Fenomeno de Transporte.AULA4

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Fenômenos de Transporte I 
 
 
Aula 04 
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez 
1 
3.6- Empuxo e estabilidade 
Se um objeto estiver imerso, ou flutuando, num líquido, a força 
vertical atuando sobre ele em decorrência da pressão do líquido é 
denominada empuxo. 
Para calcularmos esta força vamos considerar um corpo cilíndrico 
submerso em um fluido qualquer: 
H 
 
Patm 
z (+) 
dF2 (+) 
dF1 (-) 
P1 
P2 
y1 
y2 
líquido 
dV 
dA 
2 
h (+) 
A força que atua no topo do cilindro é: 
( 1 ) 
A força que atua na base do cilindro é: 
( 2 ) 
Nas laterais do cilindro as forças se anulam. 
A força resultante, FR , é: 
 dA ρgy P dA P dF 
1atm1z1,

 dA ρgy P dA P dF 
2atm2z2,

 
dAy y γ dF 
yρg P yρg P dF 
dF dF dF 
H
12zR,
1
γ
atm2
γ
atmzR,
z1,z2,zR,





























3 
( 3 ) dV γ dA H γ dF 
dV
zR,
 
 ρgV V γ F 
 dV γ dF 
zR,
zR,

 
Integrando a equação (3) e considerando o fluido incompressível, 
tem-se: 
 ρgV V γ  ( 4 ) 
Esta força resultante é conhecida como empuxo, Є. 
 = massa específica do fluido 
g = aceleração da gravidade 
V = volume do sólido submerso 
4 
Observações: 
1- Quando um corpo submerso tende a subir no fluido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- O corpo tende a afundar: 
Є 
W 
líquido 
sólidofluido
sólidosólidosólidofluido
sólidosólidofluido
ρ ρ 
gVρ Vgρ
gm V γ
 W 




Є 
W 
líquido sólidofluido
sólidosólidosólidofluido
sólidosólidofluido
ρ ρ 
gVρ Vgρ
gm V γ
 W 




O sólido flutua! 
O sólido afunda! 
5 
2- O corpo permanece estático: 
Є 
W 
líquido 
sólidofluido
sólidosólidosólidofluido
sólidosólidofluido
ρ ρ 
gVρ Vgρ
gm V γ
 W 




O sólido fica parado, 
mas submerso! 
6 
Exemplo 01: Um balão de ar quente (com a forma aproximada de 
uma esfera de 15,24 m (50 ft) deve levantar um cesto com carga de 
2668,8 N (600 lbf). Qual a temperatura que o ar deve ser aquecido de 
modo a possibilitar a decolagem do balão? 
Dados: 
Condições padrão de temperatura e pressão: T = 15C, Patm = 1 atm. 
Dbalão = 15,24 m, Peso da carga do balão = 2668,8 N 
ar = 1,23 kg/m
3 a 15C; g = 9,81 m/s2 
Solução: 
Considere o gás ideal e pressão atmosférica ao redor do balão. 
WAQ 
Wcarga 
Є 
6
πD
 V
3
balão 
7 
 
   
 
15,24m πm/s 9,81
kg.m/s 2668,86
 
m
kg
1,23 ρ
D gπ
6W
 ρ ρ
gV
W
 ρ ρ
0 
gV
W
 ρ ρ
gV 0 W gVρ gVρ
0 W gm gVρ
0 W W 
0 F 
32
2
3AQ
3
carga
AFAQ
balão
carga
AFAQ
balão
carga
AQAF
balãocargabalãoAQbalãoAF
cargaAQbalãoAF
cargaAQ
y








8 
 kg/m 1,08 ρ 3AQ 
Para obter a temperatura do ar quente, podemos usar a equação do 
gás ideal na seguinte forma: 
 
 K273,15 15
kg/m 1,08
kg/m 1,23
 T
ρ
ρ
 T
Tρ
1
 
Tρ
1
Tρ
mP
 
Tρ
mP
T
VP
 
T
VP
3
3
1
2
1
2
2211
22
22
11
11
QuenteAr 
2
22
CNTP naAr 
1
11






 Quente)(Ar C55 328,17K T 02 
Ar21
atm21
i
i
i
i
i
i
m m m
P P P
ρ
m
 V 
V
m
 ρ



9 
Exemplo 02: Verificou-se que um pedaço de minério pesa 1,5 N no 
ar e 1,1 N quando submerso em água. Qual é o seu volume em cm3 
e sua densidade relativa? Despreze o empuxo do ar. 
Єar = 0 
W 
F1 = 1,5 N F2 = 1,1 N 
ЄÁgua 
W 
água 
ar 
Vs 
Vs 
) 2 ( W F
Água2
) 1 ( W F
 W F
1
ar1


10 
 
 m4,077x10 V
/mN9,81x10
N1,1 1,5
 
γ
F F
 V
V γ F F
V γ F F F
) 2 ( ) 1 ( 
35
s
33
água
21
s
ságua21
ságua2Água21









3
s
35
s
1
s
s
s
ssssss
N/m 36791,8 γ
m4,077x10
N 1,5
 
V
F
 
V
W
 γ
V γ g Vρ .gm W




 cm 40,8 V 3
s

11 
33
3
água
S
água
s
s
N/m 9,81x10
N/m 36791,8
 
γ
γ
 
g
g
 SG  

Exemplo 03: Quando se fazem pesagens precisas usando uma 
balança de pratos, deve-se corrigir o empuxo do ar, no caso se a 
densidade do corpo que está sendo pesado for muito diferente dos 
pesos padrão do latão. Se um pedaço de madeira de madeira = 0,4 
g/cm3 for equilibrado por um peso de latão de 20g, qual o peso real 
da madeira? Dado: Latão = 8 g/cm
3 ; Ar =1,3.10
-3 g/cm3 
 3,75 SG 
s

ЄAr ЄAr 
Wlatão Wmadeira 
FR,L FR,M 
Latão Madeira 
12 
No equilíbrio da balança, temos: 






























 0,4g/cm
0,0013g/cm
 1m 
8,0g/cm
0,0013g/cm
 1g20
ρ
ρ
 1m 
ρ
ρ
 1m 
ρ
m
ρ m 
ρ
m
ρ m 
Vgρ gm Vgρ gm 
 W W 
F F 
3
3
M3
3
M
Ar
M
L
Ar
L
M
M
ArM
L
L
ArL
MArMLArL
ArMArL
RR madeiralatão
 g 20,06195 m 
M

13 
3.7- Densímetros 
Os densímetros utilizam a noção de empuxo para determinar a 
densidade dos líquidos. 
d 
h 
V0 V2 
Є 
Є 
W W 
Material de 
enchimento 
V 
Fluido 1, 1 
SG1 = 1 (padrão) 
Fluido 2, 2 
SG2 
Posição inicial 
no fluido 1 padrão 
Posição final 
no fluido 2 
Posição inicial 
no fluido 1 padrão 
14 
a = área da seção do tubo 
V0 = volume submerso do densímetro no fluido 1 
V2 = volume submerso do densímetro no fluido 2 (V2 = V0 - V ) 
1 = peso específico do fluido 1 padrão 
2 = peso específico do fluido 2 
W = peso do densímetro 
h = variação do nível emerso no fluido 2 
V = variação do volume do densímetro emerso no fluido 2 
SG1 = densidade relativa do fluido 1 padrão 
SG2 = densidade relativa do fluido 2 
) 1 ( W gVρ
 W gVρSG
 W gVρ
 W Vγ
 W 
0água
0água
1 
1
01
01





 ) 2 ( W V VgρSG
 W gVρSG
 W gVρ
 W Vγ
 W 
2V
0água2
2água2
22
22















Fluido 1, 1 
SG1 = 1 
Fluido 2, 2 
SG2 
15 
 
 
aSG
1 SGV
 h 
2
20


 
 
0022
2020
020
0água20água
V VSG ahSG
)1(x ahSG VSG V
ah VSG V
ah V
V VgρSG Vgρ
) 2 ( ) 1 ( 






( 1 ) 
Na equação 1: 
Quando SG2  1, o densímetro sobe (h+) em relação ao nível do fluido 
padrão 1 com SG1 = 1. 
Quando SG2  1, o densímetro afunda (h-) em relação ao nível do 
fluido padrão 1 com SG1 = 1. 
 
4
πd
 a 
2
 ( 2 ) 
16 
(SG) 
17 
Exemplo 04: O densímetro mostrado na Figura a seguir apresenta 
massa igual a 45 gramas e a seção transversalda haste é igual a 290 
mm2. Determine a distância entre as graduações na haste referentes 
as densidades relativas 1,0 e 0,9. Dado: água = 1g/cm
3 a 4C 
W 
Є 
18 

3
0
3
água
0
0água
0água
0água
1 
1
01
01
45cm V
1g/cm
45g
 
ρ
m
 V
m Vρ
gm Vgρ
) 1 ( W gVρSG
 W gVρ
 W Vγ
 W 
1 Fluido









) 2 ( W V VgρSG
 W gVρSG
 W gVρ
 W Vγ
 W 
2 Fluido
2V
0água2
2água2
22
22















SG1 = 1 SG2 = 0,9 
19 
 
 
0022
2020
020
0água20água
V VSG ahSG
)1(x ahSG VSG V
ah VSG V
ah V
V VgρSG Vgρ
) 2 ( ) 1 ( 






 
 
aSG
1 SGV
 h 
2
20


 
 
 )afunda! densímetro (o 1,72cm h 
0,92,9cm
1 0,9cm45
 h 
2
3



20 
Exemplo 05: Um densímetro é um indicador de densidade relativa, 
sendo o valor indicado pelo nível no qual a superfície livre 
intercepta a haste que flutua num líquido. A marca 1,0 é o nível em 
água destilada. Para o instrumento mostrado, o volume imerso em 
água destilada é de 15cm3. A haste tem 6mm de diâmetro. 
Determine a distância, h , da marca 1,0 à superfície, quando o 
densímetro é colocado numa solução de ácido nítrico de densidade 
relativa 1,5. Dado: água = 1g/cm
3 a 4C 
21 
 
 
aSG
1 SGV
 h 
2
20

 
4
πd
 a 
2

V0 = 15cm
3 
SG1 = 1,0 
SG2 = 1,5 
d = 6mm = 0,6cm 
  2
22
cm 0,283 
4
0,6cmπ
 
4
πd
 a 
 
 
 )sobe! densímetro (o 177mm 17,66cm h 
1,50,283cm
1 1,5cm15
 h 
2
3



22 
4. Cinemática dos fluidos 
4.1- Introdução 
A cinemática dos fluidos estuda o movimento dos fluidos em 
termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações, sem levar 
em conta às forças que o produzem. 
 
Inicialmente estudaremos os fluidos ideais. 
 
Todos os fluidos reais possuem viscosidade. Entretanto, há muitos 
casos de escoamento em que é razoável desprezar os efeitos da 
viscosidade. Nos fluidos ideais, a viscosidade é nula e não há a 
presença de tensões de cisalhamento. 
 
Um exemplo prático é o escoamento pela tubulação do tanque da Figura 
a seguir. 
- A quantidade de água que entra em (1) no tanque é idêntica à 
quantidade de água que sai da tubulação em (2); nessas condições, a 
configuração de todas as propriedades do fluido, como velocidade, massa 
específica, pressão, etc., será, em cada ponto, a mesma em qualquer 
instante. 
4.2- Regimes ou movimentos transiente e permanente 
Regime permanente é aquele em que as propriedades do fluido são 
invariáveis em cada ponto com o passar do tempo. 
Regime transiente ou variado é aquele em que as condições do fluido em 
alguns pontos ou regiões de pontos variam com o passar do tempo. 
A Figura a mostra um reservatório de grandes dimensões, em 
que, apesar de haver uma descarga do fluido, o nível não varia 
sensivelmente com o passar do tempo, de forma que o regime 
pode ser considerado aproximadamente permanente. 
A Figura b mostra um reservatório em que a seção transversal é 
relativamente pequena em face da descarga do fluido. Isso faz 
com que o nível dele varie sensivelmente com o passar do tempo, 
havendo uma variação sensível da configuração do sistema, 
caracterizando um regime transiente ou variado. 
4.3- Escoamento laminar e turbulento. 
 Para definir esses dois tipos de escoamentos, recorre-se experiência 
de Osborne Reynolds (1883), que demostrou a sua existência. 
Após investigações experimentais e teóricas, Reynolds concluiu que 
o critério mais apropriado para o tipo de escoamento de um fluido 
líquido em uma canalização foi a seguinte equação: 
sendo: 
v = velocidade média do fluido 
D = diâmetro interno do tubo 
μ = viscosidade dinâmica do fluido 
ρ = massa específica do fluido 
27 
A significância fundamental do número de Reynolds é que o 
mesmo permite avaliar o tipo do escoamento (a estabilidade do 
fluxo) e pode indicar se flui de forma laminar ou turbulenta. Para o 
caso de um fluxo de água num tubo cilíndrico, admite-se os valores 
de 2100 (ou 2300) e 4000 como limites. Desta forma, para valores 
menores que 2100 (ou 2300) o fluxo será laminar, e para valores 
maiores que 4000 o fluxo será turbulento. Entre estes dois valores o 
fluxo é considerado como transitório. 
 
D v 
 R 
e 


Regime laminar: Re ≤ 2100 (ou 2300) 
Regime de transição: 2100 (ou 2300) < Re ≤ 4000 
Regime turbulento: Re > 4000 
Regime laminar 
Re ≤ 2100 (ou 2300) 
Regime de transição 
2100 (ou 2300) < Re ≤ 4000 
Regime turbulento 
Re > 4000 
28 
Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de 
trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas, cada 
uma delas preservando sua característica no meio. 
No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de 
amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento 
ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem 
grande viscosidade. 
29 
Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de 
trajetórias bem definidas, ou seja as partículas descrevem trajetórias 
irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma 
transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa 
líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade é 
relativamente baixa. 
30 
4.4- Trajetória e linha de corrente 
Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma 
partícula em instantes sucessivos. Uma visualização da trajetória 
será obtida por meio de uma fotografia, com tempo de exposição, 
de um flutuante colorido colocado num fluido em movimento. 
 
 
 
 
 
Linha de corrente é a linha tangente aos vetores velocidade de 
diferentes partículas no mesmo instante. 
4.5- Escoamento uni, bi e tridimensional na seção 
Escoamento unidimensional ocorre quando uma única coordenada 
é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que 
isso aconteça, é necessário que as propriedades sejam constantes 
em cada seção. 
Na Figura, pode-se observar que em cada seção a velocidade é a 
mesma, em qualquer ponto, sendo suficiente fornecer o seu valor 
em função da coordenada x para obter sua variação ao longo do 
escoamento. Diz-se, que nesse caso, que o escoamento é uniforme 
nas seções. 
Na Figura a seguir observa-se um escoamento bidimensional, em que 
a variação da velocidade é função das duas coordenadas x e y. Nesse 
escoamento, o diagrama de velocidades repete-se identicamente em 
planos paralelos ao plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura a seguir mostra a trajetória de uma partícula em um 
escoamento tridimensional. 
4.6- Velocidades e acelerações nos escoamentos dos fluidos 
Ao lidarmos com fluidos em movimento, estaremos 
necessariamente preocupados com a descrição de um campo 
de velocidade. 
Num dado instante, o campo de velocidade é uma função das 
coordenadas espaciais x, y e z em regime variado. 
 
 
O vetor velocidade pode ser escrito em termos dos seus três 
componentes escalares. Denotando os componentes nas 
direções x, y e z por vx, vy e vz , segue-se que: 
 
 
 t)z,y,(x, v v 


 k v j v i v v zyx 

Para regime permanente, a velocidade e suas componentes 
escalares não serão função do tempo, sendo somente funçõesdo ponto. 
 z)y,(x, v v 


x y 
z 
Partícula A 
no instante t 
Partícula A 
no instante t+dt 
rA(t) 
rA(t+dt) 
Trajetória da partícula 
     k,,,j,,,i,,,V

tzyxwtzyxvtzyxu dt
rd
V A


O vetor aceleração é dado por: 
 
dt
vd
 a 



dt
dz
 v; 
dt
dy
 v; 
dt
dx
 v
zyx

  
 
dt
dz
z
v
 
dt
dy
y
v
 
dt
dx
x
v
 a
zyx VVV











zyx
v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a 











k
z
v
 j
z
v
 i
z
v
 
z
v
k
y
v
 j
y
v
 i
y
v
 
y
v
k
x
v
 j
x
v
 i
x
v
 
x
v
zyx
zyx
zyx




































As equações em coordenadas cartesianas ficarão, segundo suas 
componentes em regime permanente : 
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ka
v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ja
v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ia



























z
y
x



mas: 
A diferencial total do vetor velocidade em regime variado é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   t
v
 
dt
dz
z
v
 
dt
dy
y
v
 
dt
dx
x
v
 a
 
t
v
 
dt
dz
z
v
 
dt
dy
y
v
 
dt
dx
x
v
 
dt
vd
dtdt 
t
v
 dz
z
v
 dy 
y
v
 dx 
x
v
 vd
zyx VVV










































 
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a 
zyx














t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a
z
z
z
y
z
x
z
y
z
y
y
y
x
y
x
z
x
y
x
x
x



















































z
y
x
No caso de um fluido escoar em regime variado, deve-se 
considerar, em relação às equações anteriores a variação do 
tempo: 
onde: 
É comum apresentar o vetor aceleração em termos de suas 
componentes escalares: 
 ka ja ia a 

zyx

t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ka
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ja
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a ia
z
z
z
y
z
x
z
y
z
y
y
y
x
y
x
z
x
y
x
x
x




































z
y
x



Exemplo 01: Num escoamento no plano Oxy, o campo de 
velocidades é dado por vx = 2xt e vy = y
2t. Determinar a 
aceleração na origem e no plano e no ponto P = (1,2) No 
instante t = 5s (medidas em cm). 
O movimento é variado (transiente), pois vx e vy são funções 
do tempo. 
 
2
2
x
z
x
y
x
x
x
2
t4 2 a
2 0 t)0( t)2t(2 a
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a
t vet 2 v
xx
xyx
yx
x
x
x
yx




















 
223
22
y
z
y
y
y
x
y
 t2 a
 tt2 t (0)2 a
t
v
 v
z
v
 v
y
v
 v
x
v
 a
yy
yyyx
y
y
y














   
      404 2 522 a
 t2 a
102 (5)14 12 a
t4 2 a
(1,2) P e 5s t instante No
223
223
2
2





y
y
x
x
yy
xx
   
   
2
22
22
cm/s 416 a
404 102 a
a a a
j404 i102 a
ja ia a










yx
yx
4.7- Vazão 
4.7.1- Vazão em volume, Q 
Suponha-se que, estando a torneira aberta, seja empurrado o 
recipiente da figura embaixo dela e simultaneamente seja 
disparado o cronômetro. Admita-se que o recipiente encha em 
10s. Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10s ou 
que a vazão em volume da torneira é 20L/10s = 2L/s. Define-se 
vazão em volume Q como sendo o volume de fluido que 
atravessa uma certa seção do escoamento por unidade de 
tempo. 
 
min
L
;
h
m
;
s
L
;
s
m
 
t
V
 Q 
33









4.7.2- Vazão em massa, ṁ 
É a massa do fluido que escoa num determinado intervalo de 
tempo. 
 
min
g
;
h
kg
;
s
g
;
s
kg
 
t
M
 m 
.





4.7.3- Vazão em peso, G 
É a vazão em massa multiplicada pela aceleração da 
gravidade. 
 
min
dina
;
h
N
;
s
dina
;
s
N
 .gm G 
.





4.7.4- Velocidade média na seção 
Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a 
velocidade do fluido. 
 
 
 
 
 
 
Suponha que o fluido esteja em movimento através da seção de 
área “A” a uma distância “s”. O volume de fluido que 
atravessa a seção de área A no intervalo de tempo t é V = sA. 
Logo, a vazão em volume será: 
 v.A 
t
s.A
 
t
V
 Q  ( 1 ) 
A expressão 1 só é válida se a velocidade na seção transversal for 
uniforme. Na maioria dos casos práticos, o escoamento não é 
unidimensional; no entanto, é possível obter uma expressão do 
tipo da equação 1 definindo a velocidade média na seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obviamente, para cálculo da vazão em volume, não pode 
utilizar a equação 1, pois a velocidade v é diferente em cada 
ponto da seção. 
Adotando um dA qualquer no entorno de um ponto em que a 
velocidade genérica é v, como na figura a seguir, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a vazão na seção A será: 
 vdA dQ 

A
vdA Q ( 2 ) 
Define-se velocidade média na seção como uma velocidade 
uniforme que, substituída no lugar da velocidade real, 
reproduziria a mesma vazão na seção. 
Logo: 
 
 
 
Dessa igualdade, surge a expressão para o cálculo da 
velocidade média na seção: 
A v vdA Q 
m
A
 

A
m
vdA 
A
1
 v
( 3 ) 
Exemplo 02: Para escoamento laminar em tubos a velocidade 
é dado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
onde vmáx é a velocidade no centro do tubo. Calcular a 
velocidade média, vm , e a vazão em volume, Q. 
 
R
r
 1 v v
2
2
máx 






rdr 2π dA ; r πA 2 
A
m vdA 
A
1
 v
A v Q m







































4
1
 
2
1
R
R2v
 v
4R
R
 
2
R
R
2v
 v
4R
r
 
2
r
R
2v
 v
rdr
R
r
 1
R
2v
 v
rdr π2
R
r
 1v
Rπ
1
 v
2
2
máx
m
2
42
2
máx
m
R
0
2
42
2
máx
m
R
0
2
2
2
máx
m
R
0
2
2
máx2m
 
2
v
 v máxm 
A v Q m
 
2
R πv
 Q 
2
máx
Exemplo 03: Para escoamento turbulento em tubos a 
velocidade é dado pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
onde vmáx é a velocidade no centro do tubo. Calcular a 
velocidade média, vm , e a vazão em volume, Q. 
 
R
r
 1 v v
1/7
máx 







A
m vdA 
A
1
 v
A v Q m
rdr 2π dA ; r πA 2 
 
  
   









































0
1
8/71/7
máx
0
1
1/7
2
2
máx
m
0
1
1/7
2
máx
m
R
0
1/7
2
máx
m
R
0
1/7
máx2m
duu u2v duu 1u
R
R2v
 v
Rduu 1Ru
R
2v
 v
 
Rdu dr 
u 1R r 
 ; 
0 u ; R r para
1 u ; 0 r para
 
R
r
 1 u 
rdr
R
r
 1
R
2v
 v
rdr π2
R
r
 1v
Rπ
1
 v










 





















 
120
49
2v 
120
56 105
2v v
15
7
 
8
7
2v v
u
15
7
 u
8
7
2v v
duu du u2v v
máxmáxm
máxm
0
1
15/7
0
1
8/7
máxm
0
1
8/7
0
1
1/7
máxm
 v
60
49
 v máxm  A v Q m v
60
R 49π
 Q máx
2

Exemplo 04: Determinar a velocidade média e a vazão em 
volume de um fluido escoando em um canal de largura b e 
altura h. 
Resposta: vm = 2/3vmáx e Q = 2/3vmáx bh 
 
h
y
 1 v v
2
2
máx 






onde y é a coordenada vertical, com 
origem no fundo do canal. 
Exemplo 05: Determinar a velocidade média e a vazão em 
volume de um fluido escoando em um duto circular de raio R, 
com perfil cônico de velocidades. 
Resposta: vm = 1/3vmáx e Q = 1/3vmáx R
2 
 
R
r
 1 v v máx 






Exemplo 06: Determinar a velocidade média e a vazão em 
volume de um fluido escoando entre placas planas e paralelas 
distanciadas de 2h. 
Resposta: vm = 2/3vmáx e Q = 4/3vmáx bh 
onde y é a coordenada vertical, com 
origem no centro do canal. 
 
h
y
 1 v v
2
2
máx 





