11. Relatório Experimento de Reynolds 02

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
LABORATÓRIO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE (102224) 
 
 
 
EXPERIMENTO DE REYNOLDS: DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO E DA 
RUGOSIDADE DE TUBO DE VIDRO 
 
 
 
Carlos Philipe Silva Rocha 
Júlio Cesar Dantas Silva 
Lucas Fernando Santos de Jesus 
Marcelo Diaz Nascimento 
Vinícius Fernandes Mendonça Dantas 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
FEVEREIRO DE 2014
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTO DE REYNOLDS: DETERMINAÇÃO DO FATOR DE ATRITO E 
DA RUGOSIDADE DE TUBO DE VIDRO 
 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
Relatório referente ao experimento 
laboratorial conforme exigências da disciplina 
Laboratório de Fenômenos de Transporte, 
ministrada pelos professores Dr. Manoel 
Marcelo do Prado e Drª. Luanda Gimeno 
Marques. Todas as etapas desta prática foram 
realizadas por todos os integrantes do grupo. 
 
 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
FEVEREIRO DE 2014 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 Osbourne Reynolds fez em 1833 um experimento para análise dos regimes de 
escoamento interno de fluidos. Desse experimento, se popularizou o adimensional 
conhecido e amplamente utilizado “número de Reynolds”, o qual relaciona as forças 
inercias as forças viscosas do escoamento. Até hoje, engenheiros e estudiosos da área de 
escoamento de fluidos estudam e projetam equipamentos baseados nos cálculos feitos 
conjuntamente com o número de Reynolds. A prática feita em laboratório tentou refazer 
o experimento de Reynolds para observar o escoamento do corante dentro de uma 
tubulação de vidro e obter os valores para o fator de atrito de Fanning, e então comparar 
com aqueles obtidos via diagrama de Moody. Observou-se que o corante forma um filete 
à baixas vazões, ou seja, regime laminar; e tende a formar vórtice com o aumento da 
vazão, de regime turbulento. Entretanto, os valores experimentais para o fator de atrito 
não foram tão precisos quando comparados aos encontrados via diagrama de Moody. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
OBJETIVOS..................................................................................................................... 4 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................... 5 
MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................................... 15 
RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................... 17 
CONCLUSÃO ............................................................................................................... 24 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 25 
MEMORIAL DE CÁLCULO ........................................................................................ 26 
 
 
 
4 
 
OBJETIVOS 
 
A simulação da experiência de Reynolds teve como objetivo visualizar o padrão 
de escoamento de água através de um tubo de vidro, com o auxílio de um fluido colorido 
(corante), e através disto, comparar os tipos de escoamentos, a partir dos dados levantados 
no laboratório com os limites estabelecidos por Reynolds. Além da construção do gráfico 
em escala log-log, do fator de atrito de Fanning em função do número de Reynolds, 
comparar com o digrama de Moody fornecido na literatura; determinar o número de 
Reynolds crítico e comparar a rugosidade relativa calculada através da equação de 
Colebrook com valor obtido da literatura. 
 
 
 
 
 
5 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
INTRODUÇÃO 
A relação entre viscosidade de um fluido, e o modo como se comporta, em um 
escoamento, pode ser complexa e difícil de traduzir em termos matemáticos. É sabido que 
se podem incorporar as tensões de corte, associadas à viscosidade, na descrição do 
movimento de um pequeno elemento de fluido; mais as equações parciais que daí 
resultam (as equações de Navier-Stokes) não possuem solução geral. Em consequência, 
os engenheiros acabam por ter que recorrer à experimentação, pelo menos em parte, para 
estudar o comportamento dos fluidos reais. Em meados do século XIX, já havia muitas 
informações sobre o escoamento em tubos e em canais abertos, sendo essas totalmente 
empíricas pois pouco se sabia sobre as que leis que governam a influência da viscosidade 
no escoamento. (MASSEY, 2002) 
Porém já havia se tinha a consciência de que o escoamento de um fluido se poderia 
dar segundo dois regimes distintos. Embora o trabalho de Hagen, realizado por volta de 
1840, servisse para elucidar certas consequências dessa dupla possibilidade, só ficou 
claramente demostrada após as experiências de Reynolds no início da década de 1880. 
De facto a distinção dos tipos de escoamento compreende-se mais facilmente se nos 
reportarmos ao trabalho de Osborne Reynolds (1842-1912), professor de engenharia da 
universidade de Manchester. (MASSEY, 2002) 
 
AS EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS SOBRE OS DOIS ESCOAMENTOS 
O experimento realizado por Reynolds em 1883 foi capaz de demonstrar a 
existência de dois tipos básicos de escoamento: o escoamento laminar e o escoamento 
turbulento. Isso foi realizado por meio da visualização do padrão de escoamento de água 
através de um tubo de vidro com o auxílio de um fluido colorido. 
Seja um reservatório termicamente isolado. Um tubo de vidro ou algum polímero 
transparente em cuja extremidade é adaptado um convergente, é mantido dentro do 
reservatório e ligado a um sistema externo que contém uma válvula com a função de 
regular a vazão. No eixo do tubo de vidro é injetado um líquido corante (solução de sal 
de iodeto) que possibilitará a visualização do padrão de escoamento. Para garantir o 
 
 
6 
 
estabelecimento do regime permanente, o reservatório contendo água deve ter dimensões 
adequadas para a quantidade de água retirada durante o experimento não afete 
significativamente o nível do mesmo. Para isso, é acoplada uma bomba ao sistema. A 
Figura 1 apresenta um esquema representativo do experimento de Reynolds 
 
 
Figura 1- Esquema representativo do experimento de Reynolds 
 
E assim Reynolds partiu para as suas observações, sobre o movimento da água no 
interior de tubos, em suma notou-se que quando a velocidade de água no tubo era baixa 
e em particular se a água do tanque tivesse tempo de “assentar”, de modo a eliminar 
quaisquer movimentos residuais, o filamento de tinta deslocava-se ao longo do tubo, sem 
se dispersar na água e, por vezes, o seu movimento era tão estável que se confundia 
praticamente como uma linha. A medida que a válvula de descarga era aberta e a 
velocidade da água no tubo ia aumentando, esse tipo de comportamento ainda era 
observado, até que a velocidade da água atingia um valor para o qual o filamento de agua 
começasse a oscilar. Aumentos subsequentes de velocidade faziam com que essas 
flutuações do filamento de tinta aumentassem de amplitude, particularmente em zonas 
mais próximas a saída do tubo, até que seja atingida a condição de para qual a tinta se 
dispersa-se na água. Nessa situação a agua assumia a coloração da tinta de forma 
praticamente uniforme com exceção da região de entrada. Quando aumentando ainda 
mais a velocidade, já não havia mais alteração no tipo de escoamento. Finalmente quando 
diminuía a velocidade da água, era possível restabelecer a condição inicial do 
escoamento. A figura 2 representa as etapas descritas pelo filete de tinta. (MASSEY, 
2002) 
 
 
7 
 
 
 
Figura 2- Representação do comportamento da tinta 
 
 No primeiro tipode escoamento, aquele que se observa velocidades baixas, 
os elementos de fluidos deslocam-se ordenadamente seguindo linhas bem definidas, nota-
se que a velocidades que estes elementos de fluidos se deslocam em linha reta, para um 
dado caudal de escoamento de água, depende da posição radial que se encontra o ponto 
de injeção da tinta, qualquer que seja a posição radial, os elementos de fluido se deslocam 
sempre em linha reta, mas sua velocidade depende da distância do eixo do tubo. A esse 
tipo de escoamento chama-se laminar. (MASSEY, 2002) 
 O segundo tipo de escoamento e dito turbulento devido as oscilações apresentadas 
no escoamento, demonstrando um comportamento desordenado, ou seja, o escoamento 
turbulento e portanto caracterizado pelo fato de existir uma infinidade de pequenos 
 
 
8 
 
movimentos irregulares, em sobreposição ao movimento principal do fluido. Segundo 
Fox et al. (2010) a turbulência acontece quando as forças viscosas não conseguem 
sustentar um escoamento laminar devido à flutuações aleatórias no movimento do fluido 
geradas, por exemplo, pela rugosidade da tubulação. 
 Como os escoamentos laminar e turbulento possuem naturezas distintas, é 
importante saber em que condições se pode esperar ocorrer cada um deles e quais as leis 
que o governam. Após investigações experimentais e teóricas, Reynolds concluiu que o 
critério mais apropriado para se determinar o tipo de escoamento em uma canalização não 
se atém exclusivamente ao valor da velocidade, mas a uma expressão adimensional na 
qual a viscosidade do líquido também é levada em consideração. Este adimensional 
passou a ser conhecido como Número de Reynolds. 
 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
 (1) 
Onde: 
 𝑣 = velocidade média do fluido (𝑣𝑚á𝑥/2); 
 𝐷 = diâmetro do tubo; 
 𝜇 = viscosidade dinâmica do fluido; 
 𝜌 = massa específica do fluido. 
 
O número de Reynolds traz como significado físico a razão entre forças inerciais 
(𝜌𝑢) e forças viscosas (𝜇/𝐷). 
De forma geral, os valores de Reynolds indicam os regimes de escoamento da 
seguinte forma: 
 𝑅𝑒 < 2000 laminar; 
 2000 < 𝑅𝑒 < 2400 transição 
 𝑅𝑒 > 2400 turbulento 
 
 
 
9 
 
ESCOAMENTOS INTERNOS 
 Escoamento em tubos é sem dúvida o tipo mais comum de escoamento interno, 
sendo encontrado em veias e artérias do corpo humano, em sistemas de abastecimento de 
água nas cidades, em sistemas de irrigação em plantações, em sistemas de transporte de 
fluidos por dutos em fábricas, em linhas hidráulicas de aeronaves e em impressoras a jatos 
de tintas (Potter et al., 2010). 
 De maneira geral, pode-se dividir o escoamento interno em dois tipos de regime, 
o laminar e o turbulento. Para a determinação do regime de escoamento usa-se o 
adimensional conhecido como número de Reynolds, que representa a razão entre as forças 
inerciais e viscosas. Para fins de engenharia, valores de Reynolds menores que 2000 o 
escoamento é dito laminar, para valores maiores o escoamento é dito turbulento (Potter 
et al., 2010). 
 
ESCOAMENTO DESENVOLVIDO 
 Um escoamento laminar desenvolvido é observado quando o perfil de velocidade 
não mais muda na direção do escoamento. No entanto, na região de entrada para um 
escoamento laminar o perfil de velocidade muda na direção do escoamento. O 
escoamento ideal na entrada de um tubo começa uniforme, e a medida que adentra, as 
forças viscosas envolvidas provocam o que é conhecido como perfil de velocidade e este 
se estabelece e torna-se uniforma a partir de determinado comprimento do tubo, chamado 
de comprimento de entrada. 
Para um escoamento laminar em um tubo circular com perfil uniforme na entrada, 
o comprimento de entrada, 𝐿𝐸 , é dado por: 
𝐿𝐸
𝐷
= 0,065𝑅𝑒 (2) 
 O escoamento turbulento em tubos é diferente do escoamento laminar, visto que 
se desenvolve quando todas as suas características cessam de mudar na direção do 
escoamento. Para a situação em escoamento turbulento com altos números de Reynolds, 
maiores que 105, o comprimento de entrada, 𝐿𝐸, é dado por: 
𝐿𝐸
𝐷
> 120 (3) 
 
 
10 
 
PERDAS EM ESCOAMENTOS DESENVOLVIDOS EM TUBOS 
Aplicando um balanço de energia, em um volume de controle que compreende 
duas seções de um tubo reto, que não contenha acessório, e levando em consideração as 
hipóteses de que o regime é permanente, que o processo e adiabático e que não há trabalho 
de motor, balanço representado pela Equação 4. 
(
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
�̅�1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
�̅�2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙 (4) 
Essa equação permite calcular a perda de energia mecânica causada pelo atrito 
entre duas seções de um tubo e indica que a pressão variará mesmo para um tubo 
horizontal de área constante. Ela é expressa em termos de energia por unidade de massa. 
Na ciência empírica da hidráulica, era prática comum expressar o balanço de energia 
mecânica em termos de energia por unidade de peso. Portanto, ao dividi-la pelo valor da 
gravidade, temos uma expressão do balanço de energia mecânica em termos de unidade 
de comprimento: 
(
𝑝1
𝜌𝑔
+ 𝛼1
�̅�1
2
2𝑔
+ 𝑧1) − (
𝑝2
𝜌𝑔
+ 𝛼2
�̅�2
2
2𝑔
+ 𝑧2) =
ℎ𝑙
𝑔
= 𝐻𝑙 (5) 
 A equação acima pode então ser utilizada para calcular a diferença de pressão 
entre dois pontos quaisquer numa tubulação, desde que a perda de carga possa ser 
determinada. 
 Os termos 𝐻𝑙 e ℎ𝑙 são comumente chamados de perda de carga. A perda de carga 
total é a soma de dois tipos de perdas (Pritchard, 2011): 
i. Perdas maiores: causadas por efeitos de atrito no escoamento completamente 
desenvolvido em tubos de seção constante; 
ii. Perdas localizadas, também chamadas de perdas menores: causadas por entradas, 
acessórios, variações de área e outras. 
Perdas maiores e o fator de atrito 
 As perdas de carga maiores podem ser expressas como as perdas de pressão para 
o escoamento plenamente desenvolvido através de um tubo de área constante, uma vez 
que essa perda representa a conversão por efeitos friccionais da energia mecânica para a 
energia térmica. 
 
 
11 
 
A Equação (5) pode ser utilizada para determinar a perda de carga maior em um 
escoamento plenamente desenvolvido em um tubo de área constante, que por 
manipulação fornece: 
𝑝1−𝑝2
𝜌
= 𝑔(𝑧2 − 𝑧1) + ℎ𝑙 (6) 
 
Para tubo na horizontal: 
𝑝1−𝑝2
𝜌
= 
∆𝑝
𝜌
= ℎ𝑙 (7) 
Assim a perda de carga será dependente dos detalhes do escoamento do fluido 
através do tubo e independente de sua orientação. Logo, a perda de carga para escoamento 
se laminar ou turbulento deve ser determinado com diferentes abordagens. 
 
a) FLUXO LAMINAR 
Para o fluxo laminar, tem-se que a queda de pressão deve ser computada 
analiticamente por: 
∆𝑝 = 32
𝐿
𝐷
𝜇�̅�
𝐷
 (8) 
que na Equação (7), em dimensão de comprimento, ficará na forma: 
𝐻𝑙 = 32
𝐿
𝐷
𝜇�̅�
𝜌𝐷𝑔
=
𝐿
𝐷
�̅�2
2𝑔
(64
𝜇
𝜌�̅�𝐷
) = (
64
𝑅𝑒
)
𝐿
𝐷
�̅�2
2𝑔
 (9) 
 
b) FLUXO TURBULENTO 
No caso de escoamento turbulento, não se pode validar a queda de pressão 
analiticamente; deve-se recorrer a resultados experimentais e usar análise dimensional 
para correlacioná-los. Experimentalmente,tem-se para o escoamento turbulento 
completamente desenvolvido, que a queda de pressão, causada por atrito em um tubo 
horizontal de área constante, depende do diâmetro, do comprimento, da rugosidade do 
tubo, da velocidade média do escoamento, da massa específica e da viscosidade do fluido 
(Pritchard, 2011): 
 
 
12 
 
∆𝑝 = ∆𝑝(𝐷, 𝐿, 𝑒, �̅�, 𝜌, 𝜇) (10) 
Que por análise dimensional de dados experimentais, chegou-se a: 
ℎ𝑙
1
2
�̅�2
=
𝐿
𝐷
∅ (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) (11) 
onde, a função desconhecida ∅ (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) é definida como o fator de fricção, ou fator de 
atrito, 𝑓. Este foi determinado experimentalmente por Moody apud. Pritchard (2011) e os 
resultados são apresentados na forma de um diagrama que depende do número de 
Reynolds, 𝑅𝑒, e da rugosidade relativa do tubo, 𝑒/𝐷, para a determinação do fator de 
atrito, como pode ser observado na Figura 3. Assim: 
ℎ𝑙 = 𝑓
𝐿
𝐷
�̅�2
2
 (12) 
ou, 
𝐻𝑙 = 𝑓
𝐿
𝐷
�̅�2
2𝑔
 (13) 
Comparando-se a Equação (12) com a Equação (9), percebe-se que, para o escoamento 
laminar em tubos, o fator de atrito pode ser determinado por: 
𝑓 = 64 𝑅𝑒⁄ (14) 
Ou seja, para o escoamento laminar, o fator de atrito é dependente apenas do 
número de Reynolds. A perda de carga sempre aumentará com a vazão, e mais 
rapidamente se o escoamento for turbulento. 
 
 
13 
 
 
Figura 3 – Diagrama de Moody para o fator de atrito para escoamento plenamente 
desenvolvido dentro de tubos circulares. Fonte: Moody apud Pritchard (2011). 
 
Para evitar a necessidade do uso de métodos gráficos na obtenção do fator de atrito 
para escoamentos turbulentos, diversas expressões matemáticas foram criadas por ajuste 
de dados experimentais (Pritchard, 2011). A expressão mais usual para o fator de atrito é 
a de Colebrook: 
1
𝑓0,5
= −2 𝑙𝑜𝑔 (
𝑒
𝐷⁄
3,7
+
2,51
𝑅𝑒 𝑓0,5
) (15) 
Do diagrama de Moody, pode-se observar que para uma determinada rugosidade 
da parede, há um valor suficientemente alto de Reynolds acima do qual o fator de atrito 
é constante, definindo, assim, o regime completamente turbulento. O tamanho médio do 
elemento rugoso é bem maior que a espessura da subcamada laminar, de forma que os 
efeitos de viscosidade não são significativos. A resistência ao escoamento é produzida 
principalmente pelo arraste dos elementos rugosos que se sobressaem da subcamada 
laminar. No caso de valores de rugosidade relativa menores, observa-se que, à medida 
que Reynolds diminui, o fator de atrito aumenta na zona de transição e acaba tornando-
se igual ao de um tubo liso. Os elementos rugosos acabam ficando submersos na 
 
 
14 
 
subcamada viscosa, de modo a produzir pouco efeito no escoamento principal (Potter et 
al., 2007). 
Potter et al. (2007) destaca que os valores da rugosidade no diagrama referem-se 
a dutos novos. Com o passar dos anos, o duto acaba ficando corroído ou sofrendo 
incrustações, alterando tanto a sua rugosidade como o seu diâmetro, aumentando, assim, 
o fator de atrito. 
 Além do fator de atrito de Darcy, encontram-se na literatura o fator de Fanning. 
John Fanning (1837-1911) também realizou estudos nesta área e nos seus cálculos 
Fanning considera o raio hidráulico (Cr), onde o fator de Darcy tem uma relação com o 
fator de Fanning representado pela Equação (16). 
𝑓𝐷 = 4𝑓𝑓 (16) 
 
A Tabela 1 fornece valores usuais para a rugosidade de tubo, 𝑒, para diferentes 
materiais utilizados na indústria e em projetos hidráulicos. 
 
Tabela 1 – Valores usuais para a rugosidade de diferentes materiais utilizados. 
 Rugosidade (𝑒) 
Material ft mm 
Aço rebitado 0.003-0.03 0,9-9 
Concreto 0.001-0.01 0.3-3 
Madeira 0.0006-0.003 0.2-0.9 
Ferro fundido 0.00085 0.26 
Ferro galvanizado 0.0005 0.15 
Ferro fundido asfaltado 0.0004 0.12 
Aço comercial ou ferro forjado 0.00015 0.046 
Trefilado 0.000005 0.0015 
PVC 0,0000164 0,005 
Fonte: Adaptado de Fox (2006). 
 
 
 
15 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
MATERIAIS 
O arranjo experimental utilizado é formado basicamente por um circuito hidráulico 
fechado e é composto de: 
• Reservatório de água 20litros, com válvulas que controlam o nível constante; 
• Tubo de vidro cilíndrico, colocado na horizontal (diâmetro interno de 15mm) e de 
comprimento de 4,5 metros; 
• Conexões, usadas para tomadas de pressão estática; 
• Recipiente graduado para medidas de vazão, posta no final do tubo; 
• Válvula de regulagem de vazão; 
• Agulhas dosadoras de corantes traçadores, usou-se o azul de metileno, para a 
visualização das linhas de correntes no inicio, pela válvula VTA 1 e no meio pela 
válvula VTA 2; 
• Manômetro de tubo de vidro inclinado, internamente usou-se o clorofórmio 
colorido metálico (fluido manométrico); 
• Reservatório de corante traçador, alimentado por bomba peristáltica; 
• Cronômetro. 
 
A Figura 4 abaixo mostra o aparato experimental utilizado. 
 
Figura 4 – Esquema representativos do equipamento utilizado na prática. 
 
 
 
16 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 Abriu-se o registro de alimentação de água para o tanque de nível constante. 
Certificou-se que a válvula de regulagem de vazão estava inicialmente fechada e abriu-se 
totalmente o registro de alimentação de água. Com o ângulo do manômetro inclinado já 
ajustado para 10º e já com o fluido em seu interior estabilizado na posição inicial, e 
verificado se não havia desvios de leitura a serem considerados. Abriu-se lentamente a 
válvula de regulagem de vazão, situada no início do tubo reto onde o fenômeno seria 
observado. Buscou-se alterar a vazão de modo que uma variação de aproximadamente 
considerável fosse observada no manômetro. Para cada vazão, mediu-se a vazão de água 
através do recipiente graduado com auxílio de um cronômetro. Bloqueou-se a vazão 
completamente ao fim do recipiente graduado e anotou-se o intervalo de tempo necessário 
para preencher um certo volume. Realizou-se a medida da vazão em triplicata. Calculou-
se o número de Reynolds para o experimento em cada ponto e quando a vazão. Conclui-
se a primeira parte do experimento varrendo todo o intervalo de pressões possível no 
manômetro (aproximadamente 120cm). Devido a variações de vazão na rede notou-se o 
experimento não varreu uma parte de valores de Reynolds. No experimento não foi 
utilizado a injeção de tinta, para todas as vazões, de maneira que não pode ser verificado 
o comportamento descrito na literatura. 
 
TRATAMENTO DE DADOS 
 Com os dados obtidos no experimento realizou-se os cálculos e a obtenção dos 
gráficos referentes a discussão. A apresentação da sequência dos cálculos encontra-se em 
anexo, junto com alguns dados obtidos no experimento, os gráficos foram obtidos pelo 
programa Microsoft Excel 2013. 
 
 
 
17 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
 Para o cálculo da vazão de cada ponto operacional, regulou-se a válvula de 
regulagem e esperou-se até que o nível de fluido se estabilizasse, pois as correntes de 
fluxo variam bastanteaté que se atinja regime. Com os dados de volume coletado e tempo 
em triplicata para cada coleta, pôde-se calcular a vazão de água 𝑄 em cada ponto de 
operação a partir de: 
 
𝑄 = 𝑉/𝑡 ̅ (17) 
 
onde 𝑉 é o volume coletado no tempo médio aritmético 𝑡̅. Os valores encontrados na 
prática (volume e tempo) e o valores calculados (tempo médio e vazão) são apresentados 
na Tabela 2. 
Tabela 2 – Valores calculados para a vazão de água no tubo. 
𝑉 (𝑚𝐿) 𝑡1 (𝑠) 𝑡2 (𝑠) 𝑡3 (𝑠) 𝑡̅ (𝑠) 𝑄 (𝑐𝑚
3/𝑠) 
100 13,47 13,14 13,65 13,42 7,45 
100 6,10 6,29 6,90 6,43 15,55 
100 4,70 5,13 4,88 4,90 20,39 
100 3,72 3,78 3,82 3,77 26,50 
100 3,69 3,63 3,65 3,66 27,35 
100 3,41 3,32 3,37 3,37 29,70 
100 3,35 3,28 3,25 3,29 30,36 
100 3,15 3,16 3,89 3,40 29,41 
100 2,55 2,94 2,97 2,82 35,46 
100 3,00 2,91 2,46 2,79 35,82 
100 2,56 2,72 2,84 2,71 36,95 
100 2,95 2,81 2,91 2,89 34,60 
200 5,30 5,84 4,93 5,36 37,34 
200 4,25 4,31 4,25 4,27 46,84 
400 8,00 8,38 8,38 8,25 48,47 
200 4,12 4,31 4,25 4,26 46,95 
200 3,71 3,63 3,68 3,67 54,45 
200 3,09 3,07 3,25 3,14 63,76 
200 3,60 3,03 2,90 3,18 62,96 
200 3,05 2,88 3,15 3,03 66,08 
200 2,94 3,01 2,84 2,93 68,26 
200 2,65 2,87 2,84 2,79 71,77 
200 2,69 2,72 2,53 2,65 75,57 
200 2,50 2,63 2,59 2,57 77,72 
200 2,31 2,34 2,25 2,30 86,96 
 
 
18 
 
 
 Com os dados de vazão e sabendo que, à temperatura do experimento (28ºC), a 
viscosidade cinemática da água é ʋ = µ/𝜌 = 1.01𝑥10−6𝑚2/𝑠, pode-se calcular a 
velocidade média no interior do tubo 𝑣 e então, obter o valor do número de Reynolds 
𝑅𝑒 pelas Equações 18 (abaixo) e 1, respectivamente. Os resultados obtidos para os valores 
de Reynolds são apresentados na Tabela 3. 
𝑣 = 𝑄/𝐴 (18) 
 
Tabela 3 – Valores para o número de Reynolds em cada vazão. 
𝑄 (𝑐𝑚³/𝑠) 𝑣 (𝑚/𝑠) 𝑅𝑒 
7,45 0,0371 589,17 
15,55 0,0774 1229,65 
20,39 0,1014 1612,50 
26,50 0,1318 2095,39 
27,35 0,1360 2162,25 
29,70 0,1477 2348,50 
30,36 0,1510 2400,80 
29,41 0,1463 2325,48 
35,46 0,1764 2803,77 
35,82 0,1782 2832,22 
36,95 0,1838 2921,16 
34,60 0,1721 2735,85 
37,34 0,1857 2952,07 
 
𝑄 (𝑐𝑚³/𝑠) 𝑣 (𝑚/𝑠) 𝑅𝑒 
37,34 0,1857 2952,07 
46,84 0,2330 3703,33 
48,47 0,2410 3831,96 
46,95 0,2335 3712,03 
54,45 0,2708 4304,87 
63,76 0,3171 5041,41 
62,96 0,3131 4977,93 
66,08 0,3286 5224,64 
68,26 0,3395 5397,01 
71,77 0,3570 5674,61 
75,57 0,3758 5974,77 
77,72 0,3866 6145,04 
86,96 0,4325 6875,32 
 Baseado nos valores obtidos para o número de Reynolds, percebe-se que o 
escoamento foi laminar até aproximadamente a vazão de 27.35𝑐𝑚3 (𝑅𝑒 < 2300), esteve 
em transição até aproximadamente a vazão de 46.95𝑐𝑚3 e alcançou o regime turbulento 
aproximadamente na vazão de 54.45𝑐𝑚3 (𝑅𝑒 > 4000). Observou-se que o corante 
injetado no centro da tubulação formou um filete bem definido à baixas vazões, ou seja, 
tinha-se um regime laminar desenvolvido. Com o aumento da vazão, o fluido tendeu a 
formar vórtices e obteve-se, então, o regime turbulento. Além disso, percebeu-se que em 
ambos os regimes havia transferência de massa do corante (meio concentrado) para a água 
(meio diluído). Onde para o regime laminar, a troca mássica ocorria de forma mais 
expressiva por difusão molecular, onde percebeu-se um filme na região da água próxima 
ao corante com uma escala de azul (cor do corante), o que é um indicativo de gradiente 
 
 
19 
 
de concentração da substância do corante no filme de água. Para o regime turbulento, 
percebeu-se que a influência quase que completa da troca mássica deve-se à convecção; 
haja visto que o aumento na velocidade da mistura faz elevar o coeficiente convectivo de 
transferência de massa. 
Sabe-se que a perda de carga 𝛥𝑃 pode ser quantificada pelo nível do fluido 
manométrico, através da Equação 19 (abaixo). Para tanto, temos que 𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 =
1477.29 𝑘𝑔/𝑚3 e 𝑠𝑒𝑛(10𝑜) = 0,1736. Obtém-se, então, os valores apresentados na Tabela 
4 para o nível do fluido manométrico ℎ, nível do fluido manométrico com zero ajustado 𝛥ℎ, 
pois para a vazão nula já havia um desnível inicial do fluido manométrico, e a perda de carga 
𝛥𝑃. 
𝛥𝑃 = 𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑔∆ℎ𝑠𝑒𝑛(10
𝑜) (19) 
 
Tabela 4 – Valores calculados para a queda de pressão durante o experimento. 
ℎ (𝑐𝑚) ∆ℎ (𝑚) 𝛥𝑃 (𝑃𝑎) 
1,2 - - 
1,5 0,003 7,54 
3,4 0,022 55,31 
9,5 0,083 208,66 
17,8 0,166 417,32 
20,0 0,188 472,63 
23,3 0,221 555,59 
24,5 0,233 585,76 
27,0 0,258 648,61 
28,7 0,275 691,34 
31,3 0,301 756,71 
32,5 0,313 786,88 
33,5 0,323 812,02 
 
ℎ (𝑐𝑚) ∆ℎ (𝑚) 𝛥𝑃 (𝑃𝑎) 
33,8 0,326 819,56 
54,0 0,528 1327,38 
55,0 0,538 1352,52 
55,5 0,543 1365,09 
59,7 0,585 1470,68 
61,5 0,603 1515,93 
64,2 0,630 1583,81 
79,5 0,783 1968,45 
82,2 0,810 2036,32 
101,0 0,998 2508,95 
109,5 1,083 2722,64 
111,7 1,105 2777,95 
123,0 1,218 3062,03 
 
Pode-se então calcular o fator de atrito de Fanning experimental 𝑓𝑓,𝑒 a partir da 
Equação 20 (abaixo) que vem da equação de Bernoulli para o escoamento na horizontal 
com perda de carga. Sabendo-se que 𝜌 = 993.575 𝑘𝑔/𝑚3, 𝐷 = 1.6𝑐𝑚 e 𝐿 = 4.55𝑚, 
obteremos a Tabela 5 com os valores dos fatores de atrito de Fanning experimental e com 
seus números de Reynolds respectivos. 
 
 
 
20 
 
𝑓𝑓,𝑒 =
𝐷𝛥𝑃
2𝜌𝐿𝑣2
 (20) 
 
Pode-se plotar os gráficos das Figuras 5 e 6 que mostram a relação de 𝑓𝑓,𝑒 e o fator 
de atrito de Fanning obtido pelo diagrama de Moody 𝑓𝑓,𝑀𝑜𝑜𝑑𝑦 (= 𝑓𝐷,𝑀𝑜𝑜𝑑𝑦/4) com 𝑅𝑒 em 
escala normal e escala log-log, respectivamente. Para o trecho de regime de transição, 
não foram admitidos valores de fator de atrito 𝑓𝑓,𝑀𝑜𝑜𝑑𝑦, pois o diagrama de Moody não 
os fornece. 
 
Tabela 5 – Valores do fator de atrito de Fanning encontrados experimentalmente. 
𝑅𝑒 𝑓𝑓,𝑒 
589,17 0,010 
1229,65 0,016 
1612,50 0,036 
2095,39 0,043 
2162,25 0,045 
2348,50 0,045 
2400,80 0,045 
2325,48 0,054 
2803,77 0,039 
2832,22 0,042 
2921,16 0,041 
2735,85 0,049 
2952,07 0,042 
 
𝑅𝑒 𝑓𝑓,𝑒 
3703,33 0,043 
3831,96 0,041 
3712,03 0,044 
4304,87 0,035 
5041,41 0,027 
4977,93 0,029 
5224,64 0,032 
5397,01 0,031 
5674,61 0,035 
5974,77 0,034 
6145,04 0,033 
6875,32 0,029 
 Percebe-se pela análise dos gráficos das Figuras 5 e 6 que os dados experimentais 
não responderam como esperado, ou seja, não estão próximos daqueles obtidos pelo 
diagrama de Moody. Observou-se da prática que as tomadas de pressão para o manômetro 
inclinado estavam localizados próximo à entrada e saída do tubo de vidro. Isso pode 
provavelmente ter resultado em valores acima do que deveria ter sido obtido para a queda 
de pressão 𝛥𝑃 durante o experimento, e consequentemente, obteve-se valores acima do 
esperado para o fator de atrito de Fanning 𝑓𝑓,𝑒 como pode ser observado nas Figuras 5 e 
6. 
 
 
 
21 
 
 
Figura 5 – Gráfico em escala normal do fator de atrito de Fanning vs. o número de 
Reynolds 
 
 
Figura 6 – Gráfico em escala log-log do fator de atrito de Fanning vs. o número de 
Reynolds 
 
 Observou-se ainda uma incoerência física para os primeiros pontosobtidos 
experimentalmente nas Figuras 5 e 6, em que houve um aumento do fator de atrito de 
Fanning experimental com o aumento do número de Reynolds. Teoricamente, o fator de 
atrito deve diminuir com o aumento do número de Reynolds, pois o aumento de 
velocidade faz com que a influência viscosa do escoamento diminua em relação a 
influência inercial. Logo, o fator de atrito tende a diminuir com o aumento da velocidade. 
Porém, por fontes de erros desconhecidas, a queda de pressão 𝛥𝑃 para esses primeiros 
pontos levou a resultados incoerentes. E portanto, a faixa de dados para a região laminar 
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
F
at
o
r 
d
e 
at
ri
to
 d
e 
F
an
n
in
g
Re
Experimental Moody
0,006
0,060
1000 10000
F
at
o
r 
d
e 
at
ri
to
 d
e 
F
an
n
in
g
Re
Experimental Moody
 
 
22 
 
não foi obtida de forma satisfatória; assim, ficou desnecessária a determinação do 
coeficiente angular da reta de tendência para esses pontos e compará-lo com valores da 
literatura, já que não traria um resultado correto. 
 Outros detalhes importantes devem ainda ser observados em relação à prática, 
como a introdução do corante traçador, que deve ser feita antes da entrada da tubulação, 
pois o tubo de injeção também perturba o escoamento. A forma de entrada da tubulação 
merece atenção especial, sendo recomendada uma entrada de perfil elíptico, como uma 
boca de sino, evitando-se a formação de vórtices no escoamento. Como esses detalhes 
não foram levados em consideração no projeto do equipamento, os resultados obtidos 
podem ter sido influenciados, mesmo que minimamente, por esses aspectos. Com esses 
cuidados, pode-se manter o regime laminar até valores fora da faixa normal (de 𝑅𝑒 <
2300), chegando-se a até 𝑅𝑒 > 8000. Estes valores, logicamente, são valores especiais 
de laboratório, enquanto as faixas especificadas aplicam-se para tubulações normais, e 
servem como regra geral para escoamentos na prática. 
Dessa forma, desejou-se obter o valor do número de Reynolds crítico, ou seja, o 
valor do número de Reynolds em que há a mudança do regime laminar para o regime de 
transição. Porém, como os valores para o fator de atrito não ficaram confiáveis para a 
faixa próxima à transição (perto de 𝑅𝑒 = 2300), não foi feita a determinação do número 
de Reynolds crítico. 
 Pode-se calcular a rugosidade relativa do tubo de vidro a partir da correlação de 
Colebrook-White, a qual após isolar o termo 
𝜀
𝐷
 obtém-se: 
 
𝜀
𝐷
= 3.7 (10
−1
4√𝑓𝐷
⁄
−
1.256
𝑅𝑒√𝑓𝐷
) 𝑅𝑒 > 4000 (21) 
 
Então, calculou-se a rugosidade relativa para os dados da região turbulenta, os quais são 
apresentados na Tabela 6. Dos valores, tem-se um valor médio para a rugosidade de 𝜀 =
0.0117 𝑚. Esse valor está muito acima do encontrado na literatura, o qual para o vidro é 
de 𝜀 = 0.00152 𝑚𝑚 (Tilton, 2008). 
 
 
 
23 
 
Tabela 6 – Valores calculados para a rugosidade relativa do vidro do experimento. 
𝑅𝑒 𝜀/𝐷 
4304,87 0,17 
5041,41 0,10 
4977,93 0,12 
5224,64 0,15 
5397,01 0,14 
5674,61 0,17 
5974,77 0,16 
6145,04 0,15 
6875,32 0,12 
 
 Variações na vazão de água por conta do fornecimento de água durante o 
experimento podem ter provocado alterações nos resultados de forma a chegar nesse valor 
tão alto de rugosidade para o vidro. 
 
 
 
 
24 
 
CONCLUSÃO 
 
 Pode-se concluir que a prática teve êxito qualitativo, uma vez que se conseguiu 
alcançar os objetivos. Porém, os resultados para os fatores de atrito de Fanning em função 
do número de Reynolds e para a rugosidade do tubo de vidro, que foi de 𝜀 = 0.0117 𝑚, 
não satisfizeram aos valores esperados e apresentados pelo estudo do diagrama de Moody 
e o valor de rugosidade que deveria ser de 𝜀 = 0.00152 𝑚𝑚 (Tilton, 2008). O que 
impossibilitou a determinação do número de Reynolds crítico. Essas variações dos 
valores obtidos pelos valores esperados podem ter sido resultados de problemas quanto a 
construção do equipamento que tem as tomadas de pressão em zonas de entrada e saída 
do tubo e do fornecimento de água, que não foi constante ao longo do experimento. 
 A visualização do filete de corante a baixas vazões foi obtido satisfatoriamente, e 
aumentando-se a vazão, percebeu-se a variação do perfil até a obtenção da turbulência, 
na qual o corante se dispersa totalmente logo após a injeção no tubo, formando-se uma 
única fase de líquido corado. Ou seja, a turbulência aumentou a troca mássica 
significativamente, já que o coeficiente convectivo de transferência de massa aumenta 
com o aumento da velocidade média da mistura. Porém, para vazões menores, apesar da 
forma definida do filete, pôde-se observar também uma pequena difusão do corante na 
água. 
 
 
 
25 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 6ª ed., 
LTC; Rio de Janeiro, 2006, 789p. 
Massey, B. S.; Mecânica dos Fluidos; 6ª ed., Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 
2002. 
Potter, M. C.; Scott, E. P.; Ciências Térmicas, 1ª ed., Thompson; São Paulo, 2007, 800p. 
Pritchard, P. J.; Fox and McDonald’s Introduction to Fluid Mechanics, 8ª ed., Wiley, 
2011, 896 p. 
Tilton, J. N.; Perry’s Chemical Engineers’ Handbook; McGraw-Hill, USA, 2008. 
 
 
 
26 
 
MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
Cálculo da vazão: 
Media dos tempos: 𝑡̅ = (𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3)/3 
 
𝑡̅ = (13,47+13,14+13,65)/3 = 13,42𝑠 
 
𝑄 = 𝑉/𝑡 ̅ 
𝑄 =
100
13,42̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
= 7,45 𝑐𝑚3/𝑠 
 
Calculo da velocidade média: 
ʋ = µ/𝜌 = 1.01𝑥10−6𝑚2/𝑠 
 
𝑣 =
7,45
4.98𝑥10^ − 3
= 0,0371 
Calculo do número de Reynolds: 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
= 
993,575𝑥0,0371x0,016
1,00𝐸 − 03
= 589,17 
Calculo da pressão: 
𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 1477.29 𝑘𝑔/𝑚
3 
 𝑠𝑒𝑛(10𝑜) = 0,1736. 
𝛥𝑃 = 𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑔ℎ𝑠𝑒𝑛(10
𝑜) 
 
𝛥𝑃 = 1477.29 𝑥9.81𝑥0,003𝑥0,1736 
𝛥𝑃 = 7,54 𝑃𝑎 
 
 
27 
 
 
Calculo do fator de atrito de Fanning: 
𝑓𝑓,𝑒 =
𝐷𝛥𝑃
2𝜌𝐿𝑣2
 
 
𝑓𝑓,𝑒 =
7,54𝑥0,016
2𝑥993,575𝑥4,55𝑥0,0371^2
= 0,010 
 
Calculo da rugosidade 
𝜀
𝐷
= 3.7 (10
−1
4√𝑓𝐷
⁄
−
1.256
𝑅𝑒√𝑓𝐷
) 
 
𝜀
𝐷
= 3.7 (
10−1
√4𝑥0,035
4
−
1.256
4304,87√4𝑥0,035
) = 0,17 
 
 
	Perdas maiores e o fator de atrito