DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2013

Prévia do material em texto

Distribuição Normal 
 
ii 
 
Luisa Zanolli Moreno 
 
Médica veterinária, mestranda do curso de pós-graduação em Saúde Pública da Faculdade 
de Saúde Pública da Universidade de São Paulo 
 
André Moreno Morcillo 
 
Professor Associado do Departamento de Pediatria da Faculdade de Ciências Médicas da 
Universidade Estadual de Campinas 
Pesquisador do CIPED – Centro de Investigação em Pediatria da Universidade Estadual de 
Campinas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campinas – São Paulo – Brasil 
[Novembro de 2012]
 
1
O conhecimento desta distribuição de probabilidades se deve a Abraham de Moivre 
(1667-1754) que, em 1733, apresentou a função que a representa. Tratava-se até então de 
um exercício teórico, sem aplicação prática. J. Bernoulli (1654-1705) acreditava que poderia 
haver aplicação na área da economia, no entanto, o uso desses conhecimentos na prática se 
deve a Pierre-Simon Laplace (1749-1827) na França e a Johan K. F. Gauss (1777-1855) na 
Alemanha. O nome “Curva de Gauss” se deve à suposição que Gauss tivesse sido a primeira 
pessoa a fazer uso de suas propriedades; no entanto, em 1924, Karl Pearson reafirmou o 
papel fundamental de Abraham de Moivre.1 
 
Esta distribuição de probabilidades é definida pela função 
(((( ))))
e σ
µx
.
2.piσ.
1y 2
2
2.
 
−−−−
====
−−−−
 
cujo gráfico é apresentado abaixo. 
 
Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (σ2). Dessa 
forma, podemos ter infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a variância. Suas 
principais características são: 
 
� A variável x pode assumir qualquer valor real (-∞ a +∞) 
� Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o 
eixo de x. 
A curva é simétrica e unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = 
µ - 1σ) e outro à direita (x = µ +1σ). 
 
1
 Walker HM, Lev J – Elementary Statistical Methods. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1958. p. 200-201. 
Probability Density Function
( )
e σ
µx
2
2
2.
 
.
2.piσ.
1y
−
−
=
µ
 
2
Sua aplicação na análise de dados na área biomédica é grande, pois muitas variáveis 
numéricas contínuas que estudamos têm distribuição normal ou aproximadamente normal. 
Em alguns casos é possível transformá-las, tornando-as compatíveis com a normal. Como 
exemplo, podemos citar a altura, o peso, o índice de massa corporal, etc. 
Alguns dos principais métodos empregados na análise estatística (teste t de Student, 
análise de variância, análise de regressão, etc.) só podem ser usados se os dados têm 
distribuição normal. 
Como se trata de uma distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a 
curva e o eixo das abscissas (x) representa uma probabilidade. Portanto, a probabilidade 
de ocorrer um evento entre os pontos “a” e “b” é dada pela área cinza do gráfico seguinte. 
O cálculo da área de uma função num determinado intervalo “a” e “b” recebe o nome de 
integral definida da função entre os pontos “a” e “b”. O cálculo dessas áreas usando as 
técnicas de integração é sofisticado e complexo. 
 
( )
( )
dxbaP
b
a
∫
−
−
= e σ
µx
2
2
2.
 
.
2.piσ.
1
, 
 
Uma simples avaliação do gráfico da curva normal, já nos permite perceber alguns 
detalhes: 
 
1. A probabilidade de ocorrer um evento entre x=-∞ e x=+∞ é igual a 1 ou 100%, 
representada pela área cinza no gráfico seguinte. 
 
 
3
2. A probabilidade de ocorrer um evento entre x=-∞ e µ=0 é 0,5 ou 50%, representada 
pela área cinza no gráfico seguinte. 
 
3. A probabilidade de ocorrer um evento entre µ=0 e x=+∞ é 0,5 ou 50%, 
representada pela área cinza no gráfico seguinte. 
 
 
Porém, em algumas situações a determinação é um pouco mais laboriosa, como 
quando se deseja calcular a probabilidade de ocorrer um evento entre -∞ e “a” e entre “b” e 
+∞. No gráfico abaixo temos duas áreas cinza representando estas probabilidades. 
 
 
4
• A curva normal reduzida 
 
Uma distribuição normal muito especial recebeu o nome de curva normal reduzida ou 
padronizada. Tem como características principais a média zero (µ=0) e o desvio padrão um 
(σ=1). A variável “x” recebe o nome especial de “z”. 
Suas probabilidades já foram calculadas e são apresentadas em tabelas de fácil 
utilização. Como a distribuição normal é simétrica, os livros apresentam somente as 
probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade de um intervalo qualquer da 
metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo equivalente na metade direita. 
Convencionou-se chamar de “p” a área entre 0 e “z” e por “q” a área da cauda. 
 
 
A mesma convenção é usada para a metade esquerda da curva. 
 
 
z0
z 0
 
5
• Como usar a tabela de probabilidades 
A tabela que apresentamos2 fornece a probabilidade (p) de ocorrência de um evento 
entre 0 e z. Na margem esquerda, em azul, temos os valores de “z” com uma decimal e, se 
necessitamos considerar a segunda casa decimal, a procuramos na margem superior, em 
vermelho. No interior obtemos as probabilidades (p) da área compreendida entre zero e “z”. 
 
 Segunda casa decimal 
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
Para calcular a probabilidade p entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a linha 
que tem z=1,0 e a coluna 0,00 e encontramos o valor 0,3413. Isto significa que a 
probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e z=1,0 é 0,3413 ou 34,13%. 
Por outro lado, para se obter a probabilidade de z maior que 1, calculamos a probabilidade 
de z entre 0 e 1 que é 0,3413 e, a seguir, fazemos 0,5-0,3413 = 0,1587 ou 15,87%. 
Para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,87, procuramos a célula cuja linha é 
1,8 e coluna 0,07 o que resulta o valor 0,4693 ou 46,93%. 
 
• Como transformar uma normal qualquer na normal reduzida 
Devemos calcular o valor de z (escore z) equivalente aos limites desejados utilizando a 
fórmula: 
σσσσ
µµµµ−−−−
====
x
z 
onde 
x = ponto que se deseja converter em z 
µ = média da normal original 
σ = desvio padrão da normal original 
 
 
2
 Alguns livros apresentam a tabela de P(>z). Observe que neste caso a primeira célula da tabela é igual a 
0,5 , diminuindo à medida que z tende para o infinito. No nosso caso a primeira célula da tabela é zero, 
aumentando a medida que z tende para o infinito. 
 
6
Por exemplo, se temos uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 5 e 
desejamos calcular a probabilidade x entre 100 e 107, inicialmente temos que saber qual é o 
intervalo da curva normal reduzida que é equivalente ao intervalo 100 a 107 da normal com 
média 100 e desvio padrão 5. Ou seja, precisamos transformar a curva normal com média 
100 e desvio padrão 5 na curva normal reduzida. Para tal, calculamos os valores de z para 
x=100 e para x=107. 
0
5
100100
====
−−−−
====
−−−−
====
σσσσ
µµµµx
z 
4,1
5
100107
====
−−−−
====
−−−−
====
σσσσ
µµµµx
z 
O ponto x=100 corresponde a z=0 e o ponto x=107 a z=1,4. Assim, o intervalo 100 
a 107 é equivalente ao intervalo 0 a +1,4 da curva normal reduzida. Nas figuras abaixo são 
apresentadasas áreas equivalentes. 
 
 
 
 
Como a probabilidade p de z entre 0 e +1,4 é 0,4192 ou 41,92% podemos afirmar 
que a probabilidade p de x entre 100 a 107 é igual a 0,4192 ou 41,92% 
 
7
Por outro lado, a probabilidade (q) de valores de x maiores que 107 é igual a 0,0808 
ou 8,08%, pois a probabilidade de z maior que +1,4 que é igual a 0,5 – 0,4192 = 0,0808 ou 
8,08%. 
 
A probabilidade de valores de x menores que 100 é 0,50 ou 50%, pois 100 equivale 
a z igual a 0 e a probabilidade de z < 0 é 0,50, como pode ser observado na figura abaixo. 
 
 
A probabilidade de valores de x menores que 100 ou maiores que 107 é igual 0,50 + 
0,0808 = 0,5808. Estas áreas da curva normal reduzida já foram calculadas nos parágrafos 
anteriores (figura abaixo). 
 
 
8
Exemplo de aplicação na área biomédica 
Supondo-se que a altura de crianças do sexo masculino aos 4 anos de idade tem 
distribuição normal com média igual a 100 cm e desvio padrão de 6,0 cm, pergunta-se: 
 
1. Qual é a probabilidade de uma criança ter altura menor que 110 cm? 
67,1
6
100110
=
−
=
−
=
σ
µx
z 
A probabilidade de 0 < z < 1,67 = 0,4525 . A probabilidade de z < 0 é 0,5 
Assim a probabilidade p de uma criança ter altura menor que 110 cm é igual à 
probabilidade p de valores de z menores que 1,67. Assim, p= 0,50 + 0,4525 = 0,9525 
ou 95,25% 
 
2. Qual é a probabilidade de uma criança ter altura menor que 103 cm? 
Assim a probabilidade de uma criança ter altura menor que 100 cm é 0,50 + 
0,1915 = 0,6915 ou 69,15%. 
 
 
9
3. Qual é probabilidade de uma criança ter altura maior que 103 cm? 
50,0
6
100103
=
−
=
−
=
σ
µx
z 
A probabilidade de 0 < z < 0,50 = 0,1915. A probabilidade de z > 0,50 é 
0,50 – 0,1915 = 0,3085 ou 30,85%. 
 
 
 
4. Qual é a probabilidade de uma criança ter altura entre 103 cm e 110 cm? 
Para 103 z = 0,50 sendo que a probabilidade de 0 < z < 0,50 é 0,1915 
Para 110 z = 1,67 sendo que a probabilidade de 0 < z < 1,67 = 0,4525 
A probabilidade de ser maior que 103 e menor que 107 é igual a 0,4525 – 
0,1915 = 0,2610 ou 26,10%. 
 
 
 
10 
• Como avaliar se os dados da pesquisa se ajustam à distribuição normal? 
 
Faz parte do cotidiano de pesquisadores avaliar se os dados se ajustam à distribuição 
normal. Isto se deve ao fato de que muitos testes estatísticos só podem ser usados se os 
dados se ajustam razoavelmente à distribuição normal. 
Dispomos de gráficos, medidas descritivas e testes estatísticos para esta avaliação. A 
pergunta recorrente é: qual é o melhor deles? Não se pode afirmar que haja um método 
melhor e outro pior. Sabemos que o método gráfico é o mais prático e intuitivo e 
recomendamos que a análise comece por eles, deixando os demais como complemento. 
Podemos classificar as distribuições de dados por sua simetria e por seu achatamento 
(curtose). Quanto à simetria, podemos dividi-los em simétricos, assimétricos à esquerda e 
assimétricos à direita. Quanto ao achatamento ou curtose, as curvas podem ser 
mesocúrticas (em forma de sino), platicúrticas (achatadas) e leptocúrticas (bicudas). 
Nas três figuras apresentadas abaixo, temos uma distribuição simétrica, uma 
assimétrica à direita (longa cauda para o lado direito) e outra assimétrica à esquerda (longa 
cauda para a esquerda) 
 
Probability Density Function
y=normal(x;0;1)
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
-3,50 -1,75 0,00 1,75 3,50 
 
Nas três figuras seguintes, temos uma distribuição mesocúrtica (a primeira), uma 
distribuição leptocúrtica (a segunda) e uma distribuição platicúrtica (a terceira). 
 
Probability Density Function
y=normal(x;0;1)
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
-3,50 -1,75 0,00 1,75 3,50
 
Probability Density Function
y=chi2(x;22)
 
Como já foi dito anteriormente, a distribuição normal é simétrica e mesocúrtica, 
portanto, estamos sempre esperando que nossos dados tenham a forma das primeiras figuras das 
duas séries apresentadas acima. 
O gráfico mais conhecido para se avaliar a simetria é o histograma, entretanto, também 
podemos usar o gráfico de box-plot. Estes gráficos são muito úteis quando o número de dados é 
grande. A seguir apresentamos os gráficos de distribuições simétricas, assimétricas à esquerda e 
assimétricas à direita. 
 
 
11 
Nas figuras apresentadas abaixo temos o histograma e o box-plot de dados com 
distribuição simétrica. 
 
148
 
 
A seguir apresentamos o histograma e o box-plot de dados com distribuição assimétrica 
à direita. 
 
29
129
176
66
192
207
156
170
85
67
189
45
138
12891
142
 
 
Agora temos os gráficos de dados com distribuição assimétrica à esquerda. 
 
44
100
204
164
77
163124
32101
107
 
 
 
12 
Ainda mais intuitivos são os gráficos P-P3 e Q-Q4. Quando os dados se ajustam 
razoavelmente à distribuição normal, os pontos ficam distribuídos sobre a linha contínua. Os 
desvios desta linha são indicativos de desvios da normalidade. A seguir apresentamos 
exemplos das situações apresentadas anteriormente. 
 
1. Distribuição normal 
 
Observed Cum Prob
1,00,80,60,40,20,0
Ex
pe
ct
ed
 
Cu
m
 
Pr
o
b
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Normal P-P Plot of normal
 
 
2. Distribuição assimétrica à direita 
 
Observed Cum Prob
1,00,80,60,40,20,0
Ex
pe
ct
ed
 
Cu
m
 
Pr
o
b
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Normal P-P Plot da Assimetria à Direita
 
 
3
 O gráfico de probabilidad normal (P-P) é uma técnica usada para avaliar a normalidade de um conjunto de dados. A ideia é comparar a distribuição 
dos dados empíricos com a que seria esperada se eles tivessem distribuição normal. Quando os dados se ajustam à distribuição normal, os pontos ficam 
sobre uma linha reta. 
 
4
 O gráfico Quantil-Quantil é semelhante ao gráfico P-P 
 
13 
 
3. Distribuição assimétrica à esquerda 
 
Observed Cum Prob
1,00,80,60,40,20,0
Ex
pe
ct
ed
 
Cu
m
 
Pr
o
b
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Normal P-P Plot da Assimetria à Esquerda
 
 
Além destes métodos gráficos podemos usar os testes de Kolmogorov-Smirnov e o 
teste de Shapiro-Wilk, em que avaliamos a hipótese de que nossos dados têm distribuição 
normal. 
 
Assim: 
H0: os dados têm distribuição normal 
H1: os dados não têm distribuição normal 
 
Toda vez que não rejeitamos H0 (p-valor > 0,05) concluímos que os dados têm 
distribuição normal. 
A seguir apresentamos outputs do SPSS com os resultados dos testes aplicados 
sobre os dados ilustrados anteriormente e que tinham distribuição normal. Observe que o p-
valor (Sig.) do teste de Kolmogorov-Smirnov é 0,200 e o p-valor do teste de Shapiro-Wilk é 
0,923. Portanto, não podemos rejeitar H0, ou seja, os dados têm distribuição normal. 
 
A seguir, no próximo output do SPSS temos os resultados dos testes aplicados nos 
dados que tinham distribuição assimétrica à direita. Observe que o p-valor (Sig.) do teste de 
Kolmogorov-Smirnov é menor que 0,001 e o p-valor do teste de Shapiro-Wilk é menor que 
0,001. Portanto, rejeitamos H0 e aceitamos que os dados não têm distribuição normal. 
Tests of Normality dos dados com distribuição normal
,030 210 ,200* ,997 210 ,923normal
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
This is a lower bound of the true significance.*. 
Lilliefors Significance Correctiona. 
 
14 
 
Por último, neste output do SPSS temos os resultados dos testes aplicados nos dados 
que tinham distribuição assimétricaà esquerda. Observe que também neste caso o p-valor 
(Sig.) do teste de Kolmogorov-Smirnov é menor que 0,001 e o p-valor do teste de Shapiro-
Wilk é menor que 0,001. Portanto, rejeitamos H0 e aceitamos que os dados não têm 
distribuição normal. 
 
O software SPSS tem um módulo muito útil para avaliação da normalidade de dados. 
 
1. A partir do menú, click em: 
Analyze ⇒⇒⇒⇒ Descriptive Statistics ⇒⇒⇒⇒ Explore 
 
 
2. Selecione a variável dependente, levando-a para a janela superior (Dependent 
List). Se houver a necessidade de comparar grupos, selecione a variável que define 
os grupos, levando-a para a janela inferior (Factor List). 
Tests of Normality dos dados com Assimetria à Direita
,238 210 ,000 ,712 210 ,000Direita
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Lilliefors Significance Correctiona. 
Tests of Normality dos dados com Assimetria à Esquerda
,127 210 ,000 ,895 210 ,000Esquerda
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Lilliefors Significance Correctiona. 
 
15 
 
 
3. A seguir, click em <Plots...> e habilite a função 
<Normality plots with tests> 
 
 
 
4. Click em <Continue> e, a seguir, em no botão <OK...> 
 
O resultado do processamento contempla todas as informações de estatística 
descritiva (medidas de tendência central, medidas de dispersão, medidas de posição, 
intervalo de confiança da média, coeficientes de simetria e curtose), gráficos de box-plot e 
histograma, testes de normalidade (Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilk) e os gráficos P-P e 
Q-Q. 
A seguir apresentamos um exemplo com resultados do processamento pelo módulo 
“Explore”. 
 
16 
Descriptives
282,62 11,524
258,58
306,66
278,19
280,00
2789,048
52,811
200
450
250
55
1,322 ,501
4,216 ,972
Mean
Lower Bound
Upper Bound
95% Confidence
Interval for Mean
5% Trimmed Mean
Median
Variance
Std. Deviation
Minimum
Maximum
Range
Interquartile Range
Skewness
Kurtosis
PFE Pico de
Fluxo Expiratório
Statistic Std. Error
 
 
Tests of Normality
,159 21 ,176 ,884 21 ,017PFE Pico deFluxo Expiratório
Statistic df Sig. Statistic df Sig.
Kolmogorov-Smirnova Shapiro-Wilk
Lilliefors Significance Correctiona. 
 
 
Observed Value
450400350300250200150
Ex
pe
ct
ed
 
N
o
rm
al
2
1
0
-1
-2
Normal Q-Q Plot of Pico de Fluxo Expiratório
 
17 
Bibliografia 
1. Altman DG. Practical statistics for medical research. 1st ed. London: Chapman & Hall, 
1991. 
2. Bland M. An introduction to medical statistics. 2nd ed. New York: Oxford University 
Press, 1995. 
3. Bussab WO, Morettin PA. Estatística básica. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2003. 
4. Callegari-Jacques SM. Bioestatística: princípios e aplicações. 1ª ed. Porto Alegre: 
Artmed, 2003. 
5. Daniel WW. Biostatistics – A foundation for analysis in the health sciences. 6th ed., 
New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. 
6. Howell DC. Statistical methods for psychology. 5th ed. Belmont, CA: Duxbury Press, 
2002. 
7. Spiegel MR. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Makron Books, 1993. 
8. Vieira S. Introdução à bioestatística. 3ª ed., Rio de Janeiro: Editora Campus, 1980. 
9. Walker HM, Lev J. Elementary Statistical Methods. New York: Holt, Rinehart and 
Winston, 1958. 
10. Zar J. Biostatistical analysis. 2nd ed. Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc., 1984. 
 
18 
Probabilidades da Curva Normal Reduzida 
 Segunda casa decimal 
z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 
0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 
0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 
0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 
1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 
1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 
1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 
1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 
1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 
1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 
1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 
1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 
2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 
2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 
2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 
2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 
2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 
2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 
2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 
2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 
2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 
2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 
3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990