Apostila de Mat. Financeira

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CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS 
 
GRADUAÇÃO 2012.1 
 
 
 
 
 
Aluno: ___________________________________________________ 
 
 
 
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA 
ADM1405 72 h/a 4 Créditos 
 
 
 
Prof.: Egenilton Rodolfo de Farias 
Email: aegenilton@yahoo.com.br 
 
 
 
© Copyright Egenilton 2012 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 1 
 
CONTEÚDO PÁGINA 
Apresentação do programa, bibliografia, forma de avaliação 02 
Diretrizes para o trabalho do 1º GQ 04 
Diretrizes para o trabalho do 2º GQ 05 
Conceito de juros e regimes de capitalização 06 
Utilização da calculadora financeira HP 12C 08 
Capitalização simples: cálculo de juros e montante 10 
Valor atual e valor nominal. A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial 
(por fora) e bancário 
15 
Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto 17 
Exemplos de aplicação de capitalização simples 19 
Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. Convenção linear e exponencial 
quando não é fracionário 
21 
Exemplos de aplicação 24 
Taxas equivalentes e efetivas. Influência da inflação: taxa real e taxa aparente 27 
Desconto composto: racional e comercial 30 
Equivalência financeira 31 
Séries finitas de pagamentos postecipadas: introdução. Montante (FV) 33 
Séries finitas de pagamentos postecipadas: introdução. Montante (PMT; i; n) 36 
Séries finitas de pagamentos antecipadas e diferidas: montante 38 
Séries finitas de pagamentos postecipadas, antecipadas e diferidas: valor atual. Séries 
infinitas (ou perpétuas) 
41 
Exemplos de aplicação 45 
Sistemas de amortização de empréstimos: sistema francês (SFA) – tabela price 50 
Sistemas de amortização constante. Sistema americano de amortização a uma e duas taxas 
(sinking fund) 
54 
Exemplos de aplicação 59 
Referências usadas na apostila 60 
Links úteis (Edição 2012.2 da apostila) 
Glossário (Edição 2012.2 da apostila) 
Símbolos usados na apostila (Edição 2012.2 da apostila) 
Exercícios complementares (Edição 2012.2 da apostila) 
 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 2 
 
APRESENTAÇÃO DO PROGRAMA, BIBLIOGRAFIA, FORMA DE AVALIAÇÃO. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 
1º 
GQ 
 Utilização da calculadora financeira HP 12C. 
 Conceito de juros e regimes de capitalização. 
 Capitalização simples: cálculo de juros e montante. Valor atual e valor nominal. 
 A operação de desconto simples: racional (por dentro), comercial (por fora) e bancário. 
Equivalência entre taxa de juro e taxa de desconto. 
 Capitalização composta: cálculo de juros e montantes. Convenção linear e exponencial quando 
não é fracionário. Taxas equivalentes e efetivas. 
 Influência da inflação: taxa real e taxa aparente. 
 
2º 
GQ 
 Séries finitas e infinitas (ou perpétuas) de pagamentos: postecipadas, antecipadas e diferidas: 
Utilização de tabelas financeiras. 
 Sistema de amortização de empréstimos: sistema francês – tabela price; sistema de amortização 
constante (SAC) e sistema americano de amortização a uma e duas taxas (Sinking Fund). 
 
 
METODOLOGIA 
 Aulas expositivas. O plano de ensino da disciplina contemplará metodologia direcionada a realização 
de trabalhos práticos, desenvolvidos no ambiente organizacional e/ou com dados e informações reais, 
visando a interação da teoria com a prática. 
 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
 
www.editoraatlas.com.br 
FERREIRA, Roberto Gomes. Matemática financeira aplicada: mercado de 
capitais, administração financeira, finanças pessoais. 7. ed. São Paulo: 
Atlas, 2010, 352 p. 
Número de Chamada: 51:336 F383mc 
 
 
www.editorasaraiva.com.br 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 6. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2007, 332p. 
Número de Chamada: 51:336 H431m 
 
 
 
www.pearson.com.br 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de 
investimentos. 5 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, 304p. 
Número de Chamada: 51:336 S187M 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 3 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
www.editoraatlas.com.br 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 11. Ed. São 
Paulo: Atlas,2009, 296p. 
Número de Chamada: 51:336 A844M 
 
 
www.cengage.com.br 
BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada: método algébrico, 
HP-12C, Microsoft Excel. 3 ed. São Paulo: Pioneira Thomsom Learning, 2011, 320p. 
Número de Chamada: . . . . . . 
 
 
www.atica.com.br 
FARIA, Rogério Gomes. Matemática comercial e financeira. 6. ed. São Paulo: Ática, 
2007, 208p. 
Número de Chamada: 51:336 F224M 
 
 
www.editoraatlas.com.br 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 6 ed. 
São Paulo: Atlas, 2009, 432p. 
Número de Chamada: 51:336 M431m 
 
 
www.editorasaraiva.com.br 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 8. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2009, 376p. 
Número de Chamada: 51:336 P977m 
 
FORMA DE AVALIAÇÃO 
1º GQ: prova do GQ (0 a 8) + 1 trabalho (0 a 2) * Ao melhor trabalho bônus de 1 ponto. 
2º GQ: prova do GQ (0 a 8 ASSUNTO ACUMULATIVO) + 1 trabalho (0 a 2) * Ao melhor trabalho bônus de 1 
ponto. 
 Será concedido bônus, a critério do professor, ao aluno que freqüentar assiduamente às aulas, 
participar das atividades, demonstrarem interesse e atenção nas aulas. Todas as provas serão SEM consulta 
de material, porém as fórmulas serão anexadas às provas pelo professor. 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 4 
 
DIRETRIZES PARA O TRABALHO DO 1º GQ 
 
(Individual) 
OBJETIVO 
 Este trabalho tem como principal objetivo descobrir a ampla utilização da matemática 
financeira e as modernas ferramentas utilizadas para a sua construção. 
 
DESCRIÇÃO 
 O aluno deve fazer uma pesquisa minuciosa sobre os tópicos a seguir: 
 Cursos de especialização nesta área; 
 Cursos de pós-graduação em finanças. 
 Cursos de pós-graduação que contenham a disciplina de matemática financeira ou 
equivalente. 
 Institutos Nacionais e Internacionais direcionados para a área de matemática financeira; 
 Principais institutos de pesquisa ou órgãos de fomento (financiamento de projetos). 
Veja, por exemplo, em: IPEA; IBGE; Banco do Nordeste/Banco do Brasil; Ministério 
da Economia. 
 Consultorias que fornece suporte na área de matemática financeira; 
 Direta ou indiretamente. Veja, por exemplo, em: orientação de projetos; finanças; 
políticas públicas; terceiro setor; desenvolvimento sustentável, investimentos, etc. 
 Softwares utilizados na elaboração de cálculos financeiros; 
 Softwares que facilitem cálculos financeiros. Veja, por exemplo, em: 
www.superdownloads.com.br ou www.baixaki.com.br. 
 Periódicos que forneçam orientação sobre matemática financeira. 
 Revistas, jornais e congressos. Veja, por exemplo, em: Setor de periódicos da 
biblioteca Unicap; Anais de congressos em finanças; Sociedade Brasileira de 
Finanças (www.sbfin.org.br). 
 
INSTRUÇÕES PARA CONFIGURAÇÃO DO TRABALHO 
 Entrega: Exclusivamente através do email: aegenilton@yahoo.com.br 
 Prazo: será definido em sala (improrrogável) 
 Título do arquivo: <MatFin_Turma_Nome do aluno>. 
 O texto deverá ser digitado em WORD (Fonte Times New Roman 12 com espaçamento 1,5) 
e justificado. Número de páginas livre. 
 Estrutura (Papel A4): 1ª Página: Título do trabalho, nome e email do aluno, data, turma, etc. 
A partir da 2ª página: Introdução, Explanação do assunto, Conclusão e Referências (citar 
cada um dos sites pesquisados e não simplesmente “pesquisa na internet” ou 
www.google.com.br). 
 
OBSERVAÇÕES: 
 Aos trabalhos com perfil muitosemelhantes (idênticos ou quase idênticos) será atribuída 
nota zero a ambos. 
 Se até 48 horas depois do prazo máximo para a entrega por email do trabalho o aluno não 
recebeu uma comunicação por email confirmando a chegado do trabalho, ele deve imprimir 
um comprovante de envio (não é o trabalho) e apresentar na aula seguinte, para se verificar 
qual foi o eventual problema. 
 Para os alunos que não entregarem o trabalho, haverá uma questão alternativa na prova. 
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DIRETRIZES PARA O TRABALHO DO 2º GQ 
 
(Individual) 
 
OBJETIVO 
 Este trabalho tem como principal objetivo aplicar a teoria a um estudo de caso. 
 
DESCRIÇÃO 
 O aluno deve fazer uma análise do instituto financeiro que lhe foi designado (por sorteio); analisar 
a teoria que se aplica ao caso, descrevendo-a e fazendo uma aplicação numérica. 
 Histórico do instituto financeiro que lhe foi designado (por sorteio) 
 Resumo da(s) ferramenta(s) que pretende utilizar; 
 Análise dos resultados da aplicação numérica da teoria; 
 Comprovante da obtenção dos dados. 
 
Obs. Depois do sorteio o aluno tem a opção de optar por um instituto que não tenha sido utilizado por 
nenhum outro colega, desde que devidamente acertado com o professor. 
 
INSTRUÇÕES PARA CONFIGURAÇÃO DO TRABALHO 
 Entrega: Exclusivamente através do email: aegenilton@yahoo.com.br 
 Prazo: será definido em sala (improrrogável). Caso não seja entregue até essa data, o aluno fará 
a prova escrita valendo de zero a dez na data agendada pela Unicap para o 2º GQ, com assunto 
acumulativo do 1º GQ. O TRABALHO ENVIADO POR EMAIL SÓ TEM VALIDADE SE O ALUNO 
ASSINAR A ATA DE PRESENÇA NO DIA DA PROVA DO 2º GQ. 
 Título do arquivo: <MatFin_Turma_Nome do aluno>. 
 O texto deverá ser digitado em WORD (Fonte Times New Roman 12 com espaçamento 1,5) e 
justificado. Número de páginas livre. 
 Estrutura (Papel A4): 1ª Página: Título do trabalho, nome e email do aluno, data, turma, etc. A 
partir da 2ª página: Introdução, Explanação do assunto, Conclusão e Referências (citar cada um 
dos sites pesquisados e não simplesmente “pesquisa na internet” ou www.google.com.br). 
 
OBSERVAÇÕES: 
 Aos trabalhos com perfil muito semelhantes (idênticos ou quase idênticos) será atribuída nota 
zero a ambos. 
 Se até 48 horas depois do prazo máximo para a entrega por email do trabalho o aluno não 
recebeu uma comunicação por email confirmando a chegado do trabalho, ele deve imprimir um 
comprovante de envio (não é o trabalho) e apresentar na aula seguinte, para se verificar qual foi o 
eventual problema. 
 Para os alunos que não entregarem o trabalho, haverá uma questão alternativa na prova 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 6 
 
CONCEITO DE JUROS E REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 
FLUXO DE CAIXA 
 Pode ser representado por tabelas, quadros ou esquematicamente por um diagrama. 
 
Diagrama financeiro 
 
 R1 R2 Recebimento (+) Rn 
 
 
 -2 -1 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo 
 
 P-2 P0 Pagamento (-) 
 
 
 A escala graduada em termos de períodos uniformes (dias, quinzenas, meses, anos, etc.), 
representa as datas de recebimento e/ou pagamentos; com a data 0 (zero) indicando a data atual 
de observação ou, como dizemos normalmente, a data de “hoje”. 
 
 A escala vertical indica a magnitude de um recebimento (positivo) ou de um pagamento 
(negativo), sendo representado neste caso por “setas” para cima ou para baixo, respectivamente. 
 
 
Diagrama financeiro 
 
 (P-2) (P0) R1 R2 Recebimento (+) Rn 
 
 
 -2 -1 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo 
 
 Neste segundo esquema, os valores entre parênteses representam pagamentos (negativo) 
e os valores apenas assinalados, sem qualquer indicação de sinal ou símbolo, indicam 
recebimentos (positivo). 
 
 
Tabela financeira 
 
t Rt Pt 
-2 - P-2 
-1 - - 
0 - P0 
1 R1 - 
2 R2 - 
... - - 
n-1 - - 
n Rn - 
onde, 
Rt = recebimento na data “t” 
Pt = pagamento na data “t” 
 
 
 
 
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JUROS, LUCROS, TAXAS E “SPREADS” 
 Não devemos confundir o juro com o lucro, tendo em vista que o primeiro é proveniente de uma 
atividade estritamente financeira, enquanto o lucro tem origem no capital mercantil (capital industrial, capital 
comercial, capital agrário, etc.), estando o retorno deste lucro mais propenso à incidência de riscos e 
incertezas do que o próprio retorno do juro. 
 
 Conforme representado no gráfico abaixo, temos o “preço” de equilíbrio (i0) para os recursos 
demandados e ofertados correspondente a quantidade de equilíbrio (M0) de recursos financeiros: 
 
 i% oferta 
 
 
 
 i0 
 
 
 demanda 
 
 0 M0 M($) 
 
 A este coeficiente monetário (i0), empregado para cobrar dos demandantes e pagar aos ofertantes de 
recursos financeiro, e denomina-se de “taxa de juros”, podendo ser considerada como taxa real (quando 
excluímos dos recursos a taxa de inflação) ou taxa aparente (quando aos recursos é acrescido o efeito 
inflacionário), normalmente fornecida em percentagem e sempre referida a um determinado período de 
tempo: 10% ao mês, 47% ao trimestre, 435% ao ano, etc. 
 
 Existem pelo menos duas taxas de juro atuantes no mercado financeiro: a taxa de aplicação 
(representada na prática financeira pelo custo do capital, analisando pelo prisma dos demandantes) e a taxa 
de capitação (representada pela taxa de rentabilidade das poupanças, vista pelo prisma dos ofertantes de 
recursos financeiros). Como vigora a lei da oferta e da procura para os mercados de aplicação e de capitação, 
temos, no gráfico a seguir o combinado “aplicação - capitação”. 
 
 Taxa de juro 
 OAR 
 iA 
 
 SPREAD DAR 
 OCR 
 iC 
 
 DCR 
 
 
 0 MC MA M($) 
onde, 
 iA = taxa de juros de aplicação (custo do capital) 
 iC = taxa de juros de captação (taxa de poupança) 
 Mc = Montante captado de recursos 
 MA = montante aplicado de recursos 
 OCR = oferta de recursos na captação 
 DCR = demanda derecursos na captação 
 OAR = oferta de recursos na aplicação 
 DAR = demanda de recursos na aplicação 
 
O diferencial entre ambas as taxas é o que se define como “spread”: |iA-iC| = spread. 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 8 
 
UTILIZAÇÃO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C 
 
INTRODUÇÃO À MÁQUINA 
 A calculadora HP 12C destaca-se entre as calculadoras pela memória contínua (mantém todo o seu estado quando 
desligada), sua lógica operacional (notação polonesa reversa – RPN, não utiliza parênteses e sinal de igual), e as funções 
matemáticas, financeiras e estatísticas. 
Teste de funcionamento 
Modelos gerais Modelos com duas baterias 
Com a máquina desligada, manter 
apertado o sinal x, ligar a calculadora 
ON e soltar o sinal x. Todos os 
circuitos serão testados e se tudo 
estiver OK, aparecerá no visor: 
–8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, com todos os 
indicadores de estados ativados: 
USER f g BEGIN GRAD D.MY c 
PRGM. 
Com a máquina desligada, manter 
apertada a tecla  (divisão). 
Aparecerão alguns traços no visor. Em 
seguida digitar todas as teclas, uma 
por uma, em linha, a partir da 
primeira n até : ; y
x
 até x ; 
R/S até - , digitando também a tecla 
ENTER; e de ON até + , digitando 
também ENTER. Se após toda essa 
operação aparecer no visor o número 
12, está tudo OK. 
Observe-se que a ordem de digitação das 
teclas tem que ser rigorosa. 
Desligue a calculadora. 
Pressione e segure as teclas ‘g’ e ‘ENTER’ (continue pressionando até o próximo 
passo). 
Pressione a tecla ‘ON’ (enquanto as teclas ‘g’ e ‘ENTER’ continuam pressionadas 
desde o passo acima). 
Solte a tecla ‘ON’. 
Solte as teclas ‘g’ e ‘ENTER’. 
Será apresentada na tela a seguinte orientação: 
1.L 2.C 3.H 
Pressione ‘1’ para iniciar o teste de LCD (todos os caracteres acenderão no LCD). 
Pressione qualquer tecla para sair 
Pressione ‘2’ para iniciar o resumo do teste e ver as mensagens originais. Pressione 
qualquer tecla para sair de uma tela para a próxima até que você retorne à tela 
principal. 
Pressione ‘3’ para iniciar o teste de teclado. Você precisa pressionar todas as teclas do 
teclado até que todas sejam pressionadas pelo menos uma vez (a tela vai apagando-
se gradativamente). Você pode pressionar as teclas em qualquer ordem e quantas 
vezes quiser. Uma vez que todas as teclas foram pressionadas e a tela está limpa, 
pressione qualquer tecla para voltar ao teste de tela. 
Pressione ‘ON’ para sair do programa de teste. Isso também desligará a calculadora. 
Se a calculadora detectar algum erro neste ponto, ela apresentará uma mensagem de 
erro. 
Formato do número no visor 
f e g – A mesma tecla pode ser usada em até 03 (três) funções diferentes: Em branco, em azul antecedidas da tecla g, e em 
amarelo antecedidas da tecla f. 
Ex.: f NPV – Valor Presente de um fluxo de caixa. 
 PV – Principal de uma aplicação 
 g Cfo – Entrada de um fluxo de caixa inicial. 
ENTER – Entra com o valor digitado para o registrador da máquina. 
Ponto E Vírgula Decimais 
Com a máquina desligada, execute: . (ponto: segure) ON . (ponto: solte) Isto muda o ponto decimal para vírgula, e vice-versa. 
Número De Casas Depois Da Vírgula 
Execute f0 f1 f2 etc para controlar o número de casas decimais. 
Troca De Sinal 
Coloque um número no visor e aperte CHS (change sign). 
Lógica rpn (reverse polish notation) 
 A HP-12C usa a Notação Polonesa Invertida para efetuar as operações. Enquanto que, para somar nas outras 
calculadoras, se faz 3 + 2 =, para efetuar essa soma na 12C se faz 3 ENTER 2 + obtendo 5. Por esta razão não é necessário haver 
as teclas = ( ) Com a Lógica RPN, os cálculos ficam mais rápidos. 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 9 
Números Muito Grandes Ou Muito Pequenos 
 Para introduzir um número que tenha mais que 10 algarismos, como 16,55 bilhões, antes observe que 16,55 bilhões = 
16.550.000.000 = 16,55 x 10
 9
, e introduza 16,55 EEX 9. 
 Se for negativo: 16,55 CHS EEX 9 ENTER. 
 Se o expoente for negativo: 16,55 CHS EEX 9 CHS ENTER 
 Para ver os algarismos armazenados, execute f PREFIX (segure). 
 Se quiser usar a notação exponencial permanentemente, execute f. (f ponto), e para voltar à normal, execute f2. 
Percentagens 
 Calcular um acréscimo de 10 % sobre 50: 50 ENTER 10 % + Note que, antes de apertar +, o 50 permanecia em Y. 
 Calcular o aumento percentual de $100 para $150: 100 ENTER 150 Δ% ou 50 % Veja que o 100 permanece em Y. 
 Se o total de vendas foi de $ 1.000, o valor $ 100 corresponde a 10 % do total: 1000 ENTER 100 %T e o valor $ 500 
corresponde a 50 %: CLX 500 %T Note que o total permanece em Y. 
Funções matemáticas 
O que será feito Passos na HP-12C O que será feito Passos na HP-12C 
e
3
 = 20,09 (anti ln 3) 3 g e
x
 2
1/3
 = 1,26 2 ENTER 3 1/x y
x
 
ln 20,09 = 3 20,09 g LN 1,,2 
- 4
 = 1 / 1,2
4
 = 0,48 1,2 ENTER 4 CHS y
x 
 
1 / 10 = 0,1 10 1/x 4! = 4 x 3 x 2 = 24 4 g n! 
2
3
 = 8 2 ENTER 3 y
x
 
Calendário permanente 
Se quiser datas sob a notação americana (6-28-2010) 
execute g M.DY 
Para a forma brasileira (28-6-2010), 
execute g D.MY (day.month year). 
Se um CDB de 184 dias foi adquirido em 28-jun-2010, qual a data do resgate? 
28,062010 ENTER 184 g DATE 
Vence em 29-dez-2010, uma quarta-feira. 
Os dias da semana são: 
1=segunda 2 = terça 3 = quarta 4 = quinta 5 = sexta 6 = sábado 7 = domingo 
Quantos dias decorreram entre as duas datas acima? 
28,062010 ENTER 29,122010 g (delta)DYS ou 184 dias. 
Calcule agora a sua idade em anos (Atenção: 1 ano médio = 365,25 dias) 
 
Cálculos em Cadeia 
 Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outro cálculo em seguida, 
não será necessário pressionar ENTER, pois o resultado será armazenado automaticamente. Isto ocorre porque a HP 12c possui 
quatro registradores, os quais são usados para armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos 
por memórias de pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T. 
1/x – Calcula o inverso de um número 
% - Calcula a percentagem 
% - Variação percentual entre dois números 
%T – Percentual sobre o total 
EEX – O visor comporta no máximo 10 dígitos, havendo recurso para operar com mais de 10 dígitos. Essa tecla introduz o 
registro com expoente (potência de 10). 
 OBS.: Qualquer número, mesmo com menos de 10 dígitos pode ser convertido diretamente para a notação científica 
pressionando-se f . (f ponto). Para voltar à notação normal basta pressionar f 2 (f dois). 
 
g LN – Calcula o logaritmo neperiano de um número (base e – constante de Néper). Desta forma, é possível se calcular o 
logaritmo em qualquer base. 
)B(LN
)A(LN
ALog B 
 
)10(LN
)2(LN
2Log10 
 
CLx – Apaga o visor (x) 
f  - Apaga os registradores estatísticos (R1 a R6) e a pilha operacional (X, Y, Z e T) 
f FIN – Apaga os registradores financeiros ( n, i, PV, PMT e FV), mas não apaga os registradores não financeiros e o visor. 
f REG – Apagar os registradores financeiros, não financeiros (R0 a R.9), pilha operacional (X, Y, Z e T) e visor. 
Convenção Linear e Exponencial 
STO EEX - Quando ativado (aparece o “c” no visor), e no caso de n (prazo) não ser um número inteiro, a HP 12c estará 
condicionada a realizar o cálculo adotando o regime de capitalização composta tanto para a parte inteira como para a parte 
fracionária do período (convenção exponencial). Se desativado, condiciona o cálculo pelo regime de juros compostos só para a 
parte inteira do período e a parte fracionária pelo regime de juros simples (Convenção Linear).g BEG - Condiciona a calculadora para pagamentos no início de cada período (Rendas Antecipadas) 
g END – Condiciona a HP 12c para pagamentos no fim de cada período (Rendas Postecipadas). 
f AMORT – Calcula as partes do principal e juros das séries de pagamentos (Anuidades). 
f INT – Calcula juros simples. 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 10 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES: CÁLCULO DE JUROS E MONTANTE 
 
JUROS SIMPLES 
 Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado 
período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital 
aplicado, acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação. 
Seja, 
 C = capital i = taxa t = tempo, t=1, 2, 3, ..., n 
 
 C J1 J2 J3 Jn-1 Jn 
 i1 i2 i3 in 
 
 0 1 2 3 . . . (n-1) n Tempo 
 
n1n321
n1n321
CiCi...CiCiCiJ
JJ...JJJJ




 








 

n
1t
tiCJ
 
 
 Quando 
i i i in i1 2 3    ...
 
)in(CiCJ
n
1t
t 







 

, ou 
CinJ 
 
Notação de taxas: 
a.a. = ao ano a.s. = ao semestre a.q. = ao quadrimestre a.t. = ao trimestre ... 
 
Exemplo 1 (Roberto pg. 27 Exemplo 1) 
 Uma pessoa dispondo de R$ 10.000,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um 
ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 
 1
o
 trimestre = 10%; 2
o
 trimestre = 12%; 3
o
 trimestre = 15%; 4
o
 trimestre = 18% 
 Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. 
Solução: 
C = 10.000,00 
t = 1, 2, 3, 4 trimestre 
i1 = 10%a.t. = 0,10 a.t. i3 = 15% a.t. = 0,15 a.t. 
i2 = 12%a.t. = 0,12 a.t. i4 = 18% a.t. = 0,18 a.t. 






 

n
1t
tiCJ
 
J = 10.000(0,10+0,12+0,15+0,18) 
J=10.000

0,55 = 5.500 ou J = R$5.500,00 
 
Exemplo 2 (Roberto pg. 26 Exemplo 2) 
 Certo título de crédito é oferecido a um custo atual de R$10.000,00 para fornecer ao seu futuro 
possuidor rendimentos a juros simples, de acordo com as taxas e prazos de aplicação seguintes: 
Taxas de juros Prazo de aplicação 
0,5% a.m. durante 3 meses 
1,12% a.b. durante 4 meses 
4,20% a.s. durante 6 meses 
 Determinar os juros simples totais ao final do prazo de aplicação. 
Solução: 
C = 10.000,00 
i1 = 0,5% a.m.  3 meses = 1,5%a.t. = 0,0150 a.t. 
i2 = 1,12% a.b.  2 bimestre = 2,24% a.q. = 0,0224 a.q. 
i3 = 4,20% a.s.  1 semestre = 4,20% a.s. = 0,0420 a.s. 
Logo, 






 

n
1t
tiCJ
 
J = 10.000(0,015+0,0224+0,042) = 10.000

0,0794 = = R$ 794,00 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 11 
HOMOGENEIZAÇÃO ENTRE A TAXA E O PRAZO DE CAPITALIZAÇÃO 
Variáveis financeiras Unidades dimensionais 
Juros simples ($), unidades monetárias 
Capital aplicado ($), unidades monetárias 
Taxa de juro (1/t), inverso do tempo 
Prazo de capitalização (t), tempo 
J($) = C($)i(1/t)n(t) 
 
Exemplo (Roberto pg. 27) 
C = R$ 1.000,00 i = 24%a.a. n = 3 meses 
00,60$
12
ano3
ano
24,0
00,1000$J 
 
 
JUROS SIMPLES “DIÁRIOS” 
a) Juro simples ordinário: 
d
360
i
CJ 
 (utiliza o ano comercial com 360 dias) 
b) Juro simples exato: 
d
365
i
CJ 
 (utiliza o ano civil com 365 dias) 
 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE JUROS SIMPLES 
Exemplo 1 (Laureano pg. 68 R1) 
 Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas: 
a) 150% a.a. (ao ano) b) 28,5% a.t. (ao trimestre) 
Solução: 
a) 
.m.a%5,12i
12
150
t
i

 b) 
.m.a%5,9i
3
5,28
t
i

 
 
Exemplo 2 (Laureano pg. 68 R2) 
 Calcule os juros simples referentes a um capital de $80.000,00 investido nas condições seguintes: 
a) 132% a.a., durante 5 meses b) 9% a.m., durante 17 dias 
Solução: 
a) C = 80.000 n=5 meses i = 132% a.a. = 
12/132
% a.m. = 11% a.m. = 0,11 a.m. 
 J = Cin = 80.000

0,11

5 = 44.000 J = $44.000,00 
b) C = 80.000 n=17 dias i = 9% a.m. = 
30/9
% a.d. = 0,30% a.d. = 0,003 a.d. 
 J = Cin = 80.000

0,003

17 = 4.080 J = $4.080,00 
 
Exemplo 3 (Laureano pg. 69 R3) 
 Dois capitais aplicados a juro simples rendem, respectivamente, $ 2.720,00 em 10 dias, a 12% a.m., e 
$ 15.750,00 em 3 meses, a 126% a.a.. Determiná-los. 
Solução: 
a) J = 2.720 n = 10 dias i = 12% a.m. = 
30/12
% a.d. = 0,4% a.d. = 0,004 a.d. 
 J = Cin  C = J/in = 2.720/ (0,004

10) = 68.000 C = $ 68.000,00 
b) J = 15.750 n = 3 meses i = 126% a.a. = 
12/126
% a.m. = 10,5% a.m. = 0,105 a.m. 
 J = Cin  C = J/in = 15.750/ (0,105

3) = 50.000 C = $ 50.000,00 
 
Exemplo 4 (Laureano pg. 69 R4) 
 Ache a taxa mensal que faz com que um capital, investido a juro simples durante 16 meses, tenha 
seu valor triplicado. 
Solução: 
 Supor capital inicial igual a $100,00, o juro deve corresponder a $ 200,00, de modo que o valor 
acumulado seja de $ 300,00. Nestas condições, tem-se: 
J = Cin  i = J/Cn = 200/(100

16) =0,125 a.m. ou i = 12,5 % a.m. 
 
 
MONTANTE SIMPLES 
 Montante é a soma do capital inicial aplicado mais os devidos juros. 
a) Montante para taxas variáveis de juros simples: 



n
1t
tiCCM
 ou 








 

n
1t
ti1CM
 
b) Montante para uma taxa fixa de juros simples: M = C + Cin ou M = C(1+in) 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 12 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE MONTANTE SIMPLES 
Exemplo 1 (Roberto pg. 32 exemplo 4) 
 Quanto se deve aplicar hoje em uma instituição que paga juros simples de 6% a.m. para se obter 
$200.000,00 no fim de 39 dias? 
Solução: 
M = 200.000 n = 39 dias = 39/30 meses i = 6% a.m. = 0,06 a.m. M = C(1 + in)  C = M/(1 + in) 
Logo, 
76,528.185
)078,01(
000.200
30
39
06,01
000.200
C 










 
 
Exemplo 2 (Roberto pg. 53 P. proposto 2 *5ª edição.) 
 Certo título financeiro promete ao seu possuidor um juro simples de $30.000,00 ao fim de 2 meses e 9 
dias. Sabendo-se que a taxa líquida prometida é de 2,9% a.m., determinar o valor de resgate do título (que se 
identifica com seu valor de montante). 
Solução: 
J = 30.000 n = 2 meses e 9 dias = 69 dias i = 2,9% a.m. = 0,029 a.m. M = C + J 
11,775.449
0667,0
000.30
69
30
029,0
000.30
d
30
i
J
in
J
C 


 M = 449.775,11+30.000 = 479.775,11 
M = $ 479.775,11 
 
Exemplo 3 (Roberto pg. 54 P. proposto 4 *5ª edição.) 
 Uma pessoa, devedora de uma duplicata com valor de resgate (valor final) de $ 235.200,00, a ser 
paga no prazo de 4 meses e 15 dias, deseja saber quanto deverá depositar na data de hoje para obter aquele 
valor de resgate creditado em sua conta corrente ao final do prazo mencionado, quando lhe é oferecida uma 
taxa de rendimento bruto de 3,6% a.m. para uma retenção de imposto de renda de 30% sobre o ganho bruto 
nominal ao final da aplicação. 
Observação: Vresgate líquido = Vresgate bruto - IR e IR = Alíquota x Rendimento bruto. 
Solução: 
M=235.200 n=4,5meses iB=3,6% a.m.=0,036 a.m. A=30%=0,30 iL=0,036-(0,036 0,3)=0,0252 
84,244.211
)5,40252,01(
200.235
)in1(
M
C 




 C = $ 211.244,84 
 
 
Exemplo 4 (Roberto pg. 66 P. proposto 2) 
 Qual a taxa de juros simples que, aplicada a um capital de R$ 200.000,00, gera um montante de R$ 
231.200,00 em 6 meses? 
Solução: 
 
n
1
C
M
iin1CM


 
.m.a026,0
6
156,0
6
1
200000
231200
i 


 i = 2,60 % a.m. 
 
 
Exemplo 5 (Samanez pg. 07 Exemplo 1.16) 
 Aplicado por 105 dias um capital de $ 100.000,00 transformou-se em $ 145.000,00. Calcular a taxa 
mensal de juros simples ganha. 
Solução: 
 
n
1
C
M
iin1CM


 
.m.a1286,0
105
30
1
100000
145000
30
105
1
100000
145000
i 








 i = 12,86 % a.m. 
 
Exemplo 6 (Samanez pg. 07 Exemplo 1.17) 
 Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.? 
Solução: 
 
i
1
C
M
nin1CM


 
6
12
00,2
1
C
C2
n 


 n = 6 meses 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 13 
Exemplo 7 (Samanez pg. 08 Exemplo 1.20) 
 Uma pessoa deve pagar $200,00 daqui a dois meses e $400,00 daqui a cinco meses. A juros simples 
de 5% a.m. determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide a 
dívida. 
Solução: 
i = 5% a.m. M2 = $200 M5 = $400 M3 = ? 
 $400 
 
 M3 = ? 
 
 $200 
 
 0 1 2 3 4 5 6 mês 
 Como o pagamento único será efetuado no terceiro mês, definimos esse mês como data focal. Por 
equivalência de capitais, os dois planos de pagamento devem ser financeiramente equivalentes naquela data. 
Logo, temos: 
    
)205,01(
400
)105,01(2003
M
pagamentos dois com plano do mês 3º noValor único pagamento com plano do mês 3º noValor 



 = $573,64 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
200 ENTER 1 
 
 ENTER 
 
 0,05 ENTER 
 
1 x + 
 
 x 
 
 STO 1 
 
 400 ENTER 
 
 1 ENTER 
 
 0,05 ENTER 
 
 2 x 
 
 + ÷ 
 
 RCL 1 
 
Pagamento + 573,64 
 
Exemplo 8 
 Calcule o juro simples de R$200.000,00 aplicado a 96% a . a . durante 120 dias. 
a) ano comercial (360 dias) – Juros simples ordinário. 
b) ano civil (365 ou 366 dias) – Juros simples exato. 
Solução 
a) C = 200.000,00 , i = 96% a.a., n = 120 dias J = C x i x n = R$64.000,00 
b) J = 200.000 x 96/100 x 120/365 = R$63.123,29 
A HP 12C só calcula corretamente o juros simples se o tempo for considerado em dias e a taxa em anos. 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
200000 CHS PV 
 
 120 n 
 
 96 i 
 
Ordinário f int 64.000,00 
 
Exato R↓ x
>
<y 63.123,29 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 14 
Exemplo 9 
 Calcule os juros simples e o montante referentes a um capital de $80.000,00 investido nas condições 
seguintes: 132% a.a., durante 5 meses. 
Solução 
C = 80.000 n=5 meses i = 132% a.a. = 
12/132
% a.m. = 11% a.m. = 0,11 a.m. 
J = Cin = 80.000 x 0,11 x 5 = 44.000 J = $44.000,00 M = 80000+ 44000 = $124.000,00 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
80000 CHS PV 
 
 150 n 
 
 132 i 
 
Juros f int 4 4.000,00 
 
Montante + 124.000,00 
 
Exemplo 10 
 Que empréstimo poderá ser solicitado na data atual, quando se sabe que ao fim de 6 meses e 17 dias 
deverão ser pagos juros simples de $ 20.467,00 para uma taxa exigida de 34% a.a.? 
Solução: 
J = 20.467 n = 6 meses e 17 dias = 197 dias i = 34% a.a. = 0,34 a.a. 
J = Cin  
78,004.110
186055551,0
467.20
197
360
34,0
467.20
n
360
i
J
in
J
C 


 C = $ 110.004,78 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
0,34 ENTER 360 
 
 ÷ 
 
 197 x 
 
 1/x 20467 
 
Capital x 110.004,78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 15 
 
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL. A OPERAÇÃO DE DESCONTO SIMPLES: 
RACIONAL (POR DENTRO), COMERCIAL (POR FORA) E BANCÁRIO 
 
VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE 
 
 A = valor atual N = compromisso financeiro 
 
 0 = data de hoje n = prazo de vencimento 
 
)in1(
N
A N)in1(A


 
 A = Valor antecipado de qualquer compromisso financeiro que se estabeleça para ser concretizado no 
futuro. 
 
Exemplo 1 (Roberto Pg. 40 Exemplo 1) 
 Quanto se deve pagar na data atual por um título que possui valor de resgate de $100.000,00 e que 
está para vencer daqui a 2 meses e 15 dias? Admitir uma taxa de juros simples em vigor no mercado da 
ordem de 2,8% a.m. 
Solução: 
 
 A = ? N = 100.000,00 
 
 0 n = 2 meses e 15 dias 
 
94,457.93
75
30
028,0
1
000.100
)in1(
N
A 










 
Devemos pagar $ 93.457,94 
 
 
OPERAÇÕES DE DESCONTO SIMPLES 
 É a diferença entre o valor nominal ou resgate (N) de um título de crédito e o seu respectivo valor 
atual apresentado na data de desconto. 
D = N - A 
a) DESCONTO SIMPLES RACIONAL 
 DR
, “DESCONTO VERDADEIRO” OU “DESCONTO POR 
DENTRO”: 
a.1) 
AinA)in1(AANDR 
 
a.2) 
)in1(
Nin
)in1(
N)in1(N
)in1(
N
NANDR







 
b) DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 
 DC
, “DESCONTO BANCÁRIO” OU “DESCONTO POR FORA”: 
nNiDC 
 
i
= taxa de desconto 
 n*i1NnNiNDNAAND CCCC 
 
 
IMPOSTO SOBRE OPERAÇÕES DE CRÉDITO: IOC = Ni’n 
i’ = Taxa de IOC mensal 
 
TAXA DE SERVIÇO OU RECIPROCIDADE: R = Ni’’ 
 i’’ = Taxa de serviço incidente sobre o global da operação. 
 
Assim, 
 
RIOCDN''A
IOCDN'A
DNA
CC
CC
CC



 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 16 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE VALOR ATUAL SIMPLES 
 
Exemplo 1 (Roberto pg. 68 P. Proposto 11) 
 Qual o valor atual (racional) de um título cujo valor de resgate é de $256.000,00 daqui a 7 meses, 
sendo a taxa de juro simples para cálculo de 4% a.m.: 
a. ( ) R$ 200.000,00 
b. ( ) R$ 220.000,00 
c. ( ) R$ 180.000,00 
d. ( ) R$ 190.000,00 
e. ( ) R$ 184.320,00 
Solução: 
)in1(
N
A


 
 
000.200
28,1
000.256
704,01
000.256
A 


 
(a) A = R $ 200.000,00 
 
 
Exemplo 2 (Roberto pg. 88 P. Proposto 17 *5ª edição) 
 Um título com valor de resgate de R$ 120.000,00 é descontado comercialmente a uma taxa de 4% 
a.m. (já incluindo o IOC). Sabendo-se que o valor líquido recebido por seu proprietário foi de $112.800,00 na 
data do desconto, pergunta-se: quantos dias faltavam para o resgate do título? 
Solução: 
*i
N
A
1
n)ni1(NA
C
C


 
5,1
04,0
06,0
04,0
000.120
800.112
1
n 


 
n = 1 mês e 15 dias ou n = 45 dias 
 
 
Exemplo 3 (Roberto pg. 71 P. Proposto 22) 
 Uma pessoa possui 3 títulos aplicados no mercado financeiro, sendo seus valores de resgate: R$ 
110.000,00, R$ 150.000,00 e R$ 200.000,00. As datas de resgates são daqui a 28 dias, 47 dias e 72 dias, 
respectivamente. Qual o valor presente total destes títulos, considerando-se uma taxa de juros simples de 
30% a.a. e o regime de desconto racional? 
Solução: 
)in1(
N
A


 
00,500.107
28360
30,0
1
000.110
A1 








 
64,364.144
47
360
30,0
1
000.150
A2 








 
67,679.188
72
360
30,0
1
000.200
A3 








 
 
53,517.44067,679.18864,364.14400,500.107AAAA 321T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 17 
 
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA DE JURO E TAXA DE DESCONTO 
nVL
D
iniVLDniCJ CeeC


 
Exemplo 01 (Roberto página 74 problema proposto 07 *5ª edição) 
 Um banco comercial realiza as suas operações de desconto comercial simples cobrando uma taxa “i*” 
mensal e retendo um IOC “i’” também mensal, incidentes sobre o valor de resgate dos títulos a descontar. 
Para uma manutenção de saldo médio igual à taxa unitária “t” sobre o valor da operação, solicitam-se: a taxa 
mensal de juro simples auferida pelo banco comercial e a taxa mensal de desconto efetivamente paga pelo 
cliente em operações de “n” meses na capitalização simples. 
Solução: 
i* = taxa de desconto comercial 
i’ = taxa de IOC sobre o valor do resgate de títulos a descontar 
i’’ = taxa unitária de manutenção do saldo médio 
a) para o banco: 
 VL = N[1-(i*+i’)n – i’’] (Roberto página 67 problema resolvido 4) 
 
]''in)'i*i(1[)n*i1(
]''in)'i*i(1[N)n*i1(N
)n*i1(Nn*NiNDNVLVLND CC



 
 
  
i
1
*i
i
n


 (Roberto página 64 exemplo 3) 
 
]''in)'i*i(1[
*i
ei
*i
i*i
i*i i ''in)'i*i(1[1


 
b) para o cliente: 
 VL = N[1-(i*+i’)n – i’’] (Roberto página 67 problema resolvido 4) 
 
]''in)'i*i(1[)'i*i(n1(
]''in)'i*i(1[N)'i*i(n1(N
n'Nin*NiNIOCDNVLIOCVLND CC



 
 
  
i
1
'i*i
i
n


 (Roberto página 64 exemplo 3; acrescentando a taxa de IOC) 
 
 
 
 
 
]''in)'i*i(1[
'i*i
i ]''in)'i*i(1[
i
'i*i
i
i
1
]''in)'i*i(1[
i
'i*i
'i*i
'i*ii
1
]''in)'i*i(1['i*i
i
1
1
e
'i*i
i












 
 
 
Exemplo 02 (Roberto página 74 problema proposto 08 *5ª edição) Uma firma de construção descontou uma 
nota promissória de valor nominal igual a $ 1.200.000,00, com prazo de vencimento de 93 dias, à taxa de 
desconto comercial simples de 3,6% a.m. e mais um IOC de 0,123% a.m. incidente sobre o valor nominal do 
título. Sabendo-se que foi exigida da firma a manutenção de um saldo médio de 25% (sobre o valor do título) 
durante o período de vencimento, pedem-se: 
a) Desconto comercial e IOC retidos 
b) Reciprocidade exigida e valor líquido liberado 
c) Taxas efetivas de desconto: c.1) Para a firma c.2) Para o banco comercial 
Solução: 
N = 1.200.000 n = 93 dias i* = 3,6% a.m. i’ = 0,123% a.m. i” = 25% 
a) Desconto comercial e IOC 
920.13393
30
036,0
000.200.1n*NiDC 
 
60,575.493
30
00123,0
000.200.1n'NiIOC 
 
b) Reciprocidade exigida (R) e valor líquido liberado 
R = N 

i” = 1.200.000  0,25 = 300.000 
VL = N - 
CD
 - IOC – R = 1.200.000 - 133.920 - 4.575,60 - 300.000 = 761.504,40 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 18 
c1) Taxa efetiva de desconto para firma 
  
a.m. %87,5.d.a 0019556,0
634587,0
001241,0
25,093
30
00123,0
30
036,0
1
30
00123,0
30
036,0
''in'i*i1
'i*i
i e 


















Fórmula alternativa: 
.m.a %87,5.m.a0587,0
93
30
40,504.761
60,575.4920.133
nVL
IOCD
i Ce 




 




 
c2) Taxa efetiva de desconto para o banco 
  
a.m. %67,5d.a001891,0
634587,0
0012,0
25,093
30
00123,0
30
036,0
1
30
036,0
''in'i*i1
*i
i e 















 
Fórmula alternativa: 
a.m.%67,5.m.a0567,0
93
30
40,504.761
920.133
nVL
D
i Ce 








 
 
Exemplo 03 (Roberto página 75 exemplo *5ª edição) 
 Um título com valor nominal de $ 100.000 é descontado comercialmente a uma taxa de 4% a.m. (já 
incluindo o IOC), para um prazo de vencimento de 47 dias. Nessas condições determinar a taxa efetiva de 
juros simples implícita (para o cliente) na operação de desconto. 
Solução: 
N = $ 100.000 i* + i’ = 4% a.m. = 0,04
 
a.m. n = 47 dias 
33,733.9367,266.6000.100)IOCD(NVL
67,266.6
30
47
04,0000.100n)'i*i(NIOCD
C
C


 
.m.a%27,4
30
47
33,733.93
67,266.6
nVL
IOCD
i Ce 





 
 
Exemplo 04 (Roberto página 86 problema proposto 7 *5ª edição) 
 Um Banco Comercial cobra, em operações de desconto simples, a taxa de 2,9% a.m. (incluindo o 
IOC). Exige uma reciprocidade de 30% sobre o valor nominal a descontar. Pede-se: a taxa efetiva cobrada 
numa operação de 90 dias. 
Solução: 
(i* + i’) = 0,029 a.m. i” =0,30 n = 3 meses 
]''in)'i*i(1[
)'i*i(
i e



 (Roberto página 74 problema proposto 7) 
a.t. %19,14.m.a 0473,0
613,0
029,0
]30,03029,01[
029,0
ie 


 
 
Exemplo 05 (Roberto página 89 problema proposto 19 *5ª edição) 
 Um empréstimo de curto prazo foi solicitado a um banco comercial na condição de pagar juros 
simples antecipados de 6% a.m. e um IOC de 0,123% a.m. (ambos descontados no ato da liberação), com 
este último incidindo sobre o valor efetivamente financiado: valor financiado = Emp. Solicitado – juros 
antecipados. Com estes dados e admitindo que o empréstimo solicitado tenha sido $ 1.000.000,00 que deverá 
ser retornado em igual valor ao fim de 60 dias, pedem-se: 
a) Juros antecipados retidos e IOC. b) Valor líquido efetivamente liberado. c) Taxa efetiva. 
Solução: 
i = 6% a.m. IOC = 0,123% a.m. = 0,00123 a.m. VF = N – J N = 1.000.000 n = 2 meses 
a) J = Nin = 1.000.000  0,06  2 = 120.000 
 IOC = (N - J) 

i’ 

n = (1.000.000 – 120.000) 

0,00123 

2 = 2.164,80 
b) VL = N – J – IOC = 1.000.000 – 120.000 – 2.164,80 = 877.835,20 
c) 
.m.a 0696,0
40,670.755.1
80,164.122
220,835.877
80,164.2000.120
nVL
IOCJ
ie 






 
ie 
 6,96% a.m. 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 19 
 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 
Exemplo 1 (Roberto pg. 54 P. Proposto 3 *5ª edição) 
 Por um empréstimo de curtíssimo prazo e isento de imposto de renda, pagou-se $170.085,00 de juros 
simples. Sabendo-se que o capital emprestado foi de $ 15,7 milhões durante 13 dias, determinar as taxas 
mensal e anual de juros simples. 
Solução: 
J = 170.085 C=15.700.000 n=13 dias J=Cin  i = J/cn 
 i = 170.085/(15.700.000

13) = 0,0008333 a.d. 
iMENSAL = 0,0008333 30 = 0,025 a.m. = 2,5% a.m. iANUAL = 0,025(12) = 0,30 a.a. = 30% a.a. 
 
 
 
Exemplo 02 (Roberto página 72 problema proposto 01 *5ª edição) 
 A diferença entre o desconto comercial e o desconto racional de uma duplicata é de $1.633,08, para 
um prazo de vencimento igual a 35 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 3,3% a.m. e que a taxa de 
juro simples empregada foi de 2,4%a.m., pedem-se: 
a) Valor nominal da duplicata 
b) Valor atual comercial 
c) Valor atual racional 
Solução: 
08,633.1DD RC 
 n = 35 dias i* = 3,3% a.m. i = 2,4%a.m. 
a) 
08,633.1
)in1(
Nin
n*NiDD RC 


 
















)in1(
in
n*i
08,633.1
N08,633.1
)in1(
in
n*iN
 
 
000.145
024,01
024,0
033,0
08,633.1
N
01126265,0
08,1633
02723735,00385,0
08,1633
30
35
30
35
30
35














 
N =$145.000,00 
 
b) 
  50,417.1399615,0000.145033,01000.145)n*i1(NA
30
35
C 
 
 
c) 
58,050.141A
028,1
000.145
30
35024,01
000.145
)in1(
N
R 




 

 
 
 
Exemplo 03 (Roberto página 74 problema proposto 09 *5ª edição) 
 Para uma empresa que já mantém saldo médio suficiente com um banco comercial, mediante outras 
operações vinculadas à sua conta corrente, foi efetuada a seguinte operação de desconto comercial: título 
com valor de resgate de $ 850.000,00; taxa de desconto utilizada de 3,3% a.m.; IOC retido de 0,123% a.m. e 
um valor atual comercial liberado de R$ 812.175,85. Nestas condições, pede-se o prazo de vencimento para 
o título. 
Solução: 
 N = 850.000 i* = 3,3 % a.m. i’ = 0,123% a.m. A = 812.175,85 
 
n00123,0000.850n'NiIOC
n033,0000.850n*NiD
IOCDNA
C
C
'
Ç



 
 
dias 39 30 1,3 meses 3,1
50,095.29
15,824.37
n
n)00123,0033,0(000.850000.85085,175.812
n00123,0000.850n033,0000.850000.85085,175.812






 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 20 
Exemplo 04 (Roberto pg. 68 Problema proposto 13) 
 Uma mercadoria é oferecida por $12.000,00 à vista ou na condição a prazo: 20% do valor à vista 
como entrada e mais um pagamento de $ 12.480,00 após 6 meses. Qual é a taxa de juros simples anual 
cobrada? 
Solução: 
A=12.000 
0,20

12.000 = 2400 Entrada 
0,80

12.000 = 9600 Valor atual do que vai ser pago à prazo 
A
N
in i
i a a

 
 
 


 
( ) ( , ) ,
, . .
1
9600
12480
1 0 5
12480 9600
0 5 9600
2880
4800
0 6
 i=60%a.a. 
 
 
 
 
Exemplo 05 (Roberto pg. 74 Problema proposto 35) 
 A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito pagável daqui a 4 meses, 
à taxa de 6% a.m., é igual a $ 2.100,00. Pedem-se o valor nominal, o desconto comercial e o racional. 
Solução: 
n = 4 meses i = 
i
=6% a.m. 
DC Ni n 
 
DR
Nin
in

( )1
 
DC DR
Ni n
Nin
in
N i n
in
in
N
i n
in
in
 
 


 






 

 








 

 






 
2100
1
2100
1
2100
2100
1
2100
0 06 4
0 06 4
1 0 06 4
2100
0 046452643
45207 33
( )
( )
( )
,
,
( , )
,
. , 
 
 
DC Ni n     45207 33 0 06 4 10850 00. , , . ,
 
 
00,750.8
24,1
7592,849.10
)406,01(
406,033,207.45
)in1(
Nin
DR 





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 21 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA: CÁLCULO DE JUROS E MONTANTES. CONVENÇÃO 
LINEAR E EXPONENCIAL QUANDO NÃO É FRACIONÁRIO 
 
 No regime de capitalização composta ou exponencial os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo do juro do período seguinte. Subentende-se por capitalização, o 
momento em que os juros são incorporados ao principal. Essa é a diferença principal em relação à 
capitalização simples, em que não há capitalização, pois apenas o capital inicial rende juros. 
 
JUROS COMPOSTOS 
 Juros compostos à taxa variável: 
    







1i1CCi1CCMJ
n
1t
t
n
1t
t 
 
 Juros compostos à taxa fixa: 
J M C C i n C    ( )1
 
 
MONTANTE, CAPITAL ACUMULADO OU VALOR FUTURO 
 À taxa variável: 
 C M1 M2 M3 ... Mn-1 Mn 
 i1 i2 i3 ... in 
 
 0 1 2 3 ... (n-1) n 
Data 1: M1 = C +C  i1 = C(1+i1) 
Data 2: M2 = M1 + M1  i2 = M1(1+i2) = C(1+i1)(1+i2) 
 

 
Data n: Mn = C(1+i1)(1+i2) ... (1+in) 
 Generalizando, 
M = C(1+i1)(1+i2) ... (1+in) ou 



n
1t
t )i1(CM
 
 À taxa fixa: Para: i1 = i2 = ... in = i, teremos: M = C(1+i)
n
 
 
Exemplo 1 (Roberto pg 82 Problema Resolvido 2) 
 Se uma caderneta de poupança fornece durante 12 meses taxas trimestrais de rentabilidade 
(incluindo juros e “seguro contra a inflação”) de, respectivamente, 3,7%, 4,2%, 2,8% e 5,2%, que capital 
acumulado haverá quando são depositados $ 1.000.000,00 no início do período citado? 
Solução: 
M= 



4
1t
t )i1(C
 = 1.000.000(1,037)(1,042)(1,028)(1,052) =1.000.000

1,16857161607= $ 1.168.571,61 
 
Exemplo 2 
 Calcular os montantes e os respectivos juros compostos produzidos por $ 100.000,00 aplicados pelo 
prazo de 12 meses a taxa de 2,5% a.m. 
Solução: 
M = C(1+i)
n
 = 100.000(1+0,025)
12
 = 100.000(1,3448888) 
Montante: M = $ 134.488,88 Juros: J = M – C = $34.488,88 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
100000 CHS PV 
 
 12 n 
 
 2,5 i 
 
Montante FV 134.488,88 
 
 RCL PV 
 
Juros + 34.488,88 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 22 
VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE NA CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 Quando a taxa for variável: 
 
 A ... N 
 i1 i2 i3 ... 
 
 0 1 2 3 ... n 




n
1t
t )i1(
N
A
 
 
 Quando a taxa for constante: 
 A ... N 
 i i i ... 
 
 0 1 2 3 ... n 
A
N
i n
N i n

  
( )
( )
1
1
 
 
 
Exemplo 01 (Laureano Página 110 Exercício Resolvido R8) 
 A fim de substituir um título de $ 40.000,00 para 30 dias, uma pessoa entrega ao credor, hoje, a 
importância de $10.000,00 e um título com vencimento para 90 dias. Sendo de 5% a.m. a taxa de desconto 
composto utilizada nessa operação, calcular o valor nominal do novo título. 
Solução: 
 A condição de substituição de títulos é que a soma dos valores atuais das obrigações assumidas seja 
igual à soma dos valores atuais das novas obrigações. Assim, temos: 
32.534,27 N 53,095.28
1580,1
N
23,095.38
1580,1
N
10000
)05,01(
40000
)05,01(
N
10000
13





 
 
Exemplo 02 (Caribé Página 164 Exercício Resolvido R21) 
 Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 60 
dias, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se que o 
banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% a.m. e o critério do desconto 
racional? 
Solução: 
n)i1(AN 
 
00,075.1102950,1000.85)09,01(85000N 25  
 
 
Exemplo 03 
 Calcular o montante, ao final de 5 anos, de um capital de $ 100.000,00 aplicado à taxa de juros 
compostos de 8% a.t. 
Solução: 
n = 5 anos = 20 trimestres C = 100.000 i = 8% a.t. 
M = C(1+i)
n
 = 100.000(1+0,08)
20
 = 100.000(4,660957144) = $ 466.095,71 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
100000 CHS PV 
 
 20 n 
 
 8 i 
 
Montante FV 466.095,71 
 
N = Compromisso financeiro 
A = Valor atual 
N = Compromisso financeiro 
A = Valor atual 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 23 
VPL 
 O Valor Presente Líquido representa o retorno líquido atualizado gerado pelo projeto. É a soma 
algébrica dos valores do fluxo de um projeto, atualizados à taxa ou taxas adequadas de desconto. 
 
  










n
1t
t
tt
i1
CR
IVPL
 
 
 
TIR 
 A TIR é a taxa que iguala a zero o valor presente líquido de um projeto ou, em outras palavras, iguala 
o valor presente dos benefícios de um projeto ao valor presente dos seus custos. Quanto maior a TIR, maior a 
atratividade do projeto. 
 
 A TIR é um dos principais instrumentos na determinação do mérito do projeto, devido principalmente 
a duas grandes vantagens: 
1. Não apresenta as dificuldadesdos demais critérios de atualização, que exigem juízos sobre variáveis 
externas aos dados do projeto, como é o caso das taxas de descontos. 
2. Pela semelhança entre o conceito da taxa interna de retorno e o conceito tradicional de rentabilidade 
de um investimento. Assim, uma taxa interna de 10% de um projeto pode ser facilmente comparada 
com muitos outros tipos de rentabilidade, tais como a rentabilidade de 10% em títulos, rentabilidade 
de 6% em depósitos de poupança, etc. 
 
 Entretanto, a TIR apresenta algumas desvantagens que não lhe permitem ser o instrumento absoluto 
na seleção e classificação de projetos, uma vez que: 
1. No caso de projetos com grandes diferenças entre os valores dos investimentos, podem ocorrer 
contradições entre os critérios de TIR e de VAL. Isso ocorre porque um pequeno projeto (baixo 
investimento) pode apresentar uma alta taxa interna de retorno, mas ainda assim ter um reduzido 
valor atual. 
2. A expressão matemática que permite a determinação da TIR leva em certos casos a soluções 
múltiplas e sem sentido, o que não é compatível com o objetivo de definir o mérito e classificar o 
projeto. 
 
 Para análise entre alternativas de um mesmo projeto e entre projetos sem grandes diferenças de 
investimento, a TIR é geralmente aceita como o melhor instrumento na determinação do mérito comparativo 
de projetos. 
 
 Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes momentos, é possível concluir que o 
método da TIR, ao levar em conta o valor do dinheiro no tempo, expressa na realidade a rentabilidade, se for 
uma aplicação, ou custo, no caso de um empréstimo ou financiamento, do fluxo de caixa. A rentabilidade ou 
custo é indicado em termos de uma taxa de juros equivalente periódica. 
 
 Por exemplo, admita um empréstimo de $30.000,00 a ser liquidado por meio de dois pagamentos 
mensais e sucessivos de $ 15.500,00 cada. O custo desta operação, calculado pelo método da taxa de 
retorno, atinge: 
   2i1
00,500.15
i1
00,500.15
00,000.30




 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
30000 CHS 
 
 g CFo 
 
15500 g CFj 
 
15500 g CFj 
 
Taxa interna de retorno F IRR 2,2141 
 
 O custo obtido de 2,21% a.m. representa, diante das características enunciadas do método da TIR, a 
taxa de juros que iguala, em determinada data, a entrada de caixa ($30.000,00 – recebimento do empréstimo) 
com as saídas de caixa ($ 15.500,00 – valor de cada prestação desembolsada). 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 24 
 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
Exemplo 01 
 Qual é a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o 
montante de $ 45.666,57, sendo $ 25.666,57 referente a juros? 
Solução: 
M = 45.666,57 J = 25.666,57 n = 2 anos ou 24 meses 
 ni1CM 
 M = C + J 
45.666,57 = C + 25.666,57  C = 20.000,00 
  035,01
20000
57,45666
ii12000057,45666 2424 
 Portanto, i = 3,5% a. m. 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
45666,57 CHS FV 
 
 24 n 
 
 20000 PV 
 
Taxa i 3,5 
 
Exemplo 02 
 Que valor máximo uma pessoa estaria disposta a desembolsar na data presente por conta de dois 
compromissos financeiros e nos valores nominais de $ 100.000,00 e $ 120.000,00, nas datas respectivas de 6 
e 12 meses? Admitir taxa mensal de 
4
1
5
%a.m. 
Solução: 
n1 = 6 meses n2 = 12 meses N1 = 100.000 N2 = 120.000 i = 
5 1
4
%
a.m.=5,25 a.m. 
     
89,13850455,6494034,564.73
0525,01
000.120
0525,01
000.100
i1
N
A
126n







 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
100000 CHS FV 
 
 6 n 
 
 5,25 i 
 
 PV 73564,34 
 
 STO 0 
 
120000 CHS FV 
 
 12 n 
 
 PV 64940,55 
 
 ENTER 
 
 RCL 0 
 
 + 138.504,89 
 
Exemplo 03 
 Quanto se deve depositar na data atual para se ter acumulados $500.000,00 ao fim de 2 anos e 6 
meses, quando se sabe que no mercado há uma taxa corrente de juros compostos de 10% a.t.? 
Solução: 
n = 2 anos e 6 meses = 10 trimestres M = 500.000 i = 10% a.t. 
M = C(1+i)
n
  C = M/(1+i)n =500.000/(1+0,10)10 = 500.000/2,5937424666 = $ 192.771,64 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 25 
Usando HP12C 
 
 f FIN 
 
500000 CHS FV 
 
 10 n 
 
 10 i 
 
Capital PV 192.771,64 
 
 
Exemplo 04 
 Nos dois fluxos de caixa abaixo, calcule o valor atual líquido, a taxa interna de retorno, tempo de 
retorno dos investimentos e a razão benefícios/custos. Adicionalmente, indique qual dos projetos é mais 
interessante para o investidor. Considerar uma taxa de juros para o mercado financeiro de 20% ao período. 
PROJETO P E R Í O D O S 
0 1 2 3 4 5 
A -1.000 300 400 400 350 500 
B -1.200 500 500 500 500 500 
Solução: 
PROJETO A 
i = 20% a.p. 
 
 300 400 400 350 500 
 
 0 1 2 3 4 5 
 1000 
 
Valor Atual Líquido (VAL) 
 
 

 










n
1t
t
tt
i1
CR
IVAL
 
         
99,12894,20079,16848,23178,2772501000VAL
20,01
500
20,01
350
20,01
400
20,01
400
20,01
300
1000VAL
54321










 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
1000 CHS 
 
 g CFo 
 
300 g CFi 
 
400 g CFi 
 
400 g CFi 
 
350 g CFi 
 
500 g CFi 
 
 20 i 
 
Valor atual líquido F NPV 128,9866 
 
Taxa interna de retorno F IRR 25,3648 
 
Tempo de Retorno do Investimento Aproximado (TRA) 
390
5
1950
5
500350400400300
LmA 


 
p5641,2
390
1000
Lm
I
TR
A
A 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 26 
Tempo de Retorno do Investimento Exato (TRE) 
80,225
5
99,1128
)20,01(
500
)20,01(
350
)20,01(
400
)20,01(
400
)20,01(
300
5
1
Lm
54321E



















 
p4287,4
80,225
1000
Lm
I
TR
E
E 
 
Razão Benefícios/Custos (B/C) 
12899,1
1000
99,1128
I
)i1(
L
C/B
n
1t
t
t




 
PROJETO B 
i = 20% a.p. 
 
 500 500 500 500 500 
 
 
 0 1 2 3 4 5 
 1200 
 
Valor Atual Líquido (VAL) 
 
 
31,29531,14951200
)20,01(20,0
1)20,01(
5001200
i1
CR
IVAL
5
5n
1t
t
tt 





















 

 
 
 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
1200 CHS 
 
 g CFo 
 
500 g CFi 
 
5 g Nj 
 
 20 I 
 
Valor atual líquido F NPV 295,3061 
 
Taxa interna de retorno F IRR 30,7720 
 
Tempo de Retorno Aproximado (TRA) 
500LmA 
 
p4,2
500
1200
Lm
I
TR
A
A 
 
Tempo de Retorno Exato (TRE) 
06,299
5
31,1495
)20,01(20,0
1)20,01(
500
5
1
Lm
5
5
E 











 
p0126,406,299
1200
Lm
I
TR
E
E 
 
Razão Benefícios/Custos (B/C): 
2461,1
1200
31,1495
I
)i1(
L
C/B
n
1t
t
t




 
 
TABELA RESUMO 
PROJETO VAL TIR TRA TRE B/C 
A 128,99 25,3648%a.p. 2,5641p 4,4287p 1,12899 
B 295,31 30,7720%a.p. 2,4000p 4,0126p 1,24610 
Projeto Escolhido B B B B B 
 
 Todos os resultados apontam para o projeto B como sendo o melhor investimento. 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 27 
 
TAXAS EQUIVALENTES E EFETIVAS. INFLUÊNCIA DA INFLAÇÃO: TAXA REAL E 
TAXA APARENTE 
 
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA DE JUROS 
 Capitalização simples: 
mii m 
 ou 
m
i
im 
 
 
 C i MA 
 
 
 
 0 1 
 
i = Taxa de juros simples correspondente a um período financeiro. 
 
 C i MB 
 im im ... im 
 
 
0 1 
 m subperíodos 
im = Taxa de juros simples correspondente a um subperíodo (1/m) do período financeiro. 
 
 
 Capitalização composta: 
 
  1i1i mm 
 ou 
  1i1i m1m 
 
 
 Igualdade entre os índices: 
           12m6b4t3q2sa i1i1i1i1i1i1 
 etc. 
 
Exemplo 1 (Roberto Página 104 Problema Proposto 3) 
 Que taxa trimestral de rentabilidade é equivalente à taxa de 80% a.a.? 
Solução: 
 
  1i1i m/1m 
 
 
    a.t. %83,151583,0180,011i1i 4/14/1at 
 
 
 
TAXA EFETIVA 
 É aquela cujo período de capitalização corresponde ao próprio período da taxa. Por exemplo, 10% 
a.m. com capitalização mensal. 
 
 
TAXA NOMINAL 
 É aquela em que o período de capitalização difere do período apresentado pela própria taxa. Por 
exemplo, 20% a.t. com capitalização mensal. 
 
 
EQUIVALÊNCIA ENTRE A TAXA EFETIVA E A TAXA NOMINAL 
 Seja i = taxa efetiva de juros e j = taxa nominal de juros: 
 
1
m
j
1i
m







 ou 
  1i1mj m1 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 28 
EXEMPLOS DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS DE JUROS E PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
Exemplo 01 (Roberto Página 137 Problema Proposto 10 * 5ª edição) 
 Sabendo-se que determinado título oferece rentabilidade de 40% a.a. com capitalização trimestral, pede-se 
determinar um outro título que ofereça uma rentabilidade equivalente com as taxas específicas a seguir: 
a) Taxa anual com capitalização semestral. 
b) Taxa anual com capitalização mensal. 
c) Taxa trimestral. 
d) Taxa trimestral com capitalização quinzenal. 
Solução: 
 j = 40% a.a. com capitalização trimestral  
10
4
40
it 
% a.t. 
 
a) 
  1i1i mm 
 
4641,01)10,01(i 4a 
 
 
  1i1mj m/1     42,014641,012j 2/1  
 
 j= 42% a.a. com capitalização semestral. 
 
b) 
  1i1mj m/1     38736,014641,0112j 12/1  
 
 j= 38,736% a.a. com capitalização mensal. 
 
c) 
m
j
im 
 
10,0
4
40,0
i t 
 
ti
 = 10% a.t. 
 
d) 
  1i1mj m/1     09607,0110,016j 6/1  
 
j= 9,607% a.t. com capitalização quinzenal. 
 
 
 
Exemplo 02 (Roberto Página 106 Problema Proposto 14) 
 Determinar uma taxa anual de juros simples equivalente à taxa de 48% a.a. com capitalização 
trimestral, durante o prazo de 2 anos. 
Solução: 
 j = 48% a.a. com capitalização trimestral n = 2 anos = 8 trimestres 
 
a.a. %80,73i
7380,0
2
476,1
2
1
4
48,0
1
i
8










 
 
 
 
 
TAXA INSTANTÂNEA DE RENDIMENTOS 
 A partir do conceito de taxa nominal de juros, em que o período de capitalização é independente e 
difere do período expresso pela taxa, podemos imaginar determinada variável (financeira, econômica, social, 
etc.) assumindo valores ao longo do tempo a uma taxa de incremento com capitalização bastante diminuta, 
ou com período de capitalização infinitesimal. 
 
 
nCeM 
 

 = Taxa instantânea 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 29 
EXEMPLOS DE TAXA INSTANTÂNEA DE RENDIMENTOS 
 
Exemplo 01 
 Em quanto tempo a população brasileira duplicará, admitindo um crescimento à taxa instantânea 

 = 
3% a.a.? 
Solução: 
  105,23
03,0
69314,0
03,0
)2ln(
neln)2ln(
CeC2
CeM
n03,0
n03,0
n


 
 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
2 g ln 
 
 0,03 ÷ 23,105 
 
23 anos 23 - 
 
1 mês 360 x 38 
 
8 dias 30 - 8 
23 anos + 0,105

360 =23 anos + 38 dias. Portanto, n = 23 anos, 1 mês e 8 dias. 
 
Exemplo 02 
 Em quanto tempo a população brasileira triplicará, admitindo um crescimento à taxa instantânea de 
2% a .a .? 
Solução: 
anos 354,9306144=
0,02
91,09861228
=
0,02
3ln 
=
C
M
ln
 =n 
 
C
M
ln = lne
 
C
M
 = e 
 Ce = M 
n
n
n















54,93061443

360 = 19775 dias 
Usando HP12C 
 
 f REG 
 
3 g ln 
 
 0,02 ÷ 54,913061443 
 
54 anos 54 - 
 
11 mês 360 x 335 
 
5 dias 330 - 5 
 
 19775 
-19440 54 anos 
 335 
- 330 11 meses 
 5 5 dias 
 
 
 
 
 
 
n = 54 anos, 11 meses e 5 
dias 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 30 
 
DESCONTO COMPOSTO: RACIONAL E COMERCIAL 
 
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (DR) 
 
 DR = N – A 
 
N = Valor nominal ou valor de resgate do título acumulado através da capitalização composta. 
A = Valor atual (racional) ou valor presente do título na data da operação de desconto. 
 
 Em função de N: 












nnR )i1(
1
1N
)i1(
N
NAND
 
 
 Em função de A: 
 1)i1(AA)i1(AAND nnR 
 
 
 
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (DC) 
    






n*n*
CC i11Ni1NNAND
 
AC = Valor atual comercial. 
i* = Taxa de desconto composto comercial. 
n = Número de períodos financeiros 
 
 
Exemplo 1 (Walter Página 92 Problema Proposto 7) 
 Qual o desconto bancário (comercial) de um título de R$ 500,00, exigível em 3 anos, a 20 % a.a. 
capitalizados semestralmente? 
Solução: 
 
   28,234$R468559,0500
2
2,0
11500*i11ND
6
n
c 















 
 
Exemplo 2 (Roberto Página 143 Problema Proposto 35 * 5ª edição) 
 Uma pessoa adquire um apartamento a prazo na condição seguinte: 500 mil de entrada; $300 mil a 
vencer em 3 meses e $200 mil a vencer em 6 meses. Por outro lado, ao adquirir o imóvel pretende vendê-lo 
ao final de 2 anos após a compra, quando estão estimadas para os mercados financeiro e imobiliário taxas de 
3% a.m. e 20% a.a., respectivamente, para remuneração do capital financeiro e investimentos imobiliários. 
 Com estes dados, determinar o preço mínimo de oferta que o proprietário deverá anunciar para o 
referido apartamento, sabendo-se que ele desejará ganhar acumuladamente os rendimentos de ambos os 
mercados. 
Solução: 
 500.000 300.000 200.000 
 3 meses 6 meses 
00,032.679.2P
032.679.2581.447839.767612.463.1M
581.447)015309,01.()03,01(000.200M
839.767)015309,01.()03,01(000.300M
612.463.1)015309,01.()03,01(000.500M
.m.a%5309,1i.a.a%20i
015309,0120,1i)i1()20,01(
)i1()i1(
min
1818
3
2121
2
2424
1
m
12
m
12
m
12
ma







 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 31 
 
EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA 
 
 
DEFINIÇÃO 
 Ao estudar juros e descontos simples, foi verificado que dois ou mais capitais, realizáveis em datas 
distintas, são equivalentes se, na época, seus valores atuais forem iguais. 
 
 Por outro lado, na capitalização composta (juros compostos e desconto composto real), a 
equivalência de capitais diferidos pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, pois os 
juros compostos são equivalentes aos descontos compostos. 
 
 
 
EXEMPLOS DE EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA 
 
Exemplo 01 (Samanez Página 27 Exemplo 2.17) 
 Considerando juros efetivos de 5% a.m., em que data deve ser feito um pagamento único de 
$160.000, de modo que liquide uma dívida pela qual o devedor irá pagar três parcelas, a saber: $50.000,00 no 
fim de 6 meses, $40.000 no fim de 10 meses e $80.000 no fim de 12 meses. 
Solução: 
 Valor presente do principal devido 
29,414.106
)05,01(
80000
)05,01(
40000
)05,01(
50000
C
12106







 
 
 Cálculo do pagamento único 
5036,1)05,1()05,01(29,106414160000
)i1(CM
nn
n


 
 
 Aplicando logaritmos: 
meses 3595,8
)05,1ln(
)5036,1ln(
n 
  8 meses e 11 dias 
 
 
 
Exemplo 02 (Roberto Página 107 Problema Proposto 18) 
 Um empresário possui dois títulos com valores de resgate de $50.000,00 e $70.000,00, vencíveis a 3 
e 7 meses, respectivamente, a partir da data presente. Sem liquidez para quitar os débitos em suas datas, 
negocia com a Instituição bancária - que estipula juros compostos de 3% a.m. - para substituição das dívidas 
por duas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada débito nesta nova 
situação. 
Solução: 
 VR1=50.000 VR2= 70.000 i=3% a.m. 
3 meses 7 meses 
9 meses 12 meses 
76,950.69=X X4677966,149,673.102
A
49,673.10241,916.5608,757.45A
41,916.56A 08,757.45A
)i1(AN
1,4677966
102.673,49
)03,01(
X
)03,01(
X
)03,01(
000.70
2
)03,01(
000.50
1
n
129
73







 
Cada prestação será de $ 69.950,76 
 
 
 
 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 32 
 
Exemplo 03 (Roberto Página 145 Problema Proposto 39 * 5ª edição) 
 Que financiamento corresponde a uma amortização representada pelas 4 (quatro) prestações abaixo, 
quando é exigida uma taxa efetiva de 43% a.a.? 
Valor da Prestação Dias da data-base 
$ 50.000,00 32 dias 
$ 100.000,00 70 dias 
$ 300.000,00 90 dias 
$ 150.000,00 122 dias 
Solução: 
 43% a.a. 
 
83,932.548A
00,877.13290,338.27458,281.9335,435.48A
A
000994,01)43,01(i
)i1()i1(
122907032 )000994,01(
000.150
)000994,01(
000.300
)000994,01(
000.100
)000994,01(
000.50
360
m
360
ma





 
 
 
 
Exemplo 04 (Roberto Página 141 Problema Proposto 24 * 5ª edição) 
 Na aquisição de um terreno estão sendo analisadas duas propostas alternativas: 
Proposta X: Uma entrada de $50.000,00; um pagamento de $30.000,00 ao final de 6 meses e um outro de 
$20.000,00 daqui a 12 meses 
Proposta Y: Uma entrada de $75.000,00 e um pagamento único de 18.000,00 ao final de 12 meses. 
 Considerando uma taxa de juros compostos de 4%a.m. durante todo o período de análise, qual a 
melhor proposta para um comprador? 
Solução: 
 X: entrada $ 50.000 $30.000 após 6 meses $20.000 após 12 meses 
 Y: entrada $ 75.000 $18.000 após 12 meses 
 i=4% a.m. 
 
 
75,242.8675,242.11000.75000.75A
38,201.8694,491.1244,709.23000.50000.50A
12
126
)04,01(
000.18
Y
)04,01(
000.20
)04,01(
000.30
X



 
 Como o valor atual de X é menor do que o de Y, a proposta de X é melhor. 
 
Exemplo 05 (Roberto Página 142 Problema Proposto 25 * 5ª edição) 
 Para a questão anterior (Problema 24), qual a taxa de juros compostos que faz com que as duas 
propostas sejam equivalentes, ou o que vale a dizer: tornam os dois valores idênticos? 
Solução: 
  
 3,9727%ou 039727,01039727,1i
i1
79156,0)i1(
79156,0XX
025X302X
: temos1000,por equacao a dividindo e X)i1( Fazendo
0000.25)i1(000.30i1000.2
0000.50000.75)i1(000.18)i1(000.20)i1(000.03
000.75000.50
6
2
12126
79156,0
1
6
2x2
16624,3330
2x2
16624,3330
2x2
)25(x2x4)30(30
2
6
626
12126
)i1(
000.18
)i1(
000.20
)i1(
000.30















 
 O que nos faz concluir que qualquer taxa positiva abaixo desta taxa encontrada tornará a proposta Y 
mais atrativa para o cliente. 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 33 
 
SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS: INTRODUÇÃO. 
MONTANTE (FV) 
 
RENDAS CERTAS DE TERMOS CONSTANTES 
Conceito 
 Essas séries de capitais podem representar na prática uma seqüência de pagamentos para a 
constituição de um certo fundo de poupança, pagamento de dívidas, contribuições previdenciárias, 
remunerações ao trabalho ou ao capital etc. 
 
Aplicações 
 Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável (sujeito à 
variação da TR) e periódica. Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de 
termo constante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica. Já a caderneta de poupança pode se 
considerar como um caso de renda certa perpétua (pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para 
aplicação ), de termo variável e periódica. 
 
 As rendas certas de termos constantes ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser 
divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas. 
 
 As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na 
origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito. 
 
 Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, por exemplo, 
financiamentos com pagamento à vista. 
 
 Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação 
do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo “compre hoje e comece a 
pagar daqui a x dias”. Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período 
após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se for no final do primeiro período após o 
término da carência, chama-se série diferida postecipada. 
 
 Séries Uniformes Postecipadas 
Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada período: 
 PMT (Valor dos termos da série) 
 
 
 
 0 1 2 3 4.........................n (número de termos da série) 
 
 Séries Uniformes Antecipadas 
Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período: 
 PMT 
 
 
 
 0 1 2 3 4............................n-1 
 
 Séries Uniformes Diferidas Antecipadas 
 PMT 
 
 carência 
 
 0 k k+1 k+2 k+3..........................k+n 
 
 Séries Uniformes Diferidas Postecipada 
 PMT 
 
 carência 
 
 0 k k+1 k+2 k+3..................... k+n+1 
 Matemática Comercial e Financeira ♦ Página 34 
MONTANTE DAS RENDAS CERTAS, TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES