livro

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

LÓGICA PARA 
COMPUTAÇÃO
Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; GODOY, Edvania Gimenes de Oliveira.
 
 Lógica para Computação. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy.
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. Reimpresso em 2018.
 183 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Lógica. 2. Computação. 3. Matemática. 4. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-0245-4
 
CDD - 22 ed. 511.3
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Impresso por:
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor Executivo de EAD
William Victor Kendrick de Matos Silva
Pró-Reitor de Ensino de EAD
Janes Fidélis Tomelin
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria Executiva
Chrystiano Minco�
James Prestes
Tiago Stachon 
Diretoria de Graduação e Pós-graduação 
Kátia Coelho
Diretoria de Permanência 
Leonardo Spaine
Diretoria de Design Educacional
Débora Leite
Head de Produção de Conteúdos
Celso Luiz Braga de Souza Filho
Head de Curadoria e Inovação
Jorge Luiz Vargas Prudencio de Barros Pires
Gerência de Produção de Conteúdo
Diogo Ribeiro Garcia
Gerência de Projetos Especiais
Daniel Fuverki Hey
Gerência de Processos Acadêmicos
Taessa Penha Shiraishi Vieira
Gerência de Curadoria
Giovana Costa Alfredo
Supervisão do Núcleo de Produção 
de Materiais
Nádila Toledo
Supervisão Operacional de Ensino
Luiz Arthur Sanglard
Coordenador de Conteúdo
Fabiana de Lima
Designer Educacional
Paulo Victor Souza e Silva
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Ilustração Capa
Bruno Pardinho
Editoração
Bruna Marconato
Daniel Fuverki Hey
Qualidade Textual
Hellyery Agda
Keren Pardini
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalhamos 
com princípios éticos e profissionalismo, não so-
mente para oferecer uma educação de qualidade, 
mas, acima de tudo, para gerar uma conversão in-
tegral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-nos 
em 4 pilares: intelectual, profissional, emocional e 
espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois cursos 
de graduação e 180 alunos. Hoje, temos mais de 
100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil: 
nos quatro campi presenciais (Maringá, Curitiba, 
Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 300 polos 
EAD no país, com dezenas de cursos de graduação e 
pós-graduação. Produzimos e revisamos 500 livros 
e distribuímos mais de 500 mil exemplares por 
ano. Somos reconhecidos pelo MEC como uma 
instituição de excelência, com IGC 4 em 7 anos 
consecutivos. Estamos entre os 10 maiores grupos 
educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos educa-
dores soluções inteligentes para as necessidades 
de todos. Para continuar relevante, a instituição 
de educação precisa ter pelo menos três virtudes: 
inovação, coragem e compromisso com a quali-
dade. Por isso, desenvolvemos, para os cursos de 
Engenharia, metodologias ativas, as quais visam 
reunir o melhor do ensino presencial e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Pró-Reitor de 
Ensino de EAD
Diretoria de Graduação 
e Pós-graduação
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quando 
investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou 
profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos 
inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu-
nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de 
alcançar um nível de desenvolvimento compatível com 
os desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica 
e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con-
tribuindo no processo educacional, complementando 
sua formação profissional, desenvolvendo competên-
cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em 
situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal 
objetivo “provocar uma aproximação entre você e o 
conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento 
da autonomia em busca dos conhecimentos necessá-
rios para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cresci-
mento e construção do conhecimento deve ser apenas 
geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos 
que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. 
Ou seja, acesse regularmente o Studeo, que é o seu 
Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns 
e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das dis-
cussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe 
de professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy
Possui mestrado em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(2001). Atualmente é professora assistente da Fundação Faculdade de 
Filosofia Ciências e Letras de Mandaguari.
A
U
TO
R
A
SEJA BEM-VINDO(A)!
APRESENTAÇÃO
LÓGICA PARA COMPUTAÇÃOAPRESENTAC¸A˜O
LO´GICA PARA COMPUTAC¸A˜O
Prezados acadeˆmicos, e´ com satisfac¸a˜o que apresento a voceˆs o livro para a disciplina Lo´gica
para Computac¸a˜o. Esta disciplina esta´ baseada no que chamamos de Matema´tica Discreta,
que e´ uma parte da Matema´tica que trata de situac¸o˜es em que as estruturas matema´ticas sa˜o
baseadas em conjuntos conta´veis, finitos ou infinitos. Dessa forma, os conteu´dos abordados na
Matema´tica Discreta aplicam-se perfeitamente ao ambiente computacional, visto que a maioria
dos conceitos computacionais pertencem ao domı´nio discreto.
Os objetivos principais da disciplina sa˜o desenvolver o racioc´ınio lo´gico-matema´tico e oferecer
instrumentos para que voceˆs desenvolvam um vocabula´rio preciso, com recursos para notac¸a˜o
matema´tica e abstrac¸o˜es. Assim, sera´ poss´ıvel aplicar os conceitos de Matema´tica discreta
como uma ferramenta para investigac¸o˜es e aplicac¸o˜es na a´rea de Computac¸a˜o.
Este livro esta´ dividido em cinco unidades. A primeira trata de noc¸o˜es de Lo´gica Matema´tica,
que e´ ba´sica para qualquer estudo em computac¸a˜o e informa´tica. O principal objetivo dessa
unidade sera´ introduzir, resumidamente, os principais conceitos e a terminologia de lo´gica
matema´tica. Veremos como utilizar a notac¸a˜o simbo´lica para as lo´gicas proposicional e de
predicados para simbolizar argumentos, bem como determinar sua validade por meio das re-
gras de infereˆncia.
A segunda unidade e´ dedicada ao estudo da Teoria dos Conjuntos. O conceito de conjunto e´
fundamental, pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos em computac¸a˜o sa˜o baseados
em conjuntos ou construc¸o˜es sobre conjuntos. Com as noc¸o˜es primitivas de conjunto e per-
tineˆncia, que sa˜o aceitas sem definic¸a˜o, iniciaremos o estudo de conjuntos definindo elementos,
subconjuntos e tipos de conjuntos, bem como suas representac¸o˜es por descric¸a˜o, propriedade
ou diagrama. Em seguida, estudaremos as operac¸o˜es sobre conjuntos, que sa˜o agrupadas em
na˜o revers´ıveis (unia˜o e intersec¸a˜o) e revers´ıveis (complemento, conjunto das partes e produto
cartesiano). Sera´ estabelecida tambe´m a relac¸a˜o entre a´lgebra de conjuntos e lo´gica.
As unidades III e IV sa˜o dedicadas ao estudo de relac¸o˜es e func¸o˜es, respectivamente. Relac¸o˜es
sa˜o muito usadas em todas as a´reas teo´ricas e pra´ticas da computac¸a˜o. Ale´m do conceito formal
de relac¸a˜o, diversos conceitos correlatos sera˜o estudados: relac¸a˜o dual, composic¸a˜o de relac¸o˜es
e tipos de relac¸o˜es. Veremos como representar relac¸o˜es por meio de diagramas, matrizes ou
grafos, e para o caso de uma ordem parcial de tarefas relacionadas por pre´-requisitos, discu-
tiremos sobre a representac¸a˜o em diagrama PERT.
1
APRESENTAC¸A˜O
LO´GICA PARA COMPUTAC¸A˜O
Prezados acadeˆmicos, e´ com satisfac¸a˜o que apresento a voceˆs o livro para a disciplina Lo´gica
para Computac¸a˜o. Esta disciplina esta´ baseada no que chamamos de Matema´tica Discreta,
que e´ uma parte da Matema´tica que trata de situac¸o˜es em que as estruturas matema´ticas sa˜o
baseadas em conjuntos conta´veis, finitos ou infinitos. Dessa forma, os conteu´dos abordados na
Matema´tica Discreta aplicam-se perfeitamente ao ambiente computacional, visto que a maioria
dos conceitos computacionais pertencem ao domı´nio discreto.
Os objetivos principais da disciplina sa˜o desenvolver o racioc´ınio lo´gico-matema´tico e oferecer
instrumentos para que voceˆs desenvolvam um vocabula´rio preciso, com recursos para notac¸a˜o
matema´tica e abstrac¸o˜es. Assim, sera´ poss´ıvel aplicar os conceitos de Matema´tica discreta
como uma ferramenta para investigac¸o˜es e aplicac¸o˜es na a´rea de Computac¸a˜o.
Este livro esta´ dividido em cinco unidades. A primeira trata de noc¸o˜es de Lo´gica Matema´tica,
que e´ ba´sica para qualquer estudo em computac¸a˜o e informa´tica. O principal objetivo dessa
unidade sera´ introduzir, resumidamente, os principais conceitos e a terminologia de lo´gica
matema´tica. Veremos como utilizar a notac¸a˜o simbo´lica para as lo´gicas proposicional e de
predicados para simbolizar argumentos, bem como determinar sua validade por meio das re-
gras de infereˆncia.
A segunda unidade e´ dedicada ao estudo da Teoria dos Conjuntos. O conceito de conjunto e´
fundamental, pois praticamente todos os conceitos desenvolvidos em computac¸a˜o sa˜o baseados
em conjuntos ou construc¸o˜es sobre conjuntos. Com as noc¸o˜es primitivas de conjunto e per-
tineˆncia, que sa˜o aceitas sem definic¸a˜o, iniciaremos o estudo de conjuntos definindo elementos,
subconjuntos e tipos de conjuntos, bem como suas representac¸o˜es por descric¸a˜o, propriedade
ou diagrama. Em seguida, estudaremos as operac¸o˜es sobre conjuntos, que sa˜o agrupadas em
na˜o revers´ıveis (unia˜o e intersec¸a˜o) e revers´ıveis (complemento, conjunto das partes e produto
cartesiano). Sera´ estabelecida tambe´m a relac¸a˜o entre a´lgebra de conjuntos e lo´gica.
As unidades III e IV sa˜o dedicadas ao estudo de relac¸o˜es e func¸o˜es, respectivamente. Relac¸o˜es
sa˜o muito usadas em todas as a´reas teo´ricas e pra´ticas da computac¸a˜o. Ale´m do conceito formal
de relac¸a˜o, diversos conceitos correlatos sera˜o estudados: relac¸a˜o dual, composic¸a˜o de relac¸o˜es
e tipos de relac¸o˜es. Veremos como representar relac¸o˜es por meio de diagramas, matrizes ou
grafos, e para o caso de uma ordem parcial de tarefas relacionadas por pre´-requisitos, discu-
tiremos sobre a representac¸a˜o em diagrama PERT.
1
Uma func¸a˜o e´ um caso particular de relac¸a˜o bina´ria e, assim como as relac¸o˜es, descreve 
diversas situac¸o˜es reais. Abordaremos o conceito de func¸a˜o, destacando seu domı´nio, imagem e 
repre-sentac¸a˜o gra´fica, bem como as propriedades de func¸o˜es e as definic¸o˜es de func¸o˜es 
compostas e inversas.
Por fim, na unidade V, faremos uma retomada das unidades anteriores apresentando 
aplicac¸o˜es na a´rea de Computac¸a˜o. Sobre lo´gica proposicional e teoria dos conjuntos, veremos 
aplicac¸o˜es em linguagens de programac¸a˜o conhecidas como procedurais (no caso, linguagem 
Pascal). Sobre lo´gica de predicados, apresentaremos uma linguagem de programac¸a˜o 
conhecida como declar-ativa (Prolog), em que os programas reu´nem uma se´rie de dados e 
regras e as usam para gerar concluso˜es. O item Relac¸o˜es sera´ retomado no estudo de caminho 
cr´ıtico em um diagrama Pert, para determinar o tempo mı´nimo de conclusa˜o de uma 
sequeˆncia de atividades ordenadas em uma tarefa a ser realizada. Tambe´m em bancos de 
dados relacional, que e´ um banco de dados cujos dados sa˜o conjuntos (representados como 
tabelas) que sa˜o relacionados com outros conjuntos (tabelas), veremos a aplicac¸a˜o dos 
conceitos de conjuntos e relac¸o˜es. E, finalmente, sera´ destacada a aplicac¸a˜o dos conceitos de 
relac¸o˜es e func¸o˜es em autoˆmatos finitos.
Gostaria de destacar que na˜o pretendemos realizar estudo detalhado de conceitos espec´ıficos 
de computac¸a˜o, mas apenas dar uma noc¸a˜o sobre a forte relac¸a˜o entre a matema´tica estudada 
com outras disciplinas do curso.
Em cada unidade, sa˜o propostas atividades sobre o conteu´do estudado. A realizac¸a˜o dessas 
atividades e´ muito importante para a fixac¸a˜o dos conceitos e verificac¸a˜o de aprendizagem.
Desejo a todos um bom estudo!
2
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
LÓGICA MATEMÁTICA
15 Introdução 
16 Lógica Proposicional 
16 Proposições e Valores Lógicos 
17 Conectivos Lógicos 
25 Tabela-Verdade 
26 Tautologias e Contradições 
28 Equivalências Lógicas 
31 Implicações Lógicas 
32 Método Dedutivo 
35 Quantificadores e Predicados 
38 Negação de Sentenças Quantificadas 
39 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE II
TEORIA DOS CONJUNTOS
47 Introdução
47 Conceitos Primitivos 
48 Descricão de Conjuntos 
50 Igualdade de Conjuntos 
50 Tipos de Conjuntos 
51 Subconjuntos 
53 Conjunto das Partes 
54 Diagramas de Venn-Euler 
58 Produto Cartesiano 
59 Relação Entre Lógica e Álgebra dos Conjuntos 
60 Princípio da Inclusão e Exclusão 
64 Considerações Finais 
UNIDADE III
RELAÇÕES
73 Introdução
73 Relação Binária 
76 Tipos de Relações Binárias 
77 Propriedades das Relações 
78 Representação das Relações 
SUMÁRIO
11
82 Relação de Ordem 
85 Diagrama de Hasse 
87 Diagrama PERT 
89 Relações Duais 
89 Composição de Relações 
91 Consideração Finais 
UNIDADE IV
FUNÇÕES
101 Introdução
101 Funções 
103 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função 
105 Igualdade de Funções 
105 Gráfico de Funções 
108 Função Piso e Função Teto 
109 Propriedades de Funções 
112 Função Composta 
114 Funções Inversas 
115 Técnicas para Obtenção da Inversa de uma Função 
117 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE V
APLICAÇÕES À COMPUTAÇÃO
125 Introdução
125 Álgebra dos Conjuntos nas Linguagens de Programação 
132 PROLOG 
139 Caminho Crítico no Diagrama PERT 
144 Autômatos Finitos 
150 Relações e Banco de Dados 
159 Considerações Finais 
165 CONCLUSÃO
167 REFERÊNCIAS 
169 GABARITO
U
N
ID
A
D
E I
Professora Me. Edvania Gimenes de Oliveira Godoy
LÓGICA MATEMÁTICA
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Desenvolver o raciocínio lógico matemático.
 ■ Usar os símbolos formais da lógica proposicional.
 ■ Encontrar o valor-verdade de expressões em lógica proposicional.
 ■ Reconhecer tautologias e contradições.
 ■ Usar a lógica proposicional para provar a validade de um argumento 
na língua portuguesa.
 ■ Identificar/reconhecer símbolos quantificados.
 ■ Determinar o valor-verdade de uma proposição predicativa em uma 
dada interpretação.
 ■ Representar sentenças da língua portuguesa usando a lógica de 
predicativos.
 ■ Determinar a negação de sentenças quantificadas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Lógica Proposicional.
 ■ Conectivos Lógicos
 ■ Tabelas- Verdade
 ■ Tautologias e Contradições
 ■ Equivalências Lógicas
 ■ Implicações Lógicas
 ■ Método Dedutivo
 ■ Quantificadores e Predicados
 ■ Negação de Sentenças Quantificadas
INTRODUÇÃO
Introduc¸a˜o
A lo´gica formal fornece base para o modo de pensar organizado e cuidadoso que caracteri-
za qualquer atividade racional. Ela e´ considerada base de todo racioc´ınio matema´tico e do
racioc´ınio automatizado, tendo aplicac¸o˜es diretas em Cieˆncia da Computac¸a˜o, em grau variado
de complexidade. Considera-se que o estudo da Lo´gica teve in´ıcio na Gre´cia Antiga, sendo
sistematizado por Aristo´teles (384a.C.-322a.C.), com a formulac¸a˜o de leis gerais de encadea-
mentos de conceitos e ju´ızos que levariam a` descoberta de novas verdades (Lo´gica Cla´ssica).
Entretanto, os argumentos formulados em linguagem natural como em portugueˆs, por exemplo,
sa˜o muitas vezes de dif´ıcil avaliac¸a˜o, devido a ambiguidades nas frases e construc¸o˜es confusas.
Os matema´ticos da atualidade entenderam enta˜o que, para uma mate´ria ser estudada com o
cara´ter cient´ıfico necessa´rio, era preciso introduzir-se uma linguagem simbo´lica.
A Lo´gica Simbo´lica ou Lo´gica Matema´tica utiliza s´ımbolos de origem matema´tica para for-
mular os argumentos. Nessa lo´gica, as va´rias relac¸o˜es entre proposic¸o˜es sa˜o representadas por
fo´rmulas cujos significados esta˜o livres de ambiguidades ta˜o comuns a` linguagem corrente, e
essas fo´rmulas podem ser “operadas” segundo um conjunto de regras de transformac¸a˜o for-
mal. Outra vantagem de seu uso refere-se a` facilidade de entendimento e brevidade para obter
resultados.
O moderno desenvolvimento da Lo´gica iniciou-se com a obra de George Boole (1815-1864)-
“A´lgebra Booleana”- e de Augustus De Morgan (1806-1871), e foi consolidado pelo filo´sofo
e matema´tico alema˜o Gottlob Frege (1848-1895) - “Regras de Demonstrac¸a˜o Matema´tica.”
Como a Lo´gica Simbo´lica tem sua pro´pria linguagem te´cnica, e´ um instrumento poderoso para
a ana´lise e a deduc¸a˜o dos argumentos, especialmente com o uso do computador. Na computac¸a˜o,
ela e´ utilizada para representar problemas e para obter suas soluc¸o˜es. O algoritmo, que seria
o conjunto finito de instruc¸o˜es a serem executadas para obter a soluc¸a˜o de um problema, e´
constru´ıdo com base na lo´gica matema´tica.
Nessa unidade vamos estudar os principais conceitos e a terminologia da lo´gica matema´tica,
que envolve proposic¸o˜es, conectivos, tabelas-verdade e tautologias para chegar a concluso˜es a
partir de proposic¸o˜es dadas, bem como o estudo dos quantificadores e predicados. Os conteu´dos
estudados sera˜o utilizados em disciplinas futuras e fornecera˜o ferramentas para investigac¸o˜es e
aplicac¸o˜es precisas em sua a´rea de atuac¸a˜o.
2 Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
15
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E16
Lo´gica Proposicional
Proposic¸o˜es e Valores Lo´gicos
Proposic¸a˜o e´ uma sentenc¸a declarativa que e´ verdadeira ou falsa, mas na˜o ambas. Dito de outra
maneira, proposic¸a˜o e´ toda expressa˜o que encerra um pensamento de sentido completo e pode
ser classificada como V (verdadeira) ou F (falsa).
Exemplos:
1. 17 e´ um nu´mero par.
2. O gato e´ um mamı´fero.
3. O 136◦ d´ıgito da expansa˜o decimal de
√
11 e´ 2.
4. Esta´ chovendo agora.
5. Todo quadrado e´ um retaˆngulo.
6. 100 + 100 = 300
Observamos que todas essas sentenc¸as sa˜o proposic¸o˜es, pois: (2) e (5) sa˜o verdadeiras e (1)
e´ falsa; a veracidade ou falsidade de (4) depende do momento em que a proposic¸a˜o e´ feita; e
apesar de na˜o sabermos o valor do d´ıgito solicitado na afirmac¸a˜o (3), ele sera´ igual a 2 ou na˜o
sera´ 2, ou seja, a sentenc¸a sera´ verdadeira ou falsa.
3
Como exemplos de frases que na˜o sa˜o proposic¸o˜es, podemos citar:
1. Feliz aniversa´rio!!! (Sentenc¸a exclamativa)
2. Onde esta´ a chave? (Sentenc¸a interrogativa)
3. Vire a` esquerda. (Sentenc¸a imperativa)
4. x+y = 6. (sentenc¸a aberta; pode ser verdadeira ou falsa dependendo dos valores de x e y)
O valor lo´gico de uma proposica¸˜o se refere a um dos dois poss´ıveis ju´ızos que atribuiremos
a uma proposic¸a˜o: verdadeiro, denotado por V (ou 1), ou falso, denotado por F (ou 0).
Princ´ıpios Ba´sicos das Proposic¸o˜es:
I) Princ´ıpio da na˜o contradic¸a˜o: Uma proposic¸a˜o na˜o pode ser verdadeira e falsa simultane-
amente.
II) Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposic¸a˜o ou e´ verdadeira ou e´ falsa; na˜o existe
um terceiro valor lo´gico.
Classificac¸a˜o das Proposic¸o˜es:
As proposic¸o˜es podem ser classificadas em simples e compostas:
Proposic¸o˜es simples: aquelas que veˆm sozinhas, desacompanhadas de outras proposic¸o˜es.
Exemplos:
* A impressora esta´ ligada.
* O novo papa e´ argentino.
Proposic¸o˜es compostas: aquelas formadas pela combinac¸a˜o de proposic¸o˜es simples.
Exemplos:
* Joa˜o e´ me´dico e Pedro e´ dentista.
* Se fizer sol, enta˜o irei ao clube.
Conectivos Lo´gicos
Proposic¸o˜es simples podem ser combinadas para for-
mar proposic¸o˜es mais complexas: as proposic¸o˜es com-
postas. As palavras ou s´ımbolos usados para formar
novas proposic¸o˜es a partir de proposic¸o˜es dadas sa˜o
chamados de conectivos.
4
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
17
©shutterstock
Os conectivos fundamentais da Lo´gica Matema´tica sa˜o:
Conectivo S´ımbolo
1) na˜o; na˜o e´ verdade que ∼ Negac¸a˜o ou modificador
2) e ∧ Conjunc¸a˜o
3) ou ∨ Disjunc¸a˜o
4) se ... enta˜o → Condicional
5) se, e somente se ↔ Bicondicional
Dadas as proposic¸o˜es simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposic¸o˜es
a partir de p e q. Assim temos:
1) A negac¸a˜o de p ∼ p na˜o p
2) A conjunc¸a˜o de p e q p ∧ q p e q
3) A disjunc¸a˜o de p e q p ∨ q p ou q
4) A condicional de p e q p → q se p, enta˜o q
5) A bicondicional de p e q p↔ q p se, e somente se, q
Exemplo:
Dadas as proposic¸o˜es p: 2 e´ um nu´mero par e q: 6 e´ mu´ltiplo de 3, fac¸a as traduc¸o˜es para
a linguagem corrente para as seguintes proposic¸o˜es:
a) ∼ p 2 na˜o e´ um nu´mero par. (ou: 2 e´ um nu´mero ı´mpar.)
b) ∼ p ∨ q 2 na˜o e´ par ou 6 e´ mu´ltiplo de 3.
c) ∼ q → p Se 6 na˜o e´ mu´ltiplo de 3, enta˜o 2 e´ par.
d) ∼ p↔ q 2 e´ ı´mpar se, e somente se, 6 e´ mu´ltiplo de 3.
e) ∼ (p ∧ ∼ q) Na˜o e´ verdade que 2 e´ par e 6 na˜o e´ um mu´ltiplo de 3.
# SAIBA MAIS #:
Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou expresso˜es.
Consideremos p, q proposic¸o˜es:
Conectivo lo´gico S´ımbolo
Negac¸a˜o ¬p; p′
Conjunc¸a˜o p.q
Disjunc¸a˜o p+ q
5
Os conectivos fundamentais da Lo´gica Matema´tica sa˜o:
Conectivo S´ımbolo
1) na˜o; na˜o e´ verdade que ∼ Negac¸a˜o ou modificador
2) e ∧ Conjunc¸a˜o
3) ou ∨ Disjunc¸a˜o
4) se ... enta˜o → Condicional
5) se, e somente se ↔ Bicondicional
Dadas as proposic¸o˜es simples p e q, podemos com o uso de conectivos formar novas proposic¸o˜es
a partir de p e q. Assim temos:
1) A negac¸a˜o de p ∼ p na˜o p
2) A conjunc¸a˜o de p e q p ∧ q p e q
3) A disjunc¸a˜o de p e q p ∨ q p ou q
4) A condicional de p e q p → q se p, enta˜o q
5) A bicondicional de p e q p↔ q p se, e somente se, q
Exemplo:
Dadas as proposic¸o˜es p: 2 e´
um nu´mero par e q: 6 e´ mu´ltiplo de 3, fac¸a as traduc¸o˜es para
a linguagem corrente para as seguintes proposic¸o˜es:
a) ∼ p 2 na˜o e´ um nu´mero par. (ou: 2 e´ um nu´mero ı´mpar.)
b) ∼ p ∨ q 2 na˜o e´ par ou 6 e´ mu´ltiplo de 3.
c) ∼ q → p Se 6 na˜o e´ mu´ltiplo de 3, enta˜o 2 e´ par.
d) ∼ p↔ q 2 e´ ı´mpar se, e somente se, 6 e´ mu´ltiplo de 3.
e) ∼ (p ∧ ∼ q) Na˜o e´ verdade que 2 e´ par e 6 na˜o e´ um mu´ltiplo de 3.
# SAIBA MAIS #:
Alguns dos conectivos apresentados podem ser denotados por outros s´ımbolos ou expresso˜es.
Consideremos p, q proposic¸o˜es:
Conectivo lo´gico S´ımbolo
Negac¸a˜o ¬p; p′
Conjunc¸a˜o p.q
Disjunc¸a˜o p+ q
5
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E18
A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programac¸a˜o) possui os
seguintes conectivos lo´gicos:
not Negac¸a˜o
and Conjunc¸a˜o
or Disjunc¸a˜o
<= Condicional
= Bicondicional
Fonte: Menezes (2013).
# FIM SAIBA MAIS#
O valor lo´gico de uma proposic¸a˜o composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lo´gico das
proposic¸o˜es simples que a compo˜em e da maneira como elas sa˜o combinadas pelos conectivos.
Conhecendo-se os valores lo´gicos de duas proposic¸o˜es p e q, vamos definir os valores lo´gicos
das proposic¸o˜es: ∼ p; p ∧ q; p ∨ q; p→ q e p↔ q.
1. Negac¸a˜o (∼)
Dada uma proposic¸a˜o p, a negac¸a˜o de p sera´ indicada por ∼ p (Leˆ-se ”na˜o p”). O valor
verdade da proposic¸a˜o ∼ p sera´ o oposto do valor verdade de p.
Em resumo:
Negac¸a˜o: se V(p) = V enta˜o V(∼ p) = F e se V(p) = F enta˜o V(∼ p).
Essas possibilidades para os valores lo´gicos podem ser colocadas em uma tabela, denomi-
nada tabela-verdade. Uma tabela verdade e´ uma tabela que conte´m as proposic¸o˜es nas colunas
e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. E´ comum expressar os resultados de uma
proposic¸a˜o composta por meio de tabelas- verdade, que permitem analisar seus valores-verdade.
Tabela-verdade para a negac¸a˜o de p:
p ∼ p
V F
F V
6
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
19
A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programac¸a˜o) possui os
seguintes conectivos lo´gicos:
not Negac¸a˜o
and Conjunc¸a˜o
or Disjunc¸a˜o
<= Condicional
= Bicondicional
Fonte: Menezes (2013).
# FIM SAIBA MAIS#
O valor lo´gico de uma proposic¸a˜o composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lo´gico das
proposic¸o˜es simples que a compo˜em e da maneira como elas sa˜o combinadas pelos conectivos.
Conhecendo-se os valores lo´gicos de duas proposic¸o˜es p e q, vamos definir os valores lo´gicos
das proposic¸o˜es: ∼ p; p ∧ q; p ∨ q; p→ q e p↔ q.
1. Negac¸a˜o (∼)
Dada uma proposic¸a˜o p, a negac¸a˜o de p sera´ indicada por ∼ p (Leˆ-se ”na˜o p”). O valor
verdade da proposic¸a˜o ∼ p sera´ o oposto do valor verdade de p.
Em resumo:
Negac¸a˜o: se V(p) = V enta˜o V(∼ p) = F e se V(p) = F enta˜o V(∼ p).
Essas possibilidades para os valores lo´gicos podem ser colocadas em uma tabela, denomi-
nada tabela-verdade. Uma tabela verdade e´ uma tabela que conte´m as proposic¸o˜es nas colunas
e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. E´ comum expressar os resultados de uma
proposic¸a˜o composta por meio de tabelas- verdade, que permitem analisar seus valores-verdade.
Tabela-verdade para a negac¸a˜o de p:
p ∼ p
V F
F V
6
AlinguagemPascal(assimcomoamaioriadaslinguagensdeprogramac¸a˜o)possuios
seguintesconectivosl´ogicos:
notNegac¸a˜o
andConjunc¸a˜o
orDisjunc¸a˜o
<=Condicional
=Bicondicional
Fonte:Menezes(2013).
#FIMSAIBAMAIS#
Ovalorl´ogicodeumaproposi¸ca˜ocomposta(verdadeirooufalso)dependedovalorl´ogicodas
proposi¸co˜essimplesqueacompo˜emedamaneiracomoelass˜aocombinadaspelosconectivos.
Conhecendo-seosvaloresl´ogicosdeduasproposi¸co˜espeq,vamosdefinirosvaloresl´ogicos
dasproposi¸co˜es:∼p;p∧q;p∨q;p→qep↔q.
1.Negac¸a˜o(∼)
Dadaumaproposi¸ca˜op,anegac¸a˜odepser´aindicadapor∼p(Leˆ-se”na˜op”).Ovalor
verdadedaproposi¸ca˜o∼pser´aoopostodovalorverdadedep.
Emresumo:
Negac¸a˜o:seV(p)=Vent˜aoV(∼p)=FeseV(p)=Fent˜aoV(∼p).
Essaspossibilidadesparaosvaloresl´ogicospodemsercolocadasemumatabela,denomi-
nadatabela-verdade.Umatabelaverdadee´umatabelaquecont´emasproposi¸co˜esnascolunas
easpossibilidadesdevalores-verdadenaslinhas.E´comumexpressarosresultadosdeuma
proposi¸ca˜ocompostapormeiodetabelas-verdade,quepermitemanalisarseusvalores-verdade.
Tabela-verdadeparaanegac¸a˜odep:
p∼p
VF
FV
6
 3
A linguagem Pascal (assim como a maioria das linguagens de programac¸a˜o) possui os
seguintes conectivos lo´gicos:
not Negac¸a˜o
and Conjunc¸a˜o
or Disjunc¸a˜o
<= Condicional
= Bicondicional
Fonte: Menezes (2013).
# FIM SAIBA MAIS#
O valor lo´gico de uma proposic¸a˜o composta (verdadeiro ou falso) depende do valor lo´gico das
proposic¸o˜es simples que a compo˜em e da maneira como elas sa˜o combinadas pelos conectivos.
Conhecendo-se os valores lo´gicos de duas proposic¸o˜es p e q, vamos definir os valores lo´gicos
das proposic¸o˜es: ∼ p; p ∧ q; p ∨ q; p→ q e p↔ q.
1. Negac¸a˜o (∼)
Dada uma proposic¸a˜o p, a negac¸a˜o de p sera´ indicada por ∼ p (Leˆ-se ”na˜o p”). O valor
verdade da proposic¸a˜o ∼ p sera´ o oposto do valor verdade de p.
Em resumo:
Negac¸a˜o: se V(p) = V enta˜o V(∼ p) = F e se V(p) = F enta˜o V(∼ p).
Essas possibilidades para os valores lo´gicos podem ser colocadas em uma tabela, denomi-
nada tabela-verdade. Uma tabela verdade e´ uma tabela que conte´m as proposic¸o˜es nas colunas
e as possibilidades de valores-verdade nas linhas. E´ comum expressar os resultados de uma
proposic¸a˜o composta por meio de tabelas- verdade, que permitem analisar seus valores-verdade.
Tabela-verdade para a negac¸a˜o de p:
p ∼ p
V F
F V
6
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E20
2. Conjunc¸a˜o (∧)
O operador conjunc¸a˜o “∧” representa intuitivamente o papel ana´logo ao conectivo “e” da
L´ıngua Portuguesa. Por exemplo, se p: “7 < 0” e q: “11 e´ ı´mpar”, enta˜o p ∧ q e´ a proposic¸a˜o
“7 < 0 e 11 e´ ı´mpar”. Neste caso, sabemos que (p ∧ q) e´ falsa, pois falha a proposic¸a˜o q.
Dadas duas proposic¸o˜es p e q, chama-se “conjunc¸a˜o de p e q” a proposic¸a˜o “p ∧ q” (leˆ-se p
e q). A conjunc¸a˜o p∧ q sera´ verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras e sera´ falsa nos
outros casos.
Em resumo: V(p ∧ q) = V somente quando V(p) = V(q) = V.
Tabela-verdade para a conjunc¸a˜o p ∧ q
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3) Disjunc¸a˜o (∨)
Dadas duas proposic¸o˜es p e q, chama-se “disjunc¸a˜o de p e q” a proposic¸a˜o “p ∨ q” (leˆ-se
p ou q). A disjunc¸a˜o p ∨ q sera´ verdadeira se pelo menos uma das proposic¸o˜es (p ou q) for
verdadeira e sera´ falsa apenas no caso em que as duas (p e q) forem falsas.
Em resumo: V(p ∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.
Exemplos:
a) Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 + 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo “∨” e´
P:p ∨ q, que se leˆ P: 3 + 4 > 5 ou 3 + 1 = 2.
b) A frase: “O aluno tem celular ou notebook” e´ uma disjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es simples:
[O aluno tem celular] ∨ [O aluno tem notebook].
O concetivo ∨ tambe´m e´ chamado de “ou inclusivo”, pois ele admite as duas frases ver-
dadeiras. A frase do exemplo acima e´ verdadeira se o aluno tiver somente celular, somente
notebook, ou celular e notebook.
Em resumo: V(p ∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.
7
2. Conjunc¸a˜o (∧)
O operador conjunc¸a˜o “∧” representa intuitivamente o papel ana´logo ao conectivo “e” da
L´ıngua
Portuguesa. Por exemplo, se p: “7 < 0” e q: “11 e´ ı´mpar”, enta˜o p ∧ q e´ a proposic¸a˜o
“7 < 0 e 11 e´ ı´mpar”. Neste caso, sabemos que (p ∧ q) e´ falsa, pois falha a proposic¸a˜o q.
Dadas duas proposic¸o˜es p e q, chama-se “conjunc¸a˜o de p e q” a proposic¸a˜o “p ∧ q” (leˆ-se p
e q). A conjunc¸a˜o p∧ q sera´ verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras e sera´ falsa nos
outros casos.
Em resumo: V(p ∧ q) = V somente quando V(p) = V(q) = V.
Tabela-verdade para a conjunc¸a˜o p ∧ q
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
3) Disjunc¸a˜o (∨)
Dadas duas proposic¸o˜es p e q, chama-se “disjunc¸a˜o de p e q” a proposic¸a˜o “p ∨ q” (leˆ-se
p ou q). A disjunc¸a˜o p ∨ q sera´ verdadeira se pelo menos uma das proposic¸o˜es (p ou q) for
verdadeira e sera´ falsa apenas no caso em que as duas (p e q) forem falsas.
Em resumo: V(p ∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.
Exemplos:
a) Se p: 3 + 4 > 5 e q: 3 + 1 = 2, a composta P(p, q) formada ao usar o conectivo “∨” e´
P:p ∨ q, que se leˆ P: 3 + 4 > 5 ou 3 + 1 = 2.
b) A frase: “O aluno tem celular ou notebook” e´ uma disjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es simples:
[O aluno tem celular] ∨ [O aluno tem notebook].
O concetivo ∨ tambe´m e´ chamado de “ou inclusivo”, pois ele admite as duas frases ver-
dadeiras. A frase do exemplo acima e´ verdadeira se o aluno tiver somente celular, somente
notebook, ou celular e notebook.
Em resumo: V(p ∨ q) = F somente quando V(p) = V(q) = F.
7
Tabela-verdade para a disjunc¸a˜o p ∨ q.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
3.1) Disjunc¸a˜o Exclusiva: (∨)
Chama-se disjunc¸a˜o exclusiva de duas proposic¸o˜es p e q a proposic¸a˜o representada por “p ∨
q” ou p⊕q, que se leˆ: “ou p ou q” ou “p ou q, mas na˜o ambos”, cujo valor lo´gico e´ a verdade (V)
somente quando p e´ verdadeira ou q e´ verdadeira, mas na˜o quando p e q sa˜o ambas verdadeiras,
e a falsidade (F) quando p e q sa˜o ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Em resumo: V( p∨q ) = F quando V(p) = V(q).
Na disjunc¸a˜o exclusiva, as duas proposic¸o˜es na˜o podem ocorrer ao mesmo tempo.
Exemplos:
a) p: x e´ par ; q: x e´ ı´mpar. x pode ser par ou ı´mpar, mas x na˜o pode ser par e ı´mpar ao
mesmo tempo. A composta “p ou q” e´ simbolizada por P(p, q) = (p∨q).
b) Arnaldo e´ alagoano ou pernambucano.
c) O documento foi enviado por malote ou pelo correio.
Tabela-verdade da disjunc¸a˜o exclusiva p∨q.
p q p∨q
V V F
V F V
F V V
F F F
4. Condicional (−→)
Sejam p e q proposic¸o˜es. A proposic¸a˜o “se p, enta˜o q” , que sera´ denotada por p → q,
e´ chamada de condicional ou implicac¸a˜o. A proposic¸a˜o p → q assume o valor falso somente
8
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
21
quando p for verdadeira e q for falsa.
Resumindo: V(p→ q) = F somente quando V(p) = V e V(q) = F.
Ilustremos inicialmente uma interpretac¸a˜o do conectivo → atrave´s da sentenc¸a:
“Se Ana conseguir o emprego, enta˜o fara´ uma festa.”
Definindo-se:
p: “Ana consegue o emprego” e q: “ Ana faz uma festa”, enta˜o (p → q) representa a
promessa de Ana.
Vamos analisar quando a promessa sera´ cumprida:
1) Digamos que ela consiga a vaga de emprego (p e´ V). Pode acontecer que ela fac¸a a festa
(q e´ V), cumprindo a promessa (p → q e´ V). Por outro lado, Ana pode na˜o fazer a festa,
descumprindo a promessa (p→ q e´ F).
2) Digamos que Ana na˜o consiga o emprego (p e´ F). Neste caso, independente de fazer ou
na˜o uma festa (q e´ V ou F), a promessa na˜o sera´ descumprida (p→ q e´ V).
Observamos que a u´nica possibilidade de p→ q ser falsa e´ quando p e´ V e q e´ F.
Tabela-verdade da condicional p→ q.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Na condicional p → q, a proposic¸a˜o p e´ chamada de hipo´tese, premissa ou antecedente,
enquanto a proposic¸a˜o q e´ denominada tese, conclusa˜o ou consequente.
Em Portugueˆs, o uso do condicional estabelece uma relac¸a˜o de causa e efeito entre a hipo´tese
e a conclusa˜o. Entretanto, na condicional lo´gica p → q, na˜o e´ necessa´rio existir uma relac¸a˜o
causal entre a hipo´tese p e a tese q.
Por exemplo, a condicional:
“Se laranjas sa˜o azuis enta˜o 2 e´ par”
e´ destitu´ıda de “sentido” na l´ıngua portuguesa, mas como a hipo´tese e´ falsa, temos que a
condicional e´ verdadeira, mesmo na˜o existindo relac¸a˜o de causa e efeito entre as proposic¸o˜es
envolvidas.
9
quando p for verdadeira e q for falsa.
Resumindo: V(p→ q) = F somente quando V(p) = V e V(q) = F.
Ilustremos inicialmente uma interpretac¸a˜o do conectivo → atrave´s da sentenc¸a:
“Se Ana conseguir o emprego, enta˜o fara´ uma festa.”
Definindo-se:
p: “Ana consegue o emprego” e q: “ Ana faz uma festa”, enta˜o (p → q) representa a
promessa de Ana.
Vamos analisar quando a promessa sera´ cumprida:
1) Digamos que ela consiga a vaga de emprego (p e´ V). Pode acontecer que ela fac¸a a festa
(q e´ V), cumprindo a promessa (p → q e´ V). Por outro lado, Ana pode na˜o fazer a festa,
descumprindo a promessa (p→ q e´ F).
2) Digamos que Ana na˜o consiga o emprego (p e´ F). Neste caso, independente de fazer ou
na˜o uma festa (q e´ V ou F), a promessa na˜o sera´ descumprida (p→ q e´ V).
Observamos que a u´nica possibilidade de p→ q ser falsa e´ quando p e´ V e q e´ F.
Tabela-verdade da condicional p→ q.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Na condicional p → q, a proposic¸a˜o p e´ chamada de hipo´tese, premissa ou antecedente,
enquanto a proposic¸a˜o q e´ denominada tese, conclusa˜o ou consequente.
Em Portugueˆs, o uso do condicional estabelece uma relac¸a˜o de causa e efeito entre a hipo´tese
e a conclusa˜o. Entretanto, na condicional lo´gica p → q, na˜o e´ necessa´rio existir uma relac¸a˜o
causal entre a hipo´tese p e a tese q.
Por exemplo, a condicional:
“Se laranjas sa˜o azuis enta˜o 2 e´ par”
e´ destitu´ıda de “sentido” na l´ıngua portuguesa, mas como a hipo´tese e´ falsa, temos que a
condicional e´ verdadeira, mesmo na˜o existindo relac¸a˜o de causa e efeito entre as proposic¸o˜es
envolvidas.
9
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E22
Proposic¸o˜es Associadas a uma Condicional:
Consideremos as proposic¸o˜es:
p: O quadrila´tero Q e´ um quadrado.
q: O quadrila´tero Q e´ um retaˆngulo.
e a condicional
p→ q : “Se o quadrila´tero Q e´ um quadrado, enta˜o e´ um retaˆngulo.”
Temos as seguintes proposic¸o˜es associadas a` condicional p→ q :
• Contrapositiva ∼ q →∼ p : “Se o quadrila´tero Q na˜o e´ um retaˆngulo, enta˜o Q na˜o e´ um
quadrado.”
• Rec´ıproca q → p : “Se o quadrila´tero Q e´ um retaˆngulo, enta˜o e´ um quadrado.”
• Inversa ∼ p →∼ q : “Se o quadrila´tero Q na˜o e´ um quadrado, enta˜o Q na˜o e´ um
retaˆngulo.”
5. Bicondicional (↔)
Se p e q sa˜o duas proposic¸o˜es, a proposic¸a˜o “p, se e somente se q”, que sera´ indicada por
“p↔ q” e´ chamada de bicondicional. A proposic¸a˜o bicondicional sera´ verdadeira quando p e q
forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e sera´ falsa nos demais casos.
Resumindo: V (p↔ q) = V quando V(p) = V(q).
Tabela-verdade da bicondicional p↔ q.
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
A bicondicional p↔ q tambe´m se leˆ de uma das seguintes maneiras:
• p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q.
• q e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para p.
10
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
23
Exemplo:
“Respiro se, e somente se, estou vivo”.
Percebemos pelo exemplo que respirar e´ condic¸a˜o necessa´ria
e suficiente para estar vivo,
assim como estar vivo e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para respirar.
Prioridades de Operac¸o˜es Lo´gicas
Em uma operac¸a˜o que usa dois ou mais operadores lo´gicos, como p∧ r∨ q → r, a ordem em
que eles aparecem e´ muito importante. Em geral, usam-se pareˆnteses para indicar a ordem e
agrupamento das operac¸o˜es lo´gicas. Mas assim como na A´lgebra, existe uma convenc¸a˜o sobre
a ordem de precedeˆncia para os conectivos, que estabelecem uma ordem de aplicac¸a˜o, mesmo
na auseˆncia de pareˆnteses.
OPERADOR PRIORIDADE
∼ 1
∧ 2
∨ 3
→ 4
↔ 5
Exemplo:
Seja a sentenc¸a em linguagem natural:
“Voceˆ na˜o pode andar de montanha russa se voceˆ tiver menos do que 1,20 metros de altura, a
menos que voceˆ tenha 16 anos de idade.”
Podemos fazer a traduc¸a˜o dessa sentenc¸a em proposic¸o˜es compostas da seguinte maneira.
Consideremos as primitivas:
• q: Voceˆ pode andar de montanha russa.
• r: Voceˆ tem menos do que 1,20 m de altura.
• s: Voceˆ tem mais de 16 anos de idade.
Enta˜o, a sentenc¸a em linguagem natural pode ser traduzida em proposic¸o˜es lo´gicas como:
r∧ ∼ s→∼ q, ou ainda ∼ r ∨ s→ q, que devem ser consideradas como [(r ∧ (∼ s))→ (∼ q)],
ou ainda ((∼ r) ∨ s)→ q.
11
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E24
Tabela-Verdade
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
25
Tabelas-Verdade
Dadas va´rias proposic¸o˜es simples p, q, r, s, ..., podemos combina´-las para formar novas proposic¸o˜es
compostas. O valor-verdade dessas novas proposic¸o˜es fica completamente determinado pelos
valores das proposic¸o˜es componentes e pela natureza dos conectivos envolvidos. Uma maneira
de determinar o valor lo´gico de proposic¸o˜es compostas e´ pela construc¸a˜o de tabelas-verdade.
Exemplos:
1) Construir a tabela-verdade da proposic¸a˜o ∼ (p ∧ q).
Observemos que como existem duas proposic¸o˜es simples envolvidas, p e q, enta˜o existem 4
possibilidades de combinar os valores-verdade de p e q: VV; VF; FV e FF. Dessa forma, a
tabela-verdade tera´ 22 = 4 linhas.
p q p ∧ q ∼ (p ∧ q)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
1 1 2 3
2) Construir a tabela-verdade da proposic¸a˜o (p∨ ∼ q)→ q.
p q ∼ q p∨ ∼ q (p∨ ∼ q)→ q
V V F V V
V F V V F
F V F F V
F F V V F
12
Tabela-Verdade
# REFLITA#
Nu´mero de linhas de uma tabela-verdade
“A tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta com
n proposic¸o˜es simples componentes conte´m 2n linhas”.
Fonte: a autora.
#FIM REFLITA#
Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta e´ dada a
seguir, onde colocamos todos os elementos envolvidos na proposic¸a˜o composta e numeramos as
etapas; a soluc¸a˜o sera´ a u´ltima etapa:
3) Encontrar a tabela-verdade da proposic¸a˜o composta S = (p∨ ∼ q)→ (p ∧ q ↔ r).
p q r (p ∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r)
V V V V V F V V V V V V
V V F V V F F V V V F F
V F V V V V F V F F F V
V F F V V V V V F F V F
F V V F F F V F F V F V
F V F F F F V F F V V F
F F V F V V F F F F F V
F F F F V V V F F F V F
1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1
4) Construir a tabela-verdade de (p ∧ q)∨ ∼ (p→ q).
(p ∧ q) ∨ ∼ (p → q)
V V V V F V V V
V F F V V V F F
F F V F F F V V
F F F F F F V F
1 2 1 5 4 1 3 1
Tautologias e Contradic¸o˜es
Uma tautologia e´ uma proposic¸a˜o composta que e´ sempre verdadeira, quaisquer que sejam os
valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a compo˜em, ou seja, a coluna de resultado de sua
13
# REFLITA#
Nu´mero de linhas de uma tabela-verdade
“A tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta com
n proposic¸o˜es simples componentes conte´m 2n linhas”.
Fonte: a autora.
#FIM REFLITA#
Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta e´ dada a
seguir, onde colocamos todos os elementos envolvidos na proposic¸a˜o composta e numeramos as
etapas; a soluc¸a˜o sera´ a u´ltima etapa:
3) Encontrar a tabela-verdade da proposic¸a˜o composta S = (p∨ ∼ q)→ (p ∧ q ↔ r).
p q r (p ∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r)
V V V V V F V V V V V V
V V F V V F F V V V F F
V F V V V V F V F F F V
V F F V V V V V F F V F
F V V F F F V F F V F V
F V F F F F V F F V V F
F F V F V V F F F F F V
F F F F V V V F F F V F
1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1
4) Construir a tabela-verdade de (p ∧ q)∨ ∼ (p→ q).
(p ∧ q) ∨ ∼ (p → q)
V V V V F V V V
V F F V V V F F
F F V F F F V V
F F F F F F V F
1 2 1 5 4 1 3 1
Tautologias e Contradic¸o˜es
Uma tautologia e´ uma proposic¸a˜o composta que e´ sempre verdadeira, quaisquer que sejam os
valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a compo˜em, ou seja, a coluna de resultado de sua
13
# REFLITA#
Nu´mero de linhas de uma tabela-verdade
“A tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta com
n proposic¸o˜es simples componentes conte´m 2n linhas”.
Fonte: a autora.
#FIM REFLITA#
Um outro modo de se construir a tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta e´ dada a
seguir, onde colocamos todos os elementos envolvidos na proposic¸a˜o composta e numeramos as
etapas; a soluc¸a˜o sera´ a u´ltima etapa:
3) Encontrar a tabela-verdade da proposic¸a˜o composta S = (p∨ ∼ q)→ (p ∧ q ↔ r).
p q r (p ∨ ∼ q) → (p ∧ q ↔ r)
V V V V V F V V V V V V
V V F V V F F V V V F F
V F V V V V F V F F F V
V F F V V V V V F F V F
F V V F F F V F F V F V
F V F F F F V F F V V F
F F V F V V F F F F F V
F F F F V V V F F F V F
1 1 1 1 3 2 6 1 4 1 5 1
4) Construir a tabela-verdade de (p ∧ q)∨ ∼ (p→ q).
(p ∧ q) ∨ ∼ (p → q)
V V V V F V V V
V F F V V V F F
F F V F F F V V
F F F F F F V F
1 2 1 5 4 1 3 1
Tautologias e Contradic¸o˜es
Uma tautologia e´ uma proposic¸a˜o composta que e´ sempre verdadeira, quaisquer que sejam os
valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples que a compo˜em, ou seja, a coluna de resultado de sua
13
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E26
tabela-verdade conte´m somente valores lo´gicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposic¸a˜o
composta que e´ sempre falsa e´ chamada de contradic¸a˜o. Uma proposic¸a˜o composta que na˜o e´
uma tautologia nem uma contradic¸a˜o e´ denominada contingeˆncia.
Exemplos:
1) A proposic¸a˜o composta p ∧ q → q e´ uma tautologia.
p ∧ q → q
V V V V V
V F F V F
F F V V V
F F F V F
1 2 1 3 1
2) A proposic¸a˜o composta (p ∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) e´ uma contradic¸a˜o.
(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)
V V V F F V V V
V F F F V V V F
F F V F V F V V
F F F F V F F F
1 2 1 5 4 1 3 1
3) A proposic¸a˜o composta q →∼ q e´ uma contingeˆncia.
q → ∼ q
V F F
F V V
As tautologias e contradic¸o˜es teˆm fundamental importaˆncia em me´todos de prova, e e´ atrave´s
das tautologias que podemos simplificar expresso˜es lo´gicas.
# REFLITA #
A Lo´gica e´ a anatomia do pensamento. (John Locke)
# FIM REFLITA #
14
tabela-verdade conte´m somente valores lo´gicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposic¸a˜o
composta que e´ sempre falsa e´ chamada de contradic¸a˜o. Uma proposic¸a˜o composta que na˜o e´
uma tautologia nem uma contradic¸a˜o e´ denominada contingeˆncia.
Exemplos:
1) A proposic¸a˜o composta p ∧ q → q e´ uma tautologia.
p ∧ q → q
V V V V V
V F F V F
F F V V V
F F F V F
1 2 1 3 1
2) A proposic¸a˜o composta (p ∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) e´ uma contradic¸a˜o.
(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)
V V V F F V V V
V F F F V V V F
F F V F V F V V
F F F F V F F F
1 2 1 5 4 1 3 1
3) A proposic¸a˜o composta q →∼ q e´ uma contingeˆncia.
q → ∼ q
V F F
F V V
As tautologias e contradic¸o˜es teˆm fundamental
importaˆncia em me´todos de prova, e e´ atrave´s
das tautologias que podemos simplificar expresso˜es lo´gicas.
# REFLITA #
A Lo´gica e´ a anatomia do pensamento. (John Locke)
# FIM REFLITA #
14
tabela-verdade conte´m somente valores lo´gicos verdadeiros (V). Por outro lado, uma proposic¸a˜o
composta que e´ sempre falsa e´ chamada de contradic¸a˜o. Uma proposic¸a˜o composta que na˜o e´
uma tautologia nem uma contradic¸a˜o e´ denominada contingeˆncia.
Exemplos:
1) A proposic¸a˜o composta p ∧ q → q e´ uma tautologia.
p ∧ q → q
V V V V V
V F F V F
F F V V V
F F F V F
1 2 1 3 1
2) A proposic¸a˜o composta (p ∧ q)∧ ∼ (p ∨ q) e´ uma contradic¸a˜o.
(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∨ q)
V V V F F V V V
V F F F V V V F
F F V F V F V V
F F F F V F F F
1 2 1 5 4 1 3 1
3) A proposic¸a˜o composta q →∼ q e´ uma contingeˆncia.
q → ∼ q
V F F
F V V
As tautologias e contradic¸o˜es teˆm fundamental importaˆncia em me´todos de prova, e e´ atrave´s
das tautologias que podemos simplificar expresso˜es lo´gicas.
# REFLITA #
A Lo´gica e´ a anatomia do pensamento. (John Locke)
# FIM REFLITA #
14
Tautologias e Contradições
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
27
Equivaleˆncias Lo´gicas
Duas proposic¸o˜es compostas P e Q sa˜o chamadas logicamente equivalentes se suas tabelas
-verdade sa˜o ideˆnticas, ou melhor, se, e somente se, P ↔ Q for tautologia.
Notac¸o˜es: P ≡ Q ou P ⇔ Q.
Podemos verificar que duas proposic¸o˜es sa˜o logicamente equivalentes por meio da construc¸a˜o
de suas tabelas-verdade.
Exemplos:
1) Verificar que p ≡∼ (∼ p).
p ∼ p ∼ (∼ p) p↔∼ (∼ p)
V F V V
F V F V
1 2 3 4
2) Verificar que p→ q ⇔∼ p ∨ q.
p q ∼ p p→ q ∼ p ∨ q p→ q ↔∼ p ∨ q
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V
1 1 2 3 4 5
15
Equivalências Lógicas
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E28
Equivaleˆncias Lo´gicas Importantes
p, q, r proposic¸o˜es
Notac¸o˜es V: tautologia
F: contradic¸a˜o
Propriedade Equivaleˆncia Lo´gica
p ∧ V ≡ p
p ∨ F ≡ p
Identidades p↔ V ≡ p
p∨F ≡ p
Dominac¸a˜o p ∨ V ≡ V
p ∧ F ≡ F
Leis da idempoteˆncia p ∨ p ≡ p
p ∧ p ≡ p
Dupla negac¸a˜o ∼ (∼ p) ≡ p
p ∨ q ≡ q ∨ p
Comutativa p ∧ q ≡ q ∧ p
p↔ q ≡ q ↔ p
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
Associativa (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p↔ q)↔ r ≡ p↔ (q ↔ r)
Negac¸a˜o ou Inversa p∨ ∼ p ≡ V
p∧ ∼ p ≡ F
Leis da implicac¸a˜o (p→ q) ≡ (∼ p ∨ q) ≡∼ (p∧ ∼ q)
∼ (p→ q) ≡ (p∧ ∼ q)
Leis da equivaleˆncia (p↔ q) ≡ (p→ q) ∧ (q → p)
∼ (p↔ q) ≡ (p↔∼ q) ≡ (∼ p↔ q)
Distributiva p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Leis de De Morgan ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q
∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q
Absorc¸a˜o p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
Lei da contrapositiva (p→ q) ≡ (∼ q)→ (∼ p)
Lei da reduc¸a˜o ao absurdo p→ q ≡ (p∧ ∼ q)→ F
Para estudos desenvolvidos em te´cnicas digitais, as diversas portas lo´gicas sa˜o expressas em
termos de ∼ e ∧. E´ importante enta˜o expressar qualquer um dos conectivos usando somente ∼
e ∧.
16
Equivalência Lógicas
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
29
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E30
Exerc´ıcio: Prove, usando tabela-verdade, a equivaleˆncia dos conectivos estudados com as
expresso˜es que envolvem somente ∼ e ∧:
a) Disjunc¸a˜o: p ∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q).
b) Condicional: p→ q ≡∼ (p∧ ∼ q)
c) Bicondicional: p↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q))
Conectivos Lo´gicos e Programac¸a˜o
De acordo com Gersting (2004, p.9), podemos exemplificar uma aplicac¸a˜o da Lo´gica Matema´tica
na computac¸a˜o:
Os conectivos lo´gicos E (AND), OU (OR) e NA˜O (NOT)(correspondendo,
respectivamente, a ∧,∨ e ∼) esta˜o dispon´ıveis em muitas linguagens de
programac¸a˜o, assim como em calculadoras gra´ficas programa´veis. Esses
conectivos, de acordo com as tabelas-verdade que definimos, agem em
combinac¸o˜es de expresso˜es verdadeiras ou falsas para produzir um valor
lo´gico final. Tais valores lo´gicos fornecem a capacidade de tomada de decisa˜o
fundamental ao fluxo de controle em programas de computadores. Assim, em
uma ramificac¸a˜o condicional de um programa, se o valor lo´gico da expressa˜o
condicional for verdadeiro, o programa executara´ a seguir um trecho de seu
co´digo; se o valor for falso, o programa executara´ um trecho diferente de
seu co´digo. Se a expressa˜o condicional for substitu´ıda por outra expressa˜o
equivalente mais simples, o valor lo´gico da expressa˜o, e portanto, o fluxo de
controle do programa, na˜o sera´ afetado, mas o novo co´digo sera´ mais fa´cil de
ser entendido e podera´ ser executado mais rapidamente.
Exemplo: Vejamos o seguinte comando na linguagem de programac¸a˜o Pascal:
if(( x > y) and not ((x > y) and (z < 1000)))
then Fac¸a isso (um procedimento)
else Fac¸a aquilo (outro procedimento).
Aqui a expressa˜o condicional tem a forma A∧ ∼ (A ∧ B), em que A: x > y e B: z < 1000.
Essa expressa˜o pode ser simplificada utilizando uma condicional simplificada:
A∧ ∼ (A ∧ B) ≡ A ∧ (∼ A∨ ∼ B) (Leis de De Morgan)
≡ (A∧ ∼ A) ∨ (A∧ ∼ B) (distribuitividade)
≡ F ∨ (A∧ ∼ B) (F denota contradic¸a˜o)
≡ (A∧ ∼ B) ∨ F (comutatividade)
≡ (A∧ ∼ B) (identidade)
17
Exerc´ıcio: Prove, usando tabela-verdade, a equivaleˆncia dos conectivos estudados com as
expresso˜es que envolvem somente ∼ e ∧:
a) Disjunc¸a˜o: p ∨ q ≡∼ (∼ p∧ ∼ q).
b) Condicional: p→ q ≡∼ (p∧ ∼ q)
c) Bicondicional: p↔ q ≡∼ (∼ (p ∧ q)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ q))
Conectivos Lo´gicos e Programac¸a˜o
De acordo com Gersting (2004, p.9), podemos exemplificar uma aplicac¸a˜o da Lo´gica Matema´tica
na computac¸a˜o:
Os conectivos lo´gicos E (AND), OU (OR) e NA˜O (NOT)(correspondendo,
respectivamente, a ∧,∨ e ∼) esta˜o dispon´ıveis em muitas linguagens de
programac¸a˜o, assim como em calculadoras gra´ficas programa´veis. Esses
conectivos, de acordo com as tabelas-verdade que definimos, agem em
combinac¸o˜es de expresso˜es verdadeiras ou falsas para produzir um valor
lo´gico final. Tais valores lo´gicos fornecem a capacidade de tomada de decisa˜o
fundamental ao fluxo de controle em programas de computadores. Assim, em
uma ramificac¸a˜o condicional de um programa, se o valor lo´gico da expressa˜o
condicional for verdadeiro, o programa executara´ a seguir um trecho de seu
co´digo; se o valor for falso, o programa executara´ um trecho diferente de
seu co´digo. Se a expressa˜o condicional for substitu´ıda por outra expressa˜o
equivalente mais simples, o valor lo´gico da expressa˜o, e portanto, o fluxo de
controle do programa, na˜o sera´ afetado, mas o novo co´digo sera´ mais fa´cil de
ser entendido e podera´ ser executado mais rapidamente.
Exemplo: Vejamos o seguinte comando na linguagem de programac¸a˜o Pascal:
if(( x > y) and not ((x > y) and (z < 1000)))
then Fac¸a isso (um procedimento)
else Fac¸a aquilo (outro procedimento).
Aqui a expressa˜o condicional tem a forma A∧ ∼ (A ∧ B), em que A: x > y e B: z < 1000.
Essa expressa˜o pode ser simplificada utilizando uma condicional simplificada:
A∧ ∼ (A ∧ B) ≡ A ∧ (∼ A∨ ∼ B) (Leis de De Morgan)
≡ (A∧ ∼ A) ∨ (A∧ ∼ B) (distribuitividade)
≡ F ∨ (A∧ ∼ B) (F denota contradic¸a˜o)
≡ (A∧ ∼ B) ∨ F (comutatividade)
≡ (A∧ ∼ B) (identidade)
17
Implicações Lógicas
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
31
O comando pode enta˜o ser reescrito como:
if ((x > y) and not (z < 1000))
then Fac¸a isso (um procedimento)
else Fac¸a aquilo (outro procedimento).
Implicac¸o˜es Lo´gicas
Sejam p e q duas proposic¸o˜es. Dizemos que p implica logicamente q se p→ q e´ uma tautologia.
Denotaremos que p implica logicamente em q por “p⇒ q”.
As implicac¸o˜es lo´gicas tambe´m podem ser chamadas de “infereˆncias lo´gicas”. As regras de
infereˆncia sa˜o, na verdade, formas va´lidas de racioc´ınio, isto e´, sa˜o formas que nos permitem
concluir o consequente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textu-
ais, costumamos utilizar o termo “logo” (ou seus sinoˆnimos: portanto, em consequeˆncia, etc.)
para caracterizar as Regras de Infereˆncia; a expressa˜o p⇒ q pode enta˜o ser lida: “p; logo, q”.
Listamos a seguir algumas regras de infereˆncia importantes, sendo p, q e r proposic¸o˜es quais-
quer:
Regras de Infereˆncia
1. p⇒ p ∨ q Lei de adic¸a˜o
2. p ∧ q ⇒ p Leis de simplificac¸a˜o
p ∧ q ⇒ q
3. (p→ q) ∧ p⇒ q Modus Ponens
4. (p→ q)∧ ∼ q ⇒∼ p Modus Tollens
5. (p ∨ q)∧ ∼ p⇒ q Silogismo disjuntivo
6. (p→ q) ∧ (q → r)⇒ (p→ r) Silogismo hipote´tico
7. p→ F ⇒∼ p Demonstrac¸a˜o por absurdo
18
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E32
Exemplo:
“Se e´ gato, enta˜o mia. E´ gato, portanto mia.”
Essa frase exemplifica a regra de infereˆncia Modus Ponens (p→ q) ∧ p⇒ q.
Provemos sua veracidade:
p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ q) ∧ p]→ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Exerc´ıcio: Verificar cada uma das infereˆncias acima usando tabela-verdade.
Me´todo Dedutivo
Argumentos
Um argumento e´ uma sequeˆncia de proposic¸o˜es na qual uma delas deriva das demais.
Usualmente, a proposic¸a˜o derivada e´ chamada conclusa˜o, e as demais, premissas. Dito de
outra maneira, chama-se argumento a afirmac¸a˜o de que de um dado conjunto de proposic¸o˜es
P1, P2, ...Pn, chamadas premissas, decorre uma proposic¸a˜o Q, chamada conclusa˜o.
Exemplo:
19
Método Dedutivo
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
33
Exemplo:
“Se e´ gato, enta˜o mia. E´ gato, portanto mia.”
Essa frase exemplifica a regra de infereˆncia Modus Ponens (p→ q) ∧ p⇒ q.
Provemos sua veracidade:
p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ q) ∧ p]→ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Exerc´ıcio: Verificar cada uma das infereˆncias acima usando tabela-verdade.
Me´todo Dedutivo
Argumentos
Um argumento e´ uma sequeˆncia de proposic¸o˜es na qual uma delas deriva das demais.
Usualmente, a proposic¸a˜o derivada e´ chamada conclusa˜o, e as demais, premissas. Dito de
outra maneira, chama-se argumento a afirmac¸a˜o de que de um dado conjunto de proposic¸o˜es
P1, P2, ...Pn, chamadas premissas, decorre uma proposic¸a˜o Q, chamada conclusa˜o.
Exemplo:
19
Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar Lo´gica. (premissa)
Leonardo e´ aluno de Engenharia de Software. (premissa)
Logo, Leonardo precisa estudar Lo´gica. (conclusa˜o)
Um argumento e´ considerado va´lido se a conjunc¸a˜o das hipo´teses implica na tese. As pre-
missas sa˜o consideradas provas evidentes da verdade da conclusa˜o.
Exemplos:
1) Se e´ mamı´fero, enta˜o e´ vertebrado.
A baleia e´ um mamı´fero.
Logo, a baleia e´ um vertebrado.
Argumento va´lido, em que as premissas e a conclusa˜o sa˜o verdadeiras.
2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.
Se e´ presidente do Brasil, enta˜o sofre impeachemnt.
Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.
Argumento va´lido, com uma das premissas falsa, mas conclusa˜o verdadeira.
3) Se e´ cobra, tem asas.
A sucuri e´ uma cobra.
Logo, a sucuri tem asas.
Argumento va´lido com uma das premissas falsa, e conclusa˜o falsa.
Se a conclusa˜o na˜o decorre das premissas, dizemos que o argumento e´ inva´lido ou sofisma.
Exemplos:
1) Se o nu´mero e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o e´ mu´ltiplo de 2. O nu´mero e´ mu´ltiplo de 2. Logo,
tambe´m e´ mu´ltiplo de 4.
2) Se e´ pa´ssaro, e´ mortal.
Eu sou mortal. Portanto, eu sou um pa´ssaro.
A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lo´gico entre as premissas
e a conclusa˜o. A Lo´gica na˜o se ocupa de verificar se as premissas sa˜o verdadeiras; o objetivo da
Lo´gica e´ verificar se o argumento e´ estruturado de forma tal que, independentemente dos valores
lo´gicos das proposic¸o˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade
da conclusa˜o.
20
Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar Lo´gica. (premissa)
Leonardo e´ aluno de Engenharia de Software. (premissa)
Logo, Leonardo precisa estudar Lo´gica. (conclusa˜o)
Um argumento e´ considerado va´lido se a conjunc¸a˜o das hipo´teses implica na tese. As pre-
missas sa˜o consideradas provas evidentes da verdade da conclusa˜o.
Exemplos:
1) Se e´ mamı´fero, enta˜o e´ vertebrado.
A baleia e´ um mamı´fero.
Logo, a baleia e´ um vertebrado.
Argumento va´lido, em que as premissas e a conclusa˜o sa˜o verdadeiras.
2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.
Se e´ presidente do Brasil, enta˜o sofre impeachemnt.
Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.
Argumento va´lido, com uma das premissas falsa, mas conclusa˜o verdadeira.
3) Se e´ cobra, tem asas.
A sucuri e´ uma cobra.
Logo, a sucuri tem asas.
Argumento va´lido com uma das premissas falsa, e conclusa˜o falsa.
Se a conclusa˜o na˜o decorre das premissas, dizemos que o argumento e´ inva´lido ou sofisma.
Exemplos:
1) Se o nu´mero e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o e´ mu´ltiplo de 2. O nu´mero e´ mu´ltiplo de 2. Logo,
tambe´m e´ mu´ltiplo de 4.
2) Se e´ pa´ssaro, e´ mortal.
Eu sou mortal. Portanto, eu sou um pa´ssaro.
A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lo´gico entre as premissas
e a conclusa˜o. A Lo´gica na˜o se ocupa de verificar se as premissas sa˜o verdadeiras; o objetivo da
Lo´gica e´ verificar se o argumento e´ estruturado de forma tal que, independentemente dos valores
lo´gicos das proposic¸o˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade
da conclusa˜o.
20
Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar Lo´gica. (premissa)
Leonardo e´ aluno de Engenharia de Software. (premissa)
Logo, Leonardo precisa estudar Lo´gica. (conclusa˜o)
Um argumento e´ considerado va´lido se a conjunc¸a˜o das hipo´teses implica na tese. As pre-
missas sa˜o consideradas provas evidentes da verdade da conclusa˜o.
Exemplos:
1) Se e´ mamı´fero, enta˜o e´ vertebrado.
A baleia e´ um mamı´fero.
Logo, a baleia e´ um vertebrado.
Argumento va´lido, em que as premissas e a conclusa˜o sa˜o verdadeiras.
2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.
Se e´ presidente do Brasil, enta˜o sofre impeachemnt.
Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.
Argumento va´lido, com uma das premissas falsa, mas conclusa˜o verdadeira.
3) Se e´ cobra, tem asas.
A sucuri e´ uma cobra.
Logo, a sucuri tem asas.
Argumento va´lido com uma das premissas falsa, e conclusa˜o falsa.
Se a conclusa˜o na˜o decorre das premissas, dizemos que o argumento e´ inva´lido ou sofisma.
Exemplos:
1) Se o nu´mero e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o e´ mu´ltiplo de 2. O nu´mero e´ mu´ltiplo de 2. Logo,
tambe´m e´ mu´ltiplo de 4.
2) Se e´ pa´ssaro, e´ mortal.
Eu sou mortal. Portanto, eu sou um pa´ssaro.
A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lo´gico entre as premissas
e a conclusa˜o. A Lo´gica na˜o se ocupa de verificar se as premissas sa˜o verdadeiras;
o objetivo da
Lo´gica e´ verificar se o argumento e´ estruturado de forma tal que, independentemente dos valores
lo´gicos das proposic¸o˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade
da conclusa˜o.
20
Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar Lo´gica. (premissa)
Leonardo e´ aluno de Engenharia de Software. (premissa)
Logo, Leonardo precisa estudar Lo´gica. (conclusa˜o)
Um argumento e´ considerado va´lido se a conjunc¸a˜o das hipo´teses implica na tese. As pre-
missas sa˜o consideradas provas evidentes da verdade da conclusa˜o.
Exemplos:
1) Se e´ mamı´fero, enta˜o e´ vertebrado.
A baleia e´ um mamı´fero.
Logo, a baleia e´ um vertebrado.
Argumento va´lido, em que as premissas e a conclusa˜o sa˜o verdadeiras.
2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.
Se e´ presidente do Brasil, enta˜o sofre impeachemnt.
Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.
Argumento va´lido, com uma das premissas falsa, mas conclusa˜o verdadeira.
3) Se e´ cobra, tem asas.
A sucuri e´ uma cobra.
Logo, a sucuri tem asas.
Argumento va´lido com uma das premissas falsa, e conclusa˜o falsa.
Se a conclusa˜o na˜o decorre das premissas, dizemos que o argumento e´ inva´lido ou sofisma.
Exemplos:
1) Se o nu´mero e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o e´ mu´ltiplo de 2. O nu´mero e´ mu´ltiplo de 2. Logo,
tambe´m e´ mu´ltiplo de 4.
2) Se e´ pa´ssaro, e´ mortal.
Eu sou mortal. Portanto, eu sou um pa´ssaro.
A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lo´gico entre as premissas
e a conclusa˜o. A Lo´gica na˜o se ocupa de verificar se as premissas sa˜o verdadeiras; o objetivo da
Lo´gica e´ verificar se o argumento e´ estruturado de forma tal que, independentemente dos valores
lo´gicos das proposic¸o˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade
da conclusa˜o.
20
Exemplo:
“Se e´ gato, enta˜o mia. E´ gato, portanto mia.”
Essa frase exemplifica a regra de infereˆncia Modus Ponens (p→ q) ∧ p⇒ q.
Provemos sua veracidade:
p q p→ q (p→ q) ∧ p [(p→ q) ∧ p]→ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Exerc´ıcio: Verificar cada uma das infereˆncias acima usando tabela-verdade.
Me´todo Dedutivo
Argumentos
Um argumento e´ uma sequeˆncia de proposic¸o˜es na qual uma delas deriva das demais.
Usualmente, a proposic¸a˜o derivada e´ chamada conclusa˜o, e as demais, premissas. Dito de
outra maneira, chama-se argumento a afirmac¸a˜o de que de um dado conjunto de proposic¸o˜es
P1, P2, ...Pn, chamadas premissas, decorre uma proposic¸a˜o Q, chamada conclusa˜o.
Exemplo:
19
Todo aluno de Engenharia de Software precisa estudar Lo´gica. (premissa)
Leonardo e´ aluno de Engenharia de Software. (premissa)
Logo, Leonardo precisa estudar Lo´gica. (conclusa˜o)
Um argumento e´ considerado va´lido se a conjunc¸a˜o das hipo´teses implica na tese. As pre-
missas sa˜o consideradas provas evidentes da verdade da conclusa˜o.
Exemplos:
1) Se e´ mamı´fero, enta˜o e´ vertebrado.
A baleia e´ um mamı´fero.
Logo, a baleia e´ um vertebrado.
Argumento va´lido, em que as premissas e a conclusa˜o sa˜o verdadeiras.
2) Fernando Collor foi presidente do Brasil.
Se e´ presidente do Brasil, enta˜o sofre impeachemnt.
Logo, Collor sofreu impeachment no mandato como presidente.
Argumento va´lido, com uma das premissas falsa, mas conclusa˜o verdadeira.
3) Se e´ cobra, tem asas.
A sucuri e´ uma cobra.
Logo, a sucuri tem asas.
Argumento va´lido com uma das premissas falsa, e conclusa˜o falsa.
Se a conclusa˜o na˜o decorre das premissas, dizemos que o argumento e´ inva´lido ou sofisma.
Exemplos:
1) Se o nu´mero e´ mu´ltiplo de 4, enta˜o e´ mu´ltiplo de 2. O nu´mero e´ mu´ltiplo de 2. Logo,
tambe´m e´ mu´ltiplo de 4.
2) Se e´ pa´ssaro, e´ mortal.
Eu sou mortal. Portanto, eu sou um pa´ssaro.
A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lo´gico entre as premissas
e a conclusa˜o. A Lo´gica na˜o se ocupa de verificar se as premissas sa˜o verdadeiras; o objetivo da
Lo´gica e´ verificar se o argumento e´ estruturado de forma tal que, independentemente dos valores
lo´gicos das proposic¸o˜es simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade
da conclusa˜o.
20
Para provar que um argumento e´ va´lido, devemos verificar que P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn → Q e´
uma tautologia. Isso pode ser feito por meio das tabelas-verdade, mas o processo ficaria de-
masiadamente longo se um grande nu´mero de proposic¸o˜es simples estiver envolvido. Podemos
enta˜o recorrer ao me´todo dedutivo, que consiste em obter a conclusa˜o a partir das premissas
e de uma cadeia de equivaleˆncias e infereˆncias que atuam sobre as hipo´teses, criando novas
proposic¸o˜es ate´ que se obtenha a tese, provando o resultado.
Exemplos: Verificar se os seguintes argumentos sa˜o va´lidos, usando o me´todo dedutivo.
a) Se na˜o terminar o trabalho, enta˜o durmo mais cedo. Se dormir mais cedo, descansarei.
Na˜o descansei. Logo, terminei o trabalho.
Podemos reescrever o argumento acima na forma da lo´gica proposicional da seguinte forma:
∼ p→ q (hipo´tese 1)
q → r (hipo´tese 2)
∼ r (hipo´tese 3)
p (Tese)
Onde:
p : Termino o trabalho.
q : Durmo mais cedo.
r : Descanso.
Devemos provar que (∼ p→ q) ∧ (q → r)∧ ∼ r ⇒ p
1. ∼ p→ q (hipo´tese)
2. q → r (hipo´tese)
3. ∼ r (hipo´tese)
4. ∼ q (2, 3, Modus Tollens)
5. ∼ (∼ p) (1, 4, Modus Tollens)
6. p (5, Dupla negac¸a˜o)
b) [Gersting, 2004, p.26] Se o programa e´ eficiente, ele executara´ rapidamente. Ou o pro-
grama e´ eficiente ou ele tem um erro. No entanto, o programa na˜o executa rapidamente.
Portanto o programa tem um erro.
E: o programa e´ eficiente.
R: o programa executa rapidamente.
B: o programa tem um erro.
(E → R) ∧ (E ∨ B)∧ ∼ R⇒ B
21
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E34
Método Dedutivo
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
35
1. E → R (hipo´tese)
2. E ∨ B (hipo´tese)
3. ∼ R (hipo´tese)
4. ∼ E (1, 3, Modus Tollens)
5. B (2, 4, tautologia E ∨ B∧ ∼ E ⇒ B )
c) [Gersting, 2004, p.26] Ru´ssia tinha um poder superior e, a Franc¸a na˜o era forte ou
Napolea˜o cometeu um erro. Napolea˜o na˜o cometeu um erro, mas se o exe´rcito na˜o tivesse
falhado, a Franc¸a seria forte. Portanto, o exe´rcito falhou e a Ru´ssia tinha um poder superior.
R: A Ru´ssia tinha um poder superior.
F: A Franc¸a era forte.
N: Napolea˜o cometeu um erro.
E: O exe´rcito falhou.
O argumento e´ portanto: [R ∧ (∼ F ∨N)]∧ ∼ N ∧ (∼ E → F )⇒ E ∧R.
1. R ∧ (∼ F ∨N) (hipo´tese)
2. ∼ N (hipo´tese)
3. ∼ E → F (hipo´tese)
4. R (1, Lei de simplificac¸a˜o )
5. ∼ F ∨N (1, Lei de simplificac¸a˜o)
6. ∼ F (5, 2, silogismo disjuntivo)
7. ∼ (∼ E) (3, 6, Modus Tollens)
8. E (7, dupla negac¸a˜o)
9. E ∧R (8, 4, conjunc¸a˜o)
Quantificadores e Predicados
A Lo´gica proposicional na˜o e´ suficiente para simbolizar qualquer tipo de sentenc¸a, pois tem
uma possibilidade limitada de expresso˜es.
Por exemplo:
• “Para todo x, y, x+ y > 3”
• “Existem crianc¸as que na˜o gostam de chocolate.”
• “Todo computador do Laborato´rio 2 esta´ com v´ırus.”
22
1. E → R (hipo´tese)
2. E ∨ B (hipo´tese)
3. ∼ R (hipo´tese)
4. ∼ E (1, 3, Modus Tollens)
5. B (2, 4, tautologia E ∨ B∧ ∼ E ⇒ B )
c) [Gersting, 2004, p.26] Ru´ssia tinha um poder superior e, a Franc¸a na˜o era forte ou
Napolea˜o cometeu um erro. Napolea˜o na˜o cometeu um erro, mas se o exe´rcito na˜o tivesse
falhado, a Franc¸a seria forte. Portanto, o exe´rcito falhou e a Ru´ssia tinha um poder superior.
R: A Ru´ssia tinha um poder superior.
F: A Franc¸a era forte.
N: Napolea˜o cometeu um erro.
E: O exe´rcito falhou.
O argumento e´ portanto: [R ∧ (∼ F ∨N)]∧ ∼ N ∧ (∼ E → F )⇒ E ∧R.
1. R ∧ (∼ F ∨N) (hipo´tese)
2. ∼ N (hipo´tese)
3. ∼ E → F (hipo´tese)
4. R (1, Lei de simplificac¸a˜o )
5. ∼ F ∨N (1, Lei de simplificac¸a˜o)
6. ∼ F (5, 2, silogismo disjuntivo)
7. ∼ (∼ E) (3, 6, Modus Tollens)
8. E (7, dupla negac¸a˜o)
9. E ∧R (8, 4, conjunc¸a˜o)
Quantificadores e Predicados
A Lo´gica proposicional na˜o e´ suficiente para simbolizar qualquer tipo de sentenc¸a, pois tem
uma possibilidade limitada de expresso˜es.
Por exemplo:
• “Para todo x, y, x+ y > 3”
• “Existem crianc¸as que na˜o gostam de chocolate.”
• “Todo computador do Laborato´rio 2 esta´ com v´ırus.”
22
Na˜o e´ poss´ıvel simbolizar tais sentenc¸as adequadamente usando apenas varia´veis proposi-
cionais, pareˆnteses e conectivos lo´gicos, pois elas conteˆm elementos novos (“para todo”, “para
cada”, “para algum”) que sa˜o ligados ao conceito de predicados e quantificadores, que definire-
mos posteriormente.
Uma sentenc¸a aberta e´ uma expressa˜o que depende de uma ou mais varia´veis. O valor
verdade dessas sentenc¸as so´ fica determinado quando os valores das varia´veis forem identifica-
dos. (Logo, sentenc¸as abertas na˜o sa˜o proposic¸o˜es).
Uma sentenc¸a aberta tambe´m pode ser denominada proposic¸a˜o aberta ou func¸a˜o proposi-
cional.
Exemplos:
a) y + 2 e´ maior que 5.
b) x e´ um nu´mero ı´mpar.
c) O computador x do Laborato´rio 1 esta´ funcionando adequadamente.
d) O quadrado de y e´ 81.
Observamos que a sentenc¸a do exemplo (a) sera´ verdadeira se y for um nu´mero maior que
3, mas sera´ falsa se y ≤ 3.
Chamamos conjunto universo (U) ou domı´nio de interpretac¸a˜o o conjunto de objetos dos
quais a varia´vel pode ser escolhida. Para os exemplos acima, o conjunto universo do item (c)
sa˜o os computadores do Laborato´rio 1, e o conjunto universo para o item (d) sa˜o nu´meros
23
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E36
inteiros.
Numa sentenc¸a aberta, a propriedade ou relacionamento entre objetos (ou varia´veis) e´
chamada predicado. Denotaremos um predicado qualquer associado a uma varia´vel x por
P (x).
Por exemplo, na sentenc¸a “P (x) = x e´ nu´mero primo”, a propriedade da varia´vel x e´ “ser
primo”. Temos que P(7) e´ verdadeira e P(18) e´ falsa, pois 7 e´ um nu´mero primo e 18 na˜o.
Chama-seConjunto-Verdade (VP ) de uma sentenc¸a P (x) o conjunto de valores da varia´vel
no Universo para os quais a sentenc¸a e´ verdadeira, ou seja,
VP = {a ∈ U | V [P (a)] = V }
Por exemplo, seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a expressa˜o “x e´ par” representada por P(x).
Temos enta˜o VP = {0, 2, 4, 6}.
Para predicados que envolvem mais varia´veis, a ordem em que as varia´veis aparecem e´ im-
portante. Por exemplo, se P(x,y) indica que x e´ predador de y, na˜o podemos dizer que y e´
predador de x (ou seja, que vale P(y,x)).
Uma outra maneira de transformar sentenc¸as abertas em proposic¸o˜es e´ por meio da uti-
lizac¸a˜o de quantificadores. Quantificadores sa˜o frases do tipo “para todo”, “para cada” ou
“para algum”, isto e´, frases que dizem “quantos objetos” apresentam determinada propriedade.
A a´rea da Lo´gica que estuda predicados e quantificadores e´ denominada de ca´lculo de
predicados.
Quantificador Universal: e´ simbolizado por “∀” e leˆ-se “para todo”, “para qualquer” ou
“para cada”. Uma proposic¸a˜o do tipo “Para todo x, P (x) ” e´ simbolicamente representada por
(∀x)(P (x)).
Quantificador Existencial: simbolizado por “∃”, e´ lido como “existe um”; “ha´ pelo menos
um”; “para ao menos um”; “para algum”. Uma proposic¸a˜o do tipo “Existe um x tal que P (x)”
pode ser escrita simbolicamente como (∃x)(P (x)).
Exemplos:
Simbolizar as proposic¸o˜es:
a) Para todo x, existe um y tal que x+ y < 0:
(∀x)(∃y)(x+ y < 0)
24
Método Dedutivo
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
37
b) Existe um x e existe um y tal que x.y e´ racional: (onde x.y indica o produto de x por y)
(∃x)(∃y)[(x.y) ∈ Q]
c) Para todo x, se x e´ negativo, enta˜o existe y positivo tal que x+ y = 0:
(∀x)[x < 0→ (∃y)(y > 0 ∧ x+ y = 0)]
d) Somente os me´dicos podem solicitar exames.
Indicando por M(x): x e´ me´dico e E(x): x pode solicitar exames, a sentenc¸a pode ser
reescrita como:
Para todo x, se x pode solicitar exames, enta˜o x e´ me´dico: (∀x)(E(x)→M(x)).
e) Todo dia que e´ ensolarado na˜o e´ chuvoso.
Considerando os s´ımbolos predicados D(x): x e´ um dia; E(x): x e´ ensolarado e C(x): x e´
chuvoso, enta˜o podemos reescrever a proposic¸a˜o como:
(∀x)[D(x) ∧ E(x)→∼ C(x)]
Negac¸a˜o de Sentenc¸as Quantificadas
Consideremos a seguinte sentenc¸a: “Todos os insetos teˆm asas”. Sua negac¸a˜o sera´ “Na˜o e´
verdade que todos os insetos teˆm asas”, ou “Alguns insetos na˜o teˆm asas”, ou ainda, “Existem
insetos que na˜o teˆm asas”.
A negac¸a˜o de “Existem crianc¸as obesas” e´ “Nenhuma crianc¸a e´ obesa”, ou “Toda crianc¸a
na˜o e´ obesa”, ou “Qualquer crianc¸a na˜o e´ obesa.”
Resumindo:
∼ [(∀x)(P (x))] ≡ (∃x)(∼ P (x))
e
∼ [(∃x)(P (x))] ≡ (∀x)(∼ P (x))
Exemplo: Considere a sentenc¸a “Dados x, y ∈ R, se x < y, enta˜o x2 < y2.”
25
LÓGICA MATEMÁTICA
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
IU N I D A D E38
Considerações Finais
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
39
a) Com o uso de s´ımbolos predicados e quantificadores apropriados, escrever simbolicamente
a sentenc¸a:
(∀x)(∀y)(x < y → x2 < y2).
b) Escrever, simbolicamente e em linguagem usual, a negac¸a˜o da sentenc¸a dada.
∼ ((∀x)(∀y)(x < y → x2 < y2)) ≡ (∃x) ∼ ((∀y)(x < y → x2 < y2))
≡ (∃x)(∃y) ∼ ((x < y → x2 < y2))
≡ (∃x)(∃y) (x < y∧ ∼ (x2 < y2))
≡ (∃x)(∃y) (x < y ∧ (x2 ≥ y2)) .
“Existem x e y, com x < y e (x2 ≥ y2)”.
Considerac¸o˜es Finais
O desenvolvimento de software e´ uma atividade de crescente importaˆncia na sociedade atual, e
a necessidade de soluc¸o˜es computadorizadas surgem nas mais diversas a´reas do conhecimento
humano.
Ao iniciar o curso, o aluno e´ preparado para resolver pequenos problemas por meio da
programac¸a˜o e da estrutura de dados, para posteriormente tratar de problemas mais complexos,
o que exigira´ maiores conhecimentos e habilidades. Para isso, o racioc´ınio lo´gico deve ser
desenvolvido, pois facilita a busca por uma soluc¸a˜o que seja coerente, efetiva e eficaz, o que
geralmente na˜o e´ ta˜o simples.
Sendo a Lo´gica o estudo dos mecanismos do pensamento, e´ natural que ela ocupe um papel
de destaque na Computac¸a˜o, tendo aplicac¸a˜o em diversas a´reas tais como banco de dados;
circuitos integrados; inteligeˆncia artificial; sistemas computacionais (hardware e software) e
sistemas distribu´ıdos. Como a Lo´gica possui uma linguagem simbo´lica pro´pria, torna-se poss´ıvel
a utilizac¸a˜o de recursos computacionais no tratamento de enunciados e argumentos, visto que
os computadores digitais se mostram bastante adequados a` manipulac¸a˜o de s´ımbolos, enquanto
apresentam extrema dificuldade no tratamento de linguagem natural. Nesta unidade fizemos
estudo dos conectivos lo´gicos “e”, “ou” e “na˜o”, oferecidos pela maioria das linguagens de
programac¸a˜o, e observamos que os valores-verdade de proposic¸o˜es compostas dependem dos
valores de seus componentes e dos conectivos usados. Tambe´m foi exemplificado como as