Algebra Linear - aol03

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Álgebra linear – AOL 03 
1) Sabe-se que a transformação linear plana de reflexão pode ser representada pela 
multiplicação de matrizes 
𝐯 =
±1 0
0 ±1
×
X
Y
 
na qual o sinal dos elementos a11 e a22 definem qual será o tipo de reflexão. 
 
Considerando essas informações e os conceitos estudados sobre a transformação linear de 
reflexão, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsas. 
 
I) ( ) A expressão 𝐯 = 1 0
0 −1
×
x
y representa uma reflexão em relação ao eixo x. 
 
II) ( ) A expressão 𝐯 = 1 0
0 1
×
x
y não representa nenhuma transformação linear, pois 
resulta no próprio vetor 
x
y . 
 
III) ( ) A expressão 𝐯 = −1 0
0 −1
×
x
y representa uma reflexão em relação ao eixo y. 
 
IV) ( ) Quando refletimos um conjunto de vetores em relação ao eixo x e, em seguida, 
refletimos em relação ao eixo y, obtemos o mesmo conjunto de vetores que tínhamos 
no começo. 
 
( ) V, V, V, F 
( ) V, V, F, V 
( ) V, V, F, F. 
( ) F, F, V, V. 
( ) F, V, F, V. 
 
2) Em um espaço vetorial, tem-se o vetor 
 
u =
2
3
 
 
Há também um subespaço vetorial V, no qual os vetores são definidos segundo a expressão 
 
Y =
1
2
X 
 
É preciso realizar uma transformação ortogonal para determinar o vetor u’, que é a reflexão 
de u no subespaço V. A matriz que representa esta transformação é 
 
⎣
⎢
⎢
⎡
1
1 + 𝑎
𝑎
1 + 𝑎
𝑎
1 + 𝑎
𝑎
1 + 𝑎 ⎦
⎥
⎥
⎤
 
 
sendo a o coeficiente que multiplica x na expressão do subespaço, ou seja, . 
Considerando essas informações e os conhecimento adquirido sobre transformações 
ortogonais, assinale a alternativa que apresenta corretamente o vetor u’. 
 
( ) u =
2,8
1,4
 
( ) u =
1,4
2,8
 
( ) u =
1
0,5
 
( ) u = 0,5
1
 
( ) u = 3
2
 
 
3) Quando substituímos as bases canônicas de uma transformação linear por bases diferentes, 
precisamos também encontrar um novo operador, pois o uso de diferentes bases de vetores, 
tanto no domínio da transformação quanto na imagem, resulta em outras matrizes utilizadas 
como operador. 
Considerando essas informações, a transformação linear 
 
T : V → W = T ( x, y) = (y, -2y, 2x + y) 
 
e as bases de 
 
V, 𝐴 = 1
2
,
−3
0
; e de W, 𝐵 =
0
0
−1
,
1
0
0
,
1
1
0
 
 
assinale a alternativa que apresenta corretamente a multiplicação de matrizes que 
representa esta transformação linear nas bases sugeridas: 
 
( ) T : VA → 𝑊 =
−4 6
6 0
−4 0
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
6 −4
0 6
0 −4
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1 0 0
0 −2 0
0 1 2
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1
−2
2 + 1
×
𝑥
𝑦 
 
4) Transformações lineares planas de escalonamento envolvem o aumento ou a diminuição 
de objetos, dependendo de como é a matriz utilizada para multiplicar os vetores em 
questão. 
Considerando essas informações e os conceitos estudados sobre o método da matriz 
inversa, analise as afirmativas a seguir: 
 
I) A transformação linear 
𝑥
𝑦 = 
0,3 0
0 0,3
 . 
𝑥
𝑦 representa um escalonamento no 
sentido da diminuição da imagem 
 
II) A transformação linear 
𝑥
𝑦 = 
2,5 0
0 2,5
 . 
𝑥
𝑦 representa um escalonamento no 
sentido da diminuição da imagem 
 
III) A transformação linear 
𝑥
𝑦 = 
1,5 0
0 1,5
 . 
𝑥
𝑦 representa um escalonamento no 
sentido da diminuição da imagem 
 
IV) A transformação linear 
𝑥
𝑦 = 
0,5 0
0 0,5
 . 
𝑥
𝑦 representa um escalonamento no 
sentido da diminuição da imagem 
 
V) A transformação linear 
𝑥
𝑦 = 
0,9 0
0 0,9
 . 
𝑥
𝑦 representa um escalonamento no 
sentido da diminuição da imagem 
 
( ) I, II, IV e V 
( ) III e V 
( ) I, IV e V 
( ) II e V 
( ) II e III 
 
5) Quando precisamos aplicar uma transformação linear plana com o intuito de rotacionar um 
objeto que pode ser representado através de vetores, utilizamos um operador patrão 
 
cos 𝜃 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
 
 
no qual θ representa o ângulo de rotação do objeto. 
Considerando essas informações e a expressão 
 
v = cos 60° −𝑠𝑒𝑛60°
𝑠𝑒𝑛60° 𝑐𝑜𝑠60°
 x 
𝑥
𝑦 
 
analise as alternativas a seguir e assinale qual representa, graficamente, a transformação 
linear plana sugerida por esta expressão. 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A combinação linear de um conjunto de vetores é capaz de gerar ou não qualquer vetor de 
determinado espaço vetorial através de uma combinação linear. Uma forma de estudarmos 
a possibilidade de um conjunto de vetores gerar um espaço vetorial é analisando se estes 
vetores são linearmente dependentes ou independentes. 
Considerando essas informações e a combinação linear 
 
r = 𝑐
1
2
0
+ 𝑐
3
−2
1
+ 𝑐
4
0
1
 
 
analise as afirmativas a seguir. 
 
I) A combinação linear destes três vetores é linearmente dependente pois se, por 
exemplo, atribuímos a c1, c2 e c3, respectivamente, os valores de 1, 1 e -1, 
encontramos o vetor nulo. 
II) O conjunto de vetores apresentados nesta combinação linear não é capaz de gerar 
ℝ . 
III) Podemos afirmar que o conjunto de vetores apresentado na combinação linear é uma 
base para o espaço vetorial ℝ . 
IV) Se pegarmos quaisquer dois vetores desta combinação linear, podemos dizer que 
eles são base para o espaço vetorial ℝ . 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e IV 
( ) I, II e III 
( ) III e IV 
( ) II e III 
( ) I e II 
 
7) Uma transformação linear pode ser representada através de uma multiplicação entre 
matrizes, a qual leve em consideração uma base de vetores para a imagem da 
transformação que seja diferente da base canônica. Desta forma, o operador da 
transformação seria completamente diferente caso estivéssemos utilizando as bases 
canônicas.] 
 
Considerando essas informações, a transformação linear 
 
T : V → W = T ( x, y) = (y, -2y, 2x + y) 
 
e as bases de 
 
V, 𝐴 = 1
0
,
0
1
; e de W, 𝐵 =
0
0
−1
,
1
0
0
,
1
1
0
 
 
assinale a alternativa que apresenta corretamente a multiplicação de matrizes que 
representa esta transformação linear nas bases sugeridas: 
 
( ) T : VA → 𝑊 =
−2 −1
0 3
0 −2
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
−1 −2
3 0
−2 0
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1 0 0
0 −2 0
0 1 2
×
𝑥
𝑦 
( ) T : VA → 𝑊 =
1
−2
2 + 1
×
𝑥
𝑦 
 
8) As transformações lineares no plano são muito utilizadas para mover vetores em um plano 
cartesiano. Quando trabalhamos com um conjunto de vetores que constituem uma 
imagem, estas transformações lineares representam manipulações com a própria imagem. 
 
Considerando essas informações e a expressão: 
 
𝐯 =
1 0
0 −1
×
x
y 
 
analise as alternativas a seguir e assinale qual representa, graficamente, a transformação 
linear plana sugerida por esta expressão. 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Em um determinado estudo, deseja-se utilizar o conjunto de vetores descrito por 
 
V1 = {(x, y)} / x, y ∈ ℝ; y = x² + 1} 
 
No entanto, para sabermos se este é um espaço vetorial, para que possamos efetuar, por 
exemplo, transformações lineares a partir dos vetores deste conjunto, precisamos primeiro 
testar os dez axiomas que confirmam se este é um espaço vetorial ou não. 
 
Considerando essas informações, aplique os dez axiomas a este grupo de vetores e 
assinale a alternativa que representa corretamente este conjunto de vetores: 
 
( ) O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende a nenhum axioma. 
( ) O conjunto de vetores é um espaço vetorial, pois atende a todos os axiomas. 
( ) O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 4, apesar 
de atender aos demais. 
( ) O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas 1 e 6, apesar 
de atender aos demais. 
( ) O conjunto de vetores não é um espaço vetorial, pois não atende aos axiomas1, 4 e 6, apesar 
de atender aos demais. 
 
10) Há diversas maneiras de se interpretar vetores, dependendo de sua área de aplicação. Por 
exemplo, em física, geralmente nos referimos a vetores como �⃗�, simbologia que indica que 
vetores são grandezas que não possuem apenas valores numéricos, mas também uma 
direção e um sentido. 
De acordo com essas informações e os conceitos de álgebra linear apresentados ao longo 
da unidade, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para 
a(s) falsas. 
 
I) ( ) O segmento de reta orientado representado pelos pontos no plano (1, 2) e (-2, -4) 
pode ser representado pelo vetor 3
6
 
II) ( ) No espaço, são necessárias três coordenadas (x, y e z) para se definir um vetor. 
III) ( ) Em álgebra linear, o que chamamos de vetores são representados por vetores linha, 
de acordo com as definições de matrizes. 
IV) ( ) O vetor 1
0
 se localiza sobre o eixo x do plano. 
V) ( ) O vetor 0
1
 é perpendicular ao eixo x do plano. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
( ) F, V, F, F, F 
( ) V, F, V, F, F. 
( ) F, V, F, V, V. 
( ) F, F, V, V, F. 
( ) V, V, F, V, F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1-C / 2-A / 3-A / 4-C / 5-A / 6-E / 7-A / 8-A / 9-E / 10-C