AVG 2021 - Calculo Numerico

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Cálculo Numérico
Questão 1) - 0,50 ponto(s)
As matrizes possuem grande importância na matemática e no cotidiano das pessoas. São utilizadas nas áreas de Economia, Engenharias, Física, Biologia, Computação, entre outras. Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela, com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. O determinante de uma matriz quadrada é um número real associado a uma matriz segundo algumas regras. Para uma matriz quadrada de ordem 2, o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. A Regra de Sarrus é um método muito utilizado para o cálculo de determinante de matriz quadrada de ordem 3. Já o teorema de Laplace, é normalmente utilizado para o cálculo de determinante de matriz de ordem superior ou igual a 4.
 
De acordo com essas informações, responda.
 
Se o determinante da matriz  é -3, então o determinante da matriz  é
A)
11
B)
13
C)
14
D)
12
E)
10
Cálculo Numérico
Questão 2) - 0,50 ponto(s)
Considere o seguinte sistema de três equações lineares:
  
Assinale a alternativa que apresenta os valores de x, y e z que solucionam, de forma correta, o sistema.
A)
x = 2, y = 7 e z = -0,5
B)
x = 2, y = 5 e z = -1
C)
x = 1, y = 3 e z = -3
D)
x = 1, y = 1 e z = -0,5
E)
x = 7, y = 3 e z = -0,5
Cálculo Numérico
Questão 3) - 0,50 ponto(s)
Uma das formas de se isolar as raízes de uma função f(x) é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
Considere a função real de variável real definida por  .
 
Pode-se concluir que a função dada contém pelo menos um zero real no intervalo 
A)
[2,3].
B)
[0,1].
C)
[-2,-1].
D)
[-1,0].
E)
[1,2].
Cálculo Numérico
Questão 4) - 0,50 ponto(s)
Os sistemas de equações lineares podem ser resolvidos por vários métodos, destacando-se a Regra de Cramer e a Redução de Gauss-Jordan. A Regra de Cramer não pode ser utilizada em todos os tipos de sistemas de equações lineares, mas, quando utilizável, é interessante por fornecer o valor de cada variável de forma explícita e sintética. Dessa maneira, é possível encontrar o valor de uma das variáveis sem a necessidade de se resolver o sistema completamente.
Diante disso, assinale a alternativa que apresenta o valor da variável  no sistema de equações lineares a seguir.
A)
B)
C)
D)
E)
Cálculo Numérico
Questão 5) - 0,50 ponto(s)
O método da redução de Gauss-Jordan é uma das melhores maneiras de se resolver um sistema de equações lineares. Além de resolver qualquer sistema linear, baseia-se em apenas três operações (chamadas de operações elementares sobre linhas), o que torna a sua aplicação bastante simples.
 
As três operações elementares podem ser anunciadas como:
I. trocar as posições de duas linhas;
II. multiplicar todos os elementos de uma linha por um número qualquer;
III. substituir uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha.
 
Utilizando-se as três operações elementares, é possível transformar o sistema original em um outro que possui a mesma solução e que se encontra em uma forma na qual a solução pode ser lida diretamente no próprio sistema.
 
Diante disso, considere o sistema apresentado a seguir.
 
 
A partir das informações apresentadas, assinale a alternativa que apresenta o valor correto da incógnita  na solução do sistema dado.
A)
B)
C)
D)
E)
Cálculo Numérico
Questão 6) - 0,50 ponto(s)
Equação linear é uma equação na forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 ...  anxn =  b na qual x1, x2, x3 ... xn são as variáveis e a1, a2, a3 ... an são os respectivos coeficientes da variáveis, e b é o termo independente. Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses valores são chamados de raízes da equação linear e podem ser classificados como sistemas compatível, incompatível, equivalentes e homogêneos.
Disponível em: <https://www.academia.edu/23913710/CENTRO_UNIVERSITARIO_ANHANGUERA_DE_SANTO_ANDRE_ENGENHARIA_QUIMICA_ATPS_%ALGEBRA_LINEAR_ANDRE_LUIZ_DE_LIMA_RA_8873426512> Acesso em: 31 mar. 2019.
 
Considerando as informações a presentadas e os sistemas de soluções das equações lineares, avalie as afirmações a seguir.
 
I. Sistema homogêneo é quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos.
II. Sistema incompatível é um sistema que não admite solução enquanto dois sistemas são equivalentes quando admitem a mesma solução.
III. Sistema compatível é um sistema que admite solução, isto é, tem raízes e é considerado determinado quando admite mais de uma solução ou indeterminado quando admite apenas uma única solução.
É correto o que se afirma em
A)
II e III, apenas.
B)
I, apenas.
C)
I e III, apenas.
D)
II, apenas.
E)
I, II e III.
Cálculo Numérico
Questão 7) - 0,50 ponto(s)
A Regra de Cramer é um dos métodos para resolver sistemas lineares em termos de determinantes, porém só se aplica a sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Essa regra aponta que para toda matriz quadrada A tal que det A  0, o sistema AX  = B (seja qual for B, onde A é a matriz dos coeficientes, B é a matriz dos termos independentes e X é a matriz das incógnitas do sistema) tem solução única com componentes dada por
 
COSTA, Boldrini; WETZLER, Figueiredo. Álgebra Linear. 3. Ed. São Paulo: Harbra,1986. Adaptado.
 
No sistema linear  , por exemplo, pode-se aplicar a Regra de Cramer para encontrar a solução, pois este sistema tem 3 equações e 3 incógnitas.
 
Considerando o texto, a fórmula e a regra apresentada na resolução do referido sistema, é correto afirmar que o valor de y é
A)
3.
B)
1.
C)
5.
D)
4.
E)
2.
Cálculo Numérico
Questão 8) - 0,50 ponto(s)
Considere as matrizes [P] e [Q] apresentadas a seguir:
 
 
Pode-se afirmar que o produto de entre as matrizes [P] e [Q], exatamente nessa ordem, é igual a
A)
B)
C)
D)
E)
Cálculo Numérico
Questão 9) - 0,50 ponto(s)
Um polinômio de grau n pode ser escrito na forma: . O termo  é chamado de termo independente e o termo  é o termo dominante.
 são os coeficientes dos termos do polinômio.
Uma informação normalmente muito útil são as raízes do polinômio, mas, para polinômios de grau mais alto, não existe um algoritmo que possibilite encontrá-las. O que se pode fazer é procurar uma das raízes, o que possibilita fatorar o polinômio e, dessa forma, transformá-lo em um produto. Então, tem-se um polinômio de grau menor (uma unidade a menos) sobre o qual deve-se continuar a procura pelas demais raízes.
Para encontrar uma das raízes do polinômio, pode-se utilizar o seguinte teorema: se o polinômio possuir uma raiz racional, esta possui numerador, que é algum divisor do coeficiente do termo independente, e denominador, que é algum divisor do coeficiente do termo dominante.
A partir dessas informações, pode-se afirmar que as raízes do polinômio  são:
A)
B)
C)
D)
E)
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Questão 10) - 0,50 ponto(s)
Seja  um polinômio de grau n organizado de forma decrescente de grau,  para determinar a quantidade de raízes reais de  pode-se aplicar a regra de Descartes, que considera um número  de permutações de sinais de coeficientes em um determinado polinômio. Assim, segundo a regra de Descartes, P(x) = 0 tem  ou  ou  ou  ou  raízes positivas.
Considerando a afirmação acima, pode-se afirmar que o polinômio   tem quantas raízes positivas?
A)
1 ou 3 raízes reais positivas.
B)
0 ou 2 ou 4 raízes reais positivas.
C)
1 ou 2 raízes reais positivas.
D)
1 ou 3 ou 4 raízes reais positivas.
E)
1 raiz real positiva.
Cálculo Numérico
Questão 11) - 0,50 ponto(s)
Considere o seguinte sistema de equações lineares composto por duas equações:
 
 
Assinale a alternativa que apresenta os valores de x e y, respectivamente, que são as soluções do sistema de equações.
A)
63/19 e 11/19
B)
54/19 e 2/19
C)
34/19 e 1/19
D)
51/19 e 8/19
E)
24/19 e 4/19
Cálculo Numérico
Questão 12) - 0,50 ponto(s)
Para a formulação de uma ração animal,um profissional precisou resolver o sistema de equações lineares apresentado a seguir.
Em relação à resolução desse sistema linear, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A Regra de Cramer não pode ser utilizada para se resolver esse sistema de equações lineares.
PORQUE
II. No sistema linear, o número de variáveis é diferente do número de equações.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
A)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B)
As asserções I e II são proposições falsas.
C)
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
E)
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Cálculo Numérico
Questão 13) - 0,50 ponto(s)
Quando se tem várias incógnitas que se relacionam através de várias equações lineares, dizemos se tratar de um sistema de equações lineares. Resolver um sistema de equações lineares consiste em determinar os valores de cada uma das incógnitas que tornam todas as equações verdadeiras.
Existem muitos métodos de resolução de sistemas de equações lineares. Um deles é a chamada Regra de Cramer, que faz uso de determinantes. Essa regra não pode ser utilizada na resolução de todo tipo de sistema. É necessário que o número de incógnitas seja igual ao número de equações e, também, que o "determinante do sistema" não seja nulo.
Diante disso, considere o seguinte sistema de equações lineares: 
Para a resolução desse sistema utilizando-se a regra de Cramer:
A)
é necessário que .
B)
é necessário que .
C)
é necessário que .
D)
é necessário que  .
E)
é necessário que .
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Questão 14) - 0,50 ponto(s)
Considere as matrizes [A] e [B] apresentadas a seguir, ambas com três linhas e três colunas.
 
 
Sabendo-se que [C]=[A][B], ou seja, [C] é o resultado do produto entre as matrizes [A] e [B], é correto afirmar que [C] é dada por
A)
B)
C)
D)
E)
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Questão 15) - 0,50 ponto(s)
A resolução de equações do tipo f(x) = 0, onde x é uma variável real, tem diversas aplicações na ciência. No entanto, a obtenção das raízes nem sempre é possível por métodos puramente algébricos, quando então são utilizados métodos numéricos, dentre os quais pode-se citar o de Newton-Raphson. Este método procura iterativamente a solução de uma equação f(x) = 0 em um intervalo fechado [a, b], onde cada aproximação da raiz (xk+1) depende da aproximação anterior (xk), bem como do valor da função e da sua primeira derivada, como mostrado na equação abaixo:
A primeira iteração do valor da raiz (x0) é dada por:
Com base no texto apresentado, pode-se afirmar que a segunda iteração (isto é, x1) da raiz da equação y(x) = x3 + x + 2 no intervalo [0 ; 2] será
A)
0,25.
B)
1,25.
C)
1,00.
D)
0,75.
E)
0,68.
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Questão 16) - 0,50 ponto(s)
Considere as matrizes [A] e [B] apresentadas a seguir:
 
 
Sabendo-se que o produto entre duas matrizes não comuta, assinale a alternativa que apresenta o valor correto do produto [B][A].
A)
B)
C)
D)
E)
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Questão 17) - 0,50 ponto(s)
O valor que a variável assume em um polinômio de modo que seu valor numérico seja igual a zero é denominado raiz do polinômio, ou raiz da equação algébrica. Dessa forma, ao calcular a solução algébrica de um polinômio, busca-se encontrar seu conjunto solução, ou raízes da equação. As raízes de um polinômio têm grande importância na análise de gráficos, pois geometricamente indicam o(s) ponto(s) onde a curva da função irá tocar o eixo das abscissas. Considerando que o polinômio não possua raízes reais, isso implica verificar que a curva de seu gráfico não toca o eixo das abscissas. 
 
Com base nas informações acima, e considerando que 1 seja a raiz do polinômio , com , pode-se afirmar que o valor real de  é
A)
- 2.
B)
- 1. 
C)
- 6.
D)
- 4.
E)
- 5. 
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Questão 18) - 0,50 ponto(s)
Sabe-se que a soma das raízes da equação x3- 9x2 + 27x - 27 = 0 representa a base de um retângulo e que o produto dessas raízes representa a altura.
De acordo com os dados informados, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o perímetro desse retângulo.
A)
P = 81 u.c.
B)
P = 36 u.c.
C)
P = 108 u.c.
D)
P = 72 u.c.
E)
P = 27 u.c.
Cálculo Numérico
Questão 19) - 0,50 ponto(s)
Uma indústria fabrica farinhas enriquecidas com vários micronutrientes importantes. Para a sua confecção, são utilizados três ingredientes principais. As quantidades destes devem obedecer a algumas condições para que o produto final tenha boa aceitação (aparência satisfatória, sabor agradável e valor nutricional desejado). Para se chegar a uma formulação definitiva, são feitos vários ensaios em laboratório. Os produtos obtidos são submetidos a testes para confirmar, ou não, suas qualidades.
Além de tudo isso, a empresa não pode parar com os testes de laboratório, pois, a todo instante, precisam ser analisadas amostras do produto final para verificar se está de acordo com o produto modelo e se não apresenta nenhum defeito (contaminação, impurezas etc.). Sempre que algum problema é detectado, todo o lote deve ser descartado.
Diante disso, considere que as quantidades utilizadas de cada um dos três ingredientes da farinha sejam dadas por: ,  e  e que estas devam obedecer ao seguinte sistema de equações:
A partir dessas informações, pode-se afirmar que o valor da variável , correspondente à solução desse sistema, é:
A)
B)
C)
D)
E)
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Questão 20) - 0,50 ponto(s)
Três reagentes químicos são utilizados na confecção de uma tinta. As quantidades de cada reagente, indicadas por x, y e z, devem se relacionar de acordo com o sistema de equações a seguir.
As quantidades que satisfazem o sistema são
A)
x = 1, y = 4 e z = 5
B)
x = 2, y = 3 e z = 1
C)
x = 4, y = 2 e z = 2
D)
x = 3, y = 5 e z = 4
E)
x = 5, y = 1 e z = 3