Aula 02 Raciocinio Logico EBSERH 2016

Prévia do material em texto

Aula 02 
 
 
 
Raciocínio-Lógico Matemático p/ EBSERH - 2016 (todos os cargos) 
 
Professor: Marcos Piñon 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02: Resolução de problemas envolvendo conjuntos 
 
 
 
Observação importante: este curso é protegido por direitos autorais 
(copyright), nos termos da Lei 9.610/98, que altera, atualiza e consolida a 
legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. 
Grupos de rateio e pirataria são clandestinos, violam a lei e prejudicam os 
professores que elaboram os cursos. Valorize o trabalho de nossa equipe 
adquirindo os cursos honestamente através do site Estratégia Concursos ;-) 
 
 
 SUMÁRIO PÁGINA 
1. Conjuntos 1 
2. Questões comentadas nesta aula 72 
3. Gabarito 86 
 
 
1 – Conjuntos 
 
 
Vamos começar esta aula relembrando alguns conceitos fundamentais para o 
nosso estudo. Relembraremos apenas alguns tópicos para nos familiarizarmos 
com os símbolos e a linguagem utilizados. 
 
A definição de conjuntos é bastante intuitiva, mas podemos dizer que os 
conjuntos são coleções de “coisas”. Exemplos: 
 
- Os carros de uma locadora de veículos Z formam o conjunto de carros da 
locadora de veículos Z. 
 
- Os policiais do 1º Batalhão em Fortaleza formam o conjunto dos policiais do 1º 
Batalhão em Fortaleza. 
 
Vemos que realmente é um conceito muito intuitivo. 
 
Os conjuntos, normalmente simbolizados com letras maiúsculas, são 
representados com a enumeração dos seus elementos entre chaves. Ex: V = {a, 
e, i, o, u} (conjunto das vogais). Esse mesmo conjunto pode ser representado por 
meio da propriedade de seus elementos, ou seja, uma característica que defina 
todos os elementos que pertencem àquele conjunto. No nosso exemplo V = {x | x 
é uma vogal} (lemos: V é igual ao conjunto dos elementos “x” tal que x seja uma 
vogal). Assim, 
 
V = {a, e, i, o, u} = {x | x é uma vogal} 
 
E se o conjunto tiver milhares de elementos? Ou então, infinitos elementos? Calma, 
pois nós podemos utilizar a enumeração dos elementos, mesmo quando o 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
conjunto é infinito. Para isso enumeramos alguns elementos que evidenciem a lei 
de formação do conjunto e finalizamos com reticências. 
 
I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} (conjunto dos números ímpares positivos) 
 
Além disso, podemos utilizar esta mesma notação quando o conjunto é finito, 
mas possui uma enorme quantidade de elementos. 
 
J = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 5.000} (conjunto dos números inteiros de 0 a 5.000) 
 
Podemos, também, representar os conjuntos por meio de diagramas. O conjunto 
A = {0, 1, 2} pode ser representado por: 
 
A = 
1 
 
 
 
0 2 
 
 
 
 
Relação de pertinência 
 
Aqui estamos falando da relação dos elementos com os conjuntos. Não são relações 
entre conjuntos, mas dos elementos com eles. O elemento pode fazer parte de um 
conjunto (dizemos que o elemento pertence ao conjunto) ou o elemento pode não 
fazer parte do conjunto (dizemos que o elemento não pertence ao conjunto). Os 
símbolos que utilizamos para representar essa relação são: 
 
x A (lemos: x pertence ao conjunto A, ou x é elemento de A) 
y K (lemos: y não pertence ao conjunto K, ou y não é elemento de K) 
 
Pode existir algum conjunto que não possua nenhum elemento? Pode sim, é o 
que chamamos de conjunto vazio. Ele não possui nenhum elemento e é 
representado pelo símbolo ou por 
 
Do lado oposto ao conjunto vazio, temos o conjunto universo, que é aquele ao 
qual pertencem todos os elementos. Representamos o conjunto universo por 
meio do símbolo U. 
 
Cabe destacar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, por 
exemplo, o conjunto dos times que disputam o Campeonato Brasileiro de 
Futebol. Cada time é um elemento desse conjunto e, ao mesmo tempo, cada 
time é um conjunto de jogadores de futebol. 
 
 
Relação entre conjuntos 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 2 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira relação entre os conjuntos é a relação de igualdade. Dizemos que dois 
conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto 
B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. 
 
Outra relação importante é a relação de subconjunto. Podemos definir que o 
conjunto C possui como subconjunto o conjunto D, se todos os elementos do 
conjunto D também pertencerem ao conjunto C. Assim, dizemos que D é 
subconjunto de C e indicamos isto por D C (D é subconjunto de C ou D está 
contido em C). 
 
Com essa definição, podemos destacar alguns pontos: 
 
- Conjuntos iguais são subconjuntos um do outro (para A = B; A B e B A) 
 
- Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A A) 
 
Como vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do 
conjunto A pertencem ao conjunto A. 
 
- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (Y) 
 
Com vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do 
conjunto (ou seja, nenhum elemento) pertencem ao conjunto Y. 
 
- Se A B e B C, então A C 
 
Ora, se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, e se 
todos os elementos de B pertencem ao conjunto C, podemos 
concluir que todos os elementos de A pertencem ao conjunto C. 
 
Vimos aqui relações entre conjuntos. Essa representação “X Y” quer dizer que o 
conjunto X está contido no conjunto Y, que é mesmo que dizer que X é um 
subconjunto de Y. De forma inversa, quando o conjunto A possui todos os 
elementos do conjunto B, podemos dizer que A contém B, e representamos por 
A B. Vamos ilustrar com um exemplo: 
 
K = {1, 2, 3} 
J = {1, 2} 
 
Podemos afirmar que J é um subconjunto de K, ou seja, que J está contido em K 
(J K), ou, podemos dizer que K contém J (K J). 
 
Existem também os símbolos (não está contido ou não é subconjunto de) e (não 
contém). 
 
Usando diagramas, podemos representar essa relação da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 3 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J K 
 
 
Podemos dizer que J K (J está contido em K) e que K J (K contém J) 
 
 
Quantidade de Subconjuntos 
 
Podemos definir a quantidade de subconjuntos de um conjunto qualquer da 
seguinte forma: se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2
n
 
subconjuntos. 
 
Vamos ver alguns exemplos para demonstrar isso: 
 
Ex1: Conjunto A = {1} 
 
Esse conjunto só possui um único elemento (chamamos de conjunto unitário), o 
número 1, então o número de subconjuntos de A é igual a 2
1
 = 2. Quais seriam 
esses subconjuntos? 
 
Subconjunto 1 = 
Subconjunto 2 = {1} 
 
Lembrem que todo conjunto possuirá o conjunto vazio e ele mesmo como 
subconjuntos. 
 
Ex2: Conjunto B = {1, 2} 
 
Esse conjunto possui dois elementos, os números 1 e 2, então o número de 
subconjuntos de B é igual a 2
2
 = 4. Quais seriam esses subconjuntos? 
 
Subconjunto 1 = {} 
Subconjunto 2 = {1} 
Subconjunto 3 = {2} 
Subconjunto 4 = {1, 2} 
 
Só mais um exemplo: 
 
Ex3: Conjunto C = {} 
 
Isso mesmo, quantos subconjuntos possui o conjunto vazio? Esse conjunto não 
possui nenhum elemento, então seu número de subconjuntos é igual a 2
0
 = 1. 
Qual seria esse subconjunto? 
 
Subconjunto 1 = {} 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 4 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exatamente, apenas ele mesmo, o conjunto vazio. 
 
Mais um conceito importante é o que define o conjunto formado por todos os 
subconjuntos de um conjunto A. Ele é denominado de “conjunto das partes de 
A” e é indicado por P(A). Assim, se A= {1, 2}, o conjunto das partes de A é dado 
por P(A) = { , {1} , {2} , {1, 2} }. Assim, todo subconjunto de A é também 
denominado parte de A, pois é um elemento do conjunto das partes de A. 
 
Vamos ver como isso já foi cobrado. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
01 - (SEE/AC – 2010 / FUNCAB) Sendo P = { , 1, {1}}, determine o total de 
subconjuntos de A. 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos o conjunto P com três elementos: o conjunto vazio, o 
número 1 e o conjunto que contêm o número 1. Assim, vimos que o número de 
subconjuntos de um conjunto qualquer é dado por 2
n
, onde n é o número de 
elementos deste conjunto. Com isso, para n = 3, temos: 
 
nº de subconjunto de P = 2
n
 = 2
3
 = 8 
 
Resposta letra E. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Conjuntos numéricos fundamentais 
 
Definimos conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são apenas 
números. Teremos, então, infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os 
chamados conjuntos numéricos fundamentais. Isso você já viu há muuuuito 
tempo atrás, mas cabe relembrá-los agora! 
 
- Conjunto dos números naturais: Simbolizamos por um (n maiúsculo). Ele é 
formado por todos os números inteiros não negativos. 
 
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
Um importante subconjunto de é chamado de * e é dado por todos os números 
naturais estritamente positivos, ou seja, o conjunto excluindo-se o zero. 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 5 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} 
 
- Conjunto dos números inteiros: Simbolizamos por um (z maiúsculo). Como o 
próprio nome já diz, ele é formado por todos os números inteiros. 
 
= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} 
 
Três importantes subconjuntos de são: *, dado por todos os números inteiros 
diferentes de zero, ou seja, o conjunto excluindo-se o zero; +, dado por todos os 
números inteiros não negativos ( + = ) e -, dado por todos os números inteiros 
não positivos. 
 
* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 
4...} + = {0, 1, 2, 3, 4...} = - = 
{..., -4, -3, -2, -1, 0} 
 
 
- Conjunto dos números racionais: Simbolizamos por um Q (q maiúsculo). Ele é 
 
formado por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração 
 
x 
 
y 
 
onde x e y são números inteiros e y é diferente de zero (devemos lembrar que 
não existe divisão por zero). 
 
Exemplos: 2 ; 
4
 ; 0,385 (pois pode ser escrito como 385 ); 3,3333... (pois pode 
5 9 1000 
ser escrito como 10 ), 9 (pois pode ser escrito como 9 ), etc.. 
 3 1 
 
Assim, toda fração, todo número decimal, toda dízima periódica e todo número 
inteiro pertencem ao conjunto Q. 
 
Da mesma forma que fizemos para os números inteiros, existem três 
subconjuntos de Q que são importantes: Q* (números racionais não nulos), Q+ 
(números racionais não negativos) e Q- (números racionais não positivos) 
 
 
- Conjunto dos números irracionais: Simbolizamos por um (i maiúsculo). Ele é 
formado por todas as dízimas não periódicas, ou seja, números decimais com 
infinitas casas decimais que não se repetem. 
 
Exemplos: (pi = 3,1416...); 5 (toda raiz não exata); 2,5694348667... (dízima 
 
não periódica); etc... 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 6 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Conjunto dos números reais: Simbolizamos por um R (r maiúsculo). Ele é 
formado por todos os números racionais e todos os números irracionais. Assim, 
todo número Real, ou é Racional ou é Irracional, não existe outra possibilidade. 
 
Podemos fazer algumas observações a partir destes conjuntos: 
 
- Q R. Ou seja, é um subconjunto de , que é um subconjunto de Q, que 
é um subconjunto de R. 
 
- R. Ou seja, também é um subconjunto de R. 
 
 
Intervalos numéricos 
 
Dados dois números quaisquer a e b, chamamos de intervalo o conjunto de 
todos os números compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os 
números a e b são os limites do intervalo, sendo o módulo da diferença a – b, 
chamada amplitude do intervalo. 
 
Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é 
dito aberto. Representamos o intervalo fechado por um colchete e o intervalo 
aberto por um parêntese ou um colchete ao contrário: 
 
[1 , 3]: Lemos “Intervalo fechado em 1 e fechado em 3” 
]1 , 3[ ou (1 , 3): Lemos “Intervalo aberto em 1 e aberto em 3” [1 , 
3[ ou [1 , 3): Lemos “Intervalo fechado em 1 e aberto em 3” ]1 , 3] 
ou (1 , 3]: Lemos “Intervalo aberto em 1 e fechado em 3” 
 
 
Operações 
 
Vamos, agora, à parte mais importante da aula de hoje, que são as operações. 
 
- União ( ) 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A B como { x ; x A ou x 
B}. Vamos ver um exemplo: 
 
A = {0, 1, 2} 
B = {2, 3, 4} 
 
A B = {0, 1, 2} {2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4} 
 
Podemos perceber que o conjunto união abrange todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Se o elemento pertencer aos dois 
conjuntos, ele também pertencerá ao conjunto união (no nosso exemplo “2” 
pertence ao conjunto A e ao conjunto B e também pertence ao conjunto união). 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 7 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando diagramas, podemos representar a união das formas a seguir: 
 
J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos 
que o outro não possui: 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
 
J e K não possuem nenhum elemento em comum: 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
 
J K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
 
J = K (J e K possuem os mesmos elementos): 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
J K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
 
Cabe destacar desde já algumas propriedades da união dos conjuntos. Vejamos: 
 
- A A = A 
- A= A 
- A B = B A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) 
- (A B) C = A (B C) 
- A U = U, onde U é o conjunto universo 
- Se B A, então A B = A 
 
- Interseção ( ) 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 8 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A B como {x ; x A e 
x B}. Vamos ver um exemplo: 
 
A = {0, 1, 2} 
B = {2, 3, 4} 
 
A B = {0, 1, 2} {2, 3, 4} = {2} 
 
Podemos perceber que o conjunto interseção abrange apenas os elementos que 
pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. É preciso que o elemento 
pertença aos dois conjuntos para pertencer ao conjunto interseção (no nosso 
exemplo apenas o “2” pertence ao conjunto A e ao conjunto B e, assim, também 
pertence ao conjunto interseção). 
 
 
Usando diagramas, podemos representar a interseção das formas a seguir: 
 
J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos 
que o outro não possui: 
 
 
J K = K 
J 
 
 
 
J e K não possuem nenhum elemento em comum (a interseção destes 
conjuntos resulta no conjunto vazio): 
 
 
 
 
 
J K = K 
J 
 
 
J K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
J = K (J e K possuem os mesmos elementos): 
 
 
J K = J 
K 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 9 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
 
Agora,vamos destacar algumas propriedades da interseção dos conjuntos. 
Vejamos: 
 
- A A = A 
- A= 
- A B = B A (a interseção dos conjuntos é uma operação comutativa) 
- A U = A, onde U é o conjunto universo. 
- A (B C) = (A B) C 
- Se B A, então A B = B 
 
Agora, vamos ver algumas propriedades que misturam a união com a interseção. 
Vejamos: 
 
- A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva) 
 
- A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva) 
 
- A (A B) = A (lei da absorção) 
 
- A (A B) = A (lei da absorção) 
 
- Se A B = A B, então A = B 
 
Uma observação importante é que se A B = , dizemos que os conjuntos A e B 
são disjuntos, ou seja, eles não possuem nenhum elemento em comum. 
 
Ufa, quanto assunto! Para quebrar um pouco o ritmo, vamos ver algumas 
questões. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
02 - (EBSERH – UFS – 2014 / AOCP) Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, 
f} e B = {c, f, g}. Assinale a alternativa que apresenta o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B. 
 
(A) {g}. 
(B) {a, b, c, d, f, g}. 
(C) {c, f, g}. 
(D) {a, b, c, d, f}. 
(E) {a, b}. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 10 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto dos elementos que pertencem a A ou pertencem a B é o conjunto 
união de A e B. Assim, temos: 
 
A = {a, b, c, d, f} 
 
B = {c, f, g}. 
 
A B = {a, b, c, d, f, g} 
 
Resposta letra B. 
 
 
03 - (EBSERH – UFC – 2014 / AOCP) Considere os conjuntos A = {0; 1; 2; 3} 
e B = {3; 4; 5}. Assinale a alternativa que apresenta o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e pertencem a B. 
 
(A) {0; 1; 2}. 
(B) {3}. 
(C) {4; 5}. 
(D) {3; 4}. 
(E) {0; 3}. 
 
Solução: 
 
O conjunto dos elementos que pertencem a A e pertencem a B é o conjunto 
interseção de A e B. Assim, temos: 
 
A = {0,1, 2, 3} 
 
B = {3, 4, 5}. 
 
A B = {3} 
 
Resposta letra B. 
 
 
04 - (Pref. de Camaçari – 2014 / AOCP) Sobre conjuntos numéricos, 
assinale a alternativa INCORRETA. 
 
(A) 2000 N 
(B) -10 Q 
(C) N Z 
(D) Z N 
(E) -30 R 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos analisar cada alternativa: 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 11 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 2000 N 
 
Sabemos que N representa o conjunto dos números naturais. Esse conjunto é 
formado por todos os números inteiros não negativos. Com isso, podemos 
concluir que o número 2000 pertence ao conjunto dos números naturais. 
 
Portanto, alternativa correta. 
 
 
(B) -10 Q 
 
Sabemos que Q representa o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é 
formado por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração. 
Com isso, podemos concluir que o número -10 pertence ao conjunto dos números 
racionais pois ele pode ser escrito como 
10
 . 1 
 
Portanto, alternativa correta. 
 
 
(C) N Z 
 
Sabemos que N representa o conjunto dos números naturais, que é formado por 
todos os números inteiros não negativos. Sabemos também que Z representa o 
conjunto dos números inteiros, que é formado por todos os números inteiros. 
Com isso, podemos concluir que todos os elementos de N também serão 
elementos de Z, ou seja, N Z. 
 
Portanto, alternativa correta. 
 
 
(D) Z N 
 
Vimos no item anterior que N representa o conjunto dos números naturais 
(formado por todos os números inteiros não negativos) e que Z representa o 
conjunto dos números inteiros (formado por todos os números inteiros). Assim, 
podemos perceber que existem elementos de Z que não são elementos de N (é 
o caso dos números inteiros negativos). Com isso, nós não podemos concluir 
que todos os elementos de Z também serão elementos de N, ou seja, Z N. 
 
Portanto, alternativa incorreta. 
 
 
(E) -30 R 
 
Sabemos que R representa o conjunto dos números reais. Esse conjunto é 
formado pela união de todos os números racionais e irracionais. Com isso, 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 12 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
podemos concluir que o número -30 pertence ao conjunto dos números reais, 
pois ele é um número inteiro negativo, e todo número inteiro também é um 
número racional. 
 
Portanto, alternativa correta. 
 
Resposta letra D. 
 
 
05 - (Pref. de Manaus/AM – 2011 / FUNCAB) Sendo A= {-2, 1, 3, 7/2}, 
determine o conjunto no qual A está contido. 
 
(A) Naturais. 
(B) Naturais não nulos. 
(C) Inteiros. 
(D) Inteiros não nulos. 
(E) Racionais. 
 
Solução: 
 
Bom, no conjunto A nós temos o número -2, que é um número inteiro negativo. 
Temos os números 1 e 3 que são números naturais e temos o número 7/2, que é 
um número racional. Assim, vamos analisar as alternativas: 
 
(A) Naturais. 
 
Apenas os número 1 e 3 são naturais. Portanto, A não está contido neste 
conjunto. 
 
(B) Naturais não nulos. 
 
Apenas os número 1 e 3 são naturais não nulos. Portanto, A não está contido 
neste conjunto. 
 
(C) Inteiros. 
 
Os número 1 e 3 são naturais e o número -2 é inteiro, mas o número 7/2 não é 
inteiro. Portanto, A não está contido neste conjunto. 
 
(D) Inteiros não nulos. 
 
Os número 1 e 3 são naturais e o número -2 é inteiro não nulo, mas o número 
7/2 não é inteiro. Portanto, A não está contido neste conjunto. 
 
(E) Racionais. 
 
Os número 1 e 3 são naturais, o número -2 é inteiro e o número 7/2 é racional. 
Portanto, A não contido neste conjunto. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 13 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que Q. Ou seja, está contido em , que está contido em Q. 
 
Resposta letra E. 
 
 
06 - (Pref. de Sooretama/ES – 2012 / FUNCAB) Sejam os conjuntos A = {x 
natural / x é múltiplo de 12} e B = {x natural / x é múltiplo de 15}. Determine 
a propriedade comum aos elementos do conjunto A B. 
 
(A) x é múltiplo de 15. 
(B) x é múltiplo de 30. 
(C) x é múltiplo de 60. 
(D) x é múltiplo de 12. 
(E) x é múltiplo de 180. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos listar os conjunto A e B: 
 
A = {x natural / x é múltiplo de 12} 
 
A ={0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132 ...} 
 
B = {x natural / x é múltiplo de 15} 
 
A ={0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 ...} 
 
Assim, podemos encontrar o conjunto A B (destaquei em azul): 
 
A B = {0, 60, 120, ...} 
 
Podemos perceber que o conjunto A B terá os múltiplos de 60. 
 
Resposta letra C. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
- Diferença entre conjuntos (A B ou A \ B) 
 
Podemos definir o conjunto resultante da diferença entre os conjuntos A e B 
como o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem 
ao conjunto B, ou seja, A B = {x | x A e x B}. 
 
Observe que os elementos do conjunto da diferença são aqueles que pertencem 
ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Vamos ver alguns 
exemplos: 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 14 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{1, 2, 3, 4} {1, 2, 3} = {4} 
{0, 1, 2} {2, 3, 4} = {0, 1}. 
 
Usando os diagramas, podemos representar a diferença das formas a seguir: 
 
J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos 
que o outro não possui: 
 
 
 
J K = 
J K 
 
 
 
 
 
 
J e K não possuem nenhum elemento em comum (a diferença J - K 
resulta no próprio conjunto J): 
 
 
 
J K =J K 
 
 
 
J K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
 
 
 
K J = J K 
 
 
 
 
 
 
J = K (J e K possuem os mesmos elementos, o resultado da diferença é o 
conjunto vazio): 
 
 
J K = J 
K
 
 
A diferença corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
Podemos observar algumas propriedades interessantes: 
A= A 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 15 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = A 
A = 
A B B - A (a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 
 
 
- Complementar de um conjunto 
 
O complementar de um conjunto é um caso particular da diferença entre dois 
conjuntos. Assim, dados dois conjuntos A e B, com B A, a diferença A B 
chamaremos de complementar de B em relação a A. Simbolizamos como 
C
B
A ou (sempre para B A). 
 
Existe um caso particular que cabe fazermos um destaque. É o complementar de um 
conjunto A em relação ao conjunto universo U, ou seja, CU
A
 = U - A. Batizamos 
 
este conjunto de A’. O conjunto A’ é formado por todos os elementos que não 
pertencem ao conjunto A, ou seja, A’ = {x; x A}. 
 
Podemos observar mais algumas propriedades interessantes: 
 
C
A
A = 
A A' = A A' 
= U 
' U 
U' = 
 
Bom, você deve estar se perguntando, “será que preciso decorar todas essas 
propriedades?“ e eu lhe respondo “Claro que não!” eu só estou colocando elas no 
final de cada tópico para você raciocinar e assimilar melhor cada assunto. Isso não 
será cobrado na prova de forma direta, mas poderá lhe ajudar a ganhar tempo. 
 
 
- Diferença simétrica entre conjuntos (A B) 
 
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é formado por todos os elementos 
que pertencem ao conjunto união de A e B (A B) e não pertencem ao conjunto 
interseção de A e B (A B). Equivale à união ente A – B e B – A. 
 
Usando os diagramas, podemos representar a diferença simétrica das formas a 
seguir: 
 
J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos 
que o outro não possui: 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 16 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J e K não possuem nenhum elemento em comum: 
 
J K = J K 
 
 
 
J K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui): 
 
 
 
J K = J K 
 
 
 
J = K (J e K possuem os mesmo elementos, o resultado da diferença 
simétrica é o conjunto vazio): 
 
 
J K = J 
K
 
 
J K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. 
 
Vejamos algumas propriedades 
 
A B = (A – B) (B – A) A 
B = (A B) – (A B) A B = 
B A 
A A = 
 
Vamos ver mais algumas questões! 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
07 - (SEDUC/RO – 2010 / FUNCAB) Observe os conjuntos abaixo. 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, ... } 
A = {x Z | 1 x < 30 } 
B = {x A | x é ímpar } 
C = {x A | x é múltiplo de 3 } 
D = {x A | x é divisor de 180 } 
 
A soma dos elementos do conjunto D (B C) é: 
 
(A) 6 
(B) 16 
(C) 20 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 17 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(D) 24 
(E) 36 
 
Solução: 
 
Vamos começar essa resolução listando os conjuntos A, B, C e D: 
 
A = {x Z | 1 x < 30 } 
 
A = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 28, 29} 
 
B = {x A | x é ímpar } 
 
B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 27, 29} 
 
C = {x A | x é múltiplo de 3 } 
 
C = {3, 6, 9, 12, 15, ..., 24, 27} 
 
D = {x A | x é divisor de 180 } 
 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20} 
 
 
Agora, fazemos primeiro a operação dentro dos parênteses B C: 
B = {1, 3, 5, 7, 9, ..., 27, 29} 
 
C = {3, 6, 9, 12, 15, ..., 24, 27} 
 
B C = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29} 
 
 
Por fim, fazemos a operação D (B C): 
 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20} 
 
B C = {1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29} 
 
D (B C) = {2, 4, 10, 20} 
 
 
Somando os elementos do conjunto D (B C), temos: 
 
Soma = 2 + 4 + 10 + 20 = 36 
 
Resposta letra E. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 18 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08 - (Pref. de Vassouras/RJ – 2012 / FUNCAB) Sejam os intervalos dos 
números reais A = ]-1, 3], B = [0, 2] e C = [-3, 5], determine o intervalo que 
representa (A – B) C. 
 
(A) ]-1, 5] 
(B) [0, 2] U [3, 5] 
(C) ]-1, 0[ U ]2, 3] 
(D) [-3, 5] 
(E) ]-1, 3] 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar realizando a operação dentro dos parênteses 
A B. Veja que o conjunto A possui todos os números situados entre -1 e 3, sem 
incluir o -1, enquanto que o conjunto B possui todos os números entre 0 e 2. 
Com isso, podemos perceber que o conjunto B está contido no conjunto A: 
 
A B = ]-1, 0[ ]2, 3] 
 
Agora, fazemos a interseção de A B e C. Como A B está contido em C, pois C 
abrange todos os números situados entre -3 e 5, podemos concluir que: 
 
(A – B) C = A – B = ]-1, 0[ ]2, 3] 
 
Resposta letra C. 
 
 
09 - (SEE/AC – 2010 / FUNCAB) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3}, 
determine o conjunto C
B
A . 
 
(A) {0, 1}. 
(B) {1}. 
(C) {0}. 
(D) { }. 
(E) {1, 2}. 
 
Solução: 
 
Vimos que o complementar de B em relação a A, simbolizado por C
B
A , é igual a 
diferença A B, quando B está contido em A. Assim, nessa questão, temos: 
 
A = {1, 2, 3} 
 
B = {2, 3} 
 
A B = C
B
A = {1} 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 19 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta letra B. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
- Número de elementos dos conjuntos 
 
Agora, vamos ver uma equação que é a parte da aula que mais interessa para a 
prova. Não é nada excepcional, mas lhe ajudará bastante a ganhar tempo. 
 
Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o número de elementos do 
conjunto A seja n(A) e o número de elementos do conjunto B seja n(B). Agora, 
consideremos o número de elementos da interseção A B por n(A B) e o número 
de elementos da união A B por n(A B). Assim, podemos definir a seguinte 
equação: 
 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
 
 
 
Vamos demonstrar essa equação com três exemplos: 
 
Ex1: 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 
B = {2, 3, 4}, assim, n(B) = 3 
A B = {2}, assim, n(A B) = 1 
A B = {0, 1, 2, 3, 4}, assim, n(A B) = 5 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 5 = 
3 + 3 – 1 5 = 5 
 
 
Ex2: 
A = {0, 1}, assim, n(A) = 2 
B = {2, 3}, assim, n(B) = 2 
A B = {}, assim, n(A B) = 0 
A B = {0, 1, 2, 3}, assim, n(A B) = 4 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 4 = 
2 + 2 – 0 4 = 4 
 
 
Ex3: 
 
 
 
A B 
3 
0 2 
1 
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
0 3 
1 2 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 20 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 
B = {0, 1, 2}, assim, n(B) = 3 
A B = {0, 1, 2}, assim, n(A B) = 3 
A B = {0, 1, 2}, assim, n(A B) = 3 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 3 = 
3 + 3 – 3 3 = 3 
 
 
 
 
A B 
0 2 
1 
 
 
Viram? Mesmo quando A e B não possuem nenhum elemento em comum, ou 
quando possuem os mesmos elementos, essa equação sempre pode ser usada. 
 
Vale apresentarmais uma equação. Considerando como n(A \ B) o número de 
elementos do conjunto A \ B, temos: 
 
 
n(A \ B) = n(A) – n(A B) 
 
 
 
 
Só um exemplo para você visualizar: 
 
 
A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 
3 B = {2, 3, 4} 
A B = {2}, assim, n(A B) = 1 
A \ B = {0, 1}, assim, n(A \ B) = 2 
 
Voltando para a equação, temos: 
 
n(A \ B) = n(A) – n(A B) 2 
= 3 – 1 2 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 3 
0 2 
1 4 
 
 
Bom, vamos ver mais algumas questões de prova. 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
10 - (Pref. de Camaçari – 2014 / AOCP) Considere os conjuntos 
 
A = {x N / 0 < x < 20} e B = {x N / 7 x < 18} 
 
Quantos elementos possui o conjunto A B? 
 
(A) 10 elementos. 
(B) 11 elementos. 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 21 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 12 elementos. 
(D) 13 elementos. 
(E) 14 elementos. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos listar os elementos dos conjuntos A e B: 
 
A: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 
 
B: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 
 
Com isso, podemos encontrar os elementos do conjunto A B: 
 
A B: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 
 
Assim, podemos concluir que A B possui 11 elementos. 
 
Resposta letra B. 
 
 
11 - (COREN/SC – 2013 / AOCP) Considere os conjuntos A, B e C. Sabe-se 
que o conjunto A tem 15 elementos, o conjunto B tem 10 elementos e C, 
tem 12 elementos. O que podemos realmente afirmar? 
 
(A) (A U B) tem exatamente 25 elementos. 
(B) (B C) A tem no máximo 10 elementos. 
(C) (B ) tem exatamente 10 elementos. 
(D) (A U B) C tem no máximo 10 elementos. 
(E) (A C) tem exatamente 12 elementos. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos analisar cada alternativa: 
 
(A) (A U B) tem exatamente 25 elementos. 
 
Sabemos que A possui 15 elementos e que B possui 10 elementos. Não temos 
informação sobre os elementos em comum entre A e B, nós não sabemos se há 
ou não algum elemento em comum entre eles. Por isso nós não podemos 
garantir que a união entre A e B tem exatamente 25 elementos. Se esses dois 
conjuntos tiverem pelo menos 1 elemento em comum a quantidade de elementos 
da união deles será inferior a 25 elementos: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
n(A B) = 15 + 10 – n(A B) 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 22 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n(A B) = 25 – n(A B) 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
 
(B) (B C) A tem no máximo 10 elementos. 
 
Nesse item, devemos analisar qual o máximo de elementos que pode possuir (B 
C) A. Começamos com a interseção dentro dos parênteses: 
 
B C 
 
Sabemos que B possui 10 elementos e que C possui 12 elementos. Com isso, 
podemos concluir que a maior quantidade possível de elementos da interseção 
entre B e C é de 10 elementos, que ocorrerá quando todos os elementos de B 
também forem elementos de C. 
 
Por fim, podemos calcular qual o máximo de elementos que pode possuir (B C) 
A. Como B C pode possuir no máximo 10 elementos e A possui 15 elementos, 
podemos concluir que (B C) A poderá possuir no máximo 10 elementos, que 
ocorrerá quando todos os elementos de B C também forem elementos de A. 
 
 
Portanto, alternativa correta. 
 
 
(C) (B ) tem exatamente 10 elementos. 
 
Bom, para algum elemento poder fazer parte da interseção entra B e o conjunto 
vazio, ele deverá fazer parte tanto de B quanto do conjunto vazio. Sabemos que 
o conjunto vazio não possui nenhum elemento, o que nos leva a concluir que a 
interseção do conjunto vazio com qualquer conjunto também será um conjunto 
vazio. 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
 
(D) (A U B) C tem no máximo 10 elementos. 
 
Nesse item, devemos analisar qual o máximo de elementos que pode possuir (A 
U B) C. Começamos com a união dentro dos parênteses: 
 
A U B 
 
Sabemos que A possui 15 elementos e que B possui 10 elementos. Com isso, 
podemos concluir que a maior quantidade possível de elementos da união entre 
A e B é de 25 elementos, que ocorrerá quando A e B não tiverem nenhum 
elemento em comum. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 23 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, podemos calcular qual o máximo de elementos que pode possuir 
(A U B) C. Como A U B pode possuir no máximo 25 elementos e C possui 12 
elementos, podemos concluir que (A U B) C poderá possuir no máximo 12 
elementos, que ocorrerá quando todos os elementos de C também forem 
elementos de A U B. 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
 
(E) (A C) tem exatamente 12 elementos. 
 
Sabemos que A possui 15 elementos e que C possui 12 elementos. Não temos 
informação sobre os elementos em comum entre A e C, nós não sabemos se há 
ou não algum elemento em comum entre eles. Por isso nós não podemos 
garantir que a interseção entre A e C tem exatamente 12 elementos. Se C 
possuir pelo menos 1 elemento que não seja elemento de A, então a quantidade 
de elementos da interseção deles será inferior a 12 elementos: 
 
n(A C) = n(A) + n(C) – n(A C) 
 
n(A C) = 15 + 12 – n(A C) 
 
n(A C) = 27 – n(A C) 
 
Portanto, alternativa errada. 
 
Resposta letra B. 
 
 
12 - (Pref. de Camaçari – 2014 / AOCP) Considere o conjunto A que possui 
10 elementos, e o conjunto B que possui 18 elementos. Sabendo que 4 
elementos pertencem a A e a B, quantos elementos pertencem apenas a B? 
 
(A) 14 
(B) 15 
(C) 16 
(D) 17 
(E) 18 
 
Solução: 
A quantidade de elementos que pertencem apenas a B é dada pela diferença B – 
A. Nessa questão, vamos aplicar diretamente a equação que nos dá a 
quantidade de elementos da diferença entre dois conjuntos: 
 
n(B – A) = n(B) – n(A B) 
 
n(B – A) = 18 – 4 = 14 elementos 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 24 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta letra A. 
 
 
13 - (EBSERH – UFGD – 2014 / AOCP) Uma banda lançou 2 músicas para o 
público votar na que mais gostou. Do total de entrevistados, 350 votaram 
na música A, 210 votaram na música B e 90 gostaram e votaram nas duas 
músicas, A e B. Sendo assim, quantos votaram apenas na música B? 
 
(A) 260. 
(B) 120. 
(C) 110. 
(D) 90. 
(E) 80. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, queremos saber a quantidade de entrevistados que votaram 
apenas na música B. Essa quantidade é dada pela diferença B – A. Assim, 
vamos aplicar diretamente a equação que nos dá a quantidade de elementos da 
diferença entre dois conjuntos: 
 
n(B – A) = n(B) – n(A B) 
 
n(B – A) = 210 – 90 = 120 elementos 
 
Resposta letra B. 
 
 
14 - (EBSERH – UFSM – 2014 / AOCP) Um mini-mercado fez uma pesquisa 
sobre a preferência de seus clientes sobre duas marcas de café que são 
vendidas lá. Dos 150 entrevistados, 25 responderam que usam ambas as 
marcas, A e B, 75 entrevistados responderam que usam apenas a marca B. 
Sabendo que todos os entrevistados optaram por pelo menos uma das 
marcas de café, quantos optaram somente pela marca A? 
 
(A) 25. 
(B) 45. 
(C) 50. 
(D) 55. 
(E) 60. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos desenhar um diagrama para facilitar nosso entendimento: 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 25 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher os espaços do desenho com as quantidades 
informadas na questão: 
 
25 responderam que usam ambas as marcas, A e B 
 
A B 
 
 
25 
 
 
 
 
 
75 entrevistados responderam que usam apenas a marca B 
 
A B 
 
 
25 75Dos 150 entrevistados, sabemos que todos os entrevistados optaram por 
pelo menos uma das marcas de café 
 
A B 
 
 
x 25 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 26 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chamando de x a quantidade de entrevistados que optaram apenas pela marca 
A e sabendo que o total de entrevistados foi 150, podemos calcular o valor de x: 
 
x + 25 + 75 = 150 
 
x = 150 – 25 – 75 
 
x = 150 – 100 = 50 entrevistados 
 
Resposta letra C. 
 
 
15 - (SEE/AC – 2010 / FUNCAB) Sabendo que o conjunto A possui 15 
subconjuntos não vazios e que os conjuntos A e B são disjuntos, 
determine o número de elementos do conjunto A – B. 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 10 
(E) 15 
 
Solução: 
 
Essa questão é bastante interessante. Vimos que o número de elementos de um 
conjunto qualquer é dado por 2
n
, onde n é igual ao número de elementos do 
conjunto. Vimos também que o conjunto vazio é subconjunto de todos os conjuntos. 
Assim, foi dito que o conjunto A possui 15 subconjuntos não vazios, ou seja, 
incluindo o conjunto vazio, o conjunto A possui 15 + 1 = 16 subconjuntos. Com isso, 
podemos encontrar o número de elementos do conjunto A: 
 
n° de elementos de A = 2
n
 = 16 
 
n° de elementos de A = 2
n
 = 2
4
 
 
Aqui podemos concluir que n = 4, ou seja, A possui 4 elementos. 
 
Como foi dito que A e B são disjuntos, podemos concluir que A – B = A. Assim, o 
número de elementos do conjunto A – B é igual ao número de elementos do 
conjunto A, que é igual a 4. 
 
Resposta letra B. 
 
 
16 - (Pref. de Vitória/ES – 2011 / FUNCAB) Uma pesquisa sobre grupo 
sanguíneo dos 160 alunos de uma escola municipal da prefeitura revelou que 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 27 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 alunos têm antígeno A, 69 têm antígeno B e 36 não têm nenhum 
antígeno. O número de alunos que possuem os dois antígenos é: 
 
(A) 5 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 15 
(E) 20 
 
Solução: 
 
Vamos começar a resolução desta questão organizando as informações 
disponíveis: 
 
Total de alunos: 160 
Nº de alunos com antígeno A: 70 
Nº de alunos com antígeno B: 69 
Nº de alunos sem nenhum antígeno: 36 
Nº de alunos com os dois antígenos: ??? 
 
Queremos saber o número de alunos que possuem os dois antígenos, ou seja, a 
quantidade de elementos da interseção do conjunto de alunos que possuem o 
antígeno A com o conjunto de alunos que possuem o antígenos B (n(A B)). 
Vimos a seguinte equação na parte teórica: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
Podemos concluir que n(A B) = 160 – 36, pois do total de alunos, apenas 36 não 
possuíam nenhum dos antígenos, ou seja, 160 – 36 = 124 alunos possuíam pelo 
menos um dos antígenos. Assim, temos: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
160 – 36 = 70 + 69 – n(A B) 
 
124 = 139 – n(A B) 
 
n(A B) = 139 – 124 
 
n(A B) = 15 
 
Resposta letra D. 
 
 
17 - (Pref. de Anápolis/GO – 2011 / FUNCAB) Em uma classe com 57 alunos, 
28 falam inglês, 19 falam inglês e francês e, 12 não falam nem inglês e nem 
francês. Determine quantos alunos dessa classe falam francês. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 28 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 5 
(B) 12 
(C) 17 
(D) 34 
(E) 36 
 
Solução: 
 
Essa questão é semelhante à questão anterior. Vamos organizar as informações: 
 
Total de alunos: 57 
Nº de alunos que falam inglês (i): 28 
Nº de alunos que falam inglês e francês (i f): 19 
Nº de alunos que não falam nem inglês nem francês: 12 
Nº de alunos que falam francês (f): ??? 
 
Assim, temos: 
 
n(i f) = n(i) + n(f) – n(i f) 
 
57 – 12 = 28 + n(f) – 19 
 
45 = 9 + n(f) 
n(f) = 45 – 9 
n(f) = 36 
Resposta letra E. 
 
 
18 - (TRT 9ª Região – 2004 / FCC) Uma empresa divide-se unicamente nos 
departamentos A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 
trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os 
departamentos. O total de trabalhadores dessa empresa é 
 
(A) 36 
(B) 32 
(C) 30 
(D) 28 
(E) 24 
 
Solução: 
 
Vamos organizar as informações, sabendo que não há funcionário da empresa 
que não trabalhe nos departamentos A ou B: 
 
Funcionários que trabalham no departamento A: n(A) = 19 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 29 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funcionários que trabalham no departamento B: n(B) = 13 
Funcionários que trabalham nos departamentos A e B: n(A B) = 4 
Total de funcionários da empresa: n(A B) = ??? 
 
Novamente utilizaremos aquela mesma equação: 
 
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 
 
n(A B) = 19 + 13 – 4 
 
n(A B) = 28 
 
Resposta letra D. 
 
 
19 - (Porto Velho/RO – 2009 / FUNCAB) Em uma escola, 800 meninas foram 
entrevistadas. Verificou-se que, das meninas entrevistadas, 200 praticam 
natação, 500 praticam ginástica artística e 230 não praticam nem natação e 
nem ginástica artística. Determine o número de meninas, do grupo de 
entrevistadas, que praticam as duas modalidades. 
 
(A) 700 
(B) 570 
(C) 500 
(D) 130 
(E) 100 
 
Solução: 
 
Mais uma questão semelhante. Nessa questão, vou usar outra forma de solução, 
por meio dos diagramas: 
 
Total de meninas: 800 
Nº de meninas que praticam natação: 200 
Nº de meninas que praticam ginástica artística: 500 
Nº de meninas que não praticam nem natação nem ginástica artística: 
230 Nº de meninas que praticam as duas atividades: x 
 
Desenhando o diagrama, temos: 
 
 
Total de 
 
 
Natação Ginástica 
meninas 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 30 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões do diagrama com as quantidades de meninas: 
 
Nº de meninas que não praticam nem natação e nem ginástica artística: 230 
 
 
Natação Ginástica Total de 
meninas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
230 
 
 
 
Nº de meninas que praticam as duas atividades: x 
 
 
Natação Ginástica Total de 
meninas 
 
 
 
 x 
 
 230 
 
 
 
 
Nº de meninas que praticam natação: 200 
 
Como x meninas também praticam ginástica, concluímos que 200 x meninas 
praticam apenas natação. 
 
Natação Ginástica Total de 
meninas 
 
 
 
200 x x 
 
 230 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 31 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº de meninas que praticam ginástica artística: 500 
 
Como x meninas também praticam natação, concluímos que 500 x meninas 
praticam apenas ginástica artística. 
 
 
Natação Ginástica Total de 
 
meninas 
 
 
 
200 x x 500 x 
 
 
 
 
230 
 
 
Por fim, sabendo que o total de meninas é igual a 800, podemos somar todas as 
quantidades e encontrar o x: 
 
230 + 200 x + x + 500 x = 800 
 
930 x = 800 
 
x = 930 800 
 
x = 130 
 
Resposta letra D. 
 
 
20 - (Pref. de Vassouras/RJ – 2012 / FUNCAB) Numa escola os alunos do 5º 
ano podem estudar um ou mais dos seguintes idiomas: Inglês, Espanhol e 
Alemão. Sabe-se que nesse ano, 
 
100 alunos estudam Inglês. 
100 alunos estudam Espanhol. 
45 alunos estudam Alemão. 
60 alunos estudam Inglês e Espanhol. 
20 alunos estudam Inglês e Alemão. 
20 alunos estudam Espanhol e Alemão. 
15 alunos estudam Inglês, Espanhol e Alemão. 
Todos os alunos estudam pelo menos um dos três idiomas. 
 
O número total de alunos do 5º ano dessa escola, que estudam um e 
somente um desses três idiomas, nesse ano, é igual a: 
 
(A) 70 
(B) 85 
 
 
Prof. MarcosPiñon www.estrategiaconcursos.com.br 32 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 90 
(D) 95 
(E) 100 
 
Solução: 
 
Vamos começar a resolução desta questão desenhando o diagrama que 
representa os conjuntos de alunos que estudam Inglês, Espanhol e Alemão: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alemão 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões do desenho com as informações da questão: 
 
15 alunos estudam Inglês, Espanhol e Alemão. 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
 
 
15 
 
 
Alemão 
 
 
20 alunos estudam Espanhol e Alemão. 
 
Como 15 alunos também estudam Inglês, concluímos que 20 15 = 5 alunos 
estudam apenas Espanhol e Alemão: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
 
 
15 
5 
 
Alemão 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 33 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 alunos estudam Inglês e Alemão. 
 
Como 15 alunos também estudam Espanhol, concluímos que 20 15 = 5 alunos 
estudam apenas Inglês e Alemão: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
 
 
15 
5 5 
 
Alemão 
 
 
 
60 alunos estudam Inglês e Espanhol. 
 
Como 15 alunos também estudam Alemão, concluímos que 60 15 = 45 alunos 
estudam apenas Inglês e Espanhol: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
45 
 
15 
5 5 
 
Alemão 
 
 
100 alunos estudam Inglês. 
 
Como 45 + 15 + 5 = 65 alunos também estudam Alemão ou Espanhol, 
concluímos que 100 65 = 35 alunos estudam apenas Inglês: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
 
35 45 
 
15 
5 5 
 
Alemão 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 34 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 alunos estudam Espanhol. 
 
Como 45 + 15 + 5 = 65 alunos também estudam Inglês ou Alemão, concluímos 
que 100 65 = 35 alunos estudam apenas Espanhol: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
35 45 35 
 
15 
5 5 
 
Alemão 
 
 
45 alunos estudam Alemão. 
 
Como 5 + 15 + 5 = 25 alunos também estudam Inglês ou Espanhol, concluímos 
que 45 25 = 20 alunos estudam apenas Alemão: 
 
 
Inglês Espanhol 
 
 
35 45 35 
 
15 
5 5 
 
20 
Alemão 
 
 
Assim, como queremos o número total de alunos do 5º ano dessa escola, que 
estudam um e somente um desses três idiomas, temos: 
 
Total = 35 + 35 + 20 = 90 alunos 
 
Resposta letra C. 
 
 
21 - (Pref. de Armação dos Búzios/RJ – 2012 / FUNCAB) Um grupo de 1.600 
turistas que visitaram Armação dos Búzios no último feriado, foram 
entrevistados sobre as praias que visitaram. Todos votaram e os valores 
foram anotados na tabela abaixo. 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 35 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRAIAS NÚMERO DE ENTREVISTADOS 
Geribá 700 
Ferradura 1100 
Tartaruga 750 
Geribá e Ferradura 500 
Geribá e Tartaruga 300 
Ferradura e Tartaruga 600 
Geribá, Ferradura e Tartaruga x 
Nenhuma das três praias 250 
 
O número de entrevistados que visitaram todas as três praias foi: 
 
(A) 50 
(B) 100 
(C) 150 
(D) 200 
(E) 250 
 
Solução: 
 
Essa questão é semelhante à questão anterior. Vamos desenhar o diagrama e 
preencher as regiões com as quantidades de elementos a partir das informações 
da questão: 
 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura entrevistados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões com as quantidades de elementos: 
 
 
Nenhuma das três praias: 250 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 36 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura entrevistados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
250 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
 
Geribá, Ferradura e Tartaruga: x 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura 
entrevistados 
 
 
 
x 
 
 
 
 
250 
 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
 
Geribá e Ferradura: 500 
 
Como x pessoas também visitaram a praia de Tartaruga, 500 - x pessoas 
visitaram apenas as praias de Geribá e Ferradura. 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura 
entrevistados 
 
 
 
 
500 - x 
 
x 
 
 
 
250 
 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 37 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geribá e Tartaruga: 300 
 
Como x pessoas também visitaram a praia de Ferradura, 300 - x pessoas 
visitaram apenas as praias de Geribá e Tartaruga. 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura entrevistados 
 
 
500 - x 
 
300 - x x 
 
250 
Tartaruga 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ferradura e Tartaruga: 600 
 
Como x pessoas também visitaram a praia de Geribá, 600 - x pessoas visitaram 
apenas as praias de Ferradura e Tartaruga. 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura 
entrevistados 
 
 
 
500 - x 
 
300 - x 
x
 600 - x 
 
250 
Tartaruga 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geribá: 700 
 
Como 500 - x + x + 300 - x = 800 - x pessoas também visitaram as praias de 
Ferradura ou Tartaruga, 700 - (800 - x) = 700 - 800 + x = x - 100 pessoas 
visitaram apenas a praia de Geribá. 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 38 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura entrevistados 
 
 
x - 100 500 - x 
 
300 - x 
x
 600 - x 
 
 
250 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
 
Ferradura: 1100 
 
Como 500 - x + x + 600 - x = 1100 - x pessoas também visitaram as praias de 
Geribá ou Tartaruga, 1100 - (1100 - x) = 1100 - 1100 + x = x pessoas visitaram 
apenas a praia de Ferradura. 
 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura 
entrevistados 
 
 
 
 
x - 100 
500 - x
 x 
300 - x 
x
 600 - x 
 
 
250 
 
 
Tartaruga 
 
 
 
 
Tartaruga: 750 
 
Como 300 - x + x + 600 - x = 900 - x pessoas também visitaram as praias de 
Geribá ou Ferradura, 750 - (900 - x) = 750 - 900 + x = x - 150 pessoas visitaram 
apenas a praia de Tartaruga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 39 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Total de 
 
Geribá Ferradura entrevistados 
 
 
x - 100 
500 - x
 x 
300 - x 
x
 600 - x 
 
 
250 
 
x - 150 Tartaruga 
 
 
 
 
Por fim, sabemos que o total de entrevistados foi de 1600 pessoas. Assim, para 
encontrar o valor de x, basta somar todas as quantidades indicadas no diagrama 
e igualar este valor a 1600: 
 
x 100 + 300 x + 500 x + x + x + 600 x + x 150 + 250 = 1600 300 
+ 500 + 600 + x = 1600 
 
x + 1400 = 1600 
 
x = 1600 1400 = 200 
 
Resposta letra D. 
 
 
22 - (BAHIAGÁS – 2010 / FCC) Em um grupo de 100 pessoas, sabe-se que: 
 
− 15 nunca foram vacinadas; 
− 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
− 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
− 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
− 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 
− 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
De acordo com as informações, o número de pessoas do grupo que só foi 
vacinado contra ambas as doenças B e C é 
 
(A) 10. 
(B) 11. 
(C) 12. 
(D) 13. 
(E) 14. 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 40 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Vamos começar desenhando o diagrama: 
 
 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
C 
 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões com os valores correspondentes a partir das 
informações da questão: 
 
− 15 nunca foram vacinadas;B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
15 C 
 
 
 
− 32 só foram vacinadas contra a doença A; 
 
 
B 
A 
 
32 
 
 
 
 
15 C 
 
 
 
− 20 só foram vacinadas contra a doença C; 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 41 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
 
32 
 
 
 
15 
20 
 
C 
 
 
 
 
− 2 foram vacinadas contra as doenças A, B e C; 
 
 
B 
A 
 
 32 
 
 2 
 
15 
20 
 
C 
 
 
 
 
Agora, restam duas informações: 
 
− 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
− 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
Vou batizar os espaços restantes do diagrama com variáveis para encontrarmos 
as informações restantes: 
 
 
B 
A 
y 
32 
 
w 
 
 2 
 
x z 
 
15 
20 
 
C 
 
 
 
 
Agora, vamos ver novamente as informações restantes: 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 42 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 44 já foram vacinadas contra a doença A; 
 
32 + 2 + x + y = 44 
x + y = 44 – 32 – 2 
x + y = 10 (equação 1) 
 
− 22 foram vacinadas contra apenas duas doenças. 
 
x + y + z = 22 (equação 2) 
 
Substituindo as informações da equação 1 na equação 2, temos: 
 
x + y + z = 
22 10 + z = 
22 z = 22 – 
10 z = 12 
 
Pronto, chegamos ao que a questão pedia, que é o número de pessoas do grupo 
que só foi vacinado contra ambas as doenças B e C 
 
Resposta letra C. 
 
 
23 - (Agente Fiscal de Rendas/SP – 2006 / FCC) Numa sala de 30 alunos, 17 
foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em desenho, 7 em 
Matemática e História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e 
Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam: 
 
v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas w 
o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas x o 
número de aprovados em uma e só uma das três disciplinas 
y o número de aprovados em duas e somente duas das três 
disciplinas 
z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três 
disciplinas 
 
Os valore de v, w, x, y e z são, respectivamente, 
 
(A) 30, 17, 9, 7, 2 
(B) 30, 12, 23, 3, 2 
(C) 23, 12, 11, 9, 7 
(D) 23, 11, 12, 9, 7 
(E) 23, 11, 9, 7, 2 
 
Solução: 
 
Vamos começar desenhando o diagrama: 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 43 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
M 
 
 
 
 
 
 
 
D 
 
 
 
Agora, vamos preencher as quantidades no diagrama com as informações da 
questão: 
 
2 alunos foram aprovados em Matemática, História e Desenho. 
 
 
H 
M 
 
 
2 
 
 
 
D 
 
 
 
7 em Matemática e História. 
 
Como 2 alunos foram aprovados em Matemática, História e Desenho, 7 – 2 = 5 
alunos foram aprovados apenas em Matemática e História. 
 
 
H 
M 
5 
 
2 
 
 
 
D 
 
 
 
5 em Matemática e Desenho. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 44 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 2 alunos foram aprovados em Matemática, História e Desenho, 5 – 2 = 3 
alunos foram aprovados apenas em Matemática e Desenho. 
 
 
H 
M 
5 
 
2 
3 
 
 
D 
 
 
 
3 em História e Desenho. 
 
Como 2 alunos foram aprovados em Matemática, História e Desenho, 3 – 2 = 1 
aluno foi aprovado apenas em História e Desenho. 
 
 
H 
M 
5 
 
2 
3 1 
 
 
D 
 
 
 
17 foram aprovados em Matemática, 
 
Como 2 + 5 + 3 = 10 alunos foram aprovados também em outras matérias, 
apenas 17 – 10 = 7 alunos foram aprovados somente em Matemática. 
 
 
H 
M 
7 5 
 
2 
3 1 
 
 
D 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 45 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 em História, 
 
Como 2 + 5 + 1 = 8 alunos foram aprovados também em outras matérias, apenas 
10 – 8 = 2 alunos foram aprovados somente em História. 
 
 
 
M 
 
 
H 
 
7 
5
 2 
2 
3 1 
 
 
D 
 
 
 
9 em desenho, 
 
Como 2 + 3 + 1 = 6 alunos foram aprovados também em outras matérias, apenas 
9 – 6 = 3 alunos foram aprovados somente em Desenho. 
 
 
H 
M 
7 
5
 2 
2 
3
 1
 
 
3 D 
 
 
 
Agora, vamos encontrar o número de elementos de cada conjunto: 
 
v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas 
 
 
 
M 
 
 
H 
 
7 
5
 2 
2 
3 1 
 
3 D 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 46 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse conjunto corresponde à área cinza do diagrama: 
 
v = 7 + 5 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3 = 23 
 
w o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas 
 
 
H 
M 
7 
5
 2 
2 
3
 1
 
 
3 D 
 
 
 
Esse conjunto corresponde à área cinza do 
diagrama: w = 5 + 2 + 3 + 1= 11 
x o número de aprovados em uma e só uma das três disciplinas 
 
 
H 
M 
7 
5
 2 
2 
3 1 
 
3 
D 
 
 
 
Esse conjunto corresponde à área cinza do 
diagrama: x = 7 + 2 + 3 = 12 
 
y o número de aprovados em duas e somente duas das três 
disciplinas 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 47 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 
M 
7 
5
 2 
2 
3 1 
 
3 D 
 
 
 
Esse conjunto corresponde à área cinza do 
diagrama: y = 5 + 3 + 1 = 9 
 
z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três 
disciplinas 
 
 
H 
M 
7 
5
 2 
2 
3
 1
 
 
3 D 
 
 
 
Esse conjunto corresponde à área cinza do diagrama. Lembrando que o total de 
alunos é igual a 30, temos: 
 
z = 30 – (7 + 5 + 2 + 3 + 2 + 1 + 3) = 30 – 23 = 7 
 
Resposta letra D. 
 
 
24 - (TRT 9ª Região – 2004 / FCC) Denota-se respectivamente por A e B os 
conjuntos de todos atletas da delegação olímpica argentina e brasileira em 
Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que irão ganhar medalhas 
nessas Olimpíadas. O diagrama mais adequado para representar 
possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 48 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 
A B 
 
 
 
 
 
 
(B) 
A 
 
 
 
 
 
 
(C) 
 
M 
 
 
 
 
 
B 
 
M 
 
A B 
 
M 
 
 
A B 
(D) 
 
M 
 
 
 
A B 
(E) 
 
M 
 
 
Solução: 
 
Bom, essa é uma questão interessante. Devemos desenhar o diagrama que 
melhor represente a interseção entre os conjuntos dos atletas argentinos, atletas 
brasileiros e atletas medalhistas em Atenas. 
 
A primeira observação a fazer é que o conjunto dos atletas argentinos e dos 
atletas brasileiros não possuem nenhum elemento em comum (são disjuntos), 
pois não é possível que um atleta participe de uma Olimpíada por mais de um 
país ao mesmo tempo. Com isso, nós eliminamos as alternativas A, B e D. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 49 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A segunda observação é que nem todos os atletas argentinos ou brasileiros 
ganharão medalhas em Atenas, o que faz com que esses conjuntos não estejam 
contidos no conjunto M. Com isso, nós eliminamos a alternativa C. 
 
Por fim, só nos restou a alternativa E, na qual existem alguns atletas brasileiros e 
argentinos medalhistas e outros que não ganharão medalha em Atenas, o que é 
bastante coerente. 
 
Resposta letra E. 
 
 
25 - (SJDH/BA – 2010 / FCC) Em relação às pessoas presentes emuma 
festa, foi feito o diagrama abaixo, no qual temos: 
 
P M 
 
 
 
C 
 
 
P: conjunto das pessoas presentes nessa festa; 
M: conjunto dos presentes nessa festa que são do sexo 
masculino; C: conjunto das crianças presentes nessa festa. 
 
Assinale o diagrama em que o conjunto dos presentes na festa que são do 
sexo feminino está representado em cinza. 
 
P M 
 
(A) 
 
 
 
C 
 
 
P M 
 
(B) 
 
 
 
C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 50 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P M 
 
(C) 
 
 
C 
 
 
P M 
 
(D) 
 
 
 
C 
 
 
P M 
 
(E) 
 
 
 
C 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos identificar qual o diagrama que representa o conjunto 
de pessoas do sexo feminino que compareceram à festa. Devemos perceber, 
nessa festa, ou em qualquer lugar, que as pessoas podem ser do sexo 
masculino ou do sexo feminino, não há outra possibilidade. Com isso, caso uma 
pessoa dessa festa não seja do sexo masculino, com certeza ela será do sexo 
feminino. Assim, a área a ser pintada no diagrama é toda a área que não faça 
interseção com o conjunto das pessoas do sexo masculino (conjunto M). 
 
P M 
 
 
 
 
 
C 
 
Resposta letra A. 
 
 
26 - (Agente Fiscal de Rendas/SP – 2006 / FCC) O sangue humano admite 
uma dupla classificação: 
 
Fator RH 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 51 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RH
+
 se tiver o antígeno RH 
RH
-
 se não tiver o antígeno RH 
 
Grupo sanguíneo 
A se tiver o antígeno A e não tiver o B 
B se tiver o antígeno B e não tiver o A 
AB se tiver ambos os antígenos, A e B 
O se não tiver o antígeno A nem o B 
 
Sejam os conjuntos 
 
H = {x | x é uma pessoa com sangue RH
+
} 
A = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo A} 
B = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo B} 
M = H (A B) 
 
N = H (A B) 
 
(Se X e Y são conjuntos, X é o complementar de X e X Y é a diferença 
simétrica entre X e Y). 
 
Os conjuntos M e N são os conjuntos dos X tais que X é uma pessoa com 
sangue 
 
 M N 
 
(A) 
do grupo A ou do B ou do AB, com - 
 
RH
+
 do grupo A ou do B com RH 
 
(B) todos os grupos e RH
+
 todos os grupos e RH
-
 
 
(C) do grupo AB e RH
+
 do grupo diferente de AB e RH
-
 
 
(D) do grupo A ou do grupo B, com RH
-
 do grupo O com RH
+
 
 
(E) 
do grupo A ou do grupo B, com do grupo O ou do grupo AB, com 
 
RH
+
 RH
-
 
 
 
Solução: 
 
Vamos começar descobrindo qual é o conjunto M. 
 
M = H (A B) 
 
Lembrando que: 
 
A B = (A B) – (A B) 
A B = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo A ou x é uma pessoa com 
sangue do grupo B} 
 
Assim, podemos concluir que: 
 
M = H (A B) 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 52 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo A ou do grupo B, com RH
+
} 
 
Agora. Vamos verificar quem é N: 
 
N = H (A B) 
 
Assim: 
 
H = {x | x é uma pessoa com sangue RH
-
} e 
 
(A B) = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo O ou x é uma pessoa com 
sangue do grupo AB} 
 
Assim, podemos concluir que: 
 
N = H (A B) 
N = {x | x é uma pessoa com sangue do grupo O ou do grupo AB, com RH
-
} 
 
Resposta letra E. 
 
 
27 - (TRE/PI – 2009 / FCC) No diagrama a seguir está representado o 
conjunto H de todos os habitantes de uma cidade, além dos seguintes 
subconjuntos de H: 
 
− A, formado pelos habitantes que são advogados. 
− B, formado pelos habitantes que costumam jogar basquete. 
− C, formado pelos habitantes que gostam de carambola. 
− D, formado pelos habitantes que são donos de alguma padaria. 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que em todas as regiões do diagrama pode-se representar 
corretamente pelo menos um habitante da cidade, é certo afirmar que, se 
um habitante dessa cidade 
 
(A) costuma jogar basquete ou gosta de carambola, então, ele é advogado. 
(B) gosta de carambola, então, ele é advogado e costuma jogar basquete. 
(C) é dono de alguma padaria, então, ele costuma jogar basquete. 
(D) não é dono de alguma padaria, então ele não é advogado. 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 53 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(E) não é advogado, então, ele não gosta de carambola. 
 
Solução: 
 
Bom, nessa questão vamos direto à análise de cada alternativa: 
 
(A) costuma jogar basquete ou gosta de carambola, então, ele é advogado. 
 
Se o habitante costuma jogar basquete (B) ou gosta de carambola (C), ele 
pertence à seguinte área amarela: 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebam que não necessariamente um habitante desse grupo será advogado, 
pois parte da área amarela está fora da região que representa os advogados (A). 
Item errado. 
 
(B) gosta de carambola, então, ele é advogado e costuma jogar basquete. 
 
Se o habitante gosta de carambola, ele pertence à seguinte área amarela: 
 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse habitante certamente é um advogado, mas não necessariamente costuma 
jogar basquete, pois parte da área amarela está fora da região que representa as 
pessoas que costumam jogar basquete. Item errado. 
 
(C) é dono de alguma padaria, então, ele costuma jogar basquete. 
 
Se o habitante é dono de alguma padaria, ele pertence à seguinte área amarela: 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 54 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebam que não necessariamente um habitante desse grupo costuma jogar 
basquete, pois parte da área amarela está fora da região que representa os 
habitantes que costumas jogar basquete. Item errado. 
 
(D) não é dono de alguma padaria, então ele não é advogado. 
 
Se o habitante não é dono de alguma padaria, ele pertence à seguinte área 
amarela: 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, um habitante que faz parte dessa área amarela pode ou não ser 
advogado, pois parte da área amarela engloba a região que representa os 
advogados. Item errado. 
 
(E) não é advogado, então, ele não gosta de carambola. 
 
Se o habitante não é advogado, ele pertence à seguinte área amarela: 
 
A B D 
C H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, podemos concluir que com certeza esse habitante não gosta de 
carambola, pois todos que gostam de carambola são também advogados. Item 
correto. 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 55 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta letra E. 
 
 
28 - (SEE/SP – 2010 / FCC) Observe a definição a seguir. 
 
C: conjunto dos jovens frequentadores de cinema. 
H: conjunto dos jovens frequentadores de cinema e apreciadores da série 
"Harry Potter". 
S: conjunto dos jovens frequentadores de cinema e apreciadores da série 
"Senhor dos Anéis". 
 
Considere a seguinte afirmação: 
 
"Todos os jovens frequentadores de cinema que são apreciadores de Harry 
Potter também apreciam Senhor dos Anéis, mas nem todos que apreciam 
Senhor dos Anéis, apreciam Harry Potter". 
 
Qual é o diagrama que ilustra corretamente a situação descrita? 
 
H 
S
 
(A) 
 
C 
 
 
 
S 
 
(B) 
H
 
 
C 
 
 
H 
 
(C) 
S
 
 
C 
 
 
 
H S 
 
(D) 
 
C 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 56 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
 
(E) 
 
H 
S 
 
 
Solução:Nessa questão, primeiramente devemos perceber que o conjunto C (conjunto 
dos jovens frequentadores de cinema) contém os conjuntos H e S, pois todos os 
jovens que pertencem aos conjuntos H e S, também pertencem ao conjunto C. 
Com isso, eliminamos a alternativa E. 
 
 
 
 
 
H S 
 
 
C 
 
Agora, quando o enunciado nos informa que: 
 
“Todos os jovens frequentadores de cinema que são apreciadores de Harry 
Potter também apreciam Senhor dos Anéis, mas nem todos que apreciam 
Senhor dos Anéis, apreciam Harry Potter” 
 
devemos entender que o conjunto dos frequentadores de cinema que apreciam 
Harry Potter está contido no conjunto dos frequentadores de cinema que 
apreciam Senhor dos Anéis. Ou seja, H S. 
 
S 
 
H 
 
C 
 
Com isso, eliminamos as alternativas A, C e D. 
 
Resposta letra B. 
 
 
29 - (DNIT – 2013 / ESAF) Uma escola oferece reforço escolar em todas as 
disciplinas. No mês passado, dos 100 alunos que fizeram reforço escolar 
nessa escola, 50 fizeram reforço em Matemática, 25 fizeram reforço em 
Português e 10 fizeram reforço em Matemática e Português. Então, é correto 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 57 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
afirmar que, no mês passado, desses 100 alunos, os que não fizeram 
reforço em Matemática e nem em Português é igual a: 
 
(A) 15 
(B) 35 
(C) 20 
(D) 30 
(E) 25 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama: 
 
T 
M 
P 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher as regiões do diagrama com as informações da questão: 
 
10 fizeram reforço em Matemática e Português 
 
T 
M 
P 
 
10 
 
 
 
 
 
50 fizeram reforço em Matemática 
 
Como 10 também fizeram reforço em Português, podemos concluir que apenas 
50 10 = 40 fizeram reforço somente de Matemática. 
 
T 
M 
P 
40
 10 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 58 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 fizeram reforço em Português 
 
Como 10 também fizeram reforço em Matemática, podemos concluir que apenas 
25 10 = 15 fizeram reforço somente de Português. 
 
T 
M 
P 
40
 10 15 
 
 
 
 
 
Por fim, temos a informação que o total de alunos eram 100. Assim, podemos 
encontrar o total de alunos que não fizeram reforço em Matemática e nem em 
Português (vou chamar esta quantidade de N): 
 
N = Total de alunos 40 10 15 
 
N = 100 40 10 15 
 
N = 35 
 
Resposta letra B. 
 
 
30 - (CGU – 2012 / ESAF) Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas 
na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas 
exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações 
acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. 
Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do 
Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é 
 
(A) 21. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 19. 
(E) 12. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar desenhando o diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 59 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nordeste Familiares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exportadoras 
 
 
Agora, vamos batizar as regiões do diagrama com incógnitas, e tentar descobrir 
seus valores com as informações da questão: 
 
 
 
Nordeste Familiares 
 
A 
D
 B 
G 
E F 
 
C 
H 
Exportadoras 
 
 
Temos as seguintes informações: 
 
Em um grupo de 120 empresas 
 
A + B + C + D + E + F + G + H = 120 (equação 1) 
 
57 estão situadas na Região Nordeste 
 
A + D + E + G = 57 (equação 2) 
 
48 são empresas familiares 
 
B + D + F + G = 48 (equação 3) 
 
44 são empresas exportadoras 
 
C + E + F + G = 44 (equação 4) 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 60 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 não se enquadram em nenhuma das classificações 
acima H = 19 
 
Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras 
 
D + G = 19 (equação 5) 
 
E + G = 20 (equação 6) 
 
Das empresas familiares, 21 são exportadoras 
 
F + G = 21 (equação 7) 
 
O que queremos saber é o valor de G. Agora, vamos manipular as equações até 
que encontremos G. Reescrevendo as equações 5, 6 e 7, temos: 
 
D + G = 19 (equação 5) 
 
D = 19 G 
 
 
E + G = 20 (equação 6) 
 
E = 20 G 
 
 
F + G = 21 (equação 7) 
 
F = 21 G 
 
 
Agora, vamos substituir os valores de D, E e F nas equações 2, 3 e 
4: A + D + E + G = 57 (equação 2) 
A + 19 G + 20 G + G = 57 
 
A = G + 57 19 20 
 
A = G + 18 
 
 
B + D + F + G = 48 (equação 3) 
 
B + 19 G + 21 G + G = 48 
 
B = G + 48 19 21 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 61 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B = G + 8 
 
 
C + E + F + G = 44 (equação 4) 
 
C + 20 G + 21 G + G = 44 
 
C = G + 44 20 21 
 
C = G + 3 
 
 
Por fim, podemos substituir todos os valores encontrados na equação 
1: A + B + C + D + E + F + G + H = 120 (equação 1) 
 
G + 18 + G + 8 + G + 3 + 19 G + 20 G + 21 G + G + 19 = 120 
 
G = 120 18 8 3 19 20 21 19 
 
G = 120 108 
 
G = 12 
 
Resposta letra E. 
 
 
31 - (SMF/RJ – 2010 / ESAF) Em um amostra de 100 empresas, 52 estão 
situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades 
anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 
15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são 
sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são 
sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas 
que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao 
mesmo tempo? 
 
(A) 18 
(B) 15 
(C) 8 
(D) 0 
(E) 20 
 
Solução: 
 
Essa questão é bem semelhante à anterior, vamos resolver da mesma forma: 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 62 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RJ Exportadoras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S.A. 
 
 
Agora, vamos batizar as regiões do diagrama com incógnitas, e tentar descobrir 
seus valores com as informações da questão: 
 
 
 
RJ Exportadoras 
 
A 
D
 B 
G 
E F 
 
C 
H 
S.A. 
 
 
Temos as seguintes informações: 
 
Em um amostra de 100 empresas 
 
A + B + C + D + E + F + G + H = 100 (equação 1) 
 
52 estão situadas no Rio de Janeiro 
 
A + D + E + G = 52 (equação 2) 
 
38 são exportadoras 
 
B + D + F + G = 38 (equação 3) 
 
35 são sociedades anônimas 
 
C + E + F + G = 35 (equação 4) 
 
 
 
 
Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 63 DE 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são 
sociedades anônimas 
 
D + G = 12 (equação 5) 
 
E + G = 15 (equação 6) 
 
das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas 
 
F + G = 18 (equação 7) 
 
Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem 
exportadoras 12 empresas 
 
H = 12 
 
 
O que queremos saber é o valor de G. Agora, vamos manipular as equações até 
que encontremos G. Reescrevendo as equações 5, 6 e 7, temos: 
 
D + G = 12 (equação 5) 
 
D = 12 G 
 
 
E + G = 15 (equação 6) 
 
E = 15 G 
 
 
F + G = 18 (equação 7) 
 
F = 18 G 
 
 
Agora, vamos substituir os valores de D, E e F nas equações 2, 3 e 4: 
 
A + D + E + G = 52 (equação 2) 
 
A + 12 G + 15 G + G = 52 
 
A = G + 52 12 15 
 
A = G + 25 
 
 
B + D + F + G = 38 (equação 3) 
 
 
 
 
Prof.