Notas de aula 4 - Derivada

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Cálculo Diferencial e Integral I (G0135)
Notas de aula IV
Eng. Jorge Manrique
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Derivada
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Introdução
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Conceitos associados
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivada está relacionado com o da tangente de uma curva.
 Do ponto de vista da Dinâmica, a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada. A aceleração também é. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma outra, da qual ela depende, varia.
A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo. 
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Um exemplo
Vários são os exemplos que a literatura apresenta a respeito da inclinação da reta tangente. Vejamos um interessante!
Imagine que a curva y = f(x) representa um trecho de uma montanha russa em um parque de diversões. Quando o trem está no ponto P, a linha de visão de um passageiro sentado ereto no trem e olhando para a frente, será paralela à reta tangente à curva em P, ou sejam que toca a curva em um único ponto, o ponto P.
Em síntese, a reta tangente à curva em P é uma reta que passa por P e que melhor aproxima a curva na vizinhança de P.
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Montanha russa
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O ângulo de visão em cada ponto, será igual ao ângulo da tangente nesse ponto, e poderá ser obtido pela derivada da função no ponto.
A derivada como tangente
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Derivada de uma função num ponto
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Derivada de uma função
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Exercícios
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Observações
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Conclusão da definição de derivada
Podemos assim concluir que o estudo das derivadas nos ajuda a compreender características do comportamento de uma função nas vizinhanças de um ponto, ou mesmo ao longo do seu domínio.
Diz‐se que uma função é derivável quando possui derivada em todos os pontos do seu domínio
Outras possíveis notações para a derivada de uma função
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Encontrando a derivada de uma função
Para calcular a derivada de uma função, normalmente lançamos mão de algumas regras de derivação, bem como de algumas propriedades
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Exemplos
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Encontrando a derivada de uma função
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Exemplos
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Encontrando a derivada de uma função
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Exemplos
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Encontrando a derivada de uma função
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Exemplos
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Encontrando a derivada de uma função
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Exemplos
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Derivada da função composta
Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)
 Exemplo
Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.
Pela regra da cadeia, temos
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
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Proposições
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Exemplos
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercícios
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Derivadas sucessivas
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Generalizando
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Derivadas de funções trigonométricas
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Exemplos
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Derivadas das funções trigonométricas inversas
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Exercícios
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Derivação implícita
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Derivação implícita
Diz‐se que uma equação da forma y = f(x) define y explicitamente como uma função de x, pois a variável y aparece isolada, com grau 1, no primeiro membro da expressão.
Entretanto, algumas vezes, as funções são definidas por equações nas quais y não está sozinho de um lado. Nestes casos, diz‐se que a expressão define y implicitamente como função de x.
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Derivação implícita
Funções
Implícita
Explicita
Estratégias para a derivação implícita:
Derivar em ambos lados da equação com relação a x
Juntar todos os termos em que apareça dv/dx (y’), ao lado esquerdo da equação e passar todos os demais termos do lado direito
Fatorar y’ do lado esquerdo da equação
Isolar y’
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Derivação implícita
Derivação com relação a x:
As variáveis coincidem:
Para este caso se aplicam todas as regras já vistas da derivação
As variáveis não coincidem:
Aplicar a regra da cadeia
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Exemplos
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