Algebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
Marcelo Maximiliano Danesi
Espaços vetoriais: 
transformações lineares
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Usar o conceito de transformação linear para espaços vetoriais gerais.
 � Identificar espaços vetoriais das transformações lineares.
 � Definir núcleo e imagem de uma transformação linear.
Introdução
Neste capítulo, você definirá o conceito de transformação linear entre 
espaços vetoriais dentro da definição generalizada desses. Você também 
verá exemplos de transformações lineares nos espaços das matrizes, 
dos polinômios, das funções e, principalmente, como elas identificam 
propriedades entre espaços vetoriais ditos isomorfos. Adicionalmente, 
em cada exemplo, você verá como identificar se uma função é uma 
transformação linear e argumentar a validade de cada afirmação.
A definição de transformação linear entre espaços vetoriais quaisquer 
expande enormemente o conceito de transformações lineares no ℝn 
estabelece uma forma de compararmos famílias de espaços vetoriais 
bastante diferentes e permite definir um conjunto de vetores canônicos 
no espaço dos polinômios e no espaço das matrizes.
Transformações lineares
Sejam E, F espaços vetoriais, uma transformação linear A: E → F é uma lei 
que associa a cada vetor u ∈ E um vetor A(u) ∈ F, de modo que, para quaisquer 
u, v ∈ E e α ∈ ℝ, A satisfaz que:
A(u + v) = A(u) + A(v)
A(α ∙ u) = α ∙ A(u)
Dizemos que A(u) é a imagem de u pela transformação A. 
A transformação linear é um caso particular de função, no mesmo sen-
tido definido pelo cálculo (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). O diferencial 
da definição acima é que essa função ocorre entre espaços vetoriais não 
necessariamente iguais e que ela obedece a duas condições (ditas condições 
de linearidade).
Já trabalhamos com as transformações lineares de ℝn em ℝm, já que qualquer 
transformação linear entre esses espaços vetoriais pode ser representada por 
uma matriz n × m. Vejamos, a seguir, alguns exemplos nos espaços vetoriais 
mais gerais.
Lembrando-se de que Mn×m(ℝ) é o espaço vetorial das matrizes n×m, fixamos TA uma 
matriz 3x2 e definimos a transformação A: M2×m(ℝ) → M3×m(ℝ), tal que, dado u ∈ M2×m(ℝ):
A(u) = TA ∙ u
Ou seja, essa transformação calcula a imagem A(u) ∈ M3×m(ℝ) por meio da multi-
plicação matricial da matriz TA com a matriz u. Veja que essa transformação é, de fato, 
linear, já que, dados α ∈ ℝ e u ∈ M2×m(ℝ), temos:
1. A(u + v) = TA ∙ (u + v) = TA ∙ u + TA ∙ v = A(u) + A(v)
2. A(α ∙ u) = TA ∙ (α ∙ u) = α ∙ TA ∙ u = α ∙ A(u)
Portanto, A é uma transformação linear de M2×m(ℝ) em M3×m(ℝ).
Espaços vetoriais: transformações lineares2
O exemplo a seguir mostra duas transformações não lineares entre espaços 
vetoriais.
Considere B: M2×2(ℝ) → M2×2(ℝ) e C: M2×2(ℝ) → ℝ, tal que, dado u ∈ M2×2(ℝ):
B(u) = u ∙ u
C(u) = det(u)
Observe que essas transformações não são lineares, pois, tomando:
u = , u1 = , u2 =
1 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 1
temos u = u1 + u2 e:
1. B 2 = B = · =
1 0
0 1
2 0
0 2
2 0
0 2
2 0
0 2
4 0
0 4
Enquanto que:
2B = 2 · = 2 =1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
2 0
0 2
Logo:
B 2 ≠ 2B
1 0
0 1
1 0
0 1
2. C(u) = C = det = 1
1 0
0 1
1 0
0 1
Enquanto que:
C(u1) = C = det = 0
1 0
0 0
1 0
0 0
C(u2) = C = det = 0
0 0
0 1
0 0
0 1
Logo:
C(u) = C(u1 + u2) ≠ C(u1) C(u2)
Portanto, B e C são transformações não lineares.
3Espaços vetoriais: transformações lineares
Uma consequência da definição de transformação linear é que, nas condições da 
definição, a imagem do vetor nulo em E sempre é o vetor nulo em F, pois, dado 
u ∈ E, –u também pertence a E:
A(0) = A(u + (–u)) = A(u) – A(u) = 0
Repare que a recíproca dessa consequência não é verdadeira, visto o exemplo 
anterior, no qual B(0) = 0 ∙ 0 = 0 e B não é uma transformação linear.
Voltando aos exemplos, o próximo mostra uma transformação linear no 
espaço vetorial Pn dos polinômios de grau menor ou igual a n.
Considere a transformação A: P3 → P4, tal que, dado u = u(x) ∈ P3:
A(u) = (x + 1) ∙ u
Ou seja, essa transformação calcula a imagem de grau 4 do produto de (x + 1) com 
um polinômio de grau 3. Veja que essa transformação é, de fato, linear, já que, dados 
α ∈ (ℝ) e u, v ∈ P3, temos:
1. A(u + v) = (x + 1) ∙ (u + v) = (x + 1) ∙ u + (x + 1) ∙ v = A(u) + A(v)
2. A(α ∙ u) = (x + 1) ∙ (α ∙ u) = α ∙ (x + 1) ∙ u = α ∙ A(u)
Portanto, A é uma transformação linear de P3 em P4.
Nas condições da definição de transformação linear:
 � se E = F, dizemos que A: E → E é um operador linear em E;
 � se F = ℝ, dizemos que A: E → ℝ é um funcional linear.
Espaços vetoriais: transformações lineares4
Considere a transformação A: P2 → R, tal que:
A(α2x
2 + a1x + a0) = a2 + a1 + a0
Essa é uma função que, dado qualquer v ∈ P2 (o espaço vetorial dos polinômios 
de grau menor ou igual a dois) calcula um valor associado em ℝ (que também é um 
espaço vetorial). Veja que essa transformação é, de fato, linear, já que, dados α ∈ ℝ e 
u, v ∈ P2, tal que:
u = a2x
2 + a1x + a0
v = b2x
2 + b1x + b0
temos:
1. A(u + v) = A((a2 + b2)x
2 + (a1 + b1)x + (a0 + b0)) = (a2 + b2) + (a1 + b1) + (a0 + b0) = 
(a2 + a1 + a0) + (b2 + b1 + b0) = A(u) + A(v)
2. A(α ∙ u) = A(αa2x
2 + αa1x + αa0) = αa2 + αa1 + αa0 = α(a2 + a1 + a0) = α ∙ A(u)
Portanto, A é um funcional linear de P2 em ℝ.
Uma consequência da definição de transformação linear é que, nas con-
dições da definição, dados B = {u1, u2, ..., un} ⊂ E e u ∈ ger(B), existem 
α1, α2, ..., αn ∈ ℝ, tal que:
u = α1u1 + α2u2 + ... + αnun
A(u) = α1A(u1) + α2A(u2) + ... + αnA(un)
Isto é, o cálculo da transformação de u por A depende apenas do cálculo 
de cada ui por A, onde i = 1, ..., n.
Usando a teoria do cálculo, considere a transformação A que calcula a derivada de 
primeira ordem de uma função u ∈ C∞(ℝ) — o espaço vetorial das funções que apre-
sentam derivadas de todas as ordens.
5Espaços vetoriais: transformações lineares
Descrevendo A como a transformação A: C∞(ℝ) → C∞(ℝ), tal que:
A(u) = u’
Veja que essa transformação é, de fato, linear, já que, dados α ∈ ℝ e u, v ∈ C∞(ℝ), temos:
1. A(u + v) = (u + v)’ = u’ + v’ = A(u) + A(v)
2. A(α ∙ u) = (α ∙ u)’ = α ∙ u’ = α ∙ A(u)
Logo, A é um operador linear em C∞(ℝ) e, dado u polinômio de grau n, então 
u ∈ ger(xn, ..., x2, x, 1) de forma que existem α0, α1, ..., αn ∈ ℝ, tal que:
u = αnx
n + ... + α1x
1 + α0
e definindo:
A(xi) = ixi–1
A(1) = 0 
para todo i = 1, ..., n, podemos calcular a derivada de u pelas regras (de derivação) 
anteriores, de maneira que:
A(αnx
n + ... + α1x
1 + α0) = αnnx
n–1 + ... + α11x
0 + α00 
Esse exemplo ilustra o método usado no ensino das técnicas de derivação 
numa primeira disciplina de cálculo. Cada função elementar é a combinação 
(não necessariamente linear) de monômios, funções trigonométricas, expo-
nenciais ou logarítmicas. Definindo a derivada de cada um desses elementos 
básicos, é possível calcular a derivada de suas combinações.
Usando a teoria de integração do cálculo, podemos falar de outro operador que trabalha 
no espaço das funções contínuas. Dados a, b ∈ ℝ, a < b, fixamos uma função contínua 
𝛿: [a, b] × [a, b] → ℝ e definimos a transformação A:C0(ℝ) → C0(ℝ) por:
A(u) = ∫a
b
 δ(x, y)u(y) dy
Espaços vetoriais: transformações lineares6
Essa transformação é, de fato, linear, já que, dados α ∈ ℝ e u, v ∈ C0(ℝ), temos:
1. A(u + v) = ∫a
b
 δ(x, y)(u + v)(y) dy = ∫a
b
 δ(x, y)(u(y) + u(y)) dy
= ∫a
b
 δ(x, y)u(y) dy + ∫a
b
 δ(x, y)v(y) dy = A(u) + A(v)
2. A(α · u) = ∫a
b
 δ(x, y)(αu)(y) dy = ∫a
b
 αδ(x, y)u(y) dy = α ∫a
b
 δ(x, y)u(y) dy = α · A(u)
Logo, A é um operador linear em C0(ℝ).
Esse exemplo de operador integral é muito usado nas ciências aplicadas, 
quando 𝛿 é uma função densidade (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Outros 
usos incluem a transformada de Laplace, a transforma de Fourier, a esperança 
e a variância de variáveis aleatóriascontínuas na probabilidade, etc.
Núcleo e imagem de uma transformação linear
Dada uma transformação linear A: E → F, definimos dois subespaços vetoriais 
importantíssimos para determinarmos se A admite ou não uma inversa. 
A imagem de A é o subconjunto de F:
Im(A) = {w = A(u); u ∈ E}
de todos os elementos que são imagem, por A, de algum vetor em E. Essa 
definição é válida para qualquer função. A diferença aqui é que, quando A é 
uma transformação linear, Im(A) é um subespaço vetorial de F.
Considere o funcional linear A: P2 → ℝ, tal que:
A(a2x
2 + a1x + a0) = a2 + a1 + a0
7Espaços vetoriais: transformações lineares
Essa transformação tem como imagem:
Im(A) = ℝ
Pois, para todo w ∈ ℝ, se tomarmos o polinômio u ∈ P2, tal que u(x) = x
2 + x +
w
3
w
3
w
3 , 
então:
A(u) = + + = w
w
3
w
3
w
3
Numa transformação linear A: E → F, tal que Im(A) = F, dizemos que A é 
uma transformação linear sobrejetora. É o caso do exemplo anterior.
No que já estudamos sobre os espaços vetoriais ℝn, dada a transformação linear A: 
ℝn → ℝm, existe matriz T, m × n, tal que:
A(u) = T ∙ u
E o conjunto imagem de A corresponde ao espaço das colunas da matriz T. Esse 
espaço das colunas é o gerado da base determinada no teorema do Posto.
Considere a transformação linear A: P2 → ℝ, tal que:
A(a2x
2 + a1x + a0) = (a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0)
Dado w = (x1, x2) ∈ ℝ2, temos que w ∈ Im(A) se existe u = ax2 + bx + c, tal que 
A(u) = w, isto é, se:
(a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0) = (x1, x2)
Espaços vetoriais: transformações lineares8
Ou melhor, se, e somente se:
a2 + 2a1 – a0 = x1
3a2 – 2a1 + a0 = x2
o que é equivalente ao sistema matricial:
1 2 –1
3 –2 1
.
a2
a1
a0
= w
TA
Esse sistema também significa que w pertence ao gerado das colunas de TA, pois 
essa igualdade pode ser reescrita como:
a2 + a1 + a0 = w
1
3
2
–2
–1
1
Como o primeiro e o segundo vetor coluna de TA são linearmente independentes, 
o gerado deles é o próprio ℝ2. Logo, Im(A) = ℝ2.
O núcleo de A é o subconjunto de E:
𝒩(A) = {u; A(u) = 0}
de todos os elementos que tem por imagem o vetor nulo de F. Novamente, 
essa definição é válida para qualquer função. A diferença aqui é que, quando 
A é uma transformação linear, 𝒩(A) é um subespaço vetorial de E.
Considere o funcional linear A: P2 → ℝ, tal que:
A(a2x
2 + a1x + a0) = a2 + a1 + a0
Essa transformação tem como núcleo:
𝒩(A) = {u(x) = a2x2 + a1x + a0; a2 + a1 + a0 = 0}
9Espaços vetoriais: transformações lineares
Pela teoria dos polinômios, a2 + a1 + a0 = 0 é equivalente a afirmar que x = 1 é raiz 
de u(x). Dessa forma, podemos reescrever que:
𝒩(A) = {u(x); x = 1 é raiz de u}
Numa transformação linear A: E → F, tal que (A) = {0}, dizemos que A é 
uma transformação linear injetora. Não é o caso do exemplo anterior, mas é 
o do próximo exemplo.
Considere a transformação linear A: P3 → P4, tal que, dado u = u(x) ∈ P3:
A(u) = (x + 1) ∙ u
Vimos anteriormente que essa transformação calcula a imagem de grau 4 da mul-
tiplicação por (x + 1) de um polinômio de grau 3. Assim, para essa transformação:
(x + 1) ∙ u = 0 ⇔ u = 0
Logo, o único vetor em P3 que tem como imagem o vetor nulo é u(x) = 0. Portanto, 
𝒩(A) = 0, e essa transformação é injetora.
Por outro lado, essa transformação não é sobrejetora, pois, dada qualquer constante 
real k ≠ 0, ela não é imagem de algum u(x) ∈ P3, isto é:
(x + 1)u(x) ≠ k
para todo u ∈ P3. Isso porque o lado esquerdo da desigualdade é um polinômio de 
grau um, no mínimo, e o lado direito é uma constante.
Espaços vetoriais: transformações lineares10
No que já estudamos sobre os espaços vetoriais ℝn, dada a transformação linear 
A: ℝn → ℝm, existe matriz T, m × n, tal que:
A(u) = T ∙ u
E o conjunto núcleo de A corresponde ao espaço nulo de A calculado pela solução 
homogênea da igualdade T ∙ u = 0.
Considere a transformação linear A: P2 → ℝ2, tal que:
A(a2x
2 + a1x + a0) = (a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0)
Dado u = ax2 + bx + c ∈ P2, temos que u ∈ 𝒩(A), se A(u) = 0, isto é, se:
(a2 + 2a1 – a0, 3a2 – 2a1 + a0) = (0, 0)
Ou melhor, se, e somente se:
a2 + 2a1 – a0 = 0
3a2 – 2a1 + a0 = 0
o que é equivalente ao sistema matricial:
1 2 –1
3 –2 1
.
a2
a1
a0
= 
TA
0
0
Aplicando o método de Gauss na matriz TA, calculamos suas equivalências, tal que:
1 2 –1
3 –2 1
1 2 –1
0 –8 4~
1 2 –1
0 2 –1~
1 0 0
0 2 –1~
11Espaços vetoriais: transformações lineares
que equivale ao sistema:
a2 = 0
2a1 – a0 = 0
a0 = a0
ou:
a2 = 0
a1 = a0
a0 = a0
1
2
Dessa forma:
�(A) = u = a0 0x
2 + x + 1 , a0 є ℝ
1
2
Isso significa que 𝒩(A) é um subespaço vetorial de P2 dos vetores múltiplos de x + 1
1
2
.
Com respeito à injetividade de transformações lineares, uma propriedade 
importante é que uma transformação linear e injetiva A: E → F leva conjuntos 
linearmente independentes de E em conjuntos linearmente independentes de F.
Já vimos que a transformação A: P3 → P4,
A(u) = (x + 1) ∙ u
é linear e injetora. Sabemos que o conjunto {1, x, x2, x3} é linearmente independente 
em P3 Agora, se tomamos a imagem por A de cada um desses vetores:
A(1) = x + 1
A(x) = x2 + x
A(x2) = x3 + x2
A(x3) = x4 + x3
Espaços vetoriais: transformações lineares12
então, o conjunto {A(1), A(x), A(x2), A(x3)} = {x + 1, x2 + x, x3 + x2, x4 + x3} é linearmente 
independente sobre P4. Uma maneira de calcularmos isso é por meio do Wronskiano 
dessas funções:
W(x) = det =
(x + 1) (x2 + x) (x3 + x2) (x4 + x3)
(x + 1)’ (x2 + x)’ (x3 + x2)’ (x4 + x3)’
(x + 1)” (x2 + x)” (x3 + x2)” (x4 + x3)”
(x + 1)”’ (x2 + x)”’ (x3 + x2)”’ (x4 + x3)”’
= det = –12(9x4 + 6x3 – 9x2 – 7x –1)
x + 1 x2 + x x3 + x2 x4 + x3
 1 2x + 1 3x2 + 2x 4x3 + 3x2
 0 2 6x + 2 12x2 + 6x
 0 0 6 24x + 6
Isto é, W(x) ≠ 0 para todo x ∈ ℝ. E podemos afirmar que {A(1), A(x), A(x2), A(x3)} é 
linearmente independente sobre P4.
Um caso particular de transformação linear injetora e sobrejetora é o 
operador linear I: E → E, tal que, para todo u ∈ E:
I(u) = u
Dizemos que esse é o operador identidade em E e, em geral, usamos a 
notação IE ao invés de I.
No caso mais geral, uma transformação linear A: E → F é invertível se 
A é simultaneamente injetora e sobrejetora, isto é, existe B: F → E, tal que, 
para cada u ∈ E e w ∈ F:
B(A(u)) = u
A(B(w)) = w
Isso quer dizer que BA = IE, AB = IF e B é transformação linear injetora 
e sobrejetora.
Na teoria das funções, uma função injetora e sobrejetora é dita bijetora. 
No caso das transformações lineares, existe um termo mais significativo: se 
A: E → F é uma transformação linear bijetora, dizemos que A é um isomorfismo 
entre E e F, e E e F são espaços isomorfos. Na prática, isso significa que os 
espaços E e F são conjuntos similares que apresentam estrutura algébrica 
similar (não significa que sejam os mesmos conjuntos ou as mesmas operações).
13Espaços vetoriais: transformações lineares
Existe um isomorfismo entre ℝ3 e P2 dado pela transformação A: ℝ3 → P2, tal que:
A(a0, a1, a2) = a0 + a1x + a2x
2
Mostramos isso tomando α ∈ ℝ, u v ∈ ℝ3, tal que:
u = (a0, a1, a2)
v = (b0, b1, b2)
Assim, A é linear, pois:
1. A(u + v) = A(a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 = (a0 + a1x + 
a2x
2) + (b0 + b1x + b2x
2) = A(u) + A(v)
2. A(αu) = A(αa0, αa1, αa2) = (αa0) + (αa1)x + (αa2)x
2 = α(a0 + a1x + a2x
2) = αA(u)
A é injetora, pois:
1. A(u) = 0 implica que a0 + a1x + a2x
2 = 0, isto é, o vetor nulo de P2 que é o polinômio 
identicamente nulo, portanto, a0 = a1 = a2 = 0, o que significa que 𝒩(A) = {0}.
A é sobrejetora, pois:
2. para todo w(x) ∈ P2 , existem w0, w1, w2 ∈ ℝ, tal que A(w0, w1, w2) = w0 + w1x + w2x2 
= w(x).
Uma consequência importante desse isomorfismo é que todo conjunto linearmente 
independente de ℝ3 é transformado num conjunto linearmente independente de 
P2. Em particular, se tomarmos o conjunto dos vetores canônicos de ℝ3, eles serão 
transformados noconjunto linearmente independente de P2{A(e1), A(e2), A(e3)} = {1, x, x
2}.
O exemplo anterior pode ser estendido ao caso geral que afirma que, dado 
n ∈ ℕ, existe um isomorfismo entre ℝn+1 e Pn , de forma que {1, x, x2, ..., xn} 
é um conjunto linearmente independente dos vetores ditos canônicos em Pn.
Outro isomorfismo entre os espaços vetoriais que estudamos é ilustrado 
no exemplo a seguir.
Espaços vetoriais: transformações lineares14
Existe um isomorfismo entre ℝ6 e M2×3(ℝ), dado pela transformação B: ℝ6 → M2×3(ℝ), 
tal que:
B(a1, a2, a3, a4, a5, a6) =
a1 a2 a3
a4 a5 a6
Mostramos isso tomando α ∈ ℝ, u, v ∈ ℝ3, tal que:
u = (a1, a2, a3, a4, a5, a6)
v = (b1, b2, b3, b4, b5, b6)
Assim, B é linear, pois:
1. B(u + v) = B(a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, a4 + b4, a5 + b5, a6 + b6) =
a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3
a4 + b4 a5 + b5 a6 + b6
= + = B(u) + B(v)
a1 a2 a3
a4 a5 a6
b1 b2 b3
b4 b5 b6
2. B(αu) = B(αa1, αa2, αa3, αa4, αa5, αa6) = = α = αB(u)
αa1 αa2 αa3
αa4 αa5 αa6
a1 a2 a3
a4 a5 a6
B é injetora, pois:
1. B(u) = 0 implica que 
a1 a2 a3
a4 a5 a6
= 0 , isto é, o vetor nulo de M2×3(ℝ), portanto 
a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = 0, o que significa que 𝒩(A) = {0}.
B é sobrejetora, pois:
2. para todo w ∈ M2×3(ℝ), existem w1, w2, w3, w4, w5, w6 ∈ ℝ, tal que B(w1, w2, w3, w4, 
w5, w6) = w.
Uma consequência importante desse isomorfismo é que todo conjunto linearmente 
independente de ℝ6 é transformado num conjunto linearmente independente de 
M2×3(ℝ). Em particular, se tomarmos o conjunto dos vetores canônicos de ℝ6, eles 
serão transformados no conjunto linearmente independente de M2×3(ℝ).
{B(e1), B(e2), B(e3), B(e4), B(e5), B(e6)} =
1 0 0
0 0 0
, 0 1 0
0 0 0
, 0 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
, 0 0 0
0 1 0
, 0 0 0
0 0 1
15Espaços vetoriais: transformações lineares
O exemplo anterior pode ser estendido ao caso geral, que afirma que, 
dados, existe um isomorfismo entre ℝmn e Mm×n(ℝ), de forma que o conjunto 
de todas as matrizes Er,s = [aij] ∈ Mm×n(ℝ) com r = 1, ..., m, s = 1, ..., n, tal que:
é um conjunto linearmente independente dos vetores ditos canônicos em 
Mm×n(ℝ). Além disso, como esses isomorfismos admitem transformação inversa 
que também é um isomorfismo, temos uma relação direta entre o espaço 
vetorial das matrizes de coeficientes reais, dos polinômios de coeficientes 
reais e dos vetores n-dimensionais.
Um último detalhe importante é que não existe transformação linear bijetora 
do ℝn em C0 ℝ). Uma forma de justificar essa afirmação é lembrar-se de que, 
para todo l ∈ ℕ, o conjunto:
{1, x, x2, ..., xl–1}
é linearmente independente em C0 ℝ). Como em ℝn, qualquer conjunto 
com mais de n vetores é linearmente dependente, não tem como levar um 
conjunto linearmente independente de C0 ℝ), arbitrariamente grande, para o 
ℝn e manter a propriedade de independência linear.
Espaços vetoriais das transformações lineares
Mais adiante, voltaremos a falar de funcionais lineares e como alguns tipos 
deles definem uma medida no espaço vetorial. Nesse sentido, enunciamos 
algumas propriedades dos espaços vetoriais definidos por transformações 
lineares.
Sejam E, F espaços vetoriais. O conjunto ℒ(E, F) de todas as transforma-
ções lineares A: E → F é um espaço vetorial se, dados A, B ∈ ℒ (E, F) e α ∈ 
ℝ, definimos as operações:
(A + B)(u) = A(u) + B(u)
(αA)(u) = α ∙ A(u)
Espaços vetoriais: transformações lineares16
Nesse espaço, o vetor nulo é a transformação trivial 0(u) = 0 para todo u 
∈ E , e o inverso aditivo de A ∈ ℒ (E, F) é a transformação –A: E → F, tal que 
(–A)(u) = –1 ∙ A(u).
Nessas condições:
1. se E = F, dizemos que ℒ (E) = ℒ (E, E) é o espaço vetorial dos opera-
dores lineares de E;
2. se E = ℝ, dizemos que E* = ℒ (E, ℝ) é o espaço vetorial dual de E.
Adicionalmente, um funcional linear f ∈ E* ou é sobrejetivo ou é identi-
camente nulo, pois os únicos subespaços de ℝ são ℝ e {0}.
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1 e 2.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
LAY, D. C.; LAY, S. R.; MACDONALD, J. J. Álgebra linear e suas aplicações. 5. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2018.
LIMA, E. L. Álgebra linear. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.
Referência
17Espaços vetoriais: transformações lineares