Lista5_Mecânica dos Fluídos

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Quinta Lista de Exercícios de Física II
Questão 1
Algumas cafeteiras industriais possuem um tubo de vidro trans-
parente para facilitar a verificação da quantidade de café no
reservatório, como mostra a figura. Observe que os pontos A e
B correspondem a aberturas na máquina. Admita que a área
da seção reta horizontal do reservatório seja 20 vezes maior
do que a do tubo de vidro. Quando a altura alcançada pelo
café no tubo é x, a altura do café no interior do reservatório
corresponde a (a) x, (b) x2 , (c)
x
10 , (d)
x
20 ou (e)
x
25?
Solução
A resposta é o item a). A pressão hidrostática é fornecida por
Ph = dcafe.g.h. Observe que ela não depende das dimensões do
tubo e da cafeteira e, como os pontos A e B estão abertos, a pressão
nos dois é a mesma e portanto, eles ficam na mesma altura.
Questão 2
Uma coluna de água de altura 2x equilibrará uma coluna de
óleo de altura 30 + x como na figura. Supõe-se que a pressão
atmosférica seja de 1, 00 × 105Pa e g = 10m/s2. Qual o valor
de x? (Assuma os valores: ρo = 0, 8g/cm
3
e ρa = 1, 0g/cm
3
)
Solução
ρoleo.g.holeo + Patm = ρagua.g.hagua + Patm
0, 8.(30 + x) = 2x
x = 20cm
Questão 3
Um cubo oco de alumínio apresenta 100g de massa e volume de
50cm3. O volume da parte vazia é 10cm3. Qual a densidade do
cubo e a massa específica do alumínio?(Responda em g/cm3.)
Solução
Em casos gerais, a densidade de um objeto é dada por
dm
dv
, no en-
tanto, como o material em questão é homogêneo, podemos aplicar
diretamente:
d =
m
Vt
onde Vt é o volume total ocupado pelo objeto. Logo, a densidade
do cubo será
d =
100
50
= 2, 0g/cm3
Já a massa específica é uma característica de cada elemento, e por-
tanto, para encontrarmos seu valor, devemos desconsiderar a parte
oca do cubo
ρ =
m
Voc
onde Voc é o volume ocupado pelo objeto.
ρ =
100
40
= 2, 50g/cm3
Questão 4
Se você colocar um ovo fresco de galinha na água de um reci-
piente observará que o ovo afunda e vai entrar em equilíbrio
no fundo do recipiente. Se adicionar sal à água, misturando
bem para garantir a dissolução, verá que o ovo vai subindo
no líquido. (a) O que acontece com a densidade do líquido, à
medida que o sal vai sendo dissolvido? (b) Por que o ovo sobe
no líquido no decorrer da experiência?
Solução
(a) A medida que adicionamos sal, a densidade da mistura irá au-
mentar, pois a dissolução do sal traz um aumento de massa, porém
o volume continua constante, já que o volume do sal dissolvido na
água é disprezível.
(b) O ovo vai subir porque sua densidade se mantém constante, en-
quanto a do líquido está aumentando. Caso a densidade do líquido
ficasse maior que a do ovo, ele entraria em equilíbrio na superfície
do líquido.
Questão 5
Se você pode usar um canudo de altura máxima de 4, 0cm para
beber uma limonada de densidade 1000kg/m3, qual a pressão
manométrica mínima (em atmosferas) que você pode produzir
em seus pulmões?
Solução
A pressão manométrica produzida é
P = −ρ.g.h = −(1000).(9, 8).(4× 10−2) = −392Pa
Para transformar para atmosferas basta dividir o resultado por
1.01× 105
P =
−392
1.01× 105 = −3, 9× 10
−3atm
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em que o sinal de menos indica uma pressão menor que a pressão
externa.
Questão 6
Defina tensão superficial e dê a unidade, no SI, dessa grandeza.
Solução
A tensão superficial (γ) é um comportamento de determinados lí-
quidos, na qual suas superfícies, quando submetidas à tensão, se
comportam como membranas. As moléculas de um líquido exercem
forças de atração mútuas, e a força resultante sobre qualquer molé-
cula no interior do líquido é igual a 0. Contudo, uma molécula na
superfície é puxada para dentro do volume, já que não há outras
moléculas acima dela, que possam exercer forças atrativas sobre a
mesma; nesse caso, o líquido tende a minimizar a área da superfície,
tal como uma membrana. Veja a figura:
A unidade de tensão superficial, no SI, é
N/m([γ] = [energia]/[area] = [forca]/[comprimento])
Questão 7
Como se explica a capilaridade e como esse fenômeno se rela-
ciona com a tensão superficial?
Solução
A capilaridade ocorre devido à interação entre as moléculas do
líquido e as moléculas da superfície de determinado sólido; tais in-
terações são determinadas pelas polaridades de ambos. Caso haja
aderência do líquido no sólido, formam-se tubos capilares (tubo de
raio pequeno) com meniscos côncavos, o que provoca a ascensão do
líquido no tubo. Se, contudo, ocorre uma repulsão entre o líquido
e o sólido, formam-se capilares com meniscos convexos, provocando
a depressão do líquido do tubo. A fórmula da altura h da ascensão
capilar é:
h =
2γ cos(θ)
gρr
sendo ρ a massa específica do líquido, g a aceleração da gravidade,
r o raio interno do tubo capilar, theta o ângulo de contato entre
o menisco do líquido e a superfície interna do tubo, e γ a tensão
superficial.
Questão 8
O que faz a tensão superficial variar?
Solução
A temperatura, pois a tensão superficial é gerada pela interação
intermolecular e a agitação das moléculas diminui essa interação; a
pressão, pois diminui o espaço entre as moléculas o que aumenta a
interação e a adição de substâncias, que separam as moléculas se
ligando a elas (no caso da água essas substancias são chamadas de
hidrofóbicas, como é o caso do detergente) variam a tensão superfi-
cial de um liquido.
Questão 9
Determine o coeficiente de dilatação linear de um me-
tal, sabendo que sua densidade mede 1, 50g/cm3 a
180oC e 2, 55g/cm3 a 20oC.
Solução
Considerando γ = 3α, onde γ é o coeficiente de dilatação volu-
métrica e α é o coeficiente de dilatação linear, obtemos a seguinte
expressão de dilatação:
∆V = V0(3α)∆T (1)
Temos que:
Di =
m
Vi
(2)
Df =
m
Vf
(3)
Onde Di é a densidade inicial e Df a densidade final.
Reescrevendo a equação (1), obtemos:
Vf = Vi(1 + 3α∆T )
Onde Vf é o volume final, Vi o bolume inicial e ∆T a variação de
temperatura.
Substituindo (2) e (3) em (1), a seguinte expressão é formada:(
m
Df
)(
Di
m
)
= (1 + 3α∆T )
Isolando α, temos:
α =
[(Di/Df )− 1]
3∆T
Logo, α = 8, 6× 10−4/oC
Questão 10
A água se move com uma velocidade de 5, 0m/s em um cano
com uma seção reta de 4, 0cm2. A água desce gradualmente
10m enquanto a seção reta aumenta para 8, 0cm2. (a) Qual a
velocidade da água depois da descida? (b)Se a pressão antes
da descida é 1, 5× 105Pa, qual a pressão depois da subida?
Solução
(a) Para começar usaremos a equação da continuidade v1.A1 =
v2.A2. A1 é a área superior do tubo e V1 é a velocidade da água
nesse local. A2 é a área inferior do tubo e V2 a velocidade nesse
local. Com isso, obtemos a seguinte relação:
v2 =
A1
A2
.v1 =
(4, 0cm2)
(8, 0cm2)
.(5, 0cm/s) = 2, 5cm/s
(b) Utilizando a equação de Bernoulli temos:
p1 +
1
2
.ρ.v21 + ρ.g.h1 = p2 +
1
2
.ρ.v22 + ρ.g.h2
Temos aqui que ρ é a densidade da água, h1 e h2 sua altitude inicial
e final, respectivamente. Então:
p2 = p1 +
1
2
ρ(v21 − v22) + ρg(h1 − h2)
p2 = 1, 5× 105 + 1
2
.1000.(0, 052 − 0, 0252) + 1000.9, 8.10
p2 = 2, 5× 105Pa
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Questão 11
A água de um porão inundado é bombeada com uma veloci-
dade de 5, 0cm/s através de uma mangueira com 1, 0cm de
raio. A mangueira passa por uma janela 3, 0m acima do nível
da água. Qual é a potência da bomba?
Solução
Suponha que uma massa ∆m de água é bombeada em um intervalo
de tempo ∆t. O bombeamento aumenta a energia potencial da água
em ∆mgh (onde h é a distância vertical através da qual a água é
elevada) e aumenta a energia cinética da água em
1
2
∆m.v2, onde v
é a velocidade final.O trabalho realizado pelo bombeamento é:
∆W = ∆mgh+
1
2
∆mv2
E sua potência apresenta a seguinte expressão:
P =
∆W
∆t
=
∆m
∆t
(
gh+
1
2
v2
)
Representando a vazão mássica por
∆m
∆t
= ρ.Av, onde ρ é a densi-
dade da água e A a área da seção transversal (A = pir2) da man-
gueira, obtemos:
ρAv = (1000kg/m2)(3, 14× 10−4m2)(5, 00cm/s) = 1, 57kg/s
Por fim:
P = ρAv(gh+
1
2
v2)
P = (1, 57kg/s)
(
(9, 8m/s2)(3, 0m) +
(5cm/s)2
2
)
= 66W
Questão 12
A água que sai de um cano de 1, 9cm (diâmetro interno) passa
por três canos de 1, 3cm. (a) Se as vazões nos três canos me-
nores são 26, 19 e 11L/min, qual é a vazão no cano de 1, 9cm
e a velocidade no cano em que a vazão é 26L/min? (b) Qual
é a razão entre a velocidade da água no cano de 1, 9cm e a
velocidade no cano em que a vazão é 26L/min?
Solução
(a) A equação da continuidade estabelece que R = Av = constante,
onde R é a vazão, A é a área da seção reta do tubo em qualquer
ponto e v é a velocidade do fluxo neste ponto. Dessa forma, a va-
zão no cano maior deve ser igual à soma das vazões nos três canos
menores:
(26 + 19 + 11)L/min = 56L/min
(b) Utilizando v = R
A
e A = pid2/4, temos:
v56
v26
=
56
pi(1,9)2
26
pi(1,3)2
≈ 1, 0
Questão 13
Um barco que flutua em água doce desloca um volume de água
que pesa 35, 6kN . (a) Qual é o peso da água que este barco
desloca quando flutua em água salgada de massa específica
1, 10 × 103kg/m3? (b) Qual é a diferença entre o volume de
água doce e o volume de água salgada desloclados?
Solução
(a) Pelo princípio de Arquimedes, sabemos que um corpo que flutua,
ou seja, está em equilíbrio (Fe = P ), desloca uma quantidade de lí-
quido correspondente ao seu peso. Ou seja, quando flutuando em
água salgada, o peso de líquido deslocado pelo barco é de 35, 6kN .
(b)
P = mg
m = V d, logo V = P/dg
Na água salgada:
d = 1, 1× 103kg/m3
V =
P
dg
=
35, 6× 103
1, 1× 103.9, 8 = 3, 30m
3
Na água doce:
d = 1, 0× 103kg/m3
V ′ =
P
dg
=
35, 6× 103
1, 0× 103.9, 8 = 3, 63m
3
Tal que a diferença é V ′ − V = 0, 33m3
Questão 14
Biólogos descobriram que a velocidade do sangue arterial é uma
função da distância do sangue em relação ao eixo central da ar-
téria. De acordo com a Lei de Poiseuille, a velocidade (em centí-
metros por segundo) do sangue, que está a r centímetros do eixo
central da artéria, é dada pela função S(r) = C(R2 − r2), em
que C é 14η
(
∆T
L
)
= 1, 76×105cm e R é o raio R = 1, 2×10−2cm
da artéria. Por Poiseuille, temos:
v(r) =
1
4η
.
(
∆P
L
)
(R2 − r2)
(a) Calcule a velocidade do sangue no eixo central da matéria
e (b) a velocidade do sangue a meia distância entre a parede
da artéria e o eixo central.
Solução
(a) No eixo central temos que r = 0.
v(0) = 1, 76× 105(1, 2× 10−2)2 = 25, 34cm/s
(b) r = R/2 = 0, 6× 10−2
v(
R
2
) = v(6× 10−3)
v(
R
2
) = 1, 76× 105[(1, 2× 10−2)2 − (0, 6× 10−2)2]
v(
R
2
) = 19, 01cm/s
Questão 15
Um barril fechado possui um líquido em seu interior. Sabe-se
que numa profundidade de 50cm a pressão é de 5 × 103Pa.
Qual a densidade do líquido? (Considere g = 10m/s2)
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Solução
P = d.g.h → d = P
g.h
Atribuindo os valores, tem-se: d = 103kg/m3.
Questão 16
Conceitue viscosidade de um líquido.
Solução
É a propriedade física que caracteriza a resistência de um fluido ao
escoamento, a uma dada temperatura. A definição de viscosidade
está relacionada com a Lei de Newton : A tensão de cisalhamento
(τ) é diretamente proporcional à variação da velocidade ao longo da
direção normal às placas. A relação de proporcionalidade pode ser
transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem
à equação (Lei de Newton).
τ = µ
dv
dy
A viscosidade dinâmica (µ) é o coeficiente de proporcionalidade entre
a tensão de cisalhamento e o gradiente de velocidade. O seu signi-
ficado físico é a propriedade do fluido através da qual ele oferece
resistência às tensões de cisalhamento. Os fluidos que apresentam
esta relação linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de defor-
mação são denominados newtonianos e representam a maioria dos
fluidos. O valor da viscosidade dinâmica varia de fluido para fluido
e, para um fluido em particular, esta viscosidade depende muito da
temperatura.
Questão 17
Diga como a viscosidade está relacionada com o tempo que um
corpo leva para atingir o fundo de um recipiente.
Solução
Pela lei de newton ( τ = µ dv
dy
) quanto maior a viscosidade de um
fluido, maior será sua viscosidade dinâmica (µ) e, portanto, maior
será a capacidade de resistir às tensões de cisalhamento. Logo,
quanto mais viscoso o líquido, mais tempo o corpo leva para atingir
o fundo do recipiente.
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