Resolução de Equações Diferenciais e Problemas de Misturas

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AULA 2
Vamos resolver o Exerc´ıcio 2 da Aula I.
Exerc´ıcio 2) Resolva as equac¸o˜es diferenciais dadas a seguir.
• dP
dt
= kP (k > 0)
⇔ 1
P
dP = k dt
⇔ ln |P | = kt + c
⇔ P = ±ekt+c.
Podemos escrever P = ±ektec = c1ekt, onde c1 e´ tambe´m uma constante
arbitra´ria.
• dP
dt
= kP
(
1− P
10.000
)
⇔ dP
dt
= kP
(
10.000− P
10.000
)
⇔ 10.000
P (10.000− P ) dP = k dt
⇔
∫
10.000
P (10.000− P ) dP =
∫
k dt
⇔
∫ (
1
P
+
1
10.000− P
)
dP = kt + c
⇔ ln |P | − ln |10.000− P | = kt + c
⇔ ln
∣∣∣ P10.000−P ∣∣∣ = kt + c
⇔ P
10.000− P = c1e
kt
⇔ P = 10.000 c1ekt
1+c1ekt
,
onde c1 e´ uma constante real que pode ser determinada dada uma
condic¸a˜o inicial.
• dy
dx
= x + xy2, y(0) = 0
dy
dx
= x + xy2
⇔ dy
dx
= x(1 + y2)
⇔ 1
1 + y2
dy = x dx
⇔
∫
1
1 + y2
dy =
∫
x dx
⇔ arctg y = x
2
2
+ c
⇔ y = tg
(
x2
2
+ c
)
y(0) = 0⇒ 0 = tg c⇒ c = 0
⇔ y = tg
(
x2
2
)
.
1
2 AULA 2
Problemas de Misturas
Considere um tanque parcialmente preenchido com uma soluc¸a˜o de alguma
substaˆncia. Adiciona-se uma nova soluc¸a˜o da mesma substaˆncia com uma dada
concentrac¸a˜o. Apo´s a soluc¸a˜o se misturar completamente com a soluc¸a˜o do tanque,
esta sai uma determinada taxa do tanque. Se y(t) e´ a quantidade da substaˆncia no
tanque no instante t, temos que y′(t) e´ a taxa de entrada da substaˆncia menos a
taxa de sa´ıda.
y(t)→ quantidade da substaˆncia no tanque no
instante t.
dy
dt
= taxa de entrada - taxa de sa´ıda
Exemplo 1. Considere um tanque que, inicialmente, conte´m 1.000 L de a´gua
salgada com 5 kg de sal dissolvido. No tanque entra a´gua salgada com 0, 4 kg de
sal por litro a uma taxa de 10L por minuto. Qual a quantidade y(t) de sal no
tanque no instante t?
Neste caso, temos que a taxa de entrada e´ de 0, 4 kg/L× 10 L/min e a taxa de
sa´ıda e´ nula. Portanto, temos:
dy
dt
= 0, 4
kg
L
× 10 L
min
= 4
kg
min
⇔ y(t) = 4t + c.
Temos que y(0) = c = 5, logo a quantidade de sal no tanque no instante t e´ dada
por y(t) = 4t + 5.
Exemplo 2. Considere um tanque que conte´m 1.000 L de a´gua salgada com 5 kg
de sal dissolvido. Adiciona-se a´gua salgada com 0, 2 kg de sal por litro a uma taxa
de 10 L por minuto. Por um furo no fundo do tanque, sai a´gua salgada a uma taxa
de 10 L por minuto. Qual a quantidade y(t) de sal no tanque no instante t?
Neste caso, temos
Taxa de entrada = 0, 2
kg
L
× 10 L
min
= 2
kg
min
.
A quantidade de sal no instante t e´ denotada por y(t). A quantidade de a´gua
no tanque e´ constante igual a 1.000L. Assim, a concentrac¸a˜o de sal e´ dada por
y(t)/1.000. Temos enta˜o:
Taxa de sa´ıda =
y(t)
1.000
kg
L
× 10 L
min
=
y(t)
100
kg
min
.
Assim, a taxa de variac¸a˜o de sal no tanque e´ dada por:
AULA 2 3
dy
dt
= 2− y
100
⇔
∫
1
200− y dy =
∫
1
100
dt
⇔ − ln |200− y| = t
100
+ c.
Como y(0) = 5, temos − ln 195 = c, logo
⇔ − ln |200− y| = t
100
− ln 195
⇔ |200− y| = 195 e−t/100.
Como y ≡ 200 e´ soluc¸a˜o constante da equac¸a˜o diferencial (chamada soluc¸a˜o
de equil´ıbrio), pelo teorema de existeˆncia e unicidade, a soluc¸a˜o que a gente esta´
procurando com condic¸a˜o inicial y(0) = 5 < 200, satisfaz y(t) < 200 para todo t.
Assim,
200− y = 195 e−t/100
⇔ y(t) = 200− 195 e−t/100.
Note que quando t→ +∞, y(t) converge para a soluc¸a˜o de equil´ıbrio 200.
Exemplo 3. Considere um tanque que conte´m 1.000 L de a´gua. Adiciona-se a´gua
salgada com 0, 2 kg de sal por litro a uma taxa de 10 L por minuto. Por um furo
no fundo do tanque, sai a´gua salgada a uma taxa de 8 L por minuto. Qual a
quantidade y(t) de sal no tanque no instante t?
Neste exemplo, a taxa de entrada se mante´m 2kg/min. Pore´m, a quantidade de
a´gua no tanque varia de acordo com o tempo. A cada instante t, entram 10 L de
a´gua e saem 8 L. Logo, a quantidade de a´gua no tanque e´ dada por 1.000 + 2t.
Assim, a concentrac¸a˜o de sal e´ dada por y(t)/(1.000 + 2t). Temos enta˜o:
Taxa de sa´ıda =
y(t)
1.000 + 2t
kg
L
× 8 L
min
=
8y(t)
1.000 + 2t
kg
min
.
Portanto, a taxa de variac¸a˜o de sal no tanque e´ dada por:
dy
dt
= 2− 8y
1.000 + 2t
.
Verifique que esta equac¸a˜o diferencial na˜o e´ separa´vel. Ela e´ do tipo linear,
definida a seguir.
Equac¸a˜o Diferencial de Primeira Ordem Linear
E´ uma equac¸a˜o que pode ser escrita da forma:
y′ + P (x)y = Q(x),
onde P (x) e Q(x) sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em um dado intervalo (a linearidade e´
relativamente a y).
O me´todo de resoluc¸a˜o deste tipo de equac¸a˜o diferencial sera´ dado na pro´xima
aula.
Exerc´ıcio 1) Determine quais das equac¸o˜es diferenciais dadas a seguir sa˜o se-
para´veis e/ou lineares.
• y′ = xy2
• y′ = y2 + x
• y′ = xy + 1
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• xy′ = y