equações MATEMÁTICA

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01/04/2013 
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Equações e sistema 
Neste aula vamos ver: 
 
- Equações do primeiro grau: 
 
 
- Equações do segundo grau: 
 
 
- Sistema de equações: 
 
0bax
0
2  cbxax
Equações do Primeiro Grau. 
São equações com uma única variável e esta 
variável apresenta potência com expoente 1. 
Dizemos que estas equações são do tipo: 
 
 
0bax
Solução de uma equação do 
Primeiro Grau 
Para resolver este tipo de equação devemos 
isolar a variável (x). 
 
a
b
x
bax
bax



 0
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2 
Exemplos: 
0153 x 6242 x
Equação com frações 
4
4
15
16

x
Equação com frações 
3
6
5
4
3

x
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3 
Equações do Segundo Grau 
São as equações da forma: 
 
 
 
 
Sendo a, b e c números reais. 
 
.0 com 02  acbxax
Equações do Segundo Grau 
Considere a equação: 
 
 
Fórmula para solução deste tipo de Equação: 
 
 
 
 
 
0
2  cbxax
a
acbb
x
2
4
2 

Equações do Segundo Grau 
Para facilitar podemos fazer o cálculo das 
raízes em duas etapas: 
1º calculamos o discriminante (delta) 
 
 
2º com o valor do discriminante encontramos 
os valores das raízes na fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 
acb 4
2 
a
b
x
2


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Exemplo - I 
 
 
1º calculamos o discriminante (delta) 
 
 
 
 
 
 
 
acb 4
2 
 cbaxx 0462 2
Exemplo - I 
 
 
2º com o valor do discriminante encontramos 
os valores das raízes na fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 





2
 
 
2
x
a
b
x
4c 6,- 2, 0462
2  baxx
Exemplo - I 
 
 
 
 
 
22
46


x
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5 
Exemplo - II 
 
 
1º calculamos o discriminante (delta) 
 
 
 
 
 
 
 
acb 4
2 
 cbaxx 062
Exemplo - II 
 
 
2º com o valor do discriminante encontramos 
os valores das raízes na fórmula abaixo: 
 
 
 
 
 





2
 
 
2
x
a
b
x
6c 1,- 1, 06
2  baxx
Exemplo - II 
 
 
 
 
 
12
251


x
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Analisando o Discriminante 
 
 
 
 
 
A fórmula para a resolução de uma equação do 
segundo grau é: 
 
 
- Se Δ > 0, teremos duas raízes reais e distintas 
- Se Δ = 0, duas raízes reais e idênticas (raízes de 
multiplicidade dois) 
- Se Δ < 0, duas raízes complexas. 
a
b
x
2


Solução por Soma e Produto 
Em muitos casos conseguimos encontrar as 
raízes de uma equação do segundo grau 
sem o uso da fórmula. 
Para isso usamos duas relações entre os 
valores das raízes: 
 
 Soma = e o Produto = 
 
 
 
 
a
b
a
c
Solução por Soma e Produto 
Exemplos 
 Soma = Produto = 
 
 
 
 
a
b
a
c
4c 6,- 2, 0462
2  baxx
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Solução por Soma e Produto 
Exemplos 
 Soma = Produto = 
 
 
 
 
a
b
a
c
6c 1,- 1, 06
2  baxx
Sistema de Equações 
Para resolver um problema que apresenta 
duas ou mais variáveis podemos montar um 
sistema de equações. 
 
 
 
Classificação 
Os sistemas de equações podem ser 
classificados em 3 tipos: 
-Possível e determinado. 
 
-Possível e indeterminado. 
 
-Impossível. 
 
 
 
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Possível e determinado 
São os sistemas que apresentam a mesma 
quantidade de variáveis e equações.Possui 
solução única. 
Exemplos: 
 
 
 
 252
3023
20232



zyx
zyx
zyx
252
4032


yx
yx
Possível e indeterminado 
São os sistemas que apresentam mais 
variáveis do que equações. Possui infinitas 
soluções. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
3023
20232


zyx
zyx
30 yx
Impossível 
São os sistemas que apresentam a mesma 
quantidade de variáveis e equações.Não 
possui solução. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
3032
4032


yx
yx
3042
252


yx
yx
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Método para solução de um sistema. 
Exemplo I 
Considere o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3022
4032


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo II 
 
 
 
 
132
2223


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo II 
 
 
 
 
2624
2223


yx
yx
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Solução de um sistema. 
Exemplo III 
 
 
 
 
243
242


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo III 
 
 
 
 
243
7263


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo III 
 
 
 
 
243
242


yx
yx
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Solução de um sistema. 
Exemplo III 
 
 
 
 
243
4842


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo IV 
 
 
 
 
3753
1422


yx
yx
Solução de um sistema. 
Exemplo IV 
 
 
 
 
74106
701010


yx
yx
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Outros métodos de resolução 
 
 
 
 
Os sistemas de equações também podem 
ser resolvidos pelos métodos da substituição 
e pelo método da comparação. 
Estes métodos resolvem todos os sistemas 
de equações, porém em determinados casos 
fazem surgir as frações e isto pode dificultar 
a parte de cálculos. 
 
 
Método da Substituição 
 
 
 
 
3652
203


yx
yx
Método da Substituição 
 
 
 
 
3652
320


yx
yx
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Método da comparação 
 
 
 
 
205
112


yx
yx
Método da comparação 
 
 
 
 
yx
yx
520
211

 yy 520211 
Resolução de problemas. 
Dicas: 
 
 
 
 
A diferença entre dois números é igual a 20. 
 
O dobro de um número menos a quinta parte 
de outro número é igual a 15. 
 
A divisão de dois números apresenta 
quociente 4 e resto 3.