Processos Estocásticos

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Processos Estoca´sticos
He´lio Lopes
INF2035 - Introduc¸a˜o a` Simulac¸a˜o Estoca´stica
1 Introduc¸a˜o
Um processo estoca´stico e´ uma famı´lia de varia´veis aleato´rias {X(t), t ∈ T}
definidas em um espac¸o de probabilidade, indexado por um paraˆmetro t,
onde t varia no conjunto T .
Lembre que uma varia´vel aleato´ria e´ uma func¸a˜o definida num espac¸o
amostral Ω. Enta˜o, o processo estoca´stico {X(t), t ∈ T} e´ uma func¸a˜o de dois
argumentos {X(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω}. Para um t = t0 fixo, X(t0, ω) = Xt0(ω) e´
uma varia´vel aleato´ria denotada por X(t0) ja´ que ω varia no espac¸o amostral
Ω. Por outro lado, fixando ω = ω0, X(t, ω0) = Xω0(t) e´ uma func¸a˜o que so´
depende de t, e e´ chamada de uma realizac¸a˜o do processo. E´ claro que se t
e ω sa˜o fixos, X(t, ω) e´ um nu´mero real. Para facilitar a notac¸a˜o, X(t) sera´
usado daqui por diante para denotar um processo estoca´stico.
O conjunto T e´ chamado de espac¸o de paraˆmetro. Os valores assumidos
por X(t) sa˜o chamados de estados, e o conjunto de todos os poss´ıveis estados
e´ chamado de espac¸o de estados do processo estoca´stico e e´ denotado por
E. Se o conjunto T e´ discreto, enta˜o o processo estoca´tico e´ dito ser de
tempo discreto, nesse caso ele tambe´m pode ser chamado de uma sequ¨eˆncia
aleato´ria. Se T e´ cont´ınuo, enta˜o o processo e´ dito ser de tempo cont´ınuo. Se
E e´ discreto, enta˜o o processo e´ dito ser um processo de estados discretos, e
pode ser chamado tambe´m de uma cadeia. Se E e´ cont´ınuo, enta˜o o processo
e´ dito ser de epac¸o cont´ınuo.
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2 Caracterizac¸a˜o
Considere um processo estoca´stico X(t). Para um tempo fixo t1, X(t1) = X1
e´ uma v.a. e a sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX(x1; t1) e´ definida
por:
FX(x1; t1) = Pr[X(t1) ≤ x1].
FX(x1; t1) e´ conhecida como a distribuic¸a˜o de primeira ordem de X(t). De
forma semelhante, para dois tempos fixos t1 e t2 define-se como a distribuic¸a˜o
de segunda ordem de X(t) por:
Fx(x1, x2; t1, t2) = Pr[X(t1) ≤ x1, X(t2) ≤ x2].
E de forma geral, a distribuic¸a˜o de n-e´sima ordem de X(t) e´ dada por:
Fx(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = Pr[X(t1) ≤ x1, . . . , X(tn) ≤ xn].
Para um caracterizac¸a˜o completa do processo estoca´stico X(t) e´ preciso saber
as distribuic¸o˜es de todas as ordens (n→∞).
3 Me´dia, Correlac¸a˜o e Covariaˆncia
A me´dia de X(t) e´ definida por
µX(t) = E[X(t)],
onde X(t) e´ vista como uma v.a. para um t fixo. Em geral, µX(t) e´ uma
func¸a˜o do tempo.
A medida de dependeˆncia entre as v.a.’s de X(t) e´ dada pela func¸a˜o de
autocorrelac¸a˜o
RX(t, s) = E[X(t)X(s)].
Note que RX(t, s) = RX(s, t) e que RX(t, t) = E[(X(t))
2].
A func¸a˜o de autocovariaˆncia de X(T ) e´ definida por:
KX(t, s) = Cov[X(t), X(s)] = E[(X(t)− µX(t))(X(s)− µX(s))].
E´ fa´cil provar que KX(t, s) = RX(t, s) − µX(t)µX(s). Se a me´dia de X(t) e´
zero para qualquer t, enta˜o KX(t, s) = RX(t, s).
A variaˆncia de X(t) e´ dada por:
σ2X(t) = V ar[X(t)] = E[(X(t)− µX(t))2] = KX(t, t).
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4 Classificac¸a˜o
4.1 Processos estaciona´rios
Um processo X(t) e´ dito ser estaciona´rio se para todo n e para qualquer
conjunto de instantes de tempo {ti ∈ T, i = 1, 2, . . . , n}, tem-se que:
FX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = FX(x1, . . . , xn; t1 + τ, . . . , tn + τ),
para qualquer valor de τ . Portanto, a distribuic¸a˜o do proceso X(t) na˜o e´
afetada por uma translac¸a˜o na origem do tempo. Em particular, X(t) e
X(t + τ) tem a mesma distribuic¸a˜o para qualquer valor de τ . Assim, pode-
se dizer que FX(x, t) = FX(x, t + τ) = FX(x). Nesse caso, µX(t) = µ e
V ar[X(t)] = σ2, onde µ e sigma sa˜o constantes.
4.2 Processos independentes
Dado um processo X(t). Se X(ti) para i = 1, 2, . . . , n sa˜o v.a.’s indepen-
dentes, de tal forma que
FX(x1, . . . , xn; t1, . . . , tn) = Π
n
i=1FX(xi; ti),
enta˜o chamamos X(t) de um processo independente.
4.3 Processos com incrementos independentes
Um processo {X(t), t ≥ 0} e´ dito ter incrementos independentes se para
quaisquer n instantes de tempos 0 < t1 < t2 < . . . < tn, tem-se que:
X(0), X(t1)−X(0), X(t2)−X(t1), . . . , X(tn)−X(tn−1)
sa˜o v.a.’s independentes. Se {X(t), t ≥ 0} tem incrementos independentes e
X(t) −X(s) tem a mesma distribuic¸a˜o que X(t + h) −X(s + h) para todo
s, t, h ≥ 0, s < t, enta˜o o processo e´ dito ter incrementos independentes e
estaciona´rios.
Se {X(t), t ≥ 0} possui incrementos independentes e estaciona´rios e
X(0) = 0, enta˜o E[X(t)] = µ1t e V ar[X(t)] = σ
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1t, onde µ1 = E[X(1)] e
σ1 = V ar[X(1)].
Os processos de Poisson e de Weiner, que sera˜o apresentados a seguir, sa˜o
dois exemplos de processos com incrementos independentes e estaciona´rios.
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4.4 Processos de Poisson
Considere que t e´ uma varia´vel que representa o tempo. Suponha que um
experimento comec¸a em t = 0. Eventos de um determinado tipo ocorrem
aleatoriamente, o primeiro em T1, o segundo em T2 e assim por diante. A v.a.
Ti denota o tempo em que o i-e´simo evento ocorre. Os valores ti assumidos
pelas realizac¸o˜es de Ti sa˜o chamados de tempos de ocorreˆncia.
Seja Zi = Ti − Ti−1 e T0 = 0. Enta˜o Zn denota o tempo entre os
n − 1 primeiros eventos and o n-e´simo evento. A sequu¨eˆncia ordenada de
v.a. {Zn;n ≥ 1} e´ muitas vezes denominada de processo de intervalos de
ocorreˆncia (interarrival process). Se todas as v.a.’s Zn sa˜o independentes
e ideˆnticamente distribu´ıdas, enta˜o {Zn;n ≥ 1} e´ chamado de processo de
renovac¸a˜o. Vale lembrar que Tn = Z1+Z2+ · · ·+Zn. O processo {Tn;n ≥ 1}
e´ chamado de processo de ocorreˆncia.
Um processo estoca´stico {X(t); t ≥ 0} e´ chamado de processo de contagem
se X(t) representa o nu´mero de eventos total ocorridos no intervalo (0,t).
Esse processo deve satisfazer as seguintes propriedades:
1. X(t) ≥ 0 e X(0) = 0.
2. X(t) e´ um nu´mero inteiro.
3. X(s) ≤ X(t) se s < t.
4. X(t)−X(s) e´ igual ao nu´mero de eventos que ocorreram no intervalo
(s, t).
Um processo de contagem X(t) e´ dito ter incrementos independentes se o
nu´mero de eventos ocorridos em intervalos de tempo disjuntos sa˜o indepen-
dentes. Um processo de contagem X(t) e´ dito ter incrementos estaciona´rios
se o nu´mero de eventos no interval (s + h, t + h) tem a mesma distribuic¸a˜o
do nu´mero de eventos (s, t), para todo s < t e h > 0.
Um processo de contagem X(t) e´ dito ser um processo de Poisson ho-
mogeˆneo com intensidade λ > 0 se:
1. X(0) = 0.
2. X(t) tem incrementos estaciona´rios independentes.
3. limh→0
Pr[X(t+h)−X(t)=1]
h
= λ.
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4. limh→0
Pr[X(t+h)−X(t)≥2]
h
= 0.
Num processo de Poisson homogeˆneo, tem-se que E[X(t)] = λt e V ar[X(t)] =
λt. Portanto, o valor esperado do nu´mero de eventos no intervalo unita´rio
(0, 1), ou qualquer outro de tamanho unita´rio, e´ igual a λ.
Outra propriedade muito importante e´ que os tamanhos dos intervalos
de tempos {Zn;n ≥ 1} de um processo de Poisson homogeˆneo X(t) com
intensidade λ sa˜o v.a.’s exponenciais com taxa λ independentes entre si. Por
fim, o nu´mero de eventos que ocorrem em um intervalo de tamanho t num
processo de Poisson e´ uma v.a. discreta de Poisson com taxa λt.
Um processo de contagem X(t) e´ dito ser um processo de Poisson na˜o-
homogeˆneo com func¸a˜o intensidade λ(t) > 0 se:
1. X(0) = 0.
2. X(t) tem incrementos independentes.
3. limh→0
Pr[X(t+h)−X(t)=1]
h
= λ(t).
4. limh→0
Pr[X(t+h)−X(t)≥2]
h
= 0.
No processo de Poisson na˜o-homogeˆneo, vale dizer que X(t+ h)−X(t) e´
uma varia´vel aleata´ria discreta de Poisson com me´dia m(t+ h)−m(t), onde
m(t) =
∫ t
0
λ(s)ds, para t ≥ 0.
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