AP1 CHRISTIANE ALVES MONTEIRO REIS Metodos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE UNIGRANRIO 
CHRISTIANE ALVES MONTEIRO REIS 
MATRÍCULA: 5803148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO PRÁTICA DE MODELOS MATEMÁTICOS 
AP1 – Métodos Computacionais em Engenharia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DUQUE DE CAXIAS, 2018
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 2 
2 DESENVOLVIMENTO .................................................................................................................... 2 
3 CONCLUSÃO ................................................................................................................................... 4 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Nesta aplicação prática demonstraremos a forma de representar em determinado 
modelo matemático a forma aproximada de encontrar uma solução numérica. 
Para tal estudo foi escolhido um modelo já bastante conhecido pela ciência e bastante 
aplicado no cotidiano. O modelo escolhido foi o crescimento bacteriano. 
Este modelo matemático foi escolhido por se tratar de um modelo convencional que 
satisfaz ao modelo matemático original e, principalmente, por ser utilizado pela ciência 
para controle de crescimento populacional, tratamento de infecções bacterianas, 
assim como na indústria de alimentos, etc. 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
 
Para melhor compreensão do modelo, precisa-se entender que as bactérias 
apresentam sua reprodução de forma binária, também chamada de bipartição. Este 
processo ocorre de forma assexuada duplicando seu material genético e dividindo-se 
em duas contendo a mesma quantidade de DNA e possuindo as mesmas funções. 
Então, oferecendo as condições ideais de reprodução, uma cultura de bactérias 
cresce em uma taxa de proporcionalidade de quantidade em função do tempo. 
Essa função pode ser representada da seguinte maneira: 
TAXA DE CRESCIMENTO QUANTIDADE INICIAL 
𝑑𝑃 𝑑𝑡⁄ 𝑘𝑃 
 
Sendo representada pela equação diferencial de modelo exponencial 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) 
Onde: 
 
3 
 
k= é uma constante e pode-se verificar onde k>0 haverá crescimento e quando k<0 
haverá decaimento. 
Logo: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃 
∫𝑑𝑃 𝑃⁄ = ∫𝑘𝑑𝑡 
ln|𝑃| = 𝑘𝑡 + 𝑐 
log𝑒 |𝑃| = 𝑘𝑡 + 𝑐 
|𝑃| = 𝑒𝑘𝑡+𝑐 
|𝑃| = 𝑒𝑘𝑡 . 𝑒𝑐 
|𝑷| = 𝒄. 𝒆𝒌𝒕 
Esta equação descrita em ordem linear será: |𝑷| = 𝒄. 𝒆𝒌𝒕 
Aplicando-se esta ordem, pode-se afirmar que após 1h obteremos 1000 bactérias e 
assim, após 4h→3000 bactérias. Se quiser saber o número inicial de bactérias, 
teremos: 
1000 = 𝑐. 𝑒𝑘(1) 3000 = 𝑐. 𝑒𝑘(4) 𝒄 =
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒆𝒌
 
3000 = (
1000
𝑒𝑘
) . 𝑒𝑘(4) 
3000
1000
= 𝑒𝑘(4). 𝑒𝑘 
3 = 𝑒4𝑘−𝑘 
3 = 𝑒3𝑘 
ln
3
3
= 𝑘 → 𝑘 ≅ 0,366 
Aplicando a substituição: 
𝑐 = 1000. 𝑒0,366 
𝑐 = 693,5 
 
4 
 
Assim: |𝑃| = 𝑐. 𝑒𝑘𝑡 será |𝑃| = 693,5. 𝑒0,366𝑡, teremos no tempo 𝑡 = 0 
|𝑃| = 693,5. 𝑒0,366.(0) 
|𝑃| = 693,5. (1) 
|𝑃| = 693,5 
E usando este modelo matemático, pode-se saber a quantidade de bactérias no tempo 
após 2h, 5h e 8h. 
Após 2 horas: 
|𝑃| = 693,5. 𝑒0,366.(2) 
|𝑃| = 1441,9 
Após 5 horas: 
|𝑃| = 693,5. 𝑒0,366.(5) 
|𝑃| = 4323,2 
E após 8 horas: 
|𝑃| = 693,5. 𝑒0,366.(8) 
|𝑃| = 12961,66 
 
3 CONCLUSÃO 
 
Constatou-se que a partir da construção de um modelo matemático pode-se prever 
de maneira objetiva a solução exata ou muito aproximada do valor numérico que 
estuda. 
Podendo-se, inclusive, calcular os desvios e tolerância a margem de erro de 
determinado estudo. Sendo este, parte importante no sentido de identificar processos 
onde a solução numérica obtida fará previsões de, por exemplo, resistência, 
capacidade, entre tantas outras aplicações práticas. 
 
5 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES 1ª. ORDEM. Disponível em: 
<http://www.mat.puc-
rio.br/~calneto/MAT1154/Site/Aplicacoes%20de%20equacoes%20de%20primei
ra%20ordem.pdf>. Acesso em: 01 set. 2018. 
BARBOZA, Jennifer V. et al. MODELAGEM MATEMÁTICA DO CRESCIMENTO 
MICROBIANO . 2013. Disponível em: 
<http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/1320/547>. 
Acesso em: 01 set. 2018. 
CRESCIMENTO Bacteriano: Apresentação do conceito de Crescimento 
Bacteriano: Cinética do crescimento exponencial; Ciclo de crescimento 
bacteriano; Determinação do crescimento bacteriano.. 2015. Disponível em: 
<http://knoow.net/ciencterravida/biologia/crescimento-bacteriano/>. Acesso em: 
01 set. 2018. 
FERREIRA, Fabricio A. Reprodução das Bactérias . Disponível em: 
<https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/biologia/reproducao-das-
bacterias.htm>. Acesso em: 01 set. 2018. 
GASPAROTO, Lutécia; PAIM, Marcos; MENTA, Eziquiel. Matemática das 
Bactérias . 2009. Disponível em: 
<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1686>. 
Acesso em: 01 set. 2018. 
ORSO, PRISCILLA. DIAGNÓSTICO DA APLICAÇÃO DE MODELAGEM 
MATEMÁTICA PARA ENTENDIMENTO DO CRESCIMENTO BACTERIANO . 
2014. Disponível em: 
<http://repositorio.roca.utfpr.edu.br/jspui/bitstream/1/4184/1/MD_ENSCIE_IV_2
014_80.pdf>. Acesso em: 01 set. 2018.