01 - Sistemas de Unidades - teoria

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Considerações sobre SISTEMAS DE UNIDADES 1 
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Em 1790 – plena Revolução Francesa – a Academia de Ciências de Paris, composta 4 
pelos maiores cientistas da época, foi encarregada de estabelecer um sistema de medidas unificado. 5 
Nasceu assim o sistema que deveria ser adotado por todos. 6 
 7 
Comprimento 8 
 9 
A unidade de medida de comprimento – disseram os cientistas da Academia de Ciências de 10 
Paris – não precisa ter como referência medidas humanas, como as unidades precedentes (braço, pé, 11 
passo etc.). Deve, ao contrário, referir-se a algum comprimento fixo e invariável da natureza ou o 12 
próprio globo terrestre. 13 
 14 
 15 
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Com a crescente demanda de mais precisão do referencial e possibilidade de sua reprodução 17 
mais imediata, levou os parâmetros da unidade básica a serem reproduzidos em laboratório e 18 
comparados a outro valor constante no universo, que é a velocidade de propagação eletromagnética. 19 
Assim sendo, a décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre, medida em 20 
laboratório, corresponde ao espaço linear percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de 21 
tempo correspondente a 1/299.792.458 de segundo, e que continua sendo o metro padrão. 22 
 23 
O sistema métrico trouxe algo de muito bom com relação aos múltiplos e submúltiplos: uma 24 
escala decimal de grandezas. Raciocinar de 10 em 10 é muito mais fácil para o ser humano. 25 
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Milímetro (mm) 0,001 m 27 
Centímetro (cm) 0,01 m 28 
Decímetro (dm) 0,1 m 29 
Metro (m) 1 m 30 
Decâmetro (dam) 10 m 31 
Hectômetro (hm) 100 m 32 
Quilômetro (km) 1000 m 33 
É certo de que a Terra é grande o bastante 
para que suas medidas sirvam como unidades. 
Porém, pode-se tomar um comprimento 
característico do globo, por exemplo, a distância 
entre um polo terrestre e o Equador e dividi-lo 
por um número suficientemente grande para se 
obter um comprimento fixo – a unidade de 
medida procurada. Por este caminho se chegou 
ao metro, definido, a princípio, como a décima 
milionésima parte da distância do Polo Norte ao 
Equador, com base no meridiano que passa por 
Paris. 
 
 34 
Repare como o sistema métrico decimal é mais racional que o sistema anglo-saxão* (inglês) de 35 
medidas de comprimento, que os ingleses tentaram impor ao mundo e quase conseguiram. 36 
 37 
 No sistema inglês têm-se: 38 
 39 
1 polegada (2,54 cm) deve ser igual ao comprimento de três grãos de cevada alinhados. 40 
1 jarda (0,914 m) deve representar a distância entre a ponta do nariz e o polegar, com o braço 41 
estendido (braço do Rei Henrique I, Século XII); 42 
1 pé igual a 12 polegadas (0,305 m). 43 
 44 
Massa 45 
 46 
Quando medimos a massa de um determinado objeto utilizando uma balança de dois pratos, 47 
como mostrado na figura 1, fica evidente que medir é comparar – comparar o peso do objeto com o 48 
peso de um corpo tomado como padrão. Neste tipo de balança comparamos pesos: peso do objeto e o 49 
peso padrão. Como o peso é igual ao produto da massa pela aceleração da gravidade no local (g), 50 
podemos escrever: 51 
 52 
 53 
 54 
 FIG.1- Balança de pratos 55 
 56 
 massa do peso padrão x gravidade = massa do objeto x gravidade 57 
 58 
Assim comparamos as duas massas. A vantagem deste tipo de balança está no fato de que a 59 
medida é a mesma em qualquer ponto da Terra, no litoral ou no topo do Evereste, onde a aceleração 60 
da gravidade da Terra é menor. 61 
 62 
As balanças que medem diretamente o peso, por meio da distensão de uma mola, ou outro 63 
dispositivo eletrônico, não apresentam a mesma medida em pontos diferentes da Terra. 64 
 65 
 66 
 67 
FIG.2 – Balanças de mola 68 
Peso padrão 
Peso de objetos 
 69 
As balanças analíticas de laboratório, apesar de parecerem eletrônicas, comparam o peso de 70 
um dado objeto com pesos padrões que estão embutidos dentro da balança. 71 
Mas qual é a massa ou o peso padrão com o qual podemos fazer comparações? Podemos 72 
eleger qualquer coisa como um padrão de peso, por exemplo: 700 grãos de trigo que, por ordem do 73 
Rei Henrique VIII no século XVI, na Inglaterra, seria o peso padrão ou a libra. Mas a libra era uma 74 
unidade muito grande para ser utilizada em pesagens de ouro ou prata. Por isso, a libra foi dividida 75 
em 16 partes, recebendo esta fração o nome de onça. Ainda hoje a unidade onça é utilizada para pesar 76 
ouro. Talvez fosse melhor que os reis da Inglaterra “raciocinassem” em escala decimal. 77 
 78 
Os franceses, na mesma época que definiram o metro, em 1790, teriam elegido como o padrão 79 
de massa o grama (g) como a massa de 1 cm3 de água destilada à 4ºC. Apenas para construção de 80 
padrão representativo da unidade ter-se-ia adotado por convenção a massa de 1000 g; o quilograma 81 
(kg). Estabeleceram também que os submúltiplos deste padrão de massa deveriam obedecer uma 82 
escala decimal, assim: 83 
 84 
 grama (g) decagrama (dag) hectograma (hg) quilograma (kg) 85 
 0,001 kg 0,01 kg 0,1 kg 1 kg 86 
 87 
Tempo 88 
 89 
Na idade média usava-se a ampulheta como medida de tempo, obviamente cada uma tinha a 90 
sua própria medida. Seguramente, a contagem do tempo era bem caótica. 91 
 92 
Atualmente usa-se o segundo como unidade padrão de tempo. O segundo é definido como 93 
sendo a fração 1/86400 do dia solar médio. Mas como a duração do dia tem variação ao longo dos 94 
anos (o dia tem aumentado a sua duração de 0,5 s por ano!) em 1967 se estabeleceu uma definição 95 
mais rigorosa para o segundo, baseada em comportamento de elétrons (referente ao átomo de Césio 96 
133). 97 
 98 
Sistema Métrico Decimal 99 
 100 
Reunindo-se os padrões de comparação para medidas de comprimento (metro); massa 101 
(quilograma); tempo (segundo) e mais uma unidade de volume (litro) igual a 1000 cm3, e ainda, 102 
utilizando múltiplos e submúltiplos desses padrões em escala decimal, tem-se o chamado Sistema 103 
Métrico Decimal. Note que o sistema métrico decimal tem de permeio uma unidade de volume, o 104 
litro, que poderia muito bem ser substituído por cm3 ou m3. Mas o sistema métrico decimal não é um 105 
sistema próprio da engenharia ou ciência, mas algo mais voltado, por exemplo, para transações 106 
comerciais. 107 
 108 
Grandezas Fundamentais e Derivadas 109 
 110 
 Se o metro é tomado como uma unidade fundamental, a unidade de área (m2) é uma unidade 111 
derivada, assim como a de volume (m3). Se o metro e o segundo são tomados como unidades 112 
fundamentais, a velocidade (m/s) e a aceleração (m/s2) são derivadas. A idéia é estabelecer o menor 113 
número de unidades, ditas fundamentais, a partir das quais qualquer outra unidade pode ser obtida 114 
através de relações algébricas. A escolha é arbitrária, mas o bom senso estabeleceu algumas como 115 
fundamentais. Para a mecânica, qualquer grandeza pode ter a sua unidade dada pela combinação da 116 
unidade de comprimento, massa e tempo. Então escolhendo o metro, o quilograma e o segundo, têm-117 
se: 118 
Velocidade (m/s), aceleração (m/s2), força (kg.m/s2), energia (kg.m2/s2), quantidade de movimento 119 
(kg.m/s), pressão (kg/(s2.m)), etc. Este sistema foi consagrado na mecânica e recebe o nome de 120 
“Sistema MKS” (Meter, Kilogram, Second). Neste sistema algumas unidades derivadas recebem 121 
nomes especiais: Para a força, Newton (N), para a pressão, Pascal (Pa) e para energia ou trabalho, 122 
Joule (J). 123 
 124 
Entretanto, alguns detalhes que podem gerar confusões. Existe um sistema de unidades que 125 
não utiliza a unidade de massa como grandeza fundamental, mas sim unidade a unidade de força. 126 
Este sistema não é o MKS anteriormente apresentado, mas o MKS Técnico (MKS*). Neste sistema a 127 
grandeza fundamental é o quilograma-força (kgf). Então,no MKS*, tem-se o metro, o quilograma-128 
força e o segundo. Este sistema foi muito usado em engenharia, motivo pelo qual é importante 129 
conhecê-lo, principalmente no que se refere a sua correspondência com o Sistema Internacional de 130 
Unidade (SI). A unidade de massa do sistema MKS* foi batizada como Unidade Técnica de Massa 131 
(utm). 132 
 133 
Ao contrário do sistema MKS*, no MKS a força é uma unidade derivada. Então, o Newton (N) 134 
é definido como a força que atua em uma massa de 1kg quando este adquire uma aceleração de 135 
1m/s2: 136 
 137 
1(unidade de força) = 1kg X 1m/s2. Esta unidade de força é o Newton. 138 
 139 
O esquema da FIG. 3 pode ajudar a entender o Newton e a utm: 140 
 141 
 142 
FIG. 3 utm e kg 143 
 144 
A massa de 1kg no MKS pesa 9,8N, mas no MKS* pesa 1kgf porque: 145 
 146 
No MKS, o peso de 1kg = 1kg X 9,8m/s2 = 9,8N 147 
No MKS*, o peso de 1kgf = massa X 9,8 m/s2 massa = 1/9,8utm. 148 
 149 
O fato de 1kg no MKS pesar 1kgf no MKS* foi, e ainda é, uma grande fonte de confusão! É 150 
muito comum ouvirmos que, “uma certa massa pesa 1kg”. É óbvio que se está omitindo a letra “f” do 151 
kgf. Cuidado, pois é muito fácil confundir sistemas de unidades diferentes com o kg e o kgf. 152 
Obs: ______ 153 
 154 
Nos sistemas de unidades inglesas acontece a mesma coisa, ou pior. Também existe um sistema inercial 155 
onde as unidades fundamentais são: comprimento, massa e tempo. 156 
 157 
Comprimento: pé cuja abreviatura é ft (do Inglês feet) 158 
Massa: libra massa cuja abreviatura é lbm (em Inglês abrevia-se lb mas chama-se pound) 159 
Tempo: segundo (s). 160 
 161 
 162 
O problema é que existem 3 tipos de libra: 163 
 164 
“pound avoirdupois” para grandezas comerciais equivalente a 0,435kg e divida em 16 onças (oz). 165 
“pound troy” para metais preciosos equivalente a 0,373kg subdividida em 12 onças. 166 
“pound apothecaries” (libra apotecária) para pesagem de produtos farmacêuticos também equivalente a 0,373kg. 167 
 168 
Normalmente em engenharia se utiliza a avoirdupois. 169 
 170 
Assim a unidade de força neste sistema é definido em função das unidades fundamentais: 171 
 172 
 1 unidade de força = 1lbm X 1ft/s2 173 
 essa unidade de força é chamada de “poundal” 174 
 175 
Portanto poundal é a unidade de força no sistema inercial de unidades inglesas. 176 
 177 
Ao lado do sistema inercial inglês de unidades existe o ponderal onde as unidades são: comprimento, 178 
força e tempo: 179 
 180 
Comprimento: pé (ft); Força: libra força (lbf) e Tempo (s) 181 
 182 
Usa-se como unidade fundamental a libra força. A libra força é definida como o peso de um corpo cuja 183 
massa é 1lbm. É a mesma coisa que acontece entre o MKS e o MKS*. 184 
 185 
Assim, neste sistema, a massa é uma grandeza derivada: 186 
 187 
 1lbf = 1unidade de massa X 1ft/s2 188 
 189 
Esta unidade de massa recebe o nome de “slug” 190 
Então: 1lbf = 1slug x 1ft/s2 191 
 192 
A aceleração da gravidade da Terra no nível do mar é, em unidades inglesas: 32,2 ft/s2. 193 
 194 
O peso de um corpo em 1lbf será: 195 
 196 
 Peso em 1lbf = Massa em slug x 32,3ft/s2 197 
 Peso em Poudals = Massa em lbm 32,2 ft/s2 198 
 199 
______ 200 
 201 
Sistema CGS 202 
 203 
Ao lado do sistema de unidades MKS e MKS* ainda se usa o sistema CGS, onde as unidades 204 
fundamentais são o centímetro, o grama e o segundo. É um sistema inercial onde a força, uma 205 
unidade derivada, é definida como: 206 
 207 
 1unidade de força no CGS = 1g x 1cm/s2 208 
 209 
Essa unidade de força é chamada de “dina” 210 
 211 
1kg = 1000g e 1m/s2 = 100cm/s2, então 1N = 1000g x 100cm/s2 = 100000 g.cm/s2 105 dina 212 
ou 1 N = 105dina. 213 
 214 
 215 
UNIDADES DE ENERGIA 216 
 217 
Em todos os sistemas vistos anteriormente a energia é uma grandeza derivada. Partindo da 218 
definição de trabalho, que é energia, força x deslocamento, pode-se escrever: 219 
 220 
Sistema CGS dina.cm (erg) 221 
Sistema MKS N.m (J) 222 
Sistema MKS* kgf.m 223 
 224 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 225 
 226 
Sistema Internacional de Unidades (sigla SI do francês Système international d'unités) é a 227 
forma moderna do sistema métrico e é geralmente um sistema de unidades de medida concebido em 228 
torno de sete unidades básicas e da conveniência do número dez. É o sistema de medição mais usado 229 
do mundo. O SI é um conjunto sistematizado e padronizado de definições para unidades de medida, 230 
utilizado em quase todo o mundo moderno, que visa uniformizar e facilitar as medições e as relações 231 
internacionais daí decorrentes. 232 
 233 
O antigo sistema métrico incluía vários grupos de unidades. O SI foi desenvolvido em 1960 do 234 
antigo sistema metro-quilograma-segundo (MKS), ao invés do sistema centímetro-grama-segundo 235 
(CGS), que, por sua vez, teve algumas variações. Denota-se que o SI não é estático, visto que as 236 
unidades são criadas e as definições são modificadas por meio de acordos internacionais entre 237 
nações, conforme o avanço da tecnologia de medição e o aumento da precisão das medições. 238 
 239 
O sistema tem sido quase universalmente adotado. As três principais exceções são a Myanmar, 240 
a Libéria e os Estados Unidos. O Reino Unido adotou oficialmente o Sistema Internacional de 241 
Unidades, mas não com a intenção de substituir totalmente as medidas habituais. 242 
 243 
POTÊNCIA 244 
 245 
O conceito físico de potência, energia na unidade de tempo, é muito simples. Porém, em alguns casos, 246 
surgem confusões. No SI potência é Joule/segundo (J/s), mas ainda é comum a utilização de cavalo 247 
vapor ( cv ou hp (horse–power). É uma unidade de potência muito usada quando se trata de motores. 248 
Esta unidade foi introduzida por James Watt, num tempo em que o trabalho nas minas era realizado 249 
somente por homens e cavalos. Depois de muitas experiências Watt estabeleceu que, em condições 250 
normais, um cavalo poderia trabalhar sem chegar à exaustão, com a potência necessária para levantar 251 
um peso de 330lbm (150kg) a uma altura de 100 pés (cerca de 30m) em 1 minuto: feito os cálculos de 252 
conversão esta medida equivale a 0,75 quilograma watt ou, usualmente empregado quilowatt (kW). 253 
 254 
PRESSÃO 255 
 256 
Definida como força por área, no SI a pressão é dada por Newton/metro2 que recebe o nome 257 
de Pascal (Pa). Entretanto, é muito usada a unidade atmosfera (atm), que é a pressão atmosférica ao 258 
nível do mar. Sabe-se que 1atm corresponde à pressão exercida por uma coluna de 760 mm de 259 
mercúrio a 0ºC. Assim, podemos estabelecer uma relação entre o Pa e a atm. Lembrando também que 260 
a pressão é dada pela relação: 261 
 262 
p = h..g 263 
 264 
onde, 265 
p é a pressão de uma coluna de líquido com uma altura h e densidade , considerando ainda a 266 
aceleração da gravidade (g) da Terra. 267 
 268 
Apesar de ser uma unidade não recomendável usa-se muito a unidade metros de coluna de 269 
água (mca) ou centímetros de coluna de água (cca) para pressões em tubulações. 270 
 271 
10,33mca ______ 101325N/m2 272 
 0,01mca ______ X (N/m2) 273 
 274 
então, X = 1cca (0,01mca) = 98,088 N/m2 275 
 276 
Outra unidade de pressão que era muito usada e ainda é muito encontrada é a bária (bar). A 277 
bária, abreviada b, é a unidade de pressão do CGS. A bária é definida como dina/cm2. A milésima 278 
parte do bar, o milibar, era uma unidade de pressão muito usada na meteorologia. As relações de 279 
conversão são: 1bar = 1*105N/m2 e 1atm = 1033mbar. 280 
 281 
Uma unidade de pressão, muito usada e que mistura sistemas de unidades diferentes é o 282 
kgf/cm2, muito usado em engenharia e eqüivale a 98066,5N/m2. Fazendo as contas, constata-se que 283 
1,033 kgf/cm2 equivalea 1atm. Portanto, 10m de coluna de água exercem uma pressão igual a 284 
1kgf/cm2. Por isso, esta unidade é muito conveniente. É muito mais fácil visualizar uma coluna de 285 
água com 1m de altura como pressão do que 9808,8 N/m2. Muitas dessas unidades são fisicamente 286 
mais palpáveis do que as unidades das mesmas grandezas no SI. Por isso foram muito usadas e, 287 
ainda “andam por aí”. 288 
 289 
 290 
 291 
 292 
Fontes: 293 
Salvagnini, W.M. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Disponível em: 294 
http://www.hottopos.com/regeq13/docs/su.doc. 295 
Wikipédia - A Enciclopédia Livre. Disponível em: http://www.wikipedia.org/. 296 
 297