AD1 MB 2012 1 Gabarito

Fundação Centro de Ciências e E ducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Jan eiro Matemática Básica 20 12/1 \uf02d AD 1 \uf02d Gab arito 1ª Questão: (1,0 ) Efetue e escreva o resultado na forma de fração irredutível: a) \uf0f7 \uf0f7 \uf0f7 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02b \uf0b4 \uf02b \uf02b \uf02d \uf0fa \uf0fa \uf0fb \uf0f9 \uf0ea \uf0ea \uf0eb \uf0e9 \uf02d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf0b4 \uf02d 3 1 1 1 8 , 0 ) 4 3 75 , 0 ( 2 6 12 1 : 60 15 . 9 . 32 506 1 b) O quíntuplo de um terço de 1/2 de 60% de 47,5. Solução: a) Dica: Como exist em vária s expressões, pode ser interessante fazer al gumas contas separadamente. 0 6 6 6 12 3 . 8 6 12 1 . 5 . 3 . 4 5 . 3 . 3 . 2 6 12 1 : 60 15 . 9 . 32 2 2 5 1 \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d \uf03d \uf02d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02d . 4 3 3 4 1 3 1 1 1 \uf03d \uf03d \uf02b . 5 , 1 75 , 0 75 , 0 4 3 75 , 0 \uf03d \uf02b \uf03d \uf02b . Partindo para a expressão completa, temos: \uf03d \uf0f7 \uf0f7 \uf0f7 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf02b \uf0b4 \uf02b \uf02b \uf02d \uf0fa \uf0fa \uf0fb \uf0f9 \uf0ea \uf0ea \uf0eb \uf0e9 \uf02d \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \uf0b4 \uf02d 3 1 1 1 8 , 0 ) 4 3 75 , 0 ( 2 6 12 1 : 60 15 . 9 . 32 506 1 . 5 12 5 3 3 4 3 . 5 4 5 , 1 . 2 0 \uf02d \uf03d \uf02b \uf02d \uf03d \uf02b \uf02d \uf03d (Observe que não existe uma regra que di ga se devemos passar tudo para fração ou tudo para decimal, escolhemos uma conversão ou outra de acordo com o gosto de quem está calculando, de acordo com a forma que parece mais fácil de operar.) b) O quíntuplo de um terço de 1/2 de 60% de 47,5 = 10 475 . 10 6 . 2 1 . 3 1 . 5 = 10 475 . 2 1 = 4 95 . 2ª Questão: (1,0) Dê uma re presentação geométrica, sobre a reta numérica , dos números inteiros que satisfazem a relação \uf02d 2 x + 1 \uf02d 3. Observe que a sua solução tem que ser parcial, isto é, é preciso usar pontinhos para indicar que os números continuam. Observe também que o desafio desta questão é simplesmente indicar o conjunto solução, ou seja, você não precisa manipular a expressão \uf02d 2 x + 1 \uf02d 3 par a encontrar a resposta; se quiser, pod e raciocinar por indução, isto é, pode testar a d esigualdade para alguns valores numéricos e perceber um padr ão. Solução: Sabemos que para x = 2 vale que \uf02d 2 x + 1 = \uf02d 3 (para encontrar es te valor para x basta resolver a equação \uf02d 2 x + 1 = \uf02d 3). Quando x = 3, 4, 5, 6, ..., temos \uf02d 2 x + 1 = \uf02d 5, \uf02d 7, \uf02d 9, \uf02d 11, ..., respectivamente (e os valores diminuem cada vez mais) e estes valores são sempre menores do q ue \uf02d 3. Quando x = 1, 0, \uf02d 1, \uf02d 2, ..., temos \uf02d 2 x + 1 = \uf02d 1, 1, 3, 5, ..., respectivamente (e os valores aumentam cada vez mais) e estes valores são sempre maiores do que \uf02d 3. Assim, o conjunto dos números inteiros que satisfazem a inequação \uf02d 2 x + 1 = \uf02d 3 é dado por {3, 4, 5, 6, ....}. Uma representação geométrica na re ta numérica deste conjunto pode ser a seguinte: 3ª Questão: (2,0) S egundo uma unidade de med ida estabelecida, o se gmento a mede 3/4 e o segmento b mede 4/5. a) Qual segmento é maior? (Não deixe de justificar, como sempre.) b) Obtenha o quociente da medida de a pela medida de b . c) Uma nova medida é estabelecida, sendo qu e a antiga é 7 v ezes maior do que a unidade nova. Determine a medida de a e de b nesta nova unidade. d) Obtenha o quociente da nova medida de a pela nova medida de b . Relacione a resposta com a do item (b). Solução: a) 3/4 = 15/20 e 4/5 = 16/20. Logo, 4/5 > 3/4, isto é, b é maior do que a . b) (3/4):(4/5) = (3/4).(5/4) = 15/16 (obse rve que este resultado é menor do que 1, indicando que a é menor do que b ). c) S e u é a medida antiga e u\u2019 é a nova medida então u = 7 u \u2019 . Assim, 4 3 u = 4 3 .7 u\u2019 = 4 21 u\u2019 , ou seja, a mede 4 21 na nova unidade de medida, e 5 4 u = 5 4 .7 u\u2019 = 5 28 u\u2019 , ou seja b mede 5 28 na nova unidade de medida. d) 16 15 4 5 . 4 3 28 5 . 4 21 5 28 : 4 21 \uf03d \uf03d \uf03d . A razão é a mesma em qualquer unidade de medida. 4ª Questão: (1,5) a) Resolva o sistema de equações \uf0ee \uf0ed \uf0ec \uf03d \uf02b \uf03d \uf02b 51 , 0 3 , 1 5 , 0 3 5 4 y x y x . b) Verifique se a resposta encontrada em (a) satisfaz o sistema dado. Solução: a) Multiplicando ambos os membros da 2ª equação por 2, temos x + 2,6 y = 1,02, donde x = 1,02 \uf02d 2,6 y . Subst ituindo na 1ª equação, segue 4(1, 02 \uf02d 2,6 y ) + 5 y = 3, donde 4,08 \uf02d 10,4 y + 5 y = 3, dond e 5, 4 y = 1,08, isto é, y = 0,2. Voltando para a 2ª equa ção, temos x = 1,02 \uf02d 2,6.0,2 = 1,02 \uf02d 0,52 = 0,5. Assim, x = 0,5 e y = 0,2 é a solução do sistema. b) Como é possível ter ocorrido algum erro de conta no desenv olvimento do item (a), é importante verificar se a resposta encontrada está certa. Temos que: 4.0,5 + 5.0,2 = 2 + 1 = 3 e 0,5.0,5 + 1,3.0,2 = 0,25 + 0,26 = 0,51. 5ª Questão: (1,0) Determine um número racional de denominador 9 entre 5 71 e 5 72 . Solução: Um procedimento simples para resolver este problema é pe gar múltiplos de 9 1 , o primeiro destes múl tiplos que for maior do que 5 71 servirá como res posta. Um múltiplo de 9 1 é da forma 9 m . C omo é preciso comparar um número da forma 9 m com 5 71 , é interessante converter as frações para um mesmo denominador, 45 5 9 m m \uf03d e 45 639 5 71 \uf03d . Para encontrarmos o pri meiro m tal qu e 5 71 9 m , isto é, tal que 45 639 45 5 m , basta encontrar o primeiro m tal que 639 5 m , ou seja, tal que 639/5 m . Assim, basta considerar m = 128. Ou seja, 5 71 9 128 5 72 . Verificação da resposta: 5 71 = 14,2 9 128 = 14,2222... 5 72 = 14,4. Observação: É claro que esta solução não é a única. 6ª Questão: (1,5) a) Determine a fração q p \uf0ce que resolve a equação q p q p q p \uf03d \uf02b \uf02b 2 , 0 3 5 . Dica: Faça q p = x . (Observação: A r esposta pode ser ex pressa em forma de fração irredutí vel ou por representação decimal, mas, a solução ficará errada se usar aproximação.) b) Resolva a equação para a incógnita x , ax + b x \uf02d 5 \uf02d x = 1,1, onde b \uf0b9 0 e ab \uf02d b + 1 \uf0b9 0. Em seguida, f aça uma análise do que acontece com a solução da equação, se ab \uf02d b + 1 = 0. Ela existe ou não? Solução: a) Fazendo x = q p , a equaçã o fica 5 x + 3 1 x + 0,2 = x , d onde (5 + 3 1 \uf02d 1) x = \uf02d 0,2, donde 3 13 x = \uf02d 0,2. (E agora, vamos converter a d ecimal para fração ou a fração p ara decimal? Se tentarmos passar a fração pa ra de cimal, vamo s ser obrigado a trabalhar com díz ima periódica, ist o é vamos ter que trabalhar com pontinhos e seremos obrigados a trabalhar com aproximação, o que é errado, pelo menos num problema matem ático de equação.) Continuando, temos 3 13 x = \uf02d 5 1 , donde x = \uf02d 65 3 . Podemos verificar s e a solução está correta, basta ve rificar se a i gualdade, 65 3 2 , 0 65 . 3 ) 3 ( 65 ) 3 .( 5 \uf02d \uf03d \uf02b \uf02d \uf02b \uf02d , é verdadeira. b) A equação ax + b x \uf02d 5 \uf02d x = 1,1 é equivalente a ( a + b 1 \uf02d 1) x = 6,1, ou ( b b ab \uf02d \uf02b 1 ) x = 6,1. Como estamos admiti ndo que ab \uf02d b + 1 \uf0b9 0, podemos fazer a transformação, x = b ab b \uf02d \uf02b 1 1 , 6 . , o que fornece a solução da equação. Se tivéssemos ab \uf02d b + 1 = 0, a equação ( b b ab \uf02d \uf02b 1 ) x = 6,1 ficaria reduzida a 0. x = 6,1. Esta equação é impossível, não tem solução. Assim, se ab \uf02d b + 1 = 0, não existe x que satisfaça a e equação ax + b x \uf02d 5 \uf02d x = 1,1. 7ª Questão: (1,0) O valor da área de um quadrado, segundo uma determinada unidade de medida u , é 9 u 2 . Determine a medida do perímetro do quadrado numa nova u nidade de medida u\u2019 que é um quinto da unidade de medida u . Solução: Se a área do quadrado mede 9 u 2 , o lado mede 3 u . Assim , o perímetro do quadrado é 4.3 u = 12 u . Como u = 5 u\u2019 , segue que o perímetro na unidade u\u2019 é 60. 8ª Questão: (1,0) S eja A = { \uf02d 5, \uf02d 4, \uf02d 3, \uf02d 2, \uf02d 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Considerando x como uma variável que representa um elemento de A , resolva a inequação ( x \uf02d 3)( x + 1) > 0. Solução: Para a solução, basta t estar cada núme ro de A . Por exemplo, se x = \uf02d 5, temos ( x \uf02d 3)( x + 1) = ( \uf02d 8).( \uf02d 4) > 0 e a inequação é verificada. Por exemplo, se x = 1, temos ( x \uf02d 3)( x + 1) = ( \uf02d 3 ).2 0, e a inequação não é verifica da. Testando tod os os valores, temos que o conjunto solução é S = { \uf02d 5, \uf02d 4, \uf02d 3, \uf02d 2, 4, 5}.

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