(Gabarito) Segunda lista de exercícios Cálculo Integral (20151)

Prévia do material em texto

SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
Funçõ es de Vá riás Váriá veis 
1) Sabe-se que o Volume de um cilindro circular depende do seu raio r e de sua altura h. 
Determine a função de duas variáveis que expressa o volume deste cilindro. 
RESPOSTA: V(r,h) = π.r².h 
 
2) Em regiões com climas severos, o índice de sensação térmica W é frequentemente 
utilizado para descrever a sensação aparente do frio. Este índice mede a temperatura 
ambiente subjetiva, que depende da temperatura real T e da velocidade do vento v. A 
tabela a seguir apresenta valores de W compilados pelo Serviço Nacional de 
Meteorologia de um país, no hemisfério norte do globo: 
 
a) Determine a função de duas variáveis que expressa esta sensação térmica 
RESPOSTA: f(T,v) = ω 
b) Determine T e v para W = -5 
RESPOSTA:T = 0° C; v = 20 Km/h 
c) Determine a função de T = –35 graus ; v = 70 (Km, h) 
RESPOSTA: f(-35, 70) = - 58° C. Km / h 
 
3) Determine os domínios, ou seja, os valores que as seguintes funções de uma variável 
podem assumir sem que suas condições de existência sejam afetadas: 
a) 𝑓(𝑥) =
x+2 
1x−99
 RESPOSTA: D = {x ϵ R | x ≠ 99} 
b) b) 𝑓(𝑥) =
√4x−6
1
 RESPOSTA: D = {x ϵ R | x ≥ 3/2} 
c) c) 𝑓(𝑥) =
√31x−4
3
1
 RESPOSTA: D = { R } 
d) d)𝑓(𝑥) =
√−x+4
√x−1
2 RESPOSTA: D = {x ϵ R | 1 < x ≤ 4} 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
4) Determine os domínios das seguintes funções de duas variáveis. Calcule f(4, 3). 
e) a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√x+y+2 
x−4
 RESPOSTA: D = {(x,y) ϵ R | x + y ≥ -1, x ≠ 4} 
f(4,3) = indefinido 
f) b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = x ln(4x2 + y2) RESPOSTA: D = {(x,y) ϵ R | y > - 2x} 
f(4,3) ≈ 17,16 
 
5) a) Esboce o gráfico da seguinte função, determinando seu domínio e sua imagem: 
 g (x, y) = √−𝑥2 + 225 − 𝑦2 para {f(x,y)/f(x,y) ɛ D}) 
RESPOSTA: D = {(x,y) ϵ R | x² + y ² ≤ 225} 
 I = {z ϵ R | 0 ≤ z ≤ 15} 
 
 
Observe: Esfera, com centro em P(0,0,0), r² = 225 
 
6) Determine o domínio da seguinte função de três variáveis: 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(− 42𝑥 + 𝑧) + 𝑥𝑦 . 𝑠𝑒𝑛 𝑧³ 
RESPOSTA: D = {(x,y,z) ϵ R | x < z/42} 
 
 
7) Observe a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
Tal figura representa um mapa de contorno para uma função f(x, y). Utilize-o para 
estimar os seguintes os seguintes valores de f: 
a) f(1, 3) RESPOSTA: ≈ 72 
b) f(5, 2) RESPOSTA: ≈ 82 
c) f(1,1) RESPOSTA: ≈ 52 
 
8) Considere a seguinte função: g (x, y) = √−𝑥2 + 225 − 𝑦2 
Esboce o gráfico das curvas de nível da função exposta, para: k=0; k = 15; k= 12 
RESPOSTA: 
 
9) Uma loja de aparatos elétricos vende cabos C de duas marcas distintas (A e B). A 
demanda do cabo A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A 
demanda do cabo B, por sua vez, depende do seu preço e do preço do produto 
competitivo A. As demandas de A e B são dadas pelas seguintes funções de duas 
variáreis: 
DA (x, y) = 120 – 10x + 22y 
DB (x, y) = 700 + 2x – 22y 
Sendo: x = Preço de A; y = Preço de B 
Determine a função f(x,y) que expressa a receita mensal total obtida com a venda dos 
cabos das de ambas as marcas A e B. 
RESPOSTA: f(x, y) = R(total) = 120x + 700y + 24 xy – 10x² + 22 y² 
 
Derivádás Párciáis 
 
10) Sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥3𝑦3 − 2𝑦2 
a) Determine fx (4, 9) RESPOSTA: 35040 
b) Determine fy (4,9) RESPOSTA: 3852 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
11) Sendo 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒𝑥²𝑦ln (𝑧) 
a) Determine fx, fy, fz 
RESPOSTA: 
fx = 2𝑥𝑦. 𝑒𝑥
2𝑦 ln(𝑧) 
fy = 𝑥². 𝑒𝑥
2𝑦 ln(𝑧) 
fz = 
𝑒𝑥
2𝑦
𝑧
 
 
12) Sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑥3𝑦3 − 2𝑦2 
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função dada 
RESPOSTA: 
fxx = 6𝑥 + 6𝑥𝑦³ 
fxy = 9𝑥²𝑦² 
fyx = 9𝑥²𝑦² 
fyy = 6𝑥³𝑦 − 4 
 
Regrá dá Cádeiá 
 
13) Sendo 𝑧 = 𝑥3𝑦 + 3𝑥3𝑦4 
Onde: x = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 
y = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) 
 Determine dz/dt quando t = 0 
RESPOSTA: 
dz/dt = [(3x2y + 9x2𝑦4). (2 cos(2𝑡))] + [𝑥3 + 12𝑥3𝑦3). (−𝑠𝑒𝑛(𝑡))] 
p/ t=0 - dz/dt = 0 
 
14) Sendo 𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 
Onde: x = 𝑠𝑡² 
y = 𝑠²𝑡 
 Determine dz/ds e dz/dt 
RESPOSTA: 
dz/ds = [𝑒st
2
. sen (s2t). (t²)] + [(cos(𝑠2𝑡) . 𝑒st
2
. (2ts)] 
dz/dt = [𝑒st
2
. sen (s2t). (2ts)] + [ 𝑒st
2
. cos(𝑠2𝑡). 𝑠²] 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
Derivádás Direciõnáis e Vetõr Grádiente 
 
15) Determine a Derivada Direcional Duf(x,y) sabendo que o versor u é dado pelo ângulo 
Ө = π/3. Determine também Duf(2,1). 
Dados: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 3x²y + 4𝑦4 
Considere Ө = π/3 em graus 
RESPOSTA: +3,48 
 
16) Determine Duf(x,y) no ponto P(2,1), na direção do Vetor v = <4,3> 
Dados: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 4𝑦4 
RESPOSTA: 0 
 
17) Determine a taxa de variação de f no ponto P(2,4) na direção de P até Q(4,6) 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 
a) Em qual direção f tem a maior taxa? RESPOSTA: ∇f = <54.6 , 109.2> 
b) Qual o valor desta taxa máxima? RESPOSTA: + 81.9 
 
Extra (Derivada Direcional) 
 
RESPOSTA: 
 
 
 
SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO INTEGRAL 
 
Válõres Má ximõs e Mí nimõs Lõcáis / Teste deriv. Párciál 2ªO 
 
18) Encontre e Classifique o(s) Ponto(s) Crítico(s) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 1000 
RESPOSTA: 
Pc(0,0) – Sela 
Pc(1,1) – Mínimo Local 
Pc(-1,-1) – Mínimo Local 
19) Determine e Classifique o(s) Ponto(s) Crítico(s) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 + 14 
RESPOSTA: 
Pc(-1,3) – Mínimo Local 
 
20) Encontre e Classifique o(s) Ponto(s) Crítico(s) 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥2 + 𝑦2 
RESPOSTA: 
Pc(0,0) – Sela