Introdução ao Cálculo Integral

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Matemática Superior - UVB
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Aula 12
Introdução ao Cálculo Integral
Objetivos da Aula
Contextualizar o cálculo integral , dando ênfase em sua definição 
como sendo a operação inversa da diferenciação e estudar 
algumas propriedades fundamentais.
Antiderivada
Definição
Uma unção F é chamada uma antiderivada de f sobre um intervalo 
I se F’(x) = f (x) para todo x em I.
Por exemplo, seja . Não é difícil descobrir uma antiderivada 
de f se mantivermos a Regra da Potência em mente. De fato, se 
 , então F ‘(x) = = f (x). Mas a função G (x) =1/3 + 
100 também satisfaz G‘(x) = . Conseqüentemente, ambas F e G são 
antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H (x) = 1/3
 + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f. A questão 
que se levanta é: Há outras?
Para responder a esta questão, lembre-se de que usamos o Teorema de 
Valor Médio para provar que se duas funções têm derivadas idênticas 
em um intervalo, então elas devem ser diferentes por uma constante. 
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Assim, se F e G são duas antiderivadas quaisquer de f, então 
F ‘(x) = f (x) = G ‘(x)
logo G (x) - F (x) = C, onde C é uma constante. Podemos escrever isso 
como G (x) = F (x) + C. Temos então o seguinte resultado.
Teorema [ 1 ]
Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a antiderivada 
mais geral de f em I é
F (x) + C
onde C é uma constante arbitrária.
Voltando à função f (x) = , vemos que a antiderivada geral de f é 
 1/3 + C. Atribuindo valores específicos para a constante C obtemos 
uma família de funções cujos gráficos são verticais transladados de 
um outro (veja a figura ao lado).
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Exemplo 1:
Encontre uma derivada mais geral de cada uma das seguintes 
funções.
Solução:
a) Lembre -se de que
Logo, em um intervalo (0 , ), a antiderivada de 1/x é ln x + C. 
Também sabemos que
para todo x 0. O Teorema [ 1 ] ao nos diz que a antiderivada geral de 
f (x) = 1/x é ln | x | + C em qualquer intervalo que não contém zero. Em 
particular, isso é verdadeiro em cada um dos intervalos 
(- , 0) e (0, ). 
Logo a antiderivada de f é
b) Usamos a Regra da Potência para descobrir uma antiderivada de x 
n. de fato, se n -1, então
Assim, a antiderivada de 
Isso é válido para todo n 0, uma vez que f (x) = x está definida 
em um intervalo. Se n for negativo (mas n -1), é válido em qualquer 
intervalo que não contenha zero.
 
 
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Como no exemplo 1, toda a fórmula de diferenciação, quando lida da 
direita para a esquerda, dá origem a uma fórmula de antidiferenciação. 
Na tabela abaixo listamos algumas antiderivadas particulares. Cada 
fórmula na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna 
direita aparece na coluna da esquerda. Em particular, a primeira 
fórmula diz que a antiderivada de uma constante vezes uma função 
é a constante vezes a antiderivada da função. A segunda fórmula 
estabelece que a antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. 
Usamos a notação F ’ = f, G ’ = g.
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Exemplo 2:
Encontre todas funções de g tal que
Solução:
Queremos achar uma antiderivada de 
Usando a fórmula da tabela acima junto com o Teorema [ 1 ] obtemos
Nas aplicações do cálculo, é muito comum situações como a do exemplo 
2, onde é requerido achar uma função sendo fornecidos dados sobre 
suas derivadas. Uma equação que envolva as derivadas de uma função 
é chamada equação diferencial. A solução geral de uma equação 
diferencial envolve uma constante arbitrária (ou constantes), como 
no exemplo 2. Contudo, podem ser dadas condições extras que irão 
determinar as constantes e assim especificar univocamente a solução.
Integral Indefinida
Regras Básicas de Integração
Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas 
uma da outra, descobrimos muitas das regras de integração tentando 
inicialmente “ adivinhar ” a antiderivada F da função f a ser integrada. 
Tal resultado é então verificado demonstrando-se que F ’ = f.
A Integral Indefinida de uma Constante
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Para provar este resultado, observe que 
Exemplo:
Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas.
Solução:
Cada um dos integrandos tem a forma f (x) = k, onde k é uma constante. 
Aplicando a regra citada acima em cada caso teremos
Em seguida, a partir da regra de integração
obtemos a seguinte regra de integração.
Regra da Potência
Uma antiderivada de uma função potência é uma outra função 
potência obtida do integrando aumentando-se seu expoente de 1 e 
dividindo-se a expressão resultante pelo novo expoente.
Observe:
Exemplo:
Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas.
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Solução:
Cada integrando é uma função potência com expoente
n -1. Aplicando a regra da potência em cada caso, obtemos o 
seguinte resultado:
Os resultados acima podem ser verificados diferenciando-se cada 
uma das antiderivadas mostrando que os resultados são iguais aos 
correspondentes integrandos. 
Integral Indefinida de um Múltiplo Constante de 
uma Função
A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma função 
é igual à constante multiplicada pela integral indefinida da função.
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Atenção:
 
Apenas uma constante pode ser ‘’ passada para fora ’’ do sinal da 
integral. Por exemplo, seria incorreto escrever
Exemplo:
Encontre cada uma das seguintes integrais indefinidas.
Solução:
Cada integrando tem a forma cf (x), onde c é a constante. Aplicando a 
regra da integral indefinida de um múltiplo constante, iremos obter:
onde C = 2K. Deste ponto em diante, denotaremos a constante de 
integração por C, uma vez que um múltiplo não nulo de uma constante 
arbitrária é uma constante arbitrária.
Regra da Soma e da Diferença
A integral indefinida de uma soma ou de uma diferença de 
duas funções integráveis é igual à soma ou diferença de suas 
integrais indefinidas.
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Exemplo:
Encontre a integral indefinida.
Solução:
Aplicando a regra da soma ou diferença de duas funções obteremos:
Note que ao combinarmos as três constantes de integração, que 
surgiram durante os cálculos das três integrais indefinidas, obtivemos 
apenas uma única constante C. Afinal, a soma de três constantes 
arbitrárias é também uma constante arbitrária.
Regra da Integral Indefinida da Função 
Exponencial
A integral indefinida da função exponencial com base e é igual à 
própria função (exceto pela constante de integração).
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Exemplo:
Encontre a integral indefinida.
Solução:
Aplicando a regra da integral indefinida da função 
exponencial teremos:
Regra da Integral Indefinida da Função f (x) = x -1
Esta regra cobre a integração da função f (x) = . Lembre-se de 
que esta função constitui o único caso excepcional na integração da 
função potência f (x) = 
Exemplo:
Encontre a integral indefinida. 
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Abaixo citaremos uma tabela com diversas integrais indefinidas.
Tabela de Integrais Indefinidas
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Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros.Matemática para os cursos de 
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: 
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.