˜o equivalente: x2 − 5x+ 6 = 0.
Usando a fo´rmula de Baskara, encontramos o discriminante ∆ = 52−4.1.6 = 25−24 = 1
e em seguida achamos as ra´ızes da equac¸a˜o: x = (5 + 1)/2 = 3 ou x = (5− 1)/2 = 2. Logo
o conjunto V de soluc¸o˜es da equac¸a˜o e´ dado por V = {2, 3}.
Outra forma de resolver e´ observando que a soma das ra´ızes deve ser igual a 5 (−b/a) e
o produto deve ser igual a 6 (c/a) e deduzindo que as ra´ızes devem, portanto, ser 2 e 3.
5