TESTE DE WILCOXON 2013

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Teste de Wilcoxon 
 
 
 
Luisa Zanolli Moreno 
Médica veterinária, mestranda do curso de pós-graduação em saúde pública da Faculdade 
de Saúde Pública da Universidade de São Paulo 
 
André Moreno Morcillo 
 
Professor Associado do Departamento de Pediatria da Faculdade de Ciências Médicas da 
Universidade Estadual de Campinas 
Pesquisador do CIPED – Centro de Investigação em Pediatria da Universidade Estadual de 
Campinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste de Wilcoxon 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campinas – São Paulo – Brasil 
[Dezembro de 2012] 
 
 
1 
O método recomendado para comparar as médias de dois grupos pareados é o teste t 
de Student. No entanto, muitas vezes a variável de trabalho não tem distribuição normal ou é 
qualitativa do tipo ordinal, casos em que não se deve usar este teste. 
Uma alternativa prática para resolver estas situações é o teste de Wilcoxon (Teste de 
Postos Sinalizados de Wilcoxon, Teste de Postos com Sinais de Wilcoxon, Wilcoxon Signed-Rank 
Test, Wilcoxon Paired-Sample Test), cuja exigência é de que a variável de estudo seja 
quantitativa ou qualitativa do tipo ordinal. No teste de Wilcoxon não comparamos as médias. O 
nosso interesse é comparar a distribuição dos dados nos dois instantes. 
 
Uma situação real 
Torres et al. (2010)1 com objetivo de descrever a evolução de um grupo de pacientes 
com Fibrose Cística do ponto de vista clínico e funcional pulmonar após a implantação de um 
ambulatório multidisciplinar, realizaram um estudo retrospectivo em que foram incluídos todos 
os pacientes (N=19) que tinham acompanhamento clínico regular no Hospital das Clínicas da 
Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto, Universidade de São Paulo (FMRP-USP). 
Os pacientes do estudo foram divididos em dois grupos de acordo com a faixa etária: 
grupo “6-12” (n = 8) com aqueles entre 6 e 12 anos e grupo “13+” (n = 11) com os maiores de 
12 anos. 
Os resultados obtidos nos dois grupos foram analisados em dois tempos: em 2003 
(antes da implantação do ambulatório) e em 2007 (quatro anos após sua implantação). A 
análise estatística dos dois períodos foi realizada utilizando-se o teste de Wilcoxon para 
amostras pareadas, com alfa de 5%, já que a maioria dos dados não tinha distribuição normal. 
A seguir, são apresentadas duas tabelas com os resultados obtidos pelos autores. 
 
 
 
 
1
 Torres L et al. Avaliação clínica, nutricional e espirométrica de pacientes com fibrose cística após 
implantação de atendimento multidisciplinar. J. Bras. Pneumol. 2010; 36(6):731-737 
 
 
 
2 
 
 
Princípios do teste de Wilcoxon 
 
Tal como no teste t de Student para amostras pareadas, o objetivo é estudar as 
diferenças observadas em cada sujeito entre os dois momentos da pesquisa. 
O princípio deste teste consiste em avaliar se ocorreram modificações nos dados entre 
os dois momentos da avaliação. Quando as modificações ou diferenças são muito pequenas elas 
podem ser devidas ao acaso, porém, quando são expressivas, é pouco provável que se devam 
ao acaso, sendo fruto de um fator causal. 
No teste de Wilcoxon as diferenças observadas entre os dois momentos são 
transformadas em ranks, que passam a ser os objetos da nossa avaliação. 
 
 
Como fazer o teste de Wilcoxon 
 
1. Calcula-se para cada elemento do grupo de estudo a diferença “d” entre a suas duas 
medidas, seja a primeira menos a segunda ou vice-versa. 
2. Ordena-se e atribui-se ranks aos valores absolutos das diferenças “d” que sejam diferentes 
de zero ( d ≠ 0 ) 
3. Somam-se os ranks decorrentes das diferenças positivas, que recebe o nome de T+. 
4. Somam-se os ranks decorrentes das diferenças negativas, que recebe o nome de T-. 
5. Seleciona-se entre “T+” e “T-“ o de menor valor, que será chamado de estatística T. 
6. Chamamos de “n” o número de diferenças “d” que receberam ranks. 
 
 
 
 
3 
Teste de hipóteses 
H0 : não há diferença entre os valores observados nos dois instantes 
H1 : há diferença entre os valores observados nos dois instantes 
 
Nível de significância 
O nível de significância habitualmente adotado nas pesquisas da área biomédica é 5% 
(α=0,05). 
 
Tomada de decisão 
• Para amostras pequenas (n ≤≤≤≤ 25) 
Comparamos a estatística “T” com o valor “T” crítico, disponível em uma tabela 
específica de distribuição de “T” para o teste de Wilcoxon (Tabela 14), considerando α e “n” 
(número de casos em que d≠0). 
Sempre que T ≤ Tcrítico rejeitamos H0! 
 
• Para amostras grandes (n > 25) 
Quando n é maior que 25, a estatística T se ajusta à distribuição normal. Portanto, tal 
como se faz no teste de Mann-Whitney, calculamos o z escore de T e determinamos a 
probabilidade de ocorrência pela tabela da curva normal reduzida. 
σ
µ
T
T
T
T
z
−
=
 
Calculando a média de T 
( )
4
1+×
=
nn
Tµ 
 
Calculando o desvio padrão de T 
( )( )
24
2
121 Cnnn
T
−++
=σ 
Onde “C” é um fator de correção decorrente de empates entre as diferenças “d” e “n” é 
o número de diferenças “d≠0” que receberam ranks. 
 
 
4 
Uma vez determinado o valor de “zT”, desenhamos uma curva normal reduzida e 
marcamos as áreas de rejeição de H0 de um teste bilateral com α=5%, que correspondem aos 
valores de z maiores ou iguais a +1,96 na cauda direita e dos valores de z menores ou iguais a 
-1,96 na cauda esquerda, tal como é apresentado na Figura 1. 
 
Figura 1 – Curva normal reduzidaFigura 1 – Curva normal reduzida
 
 
Sempre que 96,1−≤zT ou 96,1+≥zT rejeitamos H0, concluindo que há diferença na 
distribuição de valores dos dois instantes da pesquisa. 
 
 
Mais detalhes sobre o fator de correção “C” decorrente de empates 
 
Esse fator de correção “C” é calculado a partir do número de “d” empatados. 
 
( )( )
24
2
121 Cnnn
T
−++
=σ 
onde: 
∑= cC i 
ffci −= 3 
f = número de “d” empatados (valores absolutos de “d” iguais). 
 
Exemplo: considere que em uma amostra estudada haja quatro casos com d=10, seis 
com d=15, três com d=16 e dois casos com c=18. Há, portanto, quatro grupos com empates. 
 
Primeiro grupo: 10 ; 10 ; 10 ; 10. Neste caso f=4, pois, o d=10 repetiu 4 vezes. Portanto, 
604433)10( =−=−= ffc 
 
 
5 
Segundo grupo: 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15. Aqui, f=6 e 2106633)15( =−=−= ffc 
Terceiro grupo: 16 ; 16 ; 16. Aqui, f=3 e 243333)16( =−=−= ffc 
Quarto grupo: 18 ; 18. Aqui, f=2 e 62233)18( =−=−= ffc 
 
Cálculo do fator de correção “C”: 30062421060 =+++==∑cC i 
 
Este fator de correção C=300 será utilizado na fórmula do desvio padrão de T. 
 
Para exemplificar o uso do teste de Wilcoxon, utilizaremos dados de frequência cardíaca, 
frequência respiratória e saturação de O2 de crianças com pneumonia, internadas no setor de 
Emergência do Hospital de Clínicas da Unicamp(2) (Tabela 3). Os pacientes tiveram seus dados 
avaliados imediatamente antes e após o término de uma sessão de fisioterapia respiratória. 
Como os pacientes foram avaliados em dois momentos consecutivos, temos uma amostra 
tipicamente pareada. Para comparação do efeito da fisioterapia respiratória sobre os dados 
vitais podemos usar o teste de Wilcoxon. 
 
Tabela 3 – Frequência cardíaca, frequência respiratória e Saturação de O2 da Hemoglobina 
Caso FC(1) FC(2) FR(1) FR(2) SatO2(1) SatO2(2) 
1 123 94 38 36 95 94 
2 146 150 36 32 93 89 
3 156 127 32 40 93 91 
4 156 152 54 52 91 92 
5 144 156 46 47 93 93 
6 156 152 44 55 93 94 
7 120 123 55 56 95 93 
8 112 109 40 45 94 93 
9 132 161 46 42 91 95 
10 170 180 50 56 96 9611 176 173 65 78 92 83 
12 161 166 51 43 94 97 
13 127 134 38 39 94 99 
14 200 174 40 45 85 91 
15 126 107 44 30 92 96 
 FC(1) – Frequência cardíaca pré-fisioterapia; FC(2) – Frequência cardíaca pós-fisioterapia 
 FR(1) – Frequência respiratória pré-fisioterapia; FR(2) – Frequência respiratória pós-fisioterapia 
 SatO2(1) – Saturação O2 pré-fisioterapia; SatO2(2) – Saturação O2 pós-fisioterapia 
 
 
2
 Santos CIS, Ribeiro MAGO, Ribeiro JD, Morcillo AM. Respiratory physiotherapy in children with 
community-acquired pneumonia. Canadian Journal of Respiratory Therapy 2009, 45(3):23-28. 
 
 
 
6 
Iniciaremos avaliando o efeito sobre a frequência cardíaca. Na Tabela 4 são 
apresentados os valores da média, mediana e range nos dois momentos. Na Figura 2 são 
apresentadas as distribuições das frequências cardíacas. 
 
 
Tabela 4 – Média, mediana e range da frequência cardíaca 
 Média Mediana Range 
FC (1) 147,0 146,0 88,0 
FC (2) 143,9 152,0 86,0 
 
 
 
Figura 2 - Frequência card[iaca
FC2FC1
Fr
e
qu
ên
ci
a
 
Ca
rd
ía
ca
220
200
180
160
140
120
100
80
 
 
 
 
Estabelecendo as hipóteses e nível de significância 
 
H0: não há diferença na distribuição da frequência cardíaca entre os dois momentos 
H1: há diferença na distribuição da frequência cardíaca entre os dois momentos 
 
α = 5% 
 
Iniciamos calculando as diferenças [d=FC(1) – FC(2)] (Tabela 5) e a seguir, após 
ordená-las pelo seu valor absoluto, atribuímos os ranks (Tabela 6). 
 
 
7 
 
Tabela 5 – Frequência cardíaca nos dois instantes e valores de “d” 
 Paciente FC (1) FC (2) d 
1 123 94 29 
2 146 150 -4 
3 156 127 29 
4 156 152 4 
5 144 156 -12 
6 156 152 4 
7 120 123 -3 
8 112 109 3 
9 132 161 -29 
10 170 180 -10 
11 176 173 3 
12 161 166 -5 
13 127 134 -7 
14 200 174 26 
15 126 107 19 
 
 
 
Tabela 6 – Valores absolutos e ranks de “d” 
|d| Ranks 
3 2 
3 2 
3 2 
4 5 
4 5 
4 5 
5 7 
7 8 
10 9 
12 10 
19 11 
26 12 
29 14 
29 14 
29 14 
 
 
 
A seguir, incluímos na Tabela 7 os valores dos ranks, tomando o cuidado de separar em 
colunas diferentes os ranks decorrentes de “d” positivos e negativos. 
 
 
8 
 
Tabela 7 – Frequência cardíaca, “d” e ranks 
 Paciente FC (1) FC (2) d Ranks + Ranks - 
1 123 94 29 14 
2 146 150 -4 5 
3 156 127 29 14 
4 156 152 4 5 
5 144 156 -12 10 
6 156 152 4 5 
7 120 123 -3 2 
8 112 109 3 2 
9 132 161 -29 14 
10 170 180 -10 9 
11 176 173 3 2 
12 161 166 -5 7 
13 127 134 -7 8 
14 200 174 26 12 
15 126 107 19 11 
 
Agora devemos somar os ranks da coluna “Ranks+” que será o T+; somar os ranks da 
coluna “Ranks -” que será o T-. 
 T+ = 78 
 T- = 42 
 Portanto, a nossa estatística T é 42! 
 
Consultando na Tabela 14 obtemos que o valor de T crítico para n = 15 e α=5% que é 
25. 
 
Como T é maior que o valor de T crítico, não podemos rejeitar H0, concluindo que a 
fisioterapia respiratória não determinou modificação na distribuição das frequência cardíaca. 
 
A seguir, passamos a avaliar a Frequência Respiratória. Na Tabela 8 temos informações 
referentes à média, mediana e range da frequência respiratória e na Figura 3 os boxplots com 
as distribuições nos dois momentos. 
 
Tabela 8 – Média, mediana e range da frequência respiratória 
 Média Mediana Range 
FR (1) 45,3 44,0 33,0 
FR (2) 46,4 45,0 48,0 
 
 
 
9 
Figura 3 - Distribuição da frequência respiratória nos dos momentos
FR2FR1
Fr
e
qu
ên
ci
a
 
R
e
sp
ira
tó
ria
90
80
70
60
50
40
30
20
11
 
 
 
Estabelecendo as hipóteses e nível de significância 
H0: não há diferença na distribuição da frequência respiratória entre os dois momentos 
H1: há diferença na distribuição da frequência respiratória entre os dois momentos 
 
α = 5% 
 
 
Na Tabela 9 são apresentadas as diferenças “d” com os respectivos ranks. 
 
 
Tabela 9 – Frequência respiratória, “d” e ranks 
 FR1 FR2 d Ranks + Ranks - 
1 38 36 2 4,5 
2 36 32 4 6,5 
3 32 40 -8 11,5 
4 54 52 2 4,5 
5 46 47 -1 2 
6 44 55 -11 13 
7 55 56 -1 2 
8 40 45 -5 8,5 
9 46 42 4 6,5 
10 50 56 -6 10 
11 65 78 -13 14 
12 51 43 8 11,5 
13 38 39 -1 2 
14 40 45 -5 8,5 
15 44 30 14 15 
 
 
 
10 
A soma dos ranks decorrentes de diferenças “d” positivas é 48,5 enquanto a 
soma dos ranks das negativas é 71,5. 
Assim, T+ = 48,5 e T- = 71,5, portanto, T = 48,5 
Consultando na Tabela 14 temos o valor de T crítico para n = 15 e α=5% que é 25. 
Portanto, como T é maior que T crítico não podemos rejeitar H0, concluindo que a fisioterapia 
respiratória não determinou modificação na distribuição da frequência respiratória. 
 
Passamos agora a avaliar as distribuições da saturação de O2 da hemoglobina. A 
distribuição dos dados é apresentada na Tabela 10 e Figura 4. 
 
Tabela 10 – Média, mediana e range da Saturação de O2 da Hemoglobina 
 Média Mediana Range 
SatO2 (1) 92,7 93,0 11,0 
SatO2 (2) 93,1 93,0 16,0 
 
 
 
Figura 4 - Distribuição da saturação de O2
SATO2_2SATO2_1
Sa
tu
ra
çã
o
 
de
 
O
2
110
100
90
80
11
14
 
 
 
Estabelecendo as hipóteses e nível de significância 
H0: não há diferença na distribuição da saturação de O2 entre os dois momentos 
H1: há diferença na distribuição da saturação de O2 entre os dois momentos 
 
α = 5% 
 
 
11 
Na Tabela 11 são apresentados as diferenças “d” com os respectivos ranks. Observe que 
nos casos 5 e 10 “d” é igual a zero. Portanto, eles não são considerados para efeitos de 
atribuição dos ranks e passamos a ter n = 13. 
 
Tabela 11 – Saturação de O2 da hemoglobina, “d” e ranks 
 SatO2_1 SatO2_2 D Ranks + Ranks - 
1 95 94 1 2,5 
2 93 89 4 9 
3 93 91 2 5,5 
4 91 92 -1 2,5 
5 93 93 0 *** *** 
6 93 94 -1 2,5 
7 95 93 2 5,5 
8 94 93 1 2,5 
9 91 95 -4 9 
10 96 96 0 *** *** 
11 92 83 9 13 
12 94 97 -3 7 
13 94 99 -5 11 
14 85 91 -6 12 
15 92 96 -4 9 
 
Como T+ = 38 e T- = 53, temos T = 38. 
Consultando na Tabela 14 obtemos o valor de T crítico para n = 13 e α=5% 
que é 17. Portanto, como T é maior que T crítico não podemos rejeitar H0, 
concluindo que a fisioterapia respiratória não determinou modificação na 
distribuição da saturação de O2. 
 
Como exemplo do teste aplicado a grandes amostras, utilizaremos todos os 
casos da pesquisa de Santos et al. (2009). 
Na Tabela 13 são apresentados os dados descritivos da frequência cardíaca 
dos 164 casos que compuseram o grupo de estudo. Na Figura 5 apresentamos a 
distribuição dos dados nos dois momentos. 
 
Tabela 13 – Média e mediana da frequência cardíaca 
N=164 Média Mediana 
FC (1) 137,1 133,5 
FC (2) 144,4 142,0 
 
 
 
 
12 
Figura 5 - Distribuição da frequência cardíaca
FC2FC1
 
Fr
e
qu
ên
ci
a
 
Ca
rd
ía
ca
220
200
180
160
140
120
100
80
 
 
 
 
Neste caso temos que calcular o z escore de T visto que dados de T crítico 
para grupos com mais de 25 casos não estão disponíveis. 
Sabemos que T+ = 10044,5 e T- = 2835,5, portanto, T = 2835,5 e n = 
164. Não ocorreram empates. 
 
Calculando a média de T 
( )
4
1+×
=
nn
Tµ 
 
0,6765
4
165164
=
×
=µT 
 
Calculando o desvio padrão de T 
( )( )
24
2
121 Cnnn
T
−++
=σ 
 
( )( ) 1,609
24
116421164164
=
+×+
=σ T13 
Calculando o z escore de T 
σ
µ
T
T
T
T
z
−
= 
5,6
1,609
0,67655,2835
−=
−
=zT 
 
A seguir, desenhamos o gráfico da curva normal reduzida (Figura 6) 
 
Figura 6 – Curva normal reduzidaFigura 6 – Curva normal reduzida
 
 
Podemos verificar na Figura 6 que z=-6,5 é muito menor que o ponto de corte -1,96 
caindo na zona de rejeição de H0. Desta forma, podemos concluir que a distribuição da 
frequência cardíaca pós-fisioterapia respiratória é estatisticamente diferente da observada no 
instante 1. 
 
 
 
14 
 
Tabela 14 - Distribuição dos valores críticos de T do teste de Wilcoxon3 
Teste Bilateral α 
n 0,10 0,05 0,02 0,01 
5 0 ***** ***** ***** 
6 2 0 ***** ***** 
7 3 2 0 ***** 
8 5 3 1 0 
9 8 5 3 1 
10 10 8 5 3 
11 13 10 7 5 
12 17 13 9 7 
13 21 17 12 9 
14 25 21 15 12 
15 30 25 19 15 
16 35 29 23 19 
17 41 34 27 23 
18 47 40 32 27 
19 53 46 37 32 
20 60 52 43 37 
21 67 58 49 42 
22 75 65 55 48 
23 83 73 62 54 
24 91 81 69 61 
25 100 89 76 68 
 
 
 
 
 
3
 Tabela modificada de Zar JH. Biostatistical Analysis. 2th ed. New Jersey, Prentice-Hall Inc., 1984. p.563 
 
 
15 
Bibliografia 
1. Bunchaft G. Estatística sem mistérios. 4ª ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 1997. 
2. Callegari-Jacques SM. Bioestatística: princípios e aplicações. 1ª ed. Porto Alegre: Artmed, 
2003. 
3. Campos H. Estatística experimental não-paramétrica. 3ª ed. Piracicaba. Departamento de 
Matemática e Estatística da Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” da Universidade 
de São Paulo, 1979. 
4. Daniel WW. Biostatistics – A foundation for analysis in the health sciences. 6th ed., New 
York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. 
5. Levin J. Estatística aplicada às Ciências Humanas. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1987. 
6. Siegel S. Estatística não-paramétrica. Rio de Janeiro: Editora McGraw-Hill, 1975. 
7. Vieira S. Bioestatística: tópicos avançados. Rio de Janeiro: Editora Campus, 2003. 
8. Zar JH. Biostatistical analysis. 2th ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc., 1984. 
 
 
 
16 
O teste de Wilcoxon com o SPSS 
 
• Click em <Analyse> e <Nonprametric Tests> no menu superior, e selecione a 
opção <2 Related Samples> 
 
 
 
• Selecione as duas variáveis que serão comparadas 
 
 
 
• Leve as duas variáveis selecionadas para a janela <Test Pair(s) List> 
 
 
 
 
17 
• Click em <options ...> para selecionar as opções desejadas 
 
 
 
• Click em <Continue> e <OK> para processar os dados 
 
 
 
• Abaixo apresentamos um típico output do teste de Mann-Whitney 
 
 
No quadro abaixo são apresentados os dados de estatística descritiva das 
variáveis 
Descriptive Statistics
164 137,09 21,646 72 200 123,00 133,50 150,75
164 144,37 22,016 94 200 129,25 142,00 158,00
fc_1
fc_2
N Mean Std. Deviation Minimum Maximum 25th 50th (Median) 75th
Percentiles
 
 
 
 
No quadro <Ranks> são apresentadas a média e soma dos ranks negativos 
(T-) e positivos (T+) 
 
 
18 
Ranks
45a 63,01 2835,50
115b 87,34 10044,50
4c
164
Negative Ranks
Positive Ranks
Ties
Total
fc_2 - fc_1
N Mean Rank Sum of Ranks
fc_2 < fc_1a. 
fc_2 > fc_1b. 
fc_2 = fc_1c. 
 
 
 
 
No quadro <Test Statistics> são apresentados os valores de z escore de T e 
da probabilidade a ele associada. 
 
Test Statisticsb
-6,143a
,000
Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
fc_2 - fc_1
Based on negative ranks.a. 
Wilcoxon Signed Ranks Testb.