FenomenosdeTransporte.AULA2

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Fenômenos de Transporte I 
 
 
Aula 02 
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez 
1 
3. Estática dos fluidos 
3.1- Introdução 
 
Por definição, um fluido deve deformar-se continuamente quando 
uma tensão tangencial de qualquer magnitude lhe é aplicada. A 
ausência de movimento relativo (e por conseguinte, de deformação 
angular), implica a ausência de tensões de cisalhamento. 
 
Na estática dos fluidos, a velocidade relativa entre as partículas do 
fluido é nula, ou seja, não há gradiente de velocidade. Uma vez que 
não há movimento relativo dentro do fluido, o seu elemento não se 
deforma. 
 
Portanto, em fluidos em equilíbrio estático atuam somente forças 
de campo gravitacional e normais e não há esforços tangenciais. 
2 
3.2- Equação básica da estática dos fluidos 
 
Em um fluido em repouso (estático), submetido ao campo 
gravitacional, as únicas forças que atuam sobre um elemento fluido 
são o peso e as forças devidas às pressões estáticas p = p(x, y, z). 
 
Consideremos um elemento de volume xyz, com faces paralelas 
aos planos de um sistema de coordenadas retangulares x, y, z, 
isolado de um fluido em repouso com massa específica , conforme 
é mostrado na Figura 1. 
 
As forças de pressão atuam sobre o elemento fluido de acordo com 
a coordenada de posição da face do elemento cúbico sobre a qual 
atua a pressão. 
3 
Figura 1: Elemento de volume isolado de um fluido em repouso 
com as pressões estáticas exercidas pelo restante do fluido 
4 
 gρ gρV gm W zyx 
A força peso do elemento fluido é dado por: 
( 1 ) 
A força de superfície resultante, devida às pressões estáticas que 
atuam sobre o elemento, é dada por: 
      kp p jp p ip p F 
z zzy y yx x xp
yxzxzy 

Como o fluido está em repouso, a força resultante que atua sobre 
um elemento de volume deve ser nula, ou seja, tem-se um condição 
de equilíbrio dada por: 
 0 F W F p  ( 3 ) 
( 2 ) 
5 
( 1 ) e ( 2) em ( 3 ): 
Dividindo a equação (4) pelo volume xyz, rearranjando os 
termos e fazendo o limite quando o volume do elemento tende a 
zero, obtém-se 
( 4 ) 
( 5 ) 
k
p
 j
p
 i
p
 p
zyx 








O termo do lado esquerdo da equação (6) é a definição do 
gradiente de pressão, em coordenadas retangulares, dado por: 
( 7 ) 
gρ k
p p
 j
p p
 i
p p
 lim z zz
y y yx x x
0 
 
zyxzyx


















       0 kp p jp p ip p gρ 
z zzy y yx x x


yxzxzyzyx
gρ k
p
 j
p
 i
p









zyx
( 6 ) 
6 
Portanto, a equação (6) pode ser escrita como: 
 gρ p  ( 8 ) 
A equação (8) é equação básica da estática dos fluidos. 
Considerando o sistema de coordenadas retangulares mostrado na 
Figura 1, a equação (8) pode ser decomposta nas componentes 
escalares. 
x
x
ρg 
p



y
y
ρg 
p



z
z
ρg 
p



Por conveniência, escolhemos o referencial com o eixo y paralelo 
ao vetor gravidade, de forma que: 
0 g x g g y 0 g z
7 
Assim, considerando um eixo y vertical com sentido positivo para 
cima, conclui-se que a pressão varia somente em função de y, de 
maneira que se pode escrever 
( 9 ) 
E que os planos xz horizontais são planos isobáricos, ou seja, 
pontos que estão à mesma altura (ou profundidade) dentro do 
mesmo fluido possuem pressões estáticas iguais. 
 ρg 
p
 


y
8 
3.3- Variação da pressão em um fluido em repouso 
a) Variação da pressão em um fluido incompressível ( = cte) 
Um fluido incompressível tem massa específica constante, de forma 
que a integração da equação básica da estática dos fluidos fica 
simplificada. 
Tem-se que: 
( 10 ) 
e, considerando um referencial com eixo y vertical, com sentido 
positivo para cima, resulta que a equação (10) fica sendo: 
constante ρg 
d
dp

y
( 11 ) 
 gρ P 
9 
 
   00y
y
p
p
y y ρg p p
dρg dp
0
y
0

 
y
y
A variação da pressão com a altura é determinada por meio da 
integração da equação (11) com as condições de contorno 
adequadas. Considerando que a pressão num nível de referência 
y0 é p0 , determina-se a pressão p(y) numa altura y com a 
integração da equação (11), de forma que: 
ou seja, a diferença de pressão entre dois pontos, num fluido 
incompressível, é diretamente proporcional à diferença de 
altura entre esses dois pontos. 
10 
P(h) 
h 
Patm 
+y 
0 
g 
Para líquidos, geralmente é mais conveniente a adoção de um 
referencial com um eixo h, paralelo ao vetor campo gravitacional, 
com origem na superfície livre e sentido positivo para baixo, 
conforme é mostrado na Figura a seguir; 
 
   0 h ρg p p
dρg dp
atmh
h
0
p
p
h
atm

  y
11 
( 12 ) 
Assim, num fluido incompressível ( = constante): 
- a pressão varia linearmente com a profundidade; 
- a pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano 
horizontal y no fluido. 
( Equação da hidrostática ) 
A equação (12) é conhecida como a lei de Stevin, que diz que a 
diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é 
igual ao produto do peso específico () do fluido pela diferença de 
cotas entre dois pontos (h). 
 
 
  h γ p p 
h γ p p 
ρgh p p 
atmh
atmh
atmh



12 
Pressão atmosférica 
Para se determinar a pressão atmosférica a uma dada altitude, é 
necessário conhecer-se primeiro como a temperatura varia com a 
altitude. Uma boa aproximação para a troposfera (altitudes de até 
11000 km) é aquela que considera que a temperatura reduz-se 
linearmente com a altitude. Nesse caso, e considerando o ar 
atmosférico como gás ideal, a pressão à altitude z acima do nível do 
mar, poderá ser estimada por meio da seguinte equação: 
 
T
B.
 1p p 
26,5
0
0 






z
( 13 ) 
onde p0 = 101325 N/m
2 (pressão atmosférica ao nível do mar na 
altitude zero), B = 6,5x10-3 Kelvin/m e T0 = 288,16 Kelvin (15C). 
13 
14 
Altitude (m) Patm (mca) 
0 10,33 
300 9,96 
600 9,59 
900 9,22 
1200 8,88 
1500 8,54 
1800 8,20 
2100 7,89 
2400 7,58 
2700 7,31 
3000 7,03 
Tabela: Pressão atmosférica em função da altitude 
A pressão atmosférica pode ser obtida através da expressão dada a 
seguir, que apresenta precisão para a maioria das aplicações: 
p = 760 – 0,081h (mm de Hg) 
 h = altitude do local em metros. 
Exemplo. Estimar a pressão atmosférica à altitude de 3000m, 
utilizando a equação (13) e comparar o valor obtido com aquele 
utilizando a lei de Stevin (eq. 12). 
Utilizando a fórmula dada pela equação (13), temos: 
 
 70086N/m p
288,16K
m3000K/m6,5x10
 1101325N/m 
T
B.
 1p p
2
26,53
2
26,5
0
0














z
 
2
32
0
66015N/m p
3000m11,77N/m 101325N/m h γ p p


Por outro lado, utilizando a lei de Stevin com ar = 11,77N/m
3, temos: 
Isso representa uma diferença de apenas 5,8% com relação ao 
valor exato obtido por meio da equação (13). Para altitudes 
inferiores a 1000m, os erros serão inferiores a 5%. 
15 
b) Variação da pressão em um fluido compressível ( é variável) 
A variação dapressão em um fluido compressível também é 
determinada através da integração da equação básica da estática 
dos fluidos dada por: 
 gρ P  ( 14 ) 
Para um fluido compressível a massa específica  não é 
constante, de forma que é necessário expressá-la em função de 
outra variável na equação (14). Uma relação entre a massa 
específica e a pressão pode ser obtida através da equação de 
estado do gás ou por meio de dados experimentais. 
16 
RT
PM
 ρ
ρRT RT
V
m
 PM
perfeitos) gases dos (lei RT
M
m
 nRT PV



 g
RT
PM
 P  ( 15 ) 
A equação (15) introduz outra variável, que é a temperatura, de 
maneira que é necessária uma relação adicional da variação da 
temperatura com a altura. 
17 
3.4- Medidas de pressão. 
3.4.1- Barômetro de mercúrio. 
As medidas de pressão são realizadas em relação a uma 
determinada pressão de referência. Usualmente, adota-se como 
referência a pressão nula existente no vácuo absoluto. 
A pressão relativa ocorre porque muitos instrumentos de pressão 
são do tipo diferencial, registrando não a magnitude absoluta, 
mas a diferença entre a pressão do fluido e a atmosfera que pode 
ser positiva (manômetros) ou negativa (vacuômetros). 
18 
Deve-se observar que, nas equações de estado, a pressão utilizada é 
a absoluta, dada por: 
 p p p 
relativaatmabsoluta

( 16 ) 
A pressão atmosférica local, representada por patm pode ser 
medida por um barômetro. O mais simples é o barômetro de 
mercúrio construído por Evangelista Torricelli em 1643. 
( Barômetro de mercúrio ) 
19 
Na Figura anterior, tem-se: 
h é a altura da coluna de mercúrio no tubo de vidro; 
Patm é a pressão atmosférica local; e 
P0 é a pressão de vapor do mercúrio. 
 
Aplicando a equação básica da estática dos fluidos no barômetro 
de mercúrio, temos: 
ghρ p p
dgρ dp
gρ 
d
dp
 gρ P
HgAB
h
0
Hg
p
p
Hg
B
A




 y
y
20 
Pontos que estão a mesma altura, dentro do mesmo fluido, têm a 
mesma pressão, de forma que pA = patm e como pB = p0 , obtém-se: 
ghρ p p Hgatm0 
ou 
gh ρ p p Hg0atm 
( 17 ) 
Em condições normais de temperatura e pressão, a pressão de 
vapor do mercúrio é praticamente nula, ou seja, p0  0, 
resultando: 
gh ρ p Hgatm 
( 18 ) 
A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, corresponde a uma 
coluna de mercúrio com altura h = 76 cm. Substituindo os dados, 
Hg = 13600 kg/m
3 , g = 9,81 m/s2 , h = 0,76 m , na equação (18), 
resulta: 
patm = 101320 N/m
2 (Pa) = 101,32 kPa 
1 atm = 101325 Pa(N/m2) = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 1,0332 kgf/cm2 = 33,91 ftH2O 
= 10,332 mH2O (mca) = 14,7 psi (lbf/in
2) = 29,92 inHg = 760 mmHg (Torricelli) 
21 
3.4.2- Manômetro de tubo em U com líquido manométrico. 
A introdução de um líquido manométrico no manômetro de tubo 
em U, permite utilizá-lo na medição de pressões de gases ou 
líquidos, pois esse líquido impede que o gás escape pelo tubo. É 
importante que se utilize um líquido manométrico que apresente 
um peso específico bastante elevado de modo a evitar colunas 
contendo o fluido manométrico muito altas. 
22 
De acordo com a lei de Stevin (equação 12), a pressão em C em 
relação à pressão em B (observando que PB = PA), será dada por: 
2A2BC h γ P h γ P P 
Ocorre que em C, temos a interface do fluido com o líquido 
manométrico, sendo que a pressão aí é igual à pressão em D, por se 
tratar de pontos na mesma horizontal de um mesmo líquido, PC = 
PD ; assim, tendo em vista o resultado anterior, temos: 
2AD h γ P P 
( 19 ) 
( 20 ) 
Aplicando novamente a lei de Stevin (equação 12), para 
determinação da pressão em D, em relação à pressão na superfície 
livre do líquido manométrico no tubo, onde reina a pressão 
atmosférica local, resulta em: 
1LMatmD h γ P P 
( 21 ) 
23 
Igualando as equações (20) e (21), resulta o seguinte resultado: 
21LMatmA
1LMatm2A
h γ h γ P P
h γ P h γ P


Na equação 22, a pressão PA representa a pressão absoluta no tubo 
(líquido ou gás). Para a medida da pressão relativa (ou 
manométrica) o valor da pressão atmosférica é zero (na escala 
efetiva). Assim, a pressão manométrica no ponto A será: 
( 22 ) 
21LMA h γ h γ P 
( 23 ) 
Para medir pressões de líquidos (ex. água) utiliza-se mercúrio 
como fluido manométrico (SGHg =13,6). 
24 
Exemplo 01: Água escoa através dos tubos A e B. Óleo com 
densidade relativa 0,8, encontra-se na parte superior do tubo em U 
invertido. Mercúrio (densidade relativa 13,6), encontra-se no fundo 
das curvas do manômetro. Determine a diferença de pressão, PA – 
PB. 
25 
5águaFB
4HgEF
3óleoDE
2HgCD
1águaAC
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p
gdρ p p





 gdρ gdρ gdρ gdρ gdρ p p
5água4Hg3óleo2Hg1águaAB

    gdρ d dgρ d dgρ p p
3óleo42Hg51águaAB








C4 a águaóleoóleo
C4 a águaHgHg
C4 a água
fluido
fluido
0
0
0 ρSG ρ
ρSG ρ
 
ρ
ρ
 SG
26 
  
3óleo42Hg51águaAB
dSG d dSG d dgρ p p 
  
in
m
inx0,02540,8x4 5 313,6 8 10
s
m
9,81
m
kg
10 p p
23
3
AB

 
atm 0,25 p p
 kPa 81,25 p p
1x kPa 81,25 p p
kPa 101,325 atm 1 ; Pa 10 1kPa
 Pa43,25814 
m
N
43,25814 p p
s
m
m
kg
43,25814 p p
BA
BA
AB
3
2AB
22AB






27 
Exemplo 02: Ar está passando por um tubo com 4cm de coluna de 
água (4,0cmH2O) de vácuo. O barômetro indica que a pressão 
atmosférica local é 730 mmHg. Qual é a pressão absoluta do gás em 
polegadas de mercúrio (inHg)? 
Dado: 760mmHg = 29,92inHg 
4 cm 
Água 
Ar Ar 
Vácuo 
28,9inHg 
760mmHg
29,92inHg
730mmHg Patm 






28 
0,12inHg 
O33,91ftH
29,92inHg
12in
ft1
2,54cm
1in
OcmH4 P
2
2vácuo 


















 P P P 
vácuo
relativaatmabsoluta 

inHg 28,8 P
0,12inHg 28,92inHg P
P P P
absoluta
absoluta
vácuoatmabsoluta



29 
3.4.3- Piezômetro. 
O piezômetro é o dispositivo mais simples para a medição de pressão. 
Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente (tubulação) 
onde se quer medir a pressão. 
- O líquido subirá no tubo piezométrico a uma altura “h”, correspondente 
à pressão interna; 
- Devem ser utilizados tubos piezométricos com diâmetro superior a 1cm 
para evitar o fenômeno da capilaridade; 
- Não serve para a medição de grandes pressões ou para gases. 
Aplicando a lei de Stevin (eq. 12), considerando somente a pressão relativa 
em A (ou manométrica), temos: 
h γ P A 
( 24 ) 
30 
3.4.4- Manômetro metálico de Bourdon. 
Diferentemente dos manômetros de tubo com líquido, o manômetro de 
Bourdon (Eugène Bourdon, 1849, França) mede a pressão de forma 
indireta, por meio da deformação de um tubo metálico, daí o seu nome. 
Conforme indica a Figura a seguir, neste manômetro, um tubo recurvado de 
latão, fechado numa extremidade e aberto na outra (denominada tomada de 
pressão), deforma-se, tendendo a se endireitar sob o efeito da mudança de 
pressão. Um sistema do tipo engrenagem-pinhão, acoplado à extremidade 
fechada do tubo, transmite o movimento a um ponteiro que se desloca sobre 
uma escala.O tubo recurvado de latão, por estar externamente submetido à 
pressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão na tomada for 
maior ou menor que aquela. 
31 
Assim, a pressão indicada por este manômetro é sempre a pressão 
relativa. Quando não instalado, o manômetro de Bourdon indica 
zero, em qualquer altitude. 
Quando este manômetro ocupa um ambiente onde a pressão seja 
diferente da pressão atmosférica local, a pressão indicada Pindicada 
(ou manométrica ) será dada por: 
 
 
 
onde Pambiente é a pressão no ambiente onde está o manômetro e 
Ptomada é a pressão na tomada, ou seja é a pressão absoluta em 
relação à pressão do ambiente local onde está instalado o 
manômetro. 
 
Uma escala muito utilizada neste manômetro é aquela produzida 
em unidades práticas de kgf/cm2. Outras escalas de pressão 
utilizadas são bar e psi. 
 P P P 
ambientetomadaindicada
( 25 ) 
32 
Exemplo 03: Para a instalação da Figura a seguir, são fornecidos: 
pressão indicada no manômetro de Bourdon Pindicada = 2,5 kgf/cm
2 e 
peso específico do mercúrio Hg = 1,36x10
4 kgf/m3. Pede-se 
determinar a pressão no reservatório 1, P1 . 
33 
Solução: Determinemos, primeiramente, a pressão no ambiente 
onde está o manômetro de Bourdon. Essa pressão é a do gás 
contido no reservatório 2, P2, que é a mesma pressão que reina na 
superfície livre do reservatório 2. Por sua vez, essa pressão é igual 
à pressão em A, pois A está no mesmo plano horizontal da 
superfície livre do mercúrio no reservatório 2. Assim, P2 = PA. 
Pela aplicação direta da lei de Stevin (eq. 12) em A, levando-se em 
consideração a coluna de mercúrio de altura h = 1,5m temos que a 
na escala relativa (efetiva) a pressão no ambiente 2 é: 
 
 
 
Então, a pressão relativa no ambiente onde está o manômetro de 
Bourdon será: 
h γ P P
HgA2

h γ P P
Hg2ambiente

( 1 ) 
( 2 ) 
34 
Para o manômetro de Bourdon, temos: 
 
 
 
com Pindicada = 2,5 kgf/cm
2 , Ptomada = P1 e Pambiente = Hg.h 
 
Isolando Ptomada no primeiro membro na expressão acima e 
substituindo estes últimos resultados, temos: 
 
 
 
 
Reconhecendo que Hg = 1,36x10
4 kgf/m3 = 1,36x10-2 kgf/cm3 e que h 
= 1,5m = 150cm, temos para P1 o valor de: 
 P P P 
ambientetomadaindicada
( 3 ) 
.h γ 2,5kgf/cm P P P
Hg
2
ambienteindicada1

  
1) (Ambiente kgf/cm 4,54 P
cm150kgf/cm1,36x10 2,5kgf/cm P
2
1
322
1

 
35 
Exemplo 04: Qual é a pressão indicada pelo manômetro C se as 
pressões indicadas pelos manômetros A e B são respectivamente PA 
= 45 psi e PB = 20 psi? A pressão barométrica é 30,55 inHg. 
14,7 psi = 29,92 inHg (Tabela de conversões de pressão) 
Solução: A pressão barométrica correspondente local, Patm é: 
15psi 
29,92inHg
14,7psi
30,55inHg P
atm







36 
As pressões nos compartimentos 1 e 2 não estão à pressão 
atmosférica local. O manômetro indica a pressão absoluta (tomada) 
em relação à pressão do ambiente local onde está instalado o 
manômetro: 
 P P P 
ambienteAtomada,Aindicada,

psia 60 15 45 P
P P P
Atomada,
ambienteAindicada,Atomada,


A unidade de pressão é psi, a letra “a” no final é para frisar que o 
valor da pressão é de pressão absoluta. 
Tanto o manômetro A quanto o manômetro B medem a pressão no 
compartimento 1. Assim, 
 
 psia 60 P P Atomada,Btomada, 
37 
psia 40 20 60 P
P P P
P P P
ambiente,2
Bindicada,Btomada,ambiente,2
ambiente,2Btomada,Bindicada,



O manômetro C mede a pressão no compartimento 2 (tomada C), 
assim: 
 
 
 
 
A leitura do manômetro C então pode ser calculada: 
psia 40 P
P P
Ctomada,
ambiente,2Ctomada,


O manômetro B mede a pressão no compartimento 1 (tomada B) 
em relação à pressão no compartimento 2, PB: 
psi 25 15 40 P
P P P
Cindicada,
ambienteCtomada,Cindicada,


38