Modulo 3 AL

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Módulo 3 – Transformação linear 
 
Definição: Sendo V e W espaços vetoriais, uma aplicação T: V→W, é chamada 
Transformação LINEAR de V em W se: 
1) T(u + v) = T(u) + T(v) 
2) T(α u) = α T(u) 
3) T(0v) = 0w 
Para todo u,v pertencente ao espaço V original e para todo α pertencente aos Reais. 
 
Exercício 1: Mostrar se F: R2→R3 definida por T(x,y) = (3x,-2y,x-y) é uma 
transformação linear. 
 
Solução: 
 
• Escrevendo os vetores no espaço vetorial em questão: 
u = (x1,y1) 
v = (x2,y2) 
 
• Escrevendo as operações de soma e multiplicação por escalar: 
u+v = (x1,y1)+(x2,y2) 
 = (x1+x2,y1+y2) 
α u = α(x1,y1) 
 = (αx1, αy1) 
 
 
 
 
 
• Provando as propriedades: 
 
1) T(u + v) = T(u) + T(v) 
T(x1+x2,y1+y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2) 
(3(x1+x2), -2(y1+y2), (x1+x2)-(y1+y2) = (3(x1), -2(y1), x1-y1) + (3(x2), -2(y2), x2-y2) 
(3x1+3x2, -2y1-2y2, x1+x2-y1-y2) = (3x1+3x2, -2y1-2y2, x1+x2-y1-y2) 
OK 
 
2) T(α u) = αT(u) 
T(αx1, αy1) = αT(x1,y1) 
(3α x1, -2αy1, αx1- αy1) = α(3x1, -2y1, x1-y1) 
(3αx1, -2αy1, αx1- αy1) = (3αx1, -2αy1, αx1-αy1) 
OK 
 
3) T(0,0) 
T(0,0) = (3.0, -2.0, 0-0) 
T(0,0) = (0,0,0) 
 
Logo T é uma transformação linear 
 
 
Exercício 2: Mostrar se T: R2→R, definida por T(x,y) = 2x + y + 7 é uma 
transformação linear. 
Solução: 
• Escrevendo os vetores no espaço vetorial em questão: 
u = (x1,y1) 
v = (x2,y2) 
 
• Escrevendo as operações de soma e multiplicação por escalar: 
u+v = (x1,y1)+(x2,y2) 
 = (x1+x2,y1+y2) 
α u = α(x1,y1) 
 = (αx1,α y1) 
 
• Provando as propriedades: 
1) T(u + v) = T(u) + T(v) 
T(x1+x2,y1+y2) = T(x1,y1)+T(x2,y2) 
2(x1+x2) + (y1+y2) + 7 = (2x1 + y1 + 7) + (2x2 + y2 + 7) 
2x1+2x2 + y1+y2 + 7 = 2x1+2x2 + y1+y2 + 14: Não. 
 
2) T(α u) = αT(u) 
T(α u) = αT(x1,y1) 
T(α x1,α y1) = α(2x1 + y1 + 7) 
2α x1 + αy1 + 7 = 2αx1 + αy1 + α 7: Não 
 
3) F(0,0) = 2.0 + 0 + 7 = 7 
F(0,0) diferente de 0, portanto, não é função linear. 
 
Exercício 3: Mostrar se T : R→R definida por T(x) = 3.x é uma transformação linear 
Exercício 4: Mostrar se T : R3→R2, definida por T(x,y,z) = (3x+2,2y-z) é uma 
transformação linear