LISTA DE GA LYNNYNGS

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Geometria Anal´ıtica - Lista 1
1. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a
manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para
cada kg de Y , 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa˜o
necessa´rios na producc¸a˜o de x kg do produto X, y kg do produto Y e z kg do produto Z.
2. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a
manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para
cada kg de Y , 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A
e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$3, 00, R$2, 00
e R$4, 00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1, 9
kg de A e 2, 4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$2900, 00. Determine quantos kg de cada um dos
produtos X, Y e Z foram vendidos.
3. A tabela a seguir exibe as porcentagens de albumina, carbohidrato e lip´ıdio em cada um dos alimentos
A, B e C. Mostre que na˜o e´ poss´ıvel combinar esses alimentos formando uma refeic¸a˜o que contenha
47% de albumina, 35% de carbohidrato e 18% de lip´ıdio.
A B C
Albumina 30% 50% 20%
Carbohidrato 30% 30% 70%
Lip´ıdio 40% 20% 10%
4. Sabendo que o sistema

x +y +z = 1
mx +2y +3z = 0
m2x +4y +9z = 1
admite uma u´nica soluc¸a˜o, podemos concluir que
m pode assumir todos os valores do seguinte intervalo real:
a) [0, 1] b) [1, 2] c) [3, 4) d)[0, 4].
5. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) Se A e B sa˜o matrizes n× n tais que AB = 0¯ enta˜o BA = 0¯.
b) Se B e A sa˜o tais que A = At e B = Bt, enta˜o C = AB e´ tal que Ct = C.
c) Se A e´ uma matriz tal que A2 = 0¯, enta˜o A = 0¯?
d) Se AB = BA enta˜o (AB)4 = A4B4.
e) Seja A uma matriz n× n. Se AAt = 0¯, enta˜o A = 0¯.
f) Sejam A e B matrizes n× n. Enta˜o (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
g) Se A2 = −2A4, enta˜o (In + A2)(In − 2A2) = In.
h) Se A = P tDP , em que D e´ uma matriz diagonal, enta˜o At = A.
i) Se B = AAt,enta˜o B = Bt.
6. Encontre um valor de x tal que ABt = 0, em que A = [x 4 − 2] e B = [2 − 3 5].
7. Mostre que as matrizes Ay = (aij)2×2, y 6= 0, y ∈ R, aii = 1, i = 1, 2, a12 = 1/y e a21 = y, verificam
a equac¸a˜o X2 = 2X.
8. Determine os coeficientes a, b, c e d da func¸a˜o polinomial p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, cujo gra´fico
passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3,−11) e P4 = (4,−14).
9. Determine coeficientes a, b e c da equac¸a˜o do c´ırculo, x2 + y2 + ax + by + c = 0, que passa pelos
pontos P1 = (−2, 7), P2 = (−4, 5) e P3 = (4,−3).
10. Encontre condic¸o˜es sobre os bi para que cada um dos sistemas seja consistente (isto e´, tenha soluc¸a˜o):
x −2y +5z = b1
4x −5y +8z = b2
−3x +3y −3z = b3
11. Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o,
tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:
x +2y +z = 3
x +y −z = 2
x +y +(a2 − 5)z = a
2