Aula1 ConicasQuadricas

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Cálculo de Várias Variáveis 
Aula 1: Cônicas e Quádricas 
 
 
 
Alexsandro Marian Carvalho 
Escola Politécnica 
UNISINOS 
 
 
• Comentários Iniciais 
 Superfícies e as Tecnologias 
 
 
- Problema 
Qual a expressão matemática que representa a superfície? 
 
- Consideração 
Podemos compreender o comportamento de uma superfície quádrica explorando as seções 
cônicas. 
• Seções Cônicas 
 
 
 
Círculo Elipse Parábola Hipérbole 
As seções cônicas surgem da intersecção de um cone duplo e um plano que não passa 
através do vértice do cone. 
NOTA: As seções cônicas degeneradas (ponto e linhas) são produzidas quando o plano 
passa no vértice do cone. 
Linhas Ponto 
Parábolas (Vértice na origem) 
 
 
 
Equações Representações 
Exercícios 
 
 
 
1 – Esboce o gráfico da parábola 𝑦2 = −2𝑥. 
2 – Determine a equação da parábola indicada na figura 
Elipse (Centro na origem) 
 
 
 
Equação Representações 
𝑎 > 𝑏 
𝑎 < 𝑏 
Nota: Para 𝑎 = 𝑏 temos um círculo. 
Exercícios 
 
 
 
3– Esboce a elipse de equação 
𝑥2
4
+
𝑦2
25
= 1. 
4– Determine a equação da elipse indicada na figura 
Hipérbole (Centro na origem) 
 
 
 
Equações Representações 
Exercícios 
 
 
 
5 – Esboce a hipérbole de equação 
𝑦2
4
−
𝑥2
9
= 1. 
6 – Determine a equação da hipérbole indicada na figura 
Cônicas Transladadas 
 
 
 
Equações 
Parábola 𝑥 − 𝑥0
2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑦0) 
Elipse 
𝑥−𝑥0
2
𝑎2
+
𝑦−𝑦0
2
𝑏2
= 1 
Hipérbole 
𝑥−𝑥0
2
𝑎2
−
𝑦−𝑦0
2
𝑏2
= 1 
NOTA: O processo de construção gráfica é similar ao 
realizado a cônicas não transladadas ( use as regras 
anteriores a partir do vértice/centro transladado). 
Exercícios 
 
 
 
7 – Esboce a hipérbole de equação 
(𝑦−2)2
9
− (𝑥 + 4)2 = 1. 
8– Determine a equação da elipse indicada na figura 
𝑦 
𝑥 
NOTA: Caso a expressão da cônica esteja fora do formato padrão devemos usar a técnica de 
completar quadrado. 
𝑧2 ± 2𝑧0𝑧 = 𝑧 ± 𝑧0
2 − 𝑧0
2 
Exercício 
 
 
 
9 – Determine a equação reduzida da parábola de equação geral 𝑦 = 4𝑥2 + 8𝑥 + 5. 
OBSERVAÇÃO: 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 
𝑦 = +𝑏 1 −
𝑥2
𝑎2
 
𝑦 = −𝑏 1 −
𝑥2
𝑎2
 
𝑦 
𝑥 𝑎 −𝑎 
𝑏 
−𝑏 
• Planos e Superfícies 
 
 
 
Plano 
 
 
 
Equação 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Exercícios 
 
 
 
10 – Represente graficamente o plano de equação −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4 
Cilindro 
 
 
 
Curva 𝐶 gera o cilindro. 
Linhas paralelas a ℓ através de 
𝐶 formam a superfície. 
DEFINIÇÃO 
Dada uma curva 𝐶 num plano 𝑃 e uma linha 
ℓ não em 𝑃, um cilindro é uma superfície 
que consiste de todas linhas paralelas a ℓ 
através da curva 𝐶. 
Exercícios 
 
 
 
11 – Represente graficamente o cilindro 𝑦 − 𝑧2 = 0. 
12 – Determine a equação do cilindro indicado na figura 
4 
2 
Superfícies Quádricas 
 
 
 
DEFINIÇÃO 
Superfícies quádricas são descritas pela equação 
 
 
onde 𝐴, 𝐵, ⋯ , 𝐽 são constantes. 
 
 ESBOÇO DO GRÁFICO 
 
• Represente alguns traços da superfície ( 𝑥 = 𝑥0, 𝑦 = 𝑦0 e ou 𝑧 = 𝑧0). 
 A superfície surge pela composição dos traços. 
 
Exemplos 
 Traço 
Exercícios 
 
 
 
13 – Esboce a superfície associada a expressão: 
 
a) 
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑧2
9
= 1 
 
b) 𝑦2 =
𝑥2
25
+
𝑧2
4
 
 
c) 𝑧 = 𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 + 3 
 
Elipsóide 
Parabolóide Elíptico 
Parabolóide Hiperbólico 
Hiperbolóide de uma folha 
Hiperbolóide de duas folhas 
Cone elíptico 
Reflexão e Translação de Quádricas 
 
 
 
REFLEXÃO 
• A substituição de uma variável por seu negativo na equação de uma superfície 
faz com que a superfície seja refletida sobre um plano coordenado. 
 Exemplo 
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = −(𝑥
2 + 𝑦2) 
• A troca de duas variáveis na equação de uma superfície reflete a superfície 
sobre um plano que faz um ângulo de 45° com dois dos planos coordenados. 
Exemplo 
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 = 𝑧2 + 𝑦2 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑧2 
𝑧 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑥 𝑦 
𝑧 
𝑥 𝑦 
TRANSLAÇÃO 
• Quando as coordenadas dos pontos 𝑥, 𝑦, 𝑧 são modificadas pela substituição 
𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 o efeito geométrico é transladar o centro/vértice da 
superfície quádrica da origem 𝑂(0,0,0) para o ponto de coordenadas (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0). 
 
Exemplo 𝑧 =
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
b2
 
𝑧 − 𝑧0 =
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑦0)
2
b2
 
𝑂(0,0,0) 
𝑃 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 
𝑧 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑥 
𝑦 
Exercícios 
 
 
 
14 – Determine a equação da quádrica representada a seguir 
𝑧2 = 4𝑥 
𝑦2 = −9𝑥 
3 
4 
a) b) 
𝑥 − 3 2
3
+
2
3
𝑧2 = 1 
• Cônicas e Quádricas no Wolfram|Alpha 
 
 
www.wolframalpha.com 
- Cônica 
Exemplo [Ex7] 
- Quádrica 
Exemplo [Ex13a]