Matemática Instrumental

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Matemática Instrumental – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix 
 
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1 1 
 
 
 
PROFESSOR RIKEY FELIX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Instrumental 
 Introdução a noções de medidas numéricas, razão e proporção, 
porcentagem e princípio de equivalência. 
 
 
Professor Rikey Paulo Pires Felix, 
 
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás, 
pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes 
Belos - Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do 
Brasil, instrutor do SENAC, unidade de Sorriso MT, ex professor 
de rede POSITIVO de ensino, ex professor da rede Pitágoras de 
ensino, e cursos preparatórios para concursos públicos e 
vestibulares. 
 
Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática 
Elementar, apresentando conceitos teóricos e aplicações de razões 
e proporções, resolução de exercícios, exemplos no cotidiano, 
noção intuitiva e empírica, bem como suas respectivas aplicações 
na contabilidade, administração e secretariado, trazendo uma 
didática e proposta pedagógica voltada para um curso 
profissionalizante. 
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3 3 
Conteúdos abordados: 
 
 Razão de dois números 
 Razão de duas grandezas 
 Proporção – definição 
 Elementos da proporção 
 Propriedade fundamental 
 Cálculo de um termo desconhecido 
 Recíproca da propriedade fundamental 
 Transformadas 
 Séries de razões iguais. 
 Grandezas diretamente proporcionais – definição e gráfico 
 Propriedade característica 
 Números diretamente proporcionais 
 Grandezas inversamente proporcionais – definição e gráfico 
 Propriedade características 
 Números inversamente proporcionais 
 Grandezas proporcionais a várias outras – definição e 
propriedade. 
 Divisão em partes proporcionais 
 Divisão em partes inversamente proporcionais 
 Divisão proporcional composta 
 Regra da sociedade 
 Regra de três simples e composta 
 Percentagem taxa unitária, fórmula para cálculo percentual 
 Operação sobre Mercadorias 
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4 4 
 
 Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço 
da venda) 
 Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o 
preço da venda) 
 Aumento sucessivo 
 Abatimento sucessivo 
 Operações com porcentagem 
 Resolução de exercícios 
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5 5 
Razão de dois números 
 
Os números a e b são os termos da razão: O elemento a é 
chamado de antecedente e o elemento b é chamado de 
conseqüente 
b
a
 
Calcule a razão entre os números: 
A) 256 e 960 
B) 1,25 e 3,75 
C) 5 e 
3
1
 
D) 
2
1
e 0,2 
E) 
)
5
1
2(
e 3 
 
Razão de duas grandezas 
 
Se as grandezas forem da mesma espécie, suas medidas devem 
ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um 
número puro. 
 
Veja a razão de 2m para 3m: 
3
2
3
2
m
m
 
Veja a razão de 30dm para 6m: 
2
6
3
6
30
m
m
m
dm
 
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6 6 
Se as grandezas não forem da mesma espécie, a razão é um 
conjunto cuja unidade depende das unidades das grandezas a 
partir das quais se determina a razão. 
 
Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a 
distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 
 
hkm
h
km
/80
2
160
2
160
 
 
Calcule a razão entre as seguintes grandezas: 
a) 27 km e 3l de álcool 
b) 40 g e 5cm³ 
c) 24kg e 80kg 
d) 20cm e 4dm 
e) 20d e 2 me 15d 
 
Proporção (a, b, c, d) 
 
O conceito de proporção é sem dúvidas de extrema 
importância em nossas vidas, assim como em toda a matemática 
financeira e elementar. Sempre estamos fazendo comparações em 
relação às proporcionalidades das formas, objetos e tamanhos das 
coisas, carros e etc. 
Por se tratar de um princípio de grande viabilidade na 
administração financeira, começamos por aqui a abordagem do 
conteúdo. 
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7 7 
A razão de dois números ou a razão entre dois números de 
a
 e 
b
ou 
b
a
 que se lê “razão de 
a
 para 
b
” ou “razão entre 
a
 e 
b
” ou “ 
a
 
está para 
b
”. 
O primeiro número (numerador) é chamado de 
antecedente “
a
” o segundo (denominador) é chamado de 
conseqüente “
b
” 
Exemplo: 
b
a
 
 
Proporção e elementos 
Dados, em certa ordem, quatro números (a, b, c, d) 
diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção 
quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão 
entre os dois últimos (c e d) 
 
Propriedade fundamental 
K
d
c
b
a
, 
b
e 
c
 são os meios, 
a
 e 
d
são os extremos, 
a
 e 
c
 
são antecedentes, 
b
 e 
d
 são conseqüentes. Então temos: a.d=cb. 
 
Exercício: 
Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: 
a) 
28
24
7
6
 b) 
15
12
3
2
 c) 
270
75
15
4
 d) 
16
15
4
3
 e) 
2
1
5
3
6
1
5
2
d) 
1
8,0
3
2
3
2
9
5
 
 
 
 
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8 8 
Cálculo de um termo desconhecido (Cálculo da quarta 
proporcional). 
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é 
sempre possível determinar o valor de um termo qualquer 
quando são conhecidos os outros três. 
Ex: Calcule x nas proporções: 
a) 
x
60
20
15
 b) 
2
3
56
7
x
, aplicando a propriedade fundamental. 
 
Calcule x, sabendo que: 
a) 
x
18,0
25,0
06,0
 b) 
5
1
4
3
3
2
x c) 
4
1
3
4
11
3
1
2
x 
 
 
Recíproca da propriedade fundamental 
 
Consideremos quatro números reais quaisquer (a, b, c, d), 
diferentes de zero, tais que o produto de dois dels seja igual ao 
produto dos outros dois, quer dizer a.d=b.c, dividindo ambos os 
menbros dessa igualdade pelo produto de um dos fatores do 
primeiro membro por um dos fatores do segundo (por exemplo 
d.b, temos: 
bd
cb
bd
da
.
.
.
.
então temos: 
d
c
b
a
 
 
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9 9 
 
Transformadas 
 
Toda proporção possui oito transformadas, ou proporções 
distintas duas a duas. Quer dizer, podemos escrever uma 
proporção em uma ordem diferente da original, mantendo sempre 
a mesma equivalência. 
Exemplo: 
32
20
8
5
, podendo ser escrito com exatidão desta forma: 
* 
5
20
8
32
 
* 
32
8
20
5
 
* 
20
32
5
8
 
* 
8
5
32
20
 
É fácil perceber que podemos formar até oito transformadas duas 
a duas: 
 
Série de Razões Iguais ou proporção múltipla 
 
O conceito da propriedademúltipla é de extrema 
importância no estudo das proporções, também conhecida como 
propriedade fundamental das proporções. 
Por este motivo, vamos fazer uma análise da fórmula, 
bem como sua formação. 
 
db
ca
b
a
...
K
, proporção múltipla, 
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10 10 
Em seguida a demonstração da Fórmula 
Seja a série de razões iguais. 
k
n
m
d
c
b
a
 
Fazendo a razão comum igual a k, obtemos: 
k
b
a
, 
k
d
c
, ... 
k
n
m
 
Então: 
bka
, 
dkc
, 
nkm
, 
Somando membro a membro nessas igualdades, temos: 
nkdkbkmca ......
 
Trabalhando esta igualdade, chegamos à propriedade 
múltipla: 
k
n
m
d
c
b
a
ndb
mca
...
...
...
 
 
Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma 
dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu 
respectivo conseqüente. 
 
 
Sistema de medidas: 
 
Sistema métrico decimal 
Km > hm > dam > m > dm > cm > mm 
 
Sistema de capacidade 
kl > hl > dal > l > dl > cl > ml (Exemplos de metro cúbico) 
 
 
 
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11 11 
Relações importantes de capacidade. 
1 m³ = 1000 litros 
1 litro = dm³ 
1 cm³ = ml 
 
Medidas agrárias: 
 
ha = hm² 
a = dam² 
ca = m² 
 
1ha = 100 a 
1 a = 100 ca 
 
Exercício: 
1) Calcule x, y e z, sabendo que 
15119
zyx
 e x + y + z = 420 
2) Determine os antecedentes de uma proporção sabendo que 
sua soma é 47 e os conseqüentes são 2 e 8. 
3) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que 
a razão entre eles é 
3
2
. 
4) Calcule a, b, e c, sabendo que a + b + c = 180 
135
cba
 
5) Determine os conseqüentes de uma proporção, sabendo que 
sua soma é 60 e que os antecedentes são 108 e 72. 
6) Determine dois números, sabendo que a razão entre eles é 
90
18
e que sua soma é 30. 
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12 12 
7) Calcule a razão entre as seguintes grandezas: 
a) 80 m e 48 dam 
b) 150 m² e 45 ares 
c) 0,725 m³ e 5000 l 
d) 9 d 17 h 20 min e 8 d 12 h 10 min 
 
8)Escreva uma razão igual a 
4
15
, cujo antecedente seja 
3
5
 
9) Calcule dois números, sabendo que a soma é 169 e que a 
razão é 
9
4
? 
10) A idade de um pai está para o seu filho como 7 está para 
.
3
5
 
Se a soma das idades é 52, qual é a idade de cada um? 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
 
 A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia a dia 
associa duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando 
uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. 
Assim, a quantidade de combustível consumido por um 
automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O 
tempo gasto numa construção depende do número de operários 
empregados e etc. 
 
 Grandezas diretamente proporcionais 
 
Exemplo: Uma barra de alumínio de 100
3cm
de volume pesa 270 
g
, nas mesmas condições, uma barra de 200 
3cm
 pesará 540 
g
 e 
uma de 300 
3cm
, 810 
g
. Então podemos dizer que as grandezas 
citadas são diretamente proporcionais. 
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13 13 
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais, se os 
valores 
x
e 
y
são expressos por uma função do tipo: 
kxy
, onde 
k
é um número real constante chamado de coeficiente de 
proporcionalidade diferente de zero. Como a função desse tipo é 
uma função linear, o gráfico que representa a proporcionalidade 
direta de duas grandezas é uma reta passando pela origem. 
 Lembrando que para 
0x
temos 
0y
. 
 
 
2
1
2
1
y
y
x
x
 
Em se tratando de Administração de Empresas, é mais 
comumente, a utilização do conjunto do domínio 
Rdom
, e como 
conseqüência tempos uma imagem
RIm
, por se tratar de 
objetos e quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são 
quantitativas maiores que zero. É importante lembrar, que a 
proporcionalidade entre duas grandezas é aplicada dentro de 
certos limites. Assim, na compra por atacado, por exemplo, o 
preço por unidade é com certeza menor do que as compras feitas 
a varejo. Para caracterizarmos a proporcionalidade de duas 
grandezas, não é suficiente verificar se o aumento de uma delas 
acarreta o aumento da outra. É necessário que, ao 
multiplicarmos uma delas por um número real 
k
diferente de 
zero, a grandeza correspondente também fique multiplicada por 
k
. Outro exemplo, o lado de um quadrado e a sua área não são 
grandezas proporcionais, pois, multiplicando – se o lado por 2, a 
área fica multiplicada por 4. 
 
Exemplos: 
kxy
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14 14 
1) O comprimento de uma peça de tecido e o seu preço são 
grandezas diretamente proporcionais? Por que? 
2) O número de dias gastos na construção de um muro é 
diretamente proporcional ao número de operários 
empregados nesse serviço? Por que? 
3) Determine os valores de a e b nas seqüências de números 
proporcionais (6, a, 21) e (2, 5, b) 
4) Quais são os menores números inteiros proporcionais aos 
números 
3
2
,
4
3
e
6
1
 
 
 
Grandezas inversamente proporcionais 
 
Uma distancia de 1200 
km
 pode ser percorrida por um avião, a 
uma velocidade de 100
hkm/
, em 12 horas, a uma velocidade de 
200 
hkm/
, em 6 horas, e a uma velocidade de 300 
hkm/
, em 4 
horas. Então podemos dizer que as grandezas citadas são 
inversamente proporcionais. Neste caso temos que a velocidade e 
o tempo são grandezas inversamente proporcionais. 
 Duas grandezas variáveis são inversamente proporcionais se 
os valores correspondentes 
x
e 
y
 são expressos por uma função do 
tipo: 
x
ky
1
.
. Números inversamente proporcionais também 
podem ser expressos da seguinte maneira: 
kyx.
ou 
1
2
2
1
y
y
x
x
ou 
kyxyxyx 332211 ...
 
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15 15 
Sendo a função 
x
ky
1
.
 uma função recíproca, o gráfico 
representativo da proporcionalidade inversa de duas grandezas é 
um ramo de uma hipérbole. 
0 = y-1/x
 
 
Em se tratando de Administração de Empresas, é mais 
comumente, a utilização do conjunto do domínio 
Rdom
, e como 
conseqüência tem uma imagem
RIm
, por se tratar de objetos e 
quantidades, custos, consumo e todas essas medidas são 
quantitativas maiores que zero. 
 
Nota: 
Dados, em certa ordem, quatro números proporcionais (a, b, c, d) 
diferentes de zero, o termo “d” é chamado de quarta proporcional. 
Dados, em certa ordem de quatro números proporcionais (a, b, 
b,c) diferentes de zero, o termo “b” é chamado de terceira 
proporcional. Nesse caso o termo “b” é chamado de média 
proporcional, ou média geométrica do outros termos, e pode ser 
escrito da seguinte forma: Ex: 
bab .2
ou 
bab .
 
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16 16 
 
 
Exercícios: 
a) Determineos valores a e b nas sequências de números 
inversamente proporcionais (2,3,b) e (15,a,5) 
 
b) Qual o fator de proporcionalidade entre as sequências de 
números inversamente proporcionais (1,3,5) e (60,20,12)? 
 
 
c) Sabendo que os números das (1, a, -4) e (4, 2, b ) são 
inversamente proporcionais, determine a e b. 
 
 
Exercícios 
 
 
 
a) Determine dois números, sabendo que sua soma é 60 e que 
a razão entre eles é 
.
3
2
? 
 
b) Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a 
razão é 
.
9
4
? 
 
c) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 
.
5
8
 Quais 
são esses números? 
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17 17 
d) Qual é o número que, aumentado de 2 unidades, está para 5 
assim como 28 está para 20? 
e) Decomponha o numero 
.
6
35
 em duas partes, tais que a razão 
entre eles seja 2/3.? 
 
f) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para 
o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois 
números é igual a 69. Quais são os três números.? 
 
g) Qual é o número que diminuído de 3 unidades, está para o 
seu consecutivo assim como 5 está para 6.? 
 
h) A importância de R$ 588 foi dividia entre 3 pessoas. 
Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda 
como 5 está pra 7, e que a parte da segunda está para a 
terceira como 7 está para 9, determine as três partes. 
 
i) Determine quais são os menores números inteiros 
inversamente proporcionais aos números (3 , 4, 5, 8) 
 
Regra da sociedade. 
 
Consiste na aplicação da divisão do dividendo de uma empresa, 
(lucros ou prejuízos) avaliado em certo período determinado, em 
partes diretamente proporcionais a quantia que cada sócio 
investiu na formação da empresa. 
 
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18 18 
Ex: Suponhamos que Antonio, José e Pedro tenham se associado 
para comprar um terreno no valor de R$ 60.000. Antônio entrou 
com R$ 30.000, José com R$ 20.000 e Pedro com R$ 10.000. 
Algum tempo depois, venderam esse terreno por R$ 90.000. Qual 
é a parte que caberá a cada um deles? 
Vamos à resolução: 
5,1
000.60
000.90
 
Isso quer dizer que o imóvel teve uma valorização de 50% ou 0,5. 
Sendo assim, para calcularmos quanto cabe em cada parte após a 
venda, é só atribuirmos 50% em cada valor inicial. 
 
Antonio: 30.000 x1, 5 = R$ 45.000,00 
José: 20.000 x1, 5 = R$ 30.000,00 
Pedro: 10.000 x1, 5 = R$ 15.000,00 
 
Podemos também usar a idéia que aprendemos anteriormente de 
proporção múltipla. 
k
cba
102030
 , sabendo que 
90cba
 
Então temos: 
30102030
acba
 
3060
90 a
, então 
45a
 e conseqüentemente 
30b
 e 
15c
 
 
 
Exercícios: 
 
 
Ex: Dividir 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5, 11? 
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19 19 
Resposta: 20, 50, 110, 
 
Ex: Dividir o número 210 e partes inversamente proporcionais a 
3, 5, 6. 
resposta: 100, 60, 50? 
resolução: 
As seqüências de números reais e não nulos 
),...,,( 21 naaa
 e 
),...,,( 21 nbbb
 
são inversamente proporcionais se, e somente se: 
kbababa 332211 ...
 ou então: 
k
b
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1
111
 
 
Podemos usar o conceito descrito anteriormente, 
kcba 6.5.3.
, 
para concluirmos esta resolução, é necessário fazermos algumas 
substituições 
210cba
 
ca 63
então 
ca 2
 
2102 cbc
 
2103 bc
 
5
6c
b
 
210
5
6
3
c
c
 Resolvendo temos: 
50c 60b 100a
 
 
Ex: Um pai deixou R$ 2.870,00 para serem divididos entre seus 
filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos Quanto 
recebeu cada um? 
Resposta: 1470, 980, 420 
 
 
Divisão proporcional composta. 
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20 20 
 
Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes 
direta ou inversamente proporcionais a certos números 
),,( cba
 e 
simultaneamente, em partes diretamente ou inversamente 
proporcionais a outros tantos números 
),,( 111 cba
. 
Sejam 
zyx ,,
os valores das partes pedidas. Como 
zyx ,,
 são 
proporcionais a 
cba ,,
 e também a 
111 ,, cba
 são grandezas compostas, 
portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos 
111 .,.,. ccbbaa
. 
 
Ex 1: Dividir 392 em partes ao mesmo tempo diretamente 
proporcionais a 2, 3, 4 e 3, 5, 7. 
Método de resolução 
K
cc
z
bb
y
aa
x
,,, ...
 
Resposta: 48, 120, 224 
 
 
Ex 2: Dividir 175 em partes diretamente proporcionais a 
4
5
, 
,3
 
4
, 
e ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 
4
3
,
6
, 
2
. Método 
de resolução 
K
c
c
z
b
b
y
a
a
x
,,,
1
.
1
.
1
.
 
Resposta: 70, 21, 84 
 
Ex: Dividir 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente 
proporcionais a (3,5,6) e (4,6,9). 
 
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21 21 
Ex: Divida 363 em três partes, de modo que a segunda seja o 
dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda. 
 
 
1. Regra da sociedade 2. 
 
A regra da sociedade é uma das aplicações da divisão 
proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos 
entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião 
do balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída 
de um dos sócios ou da admissão de um novo sócio. 
Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios 
proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando – se em 
conta as condições estipuladas no contrato social. 
 
 Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. 
Dividimos o lucro ou o prejuízo em partes iguais 
 
 Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo 
tempo 
Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente 
proporcionais aos capitais dos sócios 
 
 Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. 
Na prática, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer 
por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se 
retira ou um novo sócio é admitido, procede – se a uma reforma 
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22 22 
do contrato social, após o Balanço, calculando – se o Ativo e o 
Passivo. 
Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior. 
 
QUANDO OS SÓCIOS INTEGRALIZAM SUAS QUOTAS DE 
CAPITAL EM ÉPOCAS DIFERENTES. 
 
Exercícios: 
 
Ex: Antonio e José organizaram uma firma comercial com um 
capital social de R$ 2.000,00, devendo cada um deles entrar com 
R$ 1.000,00. No ato da organização, 1º de março, Antônio 
integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700,00, 
responsabilizando – se por integralizar sua quota após 5 meses. 
Em 31 de dezembro foi procedido o balanço, tendo sido apurado 
um lucro de R$ 740,00. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? 
 
Resposta: 400, 340 
Vamos à resolução: 
Antonio: 10 meses, então temos: 1000 x10 =10.000,00 
José: 700 x 10 +300 x 5 = 7000 +1500 = 85.000,00 
Osegredo destes tipos de exercícios é conseguir obter uma 
proporção correta para sócio. Então temos x está para 100 , assim 
como y está para 85. Sabendo que x + y é igual á 740 
 
Seja a proporção 100,85=20,17. então temos: 
 
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23 23 
k
ba
1720
 
201720
aba
 
2037
740 a
 , então temos: 
400a
, e como conseqüência 
340b
 
 
Ex: Dois sócios fundaram uma sociedade com um capital de R$ 
720.000. No momento de liquidar a sociedade, o primeiro recebeu 
capital mais lucro num total de R$ 207.000. Sabendo que o lucro 
total de R$ 108.000, qual o capital de cada sócio? 
Resposta: 180.000, 540.000 
Lucro proporcional ao capital investido. 
 
Ex: Três sócios realizaram um capital de R$ 240.000,00. Sabendo 
que ao fim de certo período de tempo, tiveram de lucro, 
respectivamente 
00,000.24$R
; 
00,000.22$R
 e 
00,000.18$R
; qual era o 
capital de cada um? 
 
É importante lembrar que o lucro é proporcional ao valor inicial 
investido, ao mesmo tempo em que o valor investido é 
proporcional ao lucro. Mesmo querendo descobrir o valor inicial 
investido, vamos usar a mesma idéia de proporcionalidade 
anteriormente comentada. 
182224
zyx
 
24182224
xzyx
 
2464
240 x
 
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24 24 
90x
, então 
50,82y
 e 
50,67y
 
 
Ex: Duas pessoas constituíram uma sociedade com os capitais de 
R$ 90.000,00 e R$ 76.000,00 respectivamente. A primeira 
recebeu na divisão do lucro, R$ 1.722,00 a mais que a segunda. 
Calcule o lucro de cada uma delas. 
 
000.90a
, e 
000.76a
 
7690
yx
 e 
yx 1722
 
 
Vamos usar a idéia de proporção múltipla 
907690
xyx
 
 
90166
1722 xxx
 
154980180166 xx
 
11070x
, temos como conseqüência 
 
Uma empresa, organizada por três sócios em 1° de maio, deu um 
lucro de R$ 688, apurado em 31 de dezembro. O capital social de 
R$ 3000,00 foi dividido em partes iguais. O segundo sócio, tendo 
entrado com R$ 600,00, só integralizou o seu capital em 15 de 
julho. O terceiro, que havia entrado com a metade, completou a 
sua parte em 1° de agosto. Quanto recebeu cada sócio? 
 
 
Para execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 
mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 
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25 25 
16200, que cada mulher recebeu 3/4 da quantia de um homem e 
que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher, quanto 
recebeu cada um? 
 
 
2. Regra de Três. 
 
Regra de três: 
 
Regra de três, nada mais é do que usar o princípio da 
proporcionalidade para descobrir o termo desconhecido. Nos 
problemas figuram uma grandeza que é direta ou inversamente 
proporcional a uma ou mais grandeza. Na regra de três simples, 
são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o 
qual corresponde a uma dos valores da primeira grandeza. 
Devemos então, obter o valor da segunda grandeza que 
corresponde ao segundo valor da primeira. 
Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha 
com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de 
duas grandezas. 
Matematicamente falando, devemos tomar um certo 
cuidado com alguns tipos de situações. Antes de desenvolver o 
problema, devemos antes analisar se as variáveis segue o 
princípio de proporcionalidade. 
Por se tratar de um assunto básico, apenas citaremos 
alguns exemplos relacionados. 
 
Exercícios: 
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26 26 
Ex: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 
20 operários fariam a mesma obra? 
Resposta:: 3 dias 
 
Ex: Se 35m de um tecido custa R$ 140,00, quanto se pagará por 
12m? 
 
Ex: Um automóvel, correndo com a velocidade de 84 km/h, deve 
percorrer certa distância em 9h. Depois de 3h de viagem houve 
um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 
45km. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar 
ao ponto final na hora fixada. 
 
Ex 2: Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 
min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 
350.000 desses exemplares? 
Resposta: 160 min. ou 2 h 40 min 
 
Ex 3: Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu 
uma determinada distancia em 6 dias, viajando 
h
2
1
4
por dia. 
“Afrouxando em 
10
1
a sua velocidade e viajando 6
h
 por dia, o 
motoqueiro levará quantos dias para percorrer a mesma 
distância? 
Resposta: 5 dias 
 
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27 27 
Ex4: Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários 
gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários 
para fazer 39 m de um muro igual? 
 
Princípio de porcentagem 
 
100x
total
parcial
Percentual 
 
 
 
Operações sobre mercadoria. 
 
O que vamos ver neste capítulo são problemas de percentagem 
ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, 
vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os 
preços e de venda de mercadorias. 
 
Vendas com Lucro 
Legenda: 
LLucro
 
CCusto
 
PejuízoPr
 
VVenda
 
Taxa Unitária do Lucro = 
i
 
 
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28 28 
Lucro sobre o preço de custo 
 
CiLucro .
 
LCV
 
 
CiCV .
 
CiV ).1(
 
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o 
custo da mercadoria como equivalente a 100%. 
 
Ex: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% 
sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que 
essas mercadorias custaram R$ 500,00 
 
CiV ).1(
 
500).08,01(V
 
500).08,1(V
 
540V
 
 
Lucro sobre o preço de Venda 
 
LCV
 
ViL .
 
ViCV .
 
CViV .
 
Então temos: 
i
C
V
1
 
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29 29 
Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. 
Desejando ganhar 20% sobre o preço de custo, qual deve ser o 
preço de venda? 
i
C
V
1
 
2,01
480
V
 
600V
 
 
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o 
valor da venda como equivalente a 100%. 
 
Prejuízo sobre o preço de custo. 
 
V=C-P 
P=i.C 
V=C-P 
V=C-Ic 
V=(1-i)C 
 
Prejuizo sobre o preço de venda 
 
V=C-P 
P=iV 
V=C-P 
V=C-iV 
V+iV=C 
V=C/(1+i) 
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30 30 
 
3. Abatimentos e aumentos sucessivos. 
 
 
)1)(1)(1( cbaPL
 
L = Valor líquido. 
Aumento sucessivo 
 
)1)(1)(1( cbaPM
 
 M = montante acumulado 
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31 31