Condução Unidimensional em Regime Permanente

Prévia do material em texto

Transferência de Calor 1Transferência de Calor 1
Prof. Dr. Thiago Antonini Alves
thiagoaalves@utfpr.edu.br
http://twitter.com/thiagoantoninip g
Aula 6Aula 6
Condução Unidimensional 
18/04/2012
ç
em Regime Permanente
(Parte 3/3)
S á iSumário
ƒ Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
▫ Uma Análise Geral da Condução
▫ Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
▫ Desempenho de Aletas
▫ Aletas com Área de Seção Transversal Não-Uniforme
▫ Eficiência Global da Superfície
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
3/57
Transferência de 
Calor em Superfícies Ca o e Supe c es
EstendidasEstendidas
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
4/57
Superfície estendida é um termo comumente utilizado 
para descrever um caso especial envolvendo apara descrever um caso especial envolvendo a 
transferência de calor por condução no interior de 
um sólido e a transferência de calor por convecção u só do e a a s e ê c a de ca o po co vecç o
(e/ou radiação) nas fronteiras do sólido.
Numa superfície estendida, a direção da transferência 
de calor nas fronteiras é perpendicular à direção 
principal da transferência de calor no interior do 
sólido.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
5/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
6/57
Apesar de existirem muitas situações diferentes que 
envolvem tais efeitos combinados deenvolvem tais efeitos combinados de 
condução/convecção, a aplicação mais frequente 
compreende da utilização de uma superfíciecompreende da utilização de uma superfície 
estendida para, especificamente, aumentar a taxa de 
transferência de calor entre um sólido e um fluido 
adjacente.
Tal superfície estendida é chamada de aleta. 
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
7/57
ƒ Como aumentar q?
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor numa parede plana. 
(a) superfície sem aletas e (b) superfície aletada
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
(a) superfície sem aletas e (b) superfície aletada.
8/57
ƒ Exemplos de aplicação
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
9/57
ƒ Configurações de aleta
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
10/57
Em qualquer aplicação, a seleção de uma determinada 
fi ã d l t d d d dconfiguração de aletas pode depender de 
considerações de espaço, de peso, de fabricação e 
custo bem como da extensão na qual as aletas reduzemcusto, bem como da extensão na qual as aletas reduzem 
o coeficiente convectivo na superfície e aumentam a 
queda de pressão associada ao escoamento sobre as q p
aletas.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
11/57
Uma Análise Geral da Condução
Como engenheiros, estamos principalmente 
interessados em conhecer a extensão na qual uma 
d t i d fí i t did j ddeterminada superfície estendida ou um arranjo de 
aletas poderia melhorar a transferência de calor de 
uma superfície para o fluido adjacenteuma superfície para o fluido adjacente. 
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
12/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
13/57
Hipóteses simplificadoras da análise:
C di õ 1D di ã▫ Condições 1D na direção x
▫ Temperatura uniforme ao longo da espessura da aleta
▫ Regime permanente▫ Regime permanente
▫ Propriedades termofísicas constantes
▫ Radiação na superfície desprezívelç p p
▫ Efeitos de geração de calor ausentes
▫ Coeficiente convectivo h uniforme ao longo da superfície
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
14/57
Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica no elemento 
diferencial tem-se que
convdxxx dqqq += +
sendo que
ƒ dTkAq −=ƒ
ƒ
dx
kAq cx
dxdTAdkdTkAdxdqqq xd ⎟⎞⎜⎛−−=+=ƒ
ƒ
dx
dx
A
dx
k
dx
kAdx
dx
qq ccxdxx ⎟⎠⎜⎝=+=+
( )∞−= TTdAhdq sconv
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
( )∞q sconv
15/57
Com isso,
( )112 ⎟⎞⎜⎛⎟⎞⎜⎛ dAhdTdATd sc ( ) 0112 =−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+ ∞TTdx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
Este resultado fornece uma forma geral da equação da 
energia para uma superfície estendida. Sua solução, g p p ç
com condições de contorno apropriadas, fornece a 
distribuição de temperaturas, que pode ser utilizada 
L i d F l l dcom a Lei de Fourier para calcular a taxa de 
transferência de calor por condução na direção x.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
16/57
ÁAletas com Área de Seção Transversal 
(Ac) Uniforme( c)
( ) TT 0( ) bTT =0
PxAs =
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
17/57
Com e , tem-se que0=
dx
dAc P
dx
dAs =
( ) 02
2
=−− ∞TThPTd ( )2 ∞kAdx c
Define-se uma temperatura de excesso θ como
( ) ( )≡ TxTxθ( ) ( ) ∞−≡ TxTxθ
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
18/57
E, consequentemente, tem-se que
02
2
θθd
sendo que
022 =− θθ mdx
d
ƒ
kA
hPm ≡2
ckA
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, linearEsta é uma equação diferencial de segunda ordem, linear 
e homogênea, com coeficientes constantes.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
19/57
Sua solução geral tem a forma
( ) mxmxθ
P d i ã d é á i
( ) mxmx ececx −+= 21θ
Para a determinação das constantes c1 e c2 é necessário 
especificar condições de contorno apropriadas. 
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
20/57
Condições de Contorno
B d l t ( 0) θ (0) T T θƒ Base da aleta (x = 0): θ (0) = Tb – T∞ ≡θb
ƒ Extremidade da aleta (x = L):
▫ Caso A: transferência de calor por convecção
▫ Caso B: adiabática
▫ Caso C: temperatura especificada▫ Caso C: temperatura especificada
▫ Caso D: aleta infinita (mL ≥ 2,65)
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
21/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
22/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
23/57
Funções Hiperbólicas (Tabela B.1)
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
24/57
Desempenho de Aletas
ƒ Efetividade da Aleta, εa : definida como a razão 
entre a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa 
de transferência de calor que existiria sem a presença 
da aleta.
bbC
a
a Ah
q
θε ,=
sendo que AC,b é a área da seção transversal da aleta na 
sua base
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
sua base.
25/57
Em projetos de Engenharia, a utilização de aletas é 
justificada quando:
2≥aε
Para qualquer uma das quatro condições na extremidade 
(C A B C D) f ti id d d l t d A(Casos A, B, C e D), a efetividade de uma aleta de Ac
uniforme pode ser obtida pela divisão da expressão 
apropriada de q (Tab 3 4) por h A b θbapropriada de qa (Tab. 3.4) por h Ac,b θb.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
26/57Embora a instalação de aletas altere h na superfície, 
esse efeito é geralmente desprezado. 
Neste sentido, para a aproximação de aleta infinita 
(Caso D), tem-se que
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
C
a hA
kPε
Note que se εa > 2 for usado como critério de projeto, 
tem se que
⎠⎝ ChA
tem-se que
4>⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ChA
kP
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
⎠⎝ ChA
27/57
Esta expressão de εa para o Caso D fornece um limite 
superior para seu valor que é alcançado quando L→∞superior para seu valor, que é alcançado quando L → ∞.
Como já é de nosso conhecimento, 99% da taxa máximaComo já é de nosso conhecimento, 99% da taxa máxima 
possível de transferência de calor na aleta são atingidos 
para mL = 2,65. Portanto, não faz sentindo estender as 
aletas além de L = 2,65 m-1.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
28/57
ƒ Resistência Térmica da Aleta, Rt,a
θ
a
b
at q
R θ=,
Este resultado é demasiadamente útil quando realiza-se 
a representação de uma superfície aletada por uma representação de uma superfície aletada por um 
circuito térmico.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
29/57
com isso, tem-se que:
btR ,
at
a R ,
,=ε
1onde .
bC
bt Ah
R
,
,
1=
Dessa forma, a efetividade da aleta pode ser interpretada 
como uma razão entre resistências térmicascomo uma razão entre resistências térmicas.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
30/57
ƒ Eficiência da Aleta, ηa : definida como a razão entre 
a taxa de transferência de calor da aleta e a taxa 
máxima de transferência de calor da aleta (se toda a 
aleta estivesse na temperatura da base).
aa
a Ah
q
q
q
θη ==
d A é á fi i l d l
bamáx Ahq θ
sendo que Aa é a área superficial da aleta.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
31/57
Para uma aleta plana com seção transversal uniforme e 
extremidade adiabática (Caso B), tem-se que
L
mL
PLh
mLM
a
tanhtanh == θη mLPLh ba θη
De acordo com a Tab. B1, este resultado indica que ηa
aproxima-se de seus valores máximo e mínimo, 1 e 0, 
respectivamente na medida em que L aproxima se derespectivamente, na medida em que L aproxima-se de 
0 e ∞.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
32/57
Para a transferência de calor de uma aleta plana 
retangular com uma extremidade ativa (Caso A) foiretangular com uma extremidade ativa (Caso A), foi 
mostrado que estimativas aproximadas, porém 
precisas, podem ser obtidas pelo uso do resultado p p p
para uma aleta com extremidade adiabática (Caso B), 
utilizando um comprimento da aleta corrigido na 
fforma:
Lc = L + (t/2) → aleta retangular
Lc = L + (D/4) → aleta piniforme
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
33/57
Dessa forma, com convecção na extremidade, a taxa de 
transferência de calor da aleta pode ser aproximada 
por
ca mLq tanh=
e a eficiência correspondente por
c
c
a mL
mLtanh=η
Erros associados a esta aproximação são desprezíveis 
se (ht/k) ou (hD/2k) ≤ 0,0625.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
( ) ( ) ≤ ,
34/57
Se a largura de uma aleta for muito maior do que sua 
espessura, w >> t, o perímetro pode ser aproximado 
por P = 2w e
LhLhPL ⎟⎞⎜⎛⎟⎞⎜⎛ 2
i d
cc
C
c Lkt
L
kA
mL ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠⎜
⎜
⎝
=
ou ainda,
5,12
cc LkA
hmL ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
sendo que A = L t é a área corrigida do perfil da aleta
pkA ⎟⎠⎜⎝
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
sendo que, Ap Lc t é a área corrigida do perfil da aleta.
35/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
36/57
Aletas com AC Não-Uniforme
A análise do comportamento térmico de aletas torna-se 
mais complexa se a aleta possuir uma seção 
transversal não-uniforme. 
Nestes casos, as soluções da equação geral da aleta não 
são mais na forma de funções exponenciais simples 
ou funções hiperbólicasou funções hiperbólicas.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
37/57
Como um caso particular, considere uma aleta anular 
com espessura uniforme t e com AC = 2πrt. 
2 2Representando As = 2π(r2 – r12), a forma geral da 
equação da aleta reduz-se a
( ) 0212
2
=−−+ ∞TTkt
h
dr
dT
rdr
Td
ou ainda,
ktdrrdr
12 θθ dd 01 22
2
=−+ θθθ m
dr
d
rdr
d
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
38/57
Essa expressão é uma Equação de Bessel Modificada 
de ordem zero e sua solução geral tem a formaç g
( ) ( ) ( )mrKcmrIcr 0201 +=θ
sendo que I0 e K0 são funções de Bessel modificadas de 
ordem zero, de primeira e de segunda espécies, 
respectivamente.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
39/57
Se a temperatura na base da aleta for especificada e uma 
extremidade adiabática (Caso B) for suposta, as 
constantes de integração podem ser determinadas para 
fornecer uma distribuição de temperaturas com a forma
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )21102110
210210
mrImrKmrKmrI
mrImrKmrKmrI
b +
+=θ
θ
sendo que I e K são funções de Bessel modificadas de
( ) ( ) ( ) ( )21102110 mrImrKmrKmrIb +θ
sendo que I1 e K1 são funções de Bessel modificadas de 
primeira ordem, de primeira e de segunda espécies, 
respectivamente.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
p
40/57
A taxa de transferência da aleta é
( ) ( ) ( ) ( )KIIK ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )21102110
21112111
12 mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrKmtrkq ba +
−= θπ
com isso, a eficiência da aleta torna-se 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21102110 211121112122 12122
2
2 mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrK
rrm
r
rrh
q
b
a
a +
−
−=−= θπη
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
41/57
Tabela B.5 - Funções de Bessel Modificadas de Primeira e de Segunda Espécies.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
42/57
Este resultado pode ser utilizado para uma extremidade 
ativa (com convecção), desde que o raio da ( ç ), q
extremidade r2 seja substituído por um raio corrigido 
com a forma r2c = r2 + (t/2).
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
43/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
44/57
Expressões para a eficiência e a área superficial de aletas 
com várias geometrias usuais são resumidas na Tab. 3.5. 
Apesar dos resultados para as aletas com espessura ou 
diâ if h id b id C Bdiâmetro uniforme tenham sido obtidos para o Caso B, 
os efeitos da convecção na extremidade da aleta (Caso 
A) podem ser levados em conta através do uso de umA) podem ser levados em conta através do uso de um 
comprimento corrigido ou de um raio corrigido.
As aletas triangulares e parabólicas possuem espessura 
não-uniforme, que se reduz a zero na extremidade.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
45/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
46/57
A resistência da aleta pode ser expressa em função desua eficiência através desua eficiência através de
atR
1=
aa
a,t hA η
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
47/57
Eficiência Global da Superfície
A eficiência global da superfície, η0 , caracteriza um 
conjunto de aletas e a superfície base na qual ele está 
fixado.
tt
Ah
qq
θη ==0 btmáx Ahq θη0
sendo que, At = N Aa + Ab .
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
48/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
49/57
A taxa total de transferência de calor por convecção das 
aletas e da superfície primária (sem aletas) pode ser 
representada por
bbb hAhANq θθη +=
ou ainda,
bbbaat hAhANq θθη +
( ) ba
t
a
tt A
NAhAq θη ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−= 11
t ⎦⎣
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
50/57
Com isso,
( )aNA ηη −−= 11 ( )a
tA
ηη = 110
Portanto, a partir do conhecimento de η0, a taxa total de 
transferência de calor em um conjunto de aletas pode 
ser calc ladaser calculada. 
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
51/57
ƒ Resistência Térmica de um Conjunto de Aletas, Rt,0
tt
b
t hAq
R
0
0,
1
η
θ ==
na qual Rt 0 é uma resistência efetiva que leva em q t,0 q
consideração as trajetórias do calor paralelas por 
condução/convecção nas aletas e por convecção na 
superfície primária.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
52/57
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
53/57
Se as aletas forem usinadas como uma parte integrante 
da parede da qual elas se projetam não há resistênciada parede da qual elas se projetam, não há resistência 
de contato em suas bases (Fig. 3.21a).
Caso contrário, há uma resistência térmica de contato, 
Rt,c , que pode influenciar negativamente o 
desempenho térmico global.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
54/57
Uma resistência efetiva para o circuito é obtida por
1θ
( )
( ) tct
b
ct hAq
R
0
0,
1
η
θ ==
Com isso, a eficiência global da superfície será
⎞⎛NA η
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=
1
0 11 CA
NA a
t
a
c
ηη
sendo que .⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′+=
b
ct
aa A
R
hAC ,1 1 η
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
⎠⎝ bcA ,
55/57
Fonte Bibliográfica
ƒ INCROPERA FP DEWITT D P BERGMAN TL &ƒ INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. & 
LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de 
Calor e de Massa. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 643p.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
56/57
3ª Lista de Exercícios
Capítulo 3 (Incropera et al, 2008): 
ƒ 3.5, 3.9, 3.41, 3.46, 3.72, 3.79, 3.100, 3.101, 3.121, 
3.132
Data da Entrega: até o dia 09/05/2012.
Aula 6 – Condução Unidimensional em Regime Permanente (Parte 3/3)
Transferência de Calor 1
57/57