Conjuntos dos Números REAIS E IRRACIONAIS

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Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais (Q).
Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os números racionais.
Conjunto dos Números Racionais (Q).
Então: 
- 2, - 5/4, -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo, são números racionais.
Todo número racional pode ser colocado na forma a/b, com a ( Z, b ( Z e b ≠ 0. 
Assim, podemos escrever:
Q = { x I x = a/b, com a ∈ z, b ∈ z e b ≠ 0}
Exemplos:
- 2 = - 2 / 1 = - 4/2 = -6 / 3.
1 = 1/1 = 2/2 = 3/3.
- 5/4 = -5/4.
É interessante considerar a representação decimal de um número racional a/b, que se obtém dividindo-se a por b:
1/2 = 0,5 - 5/4 = -1,25
Esses exemplos se referem às decimais exatas ou finitas.
1/3 = 0,333... 
7/6 = 1,1666...
Esses exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.
Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional a/b.
0,5 = 5/10 = 1/2 
0,333... = 3/9 = 1/3.
Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta, conforme o gráfico:
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Consideremos, por exemplo, os números e e vamos determinar a sua representação decimal:
Observamos, então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais, que não podem ser escritos na forma a/b.
Um número irracional bastante conhecido é o número (pi) . 
Observe a seguinte construção, que nos mostra a representação dos números irracionais , e - e - na reta:
Conjunto dos Números Reais (R)
Os Números Reais resultam da união dos números racionais com os números irracionais.
Dados Q e {irracionais}, define-se o conjunto dos números reais como:
R = Q ∪ {irracionais} = {x I x é racional ou x é irracional}. 
Assim, são números reais:
Assim são números reais:
Os números naturais (N );
Os números inteiros (Z);
Os números racionais (Q);
Os números irracionais (I).
Como subconjuntos importantes de R, temos:
R* = R – {0}
R+ = conjunto dos números reais não negativos.
R_ = conjunto dos números reais não positivos. 
EXERCÍCIOS
1) Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os símbolos ( ou (.
A) ( R. G) 0,777... ( R+
B) 0,333 ( R. H) – 1/100 ( Q_.
C) (-3 ( R.
D) (3 / 7 ) ( R.
E) (0,2 . 0,1) ( Z*.
F) – 234 ( Z_.
2) Assinale com V as sentenças verdadeiras e, com F, as falsas:
A) N ( Z F) Q ( R
B) N* ( N G) Z ( Q
C) N* ( N H) Z( ( Q 
D) Z( ( Z I) N ( R
E) Z_ ( Z J) R*( ( R. 
3) Represente cada um dos seguintes conjuntos por extensão de seus elementos:
A = { x ( N I x ( 4}
B = { x ( N l 1 < x < 6}
C = { x ( Z l x ( - 3}
D = { x ( Z* l – 3 ( x ( 1}
4) Determine, relacionando seus elementos, os seguintes conjuntos:
{ x ( N l 1 ( x ( 4 }
{ x ( Z* l -3 < x ( 3}
{ x ( Z( l -2 ( x < 5}
{ x ( Z_ l x ( -1}
{ x ( Z l 2 < x < 3} 
5) Racionalize os denominadores das frações:
A) 4 / = 
B) 1 / + = 
Determine, relacionando seus elementos, os seguintes conjuntos:
A = { x ( Z* I x² - 2x = 0 } ou {x ( Z* ( x² - 2x = 0}
B = {x ( R |x² - x + 1 = 0} 
 7) Racionalize os denominadores das frações:
2 / (6 =
7 (3 / 2 (7 =