10. Relatório de ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS ESTUDO DA PERDA DE CARGA E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DOS LEITOS [2014]

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
LABORATÓRIO DE FENÔMENOS DE TRANSPORTE (102224) 
 
ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: ESTUDO DA PERDA DE CARGA E 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DOS LEITOS 
 
 
 
Carlos Philipe Silva Rocha 
Júlio Cesar Dantas Silva 
Lucas Fernando Santos de Jesus 
Marcelo Diaz Nascimento 
Vinícius Fernandes Mendonça Dantas 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
FEVEREIRO DE 2014
 
 
 
 
 
ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: ESTUDO DA PERDA DE CARGA E 
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DOS LEITOS 
 
 
RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
 
Relatório referente ao experimento 
laboratorial conforme exigências da disciplina 
Laboratório de Fenômenos de Transporte, 
ministrada pelos professores Dr. Manoel 
Marcelo do Prado e Drª. Luanda Gimeno 
Marques. Todas as etapas desta prática foram 
realizadas por todos os integrantes do grupo. 
 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO – SE 
FEVEREIRO DE 2014 
 
 
RESUMO 
 
O estudo do escoamento em meios porosos é de fundamental importância para a 
compreensão de um dos mais importantes ramos dos Fenômenos de Transporte, que são 
os sistemas particulados. Uma imensa variedade de operações na indústria química 
necessita dela. No presente trabalho, foi realizado o estudo do escoamento em um meio 
poroso, avaliando tanto a operação em leito fixo, quanto em leito fluidizado. Os 
parâmetros do leito k e c foram calculados e comparados com os valores teóricos obtidos 
via equações de Ergun e Kozeny-Carmam. Assim, como foi feito a análise da variação da 
queda de pressão no leito em função da vazão, e obtido a velocidade de mínima 
fluidização a partir de tal análise. O valor encontrado experimentalmente se aproximou 
dos valores estimados por correlações, com um valor considerado de 0,023 m/s. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
OBJETIVOS ..................................................................................................................... 4 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................... 5 
1 - ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS .............................................................. 5 
1.1 - Equações da Continuidade e do movimento para o fluido ............................... 5 
1.2 - Definição da força resistiva .............................................................................. 7 
1.3 - Determinação da tensão extra .......................................................................... 8 
1.4 - Lei de Darcy e permeabilidade......................................................................... 8 
1.5 - Propriedades estruturais da matriz porosa ........................................................ 9 
1.6 - Definindo a superfície específica e porosidade .............................................. 10 
1.7 – Fluxo laminar através de um leito poroso fixo .............................................. 11 
1.8 - Cálculo da perda de carga no escoamento em meios porosos........................ 14 
1.9 - Fluxo turbulento através de um leito poroso fixo .......................................... 14 
1.10 – Equação de Ergun ........................................................................................ 14 
2 - FLUIDIZAÇÃO .................................................................................................... 15 
2.1- Comportamento Geral de sistemas fluidizados ............................................... 15 
2.2- Tipos de Fluidização ....................................................................................... 16 
2.3- Efeitos da velocidade do fluido no gradiente e queda de pressão ................... 16 
2.4 - Velocidade de mínima fluidização ................................................................. 18 
3 - PICNOMETRIA .................................................................................................... 19 
 
MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................................... 20 
TRATAMENTO DE DADOS ................................................................................... 22 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................... 23 
LEITO FIXO .............................................................................................................. 23 
LEITO FLUIDIZADO ............................................................................................... 28 
 
CONCLUSÃO ................................................................................................................ 34 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................... 35 
 
ANEXO A - Memorial de Cálculo ................................................................................ 36 
 
 
4 
 
OBJETIVOS 
 
Estudar o escoamento em um meio poroso tanto em leito fixo, como em leito 
fluidizado. Estimar os parâmetros k e c comparando-os com valores estimados pelas 
equações clássicas de Ergun e Kozeny-Carman. Determinar a velocidade de mínima 
fluidizarão e compará-la com os valores estimados pelas correlações de Wen-Yu e 
Richardson-Jeronimo. 
 
5 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
1 - ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS 
 
 O estudo do escoamento em meios porosos é de fundamental importância para a 
compreensão de um dos mais importantes ramos dos Fenômenos de Transporte, que são 
os sistemas particulados. Uma imensa variedade de operações na indústria química 
necessita dela. 
 O escoamento de um fluido pode ser classificado como viscoso ou não-viscoso. 
O escoamento invíscido é o qual os efeitos viscosos não influenciam significativamente 
no fluxo de fluido, por isso são negligenciados. Já escoamento viscoso é aquele que os 
efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser negligenciados. Analiticamente, 
pode-se modelar um escoamento invíscido simplesmente considerando a viscosidade 
nula. Contudo, experimentalmente não é tão simples, visto que todos fluidos possuem 
fluidos de interesse possuem viscosidade (Potter, Wiggert, Ramadan, 2011). 
 Há situações onde os efeitos da viscosidade podem ser ignorados, tais como 
quando a tensão de cisalhamento é pequena e atuando em pequenas áreas. 
 
1.1 - Equações da Continuidade e do movimento para o fluido 
 
 Adotaremos como base: as leis básicas de conservação, que formam o núcleo da 
Teoria de Transporte em misturas estabelecidas por C. Truesdell (1957) e generalizadas 
por P. Kelly (1964). 
 Para um meio poroso indeformável constituído de partículas fixas, a equação da 
continuidade e equação do movimento para o fluido, na forma integral, podem ser 
descritas como: 
 
∫
∂
∂tVR
(ερ)𝑑𝑉 + ∫ ρε𝑢. 𝑛𝑑𝑆 = 0
SR
 (1) 
 
∫ 𝜀𝜌𝑢
𝑉𝑅
𝑑𝑉 = ∫ 𝑇𝑛dS
𝑆𝑅
− ∫ 𝑚∗dV
𝑉𝑅
+ ∫ ερg
𝑉𝑅
dV (2) 
 
6 
 
onde 𝑆𝑅 e 𝑉𝑅 são respectivamente a superfície e o volume da região R que encerra a matriz 
porosa e fluido, ρ a densidade do fluido, ε a porosidade da matriz ou fração volumétrica 
ocupada pelo fluido, u a velocidade intersticial do fluido, T o tensor tensão que atua na 
fase fluida, 𝑚∗ a força exercida pelo fluido sobre a matriz porosa e g a intensidade do 
campo exterior (Massarani, 2002). 
 Sabendo que a velocidade superficial do fluido é dada por: 
 
q = ε𝑢 (3) 
 
e que a força resistiva é dada por: 
 
𝑚∗ = 𝑚 − (1 − ε)ρg (4) 
 
e ainda, a tensão que atua sobre o fluido no meio pode ser definida por: 
 
𝑇 = 𝑝1 + 𝜏 (5)sendo 𝜏 a tensão extra, pode-se redefinir as equações da continuidade e movimento, dadas, 
respectivamente por: 
 
𝜕
𝜕𝑡
(ερ) + 𝑑𝑖𝑣(ρq) = 0 (6) 
 
ερ [ 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (grad u)u] = −grad p − 𝑚 + div 𝜏 + ρg (7) 
 
 Para solucionar as equações acima, são sugeridas hipóteses simplificadoras 
pertinentes ao escoamento isotérmico de um fluido homogêneo através de meios 
indeformáveis. A força resistiva e a tensão extra são para o nosso sistema matriz porosa-
fluido função da velocidade superficial relativa, 
 
𝑚 = 𝑓(𝑞) (8) 
 
𝜏 = 𝐺(𝑞) (9) 
 
7 
 
sendo as funções f e G não inteiramente arbitrárias pois devem satisfazer a segunda lei da 
termodinâmica e o princípio da invariância às mudanças de referencial. Teoremas de 
representação para estas funções são conhecidos e conduzem aos resultados (Smith, 
1971): 
 
𝑚 = 𝛽(‖q‖)q (10) 
 
𝜏 = 𝛼1(‖q‖)1 + 𝛼2(‖q‖)q (11) 
 
sendo 𝛼1, 𝛼2 e 𝛽 são função do módulo da velocidade superficial. 
 
1.2 - Definição da força resistiva 
 
 Estudos oriundos de Henry Darcy (1856) até os tempos atuais definiu a força 
resistiva, dado por: 
 
𝑚 =
𝜇
𝑘
 [1 +
𝑐𝜌√𝑘‖𝑞‖
𝜇
] 𝑞 (12) 
 
onde µ é a viscosidade do fluido, k e c são, respectivamente, a permeabilidade do meio 
poroso e parâmetro adimensional. Esses parâmetros dependem apenas dos fatores 
estruturais do meio poroso. 
 
 A Equação 12 é válida para escoamentos viscosos em meios isotrópicos 
homogêneos ou heterogêneos, ou seja, meios em que k e c são constantes ou variáveis 
com a posição no sistema. Sendo válida também para sistemas não isotérmicos, 
verificando-se a variação da viscosidade e da densidade do fluido ao longo do escoamento 
(Massarani, 1969). 
 Para meios anisotrópicos, a lei de Darcy toma a forma: 
 
𝑚 = 𝜇𝑅𝑞 (14) 
 
onde R é o tensor resistividade (Ferrandon, 1948). 
 
8 
 
1.3 - Determinação da tensão extra 
 
 Na literatura atual, o conhecimento acerca da tensão extra τ é muito pouco. Para 
diversos experimentos a Equação 11 remete que 𝛼2 é praticamente nulo para fluidos 
newtonianos, e valores significativos para soluções poliméricas não-newtonianas 
(Massarani 2002). Logo a tensão extra será dada por: 
 
𝜏 = 𝛼1(‖q‖)1 (15) 
 
1.4 - Lei de Darcy e permeabilidade 
 
 O primeiro trabalho experimental sobre escoamento através de leitos granulados 
foi realizado por Darcy em 1830 quando ele examinou a taxa de escoamento de agua em 
mananciais através de leitos ou área de vários tamanhos. Foi percebido que a velocidade 
média, medida em toda área do leito, foi diretamente proporcional a pressão e 
inversamente proporcional a espessura do leito (Richardson et al., 2002). Esta relação 
clássica, muito conhecida como Lei de Darcy, vem sendo confirmada por muitos 
trabalhos e pode ser escrita da seguinte forma: 
 
𝑞𝑐 = 𝐶 (
−∆𝑃
𝐿
) (16) 
 
onde −∆𝑃 é a queda de pressão através do leito; L é o comprimento do leito; 𝑞𝑐 é a 
velocidade média do fluido, definido como (1/𝐴)(𝑑𝑉/𝑑𝑡); A é a área total do leito; V é 
o volume do fluido escoando por tempo t; C é a constante que depende das propriedades 
físicas do leito e do fluido. 
 A relação linear entre a taxa de escoamento e a diferença de pressão leva a supor 
que o escoamento é laminar. Isto é esperado, pois o número de Reynolds para escoamento 
através de espaços de poros num leito granular é baixo, uma vez que tanto velocidade do 
fluido quanto o comprimento da coluna são normalmente pequenos (Richardson et al., 
2002). A resistência ao fluxo, então, decorre principalmente do arrasto viscoso e pode 
ser expressa: 
𝑞 = 𝐶 (
−∆𝑃
𝐿
) = 𝑘
−∆𝑃
𝜇 𝐿
 (17) 
onde 𝜇 é a viscosidade do fluido e k é denominado coeficiente de permeabilidade para o 
leito, e depende somente das propriedades do mesmo. 
9 
 
1.4.1 - Equação de Darcy 
 
 Sendo a situação comum em que o meio poroso isotrópico e homogêneo é 
percolado por um fluido newtoniano. Resulta das equações (3), (7), (12) e (15): 
 
ερ [
1
3
∂q
∂t
+ (grad q)q] = −grad [p − 𝛼1(‖q‖)] − 𝑚 + ρg (18) 
 
para o caso em que o escoamento é uniforme, ou seja, quando o campo de velocidade q é 
uniforme, a equação do movimento (16) assume a forma: 
 
0 = −grad 𝑝 − 𝑚 + ρg (19) 
 
essa equação é conhecida como de Darcy e é utilizada para literatura sobre a 
fluidodinâmica em meios porosos (Scheidegger, 1963; Bear, 1972) 
 
1.5 - Propriedades estruturais da matriz porosa 
 
 Para o caso do experimento, faz-se necessário a determinação da porosidade, da 
permeabilidade, e o fator c. No caso da porosidade utilizaremos o método da picnometria, 
explica logo mais adiante. 
 
 A permeabilidade e o fator c são determinados experimentalmente, sendo regidos 
pela equação: 
 
−
𝑑𝑝
𝑑𝑧
=
µ𝑞
𝑘
+
𝑐𝜌𝑞2
√𝑘
 (20) 
 
 Para o escoamento em leito fixo, a equação pode ser simplificada (Coulson, 2002), 
dada por: 
 
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
µ𝑞
𝑘
 (21) 
 
Subsistiu-se q por 𝑢𝑐 e integra-se a Equação (18), dados os limites e equação por: 
 
10 
 
µ𝑢𝑐
𝑘
∫ 𝑑𝑧
𝑙
0
= ∫ 𝑑𝑃
𝑃2
𝑃1
 (22) 
 
(∆𝑃)
L 
=
µ
𝑘
𝑢𝑐 =
µ
𝑘
 𝑣 (23) 
 
sabendo que 𝑢𝑐 é definida como a velocidade média no leito (v). O valor da queda de 
pressão segue a equação para medição num manômetro em U, dada por: 
 
(∆𝑃) = (ρ𝑚 − ρ)g∆ℎ (24) 
 
 O valor do coeficiente de permeabilidade é frequentemente utilizado para dar uma 
indicação da facilidade com que um fluido vai fluir através de um leito de partículas ou 
um dispositivo de filtragem. 
 
1.6 - Definindo a superfície específica e porosidade 
 
 A estrutura geral de um leito de partículas pode geralmente ser caracterizada pela 
área específica da superfície do leito (𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 ou 𝑆𝑏) e pela porosidade do leito ε (Coulson 
e Richardson, 2002). Sendo 𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 é definida como a área de superfície do fluido por 
unidade de volume do leito, expressa em comprimento -1; ε é a fracção do volume do leito 
não ocupado por material sólido (porosidade), sendo adimensional; e A𝑝 a área superficial 
específica das partículas dividida pelo seu volume característico, expressa em 
comprimento -1. 
 Para uma esfera, por exemplo, pode-se determinar A𝑝 dada por: 
 
A𝑝 =
Acirc
Asuperficie da esfera
 (25) 
 
A𝑝 =
𝜋𝐷2
𝜋(𝑑3 6⁄ )
=
6
𝑑
 (26) 
 
 Pode-se perceber a partir da tabela 1 que a A𝑝 e 𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 não são iguais, devido à 
porosidade que se encontra presente quando as partículas são embaladas num leito. Se 
ocorrer contato com o ponto entre as partículas de modo que apenas uma fração muito 
11 
 
pequena da área de superfície é perdida por sobreposição, então define-se a correlação 
entre as áreas, dada por: 
 
𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜 = A𝑝(1 − 𝜀) (27) 
 
1.7 – Fluxo laminar através de um leito poroso fixo 
 
 Muitas tentativas têm sido feitas para obter expressões gerais para a queda de 
pressão e de velocidade de fluxo através de leitos empacotados em termos da porosidade 
e área específica, sabendo que estas quantidades são geralmente conhecidas ou podem ser 
facilmente mensuradas. Alternativamente, medições da queda de pressão, velocidade, e 
porosidade proporcionam uma maneira conveniente de medir a área superficial de certos 
materiais particulados (Coulson e Richardson, 2002).Para o fluxo através de uma torre empacotada circular, podemos descrever a 
velocidade pela seguinte equação: 
 
𝑢 =
𝑑𝑡
2
32𝜇
(−∆𝑃)
𝐿𝑡
 (28) 
 
sendo, µ a viscosidade do fluido, dt o diâmetro do tubo, Lt o comprimento do tubo, (-ΔP) 
a queda de pressão sentida. 
 
 Se o espaço livre no leito é assumido por ser constituído de uma série de canais 
tortuosos, equação (24) pode ser reescrita para a velocidade através de um leito como: 
 
𝑢1 =
𝑑𝑝
2
𝐾´µ
(−∆𝑃)
𝐿´
 (29) 
 
sendo: dp é um diâmetro equivalente dos canais dos poros; K´ é uma constante cujo valor 
adimensional depende da estrutura da leito; L´ é o comprimento do canal do poro, e u1 é 
a velocidade média através dos canais dos poros. 
 Pode-se correlacionar as Equações (23) e Equação (28) para determinarmos uma 
equação geral para todos os perfis de velocidade através do leito, dado por: 
 
12 
 
𝑢1 =
𝑢𝑐
ε
 (30) 
 
estudos comprovaram que essa Equação (26) só é válida para leito empacotados de forma 
aleatória, porém, não é válida para todas as estruturas desse tipo (Coulson e Richardson, 
2002). 
 Dessa forma, faz-se necessário determinar uma equação mais precisa, a partir da 
Equação (28) proposta por Kozeny (1927) e depois modificada por Carman (1956) 
propuseram a seguinte correlação: 
 
𝑑𝑝´ =
ε
𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜
=
ε
A𝑝(1−𝜀)
 (31) 
 
onde: 
 
ε
𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜
=
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎
=
á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜
 (32) 
 
 Como o diâmetro hidráulico médio é ser definido por: 
 
4 (
á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜
𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑙ℎ𝑎𝑑𝑜
) (33) 
 
logo, a Equação (31), torna-se: 
 
ε
𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜
=
1
4
 (diâmetro hidráulico médio) (34) 
 
então, a Equação (28) para todo e qualquer tipo de leito pode ser rescrita na forma: 
 
𝑢𝑐 =
1
𝛽
ε³
𝐴𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜
1
µ
(−∆𝑃)
𝐿
 (35) 
 
𝑢𝑐 =
1
𝛽
ε³
A𝑝²(1−𝜀)²
1
µ
(−∆𝑃)
𝐿
 (36) 
 
onde, 𝛽 é conhecida como a constante de Kozeny, que é determinada como 𝛽 =5, 
substituindo na Equação (35), tem-se: 
13 
 
 
𝑢𝑐 =
1
5
ε³
A𝑝²(1−𝜀)²
1
µ
(−∆𝑃)
𝐿
 (37) 
 
 A partir da Equação (35) pode-se determinar o valor da constante k, dado o regime 
experimental, e calculada a porosidade do meio e a velocidade média. Sendo: 
 
𝑘 =
(𝑑𝜙)2ε3
36𝛽(1−𝜀)²
 (38) 
 
 Segundo Massarani (2002) o valor recomendado do parâmetro 36𝛽 é 170 para 
partícula não esférica e 150 para esferas. 
 
 Para o caso de partículas esféricas, a partir da Equação (25), tem-se: 
 
𝑢𝑐 =
𝑑²
180
ε³
(1−𝜀)²
1
µ
(−∆𝑃)
𝐿
 (39) 
 
 Para o caso de partículas não esféricas deve-se utilizar a determinação do diâmetro 
médio de Sauter, dado por: 
 
𝐷𝑠̅̅ ̅ = (
𝑠𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑠
𝑠𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠
) =
∑ 𝑉𝑖
∑ 𝐴𝑖
 (40) 
 
 Antes de analisar o fluxo turbulento, faz-se necessário sabermos que o valor da 
constante c pode ser determina matematicamente por duas correlações (Massarani, 2002). 
O fator pode ser pode ser correlacionado por um adimensional Ω, dado por: 
 
𝑐 =
𝛺
𝜀3 2⁄
 (41) 
 
 A primeira correlação é de dada por Ergun (1952) para faixa de: 
 0,35 < ε < 0,50 
 10−6 < k < 10−4cm² 
 
logo o adimensional será constante, dado por: Ω = 0,14. 
14 
 
 A segunda correlação foi dada por Massarani (1952) para a faixa de: 
 0,15 < ε < 0,75 
 10−9 < k < 10−3cm² 
então: 
 
Ω = [0,13 (
𝑘0
𝑘
)
0,37
+ 0,10 (
𝑘0
𝑘
)
0,01
]
0,98
 (42) 
 
com k0 = 10
−6cm² 
 A Equação de Ergun (1952) é extensamente utilizada na literatura da Engenharia 
Química (Massarani, 2002). 
 
1.8 - Cálculo da perda de carga no escoamento em meios porosos 
 
 No escoamento unidirecional e incompressível, as Equações (12) e (17) levam à 
equação da perda de carga no meio poroso, dado por: 
 
(−∆P)
ρg
= (
WA̅̅ ̅̅ ̅
g
)
meio poroso
 (43) 
 
(
WA̅̅ ̅̅ ̅
g
)
meio poroso
=
L
ρg
[ 
µ
k
+
cρq
√k
] q (44) 
 
onde: L é o comprimento total do tubo; ρ é massa específica do líquido; µ é a viscosidade 
cinemática do fluido; c é uma constante e k é a permeabilidade do meio poroso. 
 
1.9 - Fluxo turbulento através de um leito poroso fixo 
 
 Para regimes turbulentos numa torre de leito poroso, o principal cálculo a ser feito 
é o número de Reynolds para o sistema particulado, dado por: 
 
𝑅𝑒 =
𝑢𝑐 
A𝑝(1−𝜀)
𝜌
µ
 (45) 
1.10 – Equação de Ergun 
 
15 
 
 Segundo Richard et al. (2002) “Quando o regime de escoamento está próximo ao 
ponto de fluidização o qual é fora do range de aplicação da correlação de Carman-Kozeny, 
é necessário usar uma equação geral para o gradiente de pressão no leito, tal como a de 
Ergun: 
−
∆𝑃
𝐿
= 150 (
(1−𝜀)2
𝜀3
) (
𝜇 
(𝑑𝜙)2
) 𝑣 + 1,75 (
(1−𝜀)
𝜀3
 ) (
𝜌
𝑑𝜙
) 𝑣2 (46) 
 Para calcular o parâmetro adimensional C, Ergun propôs a seguinte equação: 
𝐶 =
0,14
𝜀1,5
 (47) 
 
2 - FLUIDIZAÇÃO 
2.1- Comportamento Geral de sistemas fluidizados 
 Quando fluido passa para baixo através de um leito de sólidos, não ocorre 
movimento relativo entre as partículas, a não ser que a orientação das partículas seja 
instável, e quando o escoamento é laminar, a pressão através do leito é diretamente 
proporcional à taxa de escoamento, entretanto para altas taxas a queda de pressão aumenta 
mais rapidamente. Já quando um fluido escoa de forma ascendente através do leito, a 
queda de pressão é a mesma para taxas relativamente baixas. No entanto, quando a força 
de arrasto se torna igual ao peso aparente, que é o peso real menos a força de empuxo, as 
partículas se rearranjam assim oferecendo menor resistência para o fluido e o leito começa 
a se expandir com o correspondente aumento da porosidade. Este processo continua com 
o aumento da velocidade, com a força de atrito total permanecendo igual ao peso das 
partículas, até que o leito assume sua forma estável (“livres”) de empacotamento. Se 
velocidade é então aumentada, as partículas individualmente se separam uma da outra e 
se tornam livremente suportadas no fluido, nesta fase, então, o leito é descrito como 
fluidizado. Um maior aumento da velocidade causa uma separação ainda maior das 
partículas, embora a diferença de pressão permanece aproximadamente igual ao peso por 
unidade de área no leito. Na prática, a transição do leito fixo para o leito fluidizado não é 
uniforme principalmente devido a irregularidades no empacotamento e devido à faixa de 
velocidades, podem coexistir regiões de leito fixo e fluidizado (Richardson et al., 2002). 
 
16 
 
2.2- Tipos de Fluidização 
 A fludização pode ser dividida em dois tipos, em relação ao número de Froude 
(Fr): 
𝐹𝑟 =
𝑣𝑀𝐹
2
𝑔𝐷𝑝
 (48) 
Se Fr < 1 A fluidização é particulada (típica da fluidização com líquidos que 
devido a maior inércia do líquido e forças viscosas fazem a fluidização mais uniforme) 
Se Fr > A fludização é agregativa (típica da fluidização com gases, forma-se 
escoamento preferencial e bolsões de gás eclodem à superfície) 
 
2.3- Efeitos da velocidade dofluido no gradiente e queda de pressão 
Quando um fluido escoa lentamente ascendente através de um leito de partículas 
muito finas, o escoamento é laminar e a relação linear existente entre o gradiente de 
pressão e a vazão, como fora apresentado anteriormente. Caso plote-se um gráfico de 
(−∆𝑃/𝐿) em função da velocidade superficial (𝑣𝑐) usando escala logarítmica uma linha 
reta com unidade de inclinação é obtida, como apresentado na Figura 1 Como a 
velocidade superficial se aproxima da velocidade mínima de fluidização (𝑣𝑚𝑓), quando 
o leito começa a se expandir e quando as partículas não estão mais em contato físico entre 
elas, o leito está fluidizado. O gradiente de pressão então se torna mais baixo por causa 
do aumento da porosidade e, consequentemente, o peso das partículas por unidade de leito 
se torna menor. Esta queda continua até que a velocidade seja alta o suficiente para 
transportar material, e o gradiente de pressão então começa a crescer novamente por causa 
do atrito do fluido na parede do tubo começa a se tornar significante. Quando o leito é 
composto por partículas grandes, o fluxo será laminar somente para baixas velocidades e 
o coeficiente angular da curva (s) da parte inferior da curva será grande (1 < s < 2) e não 
deve ser constante, particularmente se há uma mudança progressiva no regime como a 
velocidade cresce (Richardson et al., 2002) 
17 
 
 
Figura 1 – Gradiente de pressão dentre de um leito em função da velocidade do fluido 
 
 
Figura 2 – Queda de pressão através de um leito fixo e fluidizado 
 
 Se pressão através do todo o leito é plotado em função da velocidade usando escala 
logarítmica, como apresentado na Figura 2, uma relação linear é obtida novamente até o 
ponto onde a expansão do leito começa (A), embora, o coeficiente angular da curva então 
gradualmente diminui quando o leito se expande e a porosidade cresce. A medida que a 
velocidade cresce, a queda de pressão passa através do valor máximo (B) e cai 
significativamente e alcança um valor aproximadamente constante, independe da 
velocidade (Região CD). Se a velocidade do fluido então é reduzida novamente, o leito 
contrai até atingir a condição onde as partículas estão apenas repousando uma sobre as 
outras (E). A porosidade então tem o valor máximo estável o qual pode ocorrer para um 
o leito fixo. Se a velocidade é mais uma vez decrescida, desde que o leito não sofra 
vibração, a estrutura do permanece inalterada. A queda de pressão (Região EF) através 
do reformado leito fixo a qualquer velocidade de fluido é, então, menor que a de antes da 
fluidização. Se a velocidade agora cresce novamente, é esperado que a curva (FE) seja 
refeita e que o coeficiente angular da reta passe repentinamente de 1 para 0 no ponto de 
18 
 
fluidização. Esta condição é complicada de reproduzir, contudo, porque os leitos tendem 
a se tornar consolidados novamente (Fixos), a menos que esteja completamente livre de 
vibração. Na ausência de canalização (escoamento preferencial), a forma e o tamanho das 
partículas que determinam tanto a máxima porosidade e a queda de pressão através de 
uma dada atura de leito fluidizado de uma dada profundidade. Num leito fluidizado ideal 
a queda de pressão correspondente a ECD é igual ao peso de flutuante de partículas por 
unidade de área. Na, prática, deve ser desviar-se sensivelmente a partir deste valor, como 
resultado a canalização e efeito de parede a partícula. O ponto B está acima de CD porque 
as forças de atrito entre as partículas têm que ser ultrapassadas antes do leito se rearranjar 
(Richardson et al., 2002). 
 
2.4 - Velocidade de mínima fluidização 
 A velocidade de mínima fluidização (𝑣𝑚𝑓), como já fora apresentada, é 
frequentemente utilizada em leito fluidizado para cálculos e em quantificação das 
propriedades das partículas (Perry et al., 2008). A correlação de Wen e Yu (Perry et al., 
2008) dada abaixo, pode ser utilizada para o cálculo do diâmetro de partícula 𝑑𝑝, como 
também para o cálculo da velocidade terminal (𝑣𝑚𝑓). Caso esta não possa ser determinada 
experimentalmente, usa-se a expressão abaixo: 
 
𝑅𝑒𝑚𝑓 = (1135,7 + 0.0408 𝐴𝑟)
0.5 − 33.7 (49) 
onde 𝑅𝑒𝑚𝑓 = 𝑑𝑠𝑣𝜌𝑓𝑣𝑚𝑓/𝜇 
𝐴𝑟 = 𝑑𝑠𝑣𝜌𝑓(𝜌𝑠 − 𝜌𝑓)𝑔/𝜇
2 
𝑑𝑠𝑣 = 1/ ∑ 𝑥𝑖/𝑑𝑝𝑖 
 
Outra equação utilizada para o calculo da velocidade terminal é a apresentada por 
Richardson e Jeronimo (1971): 
 
𝑅𝑒𝑚𝑓 = (25,7
2 + 0,0365𝐴𝑟)0,5 − 25,7 (50) 
 Sendo os parâmetros iguais aos já apresentados para a correlação de Wen e Yu. 
 
 
19 
 
3 - PICNOMETRIA 
 
Figura 3- Picnômetro. 
 
 
Nos métodos de densidade absoluta consistem na medição da massa de uma 
substância que ocupa um volume conhecido (ou vice-versa), o principal é o método da 
picnometria, que consiste na determinação bastante precisa de massa e volume de 
substâncias líquidas e sólidas. 
Essa determinação é feita usando-se um aparelho chamado de picnômetro. Ele é 
um recipiente de vidro com rolha esmerilhada, vazada por tubo capilar, que permite seu 
completo enchimento com líquidos. A capacidade volumétrica do instrumento é, 
portanto, facilmente determinada pela pesagem de um líquido tomado como padrão de 
densidade (geralmente água) na temperatura da operação. 
Para medir a densidade de um líquido, determina-se a massa necessária para 
encher completamente um picnômetro de volume conhecido. Os métodos de densidade 
relativa são baseados no princípio de Arquimedes, constituindo na medição (geralmente 
indireta) do efeito do empuxo, que é diretamente proporcional à massa de líquido 
deslocada por um corpo sólido imerso flutuante. 
 
20 
 
MATERIAIS E MÉTODOS 
 
 
O equipamento utilizado no procedimental experimental era composto por: 
 
• Reservatório de água (RA); 
• Bomba centrífuga (BC) de 12 CV; 
• Colunas de meio poroso para leito fixo (coluna 1) de diâmetro interno Di = 75 
mm e altura de 0,77 m, composto por uma massa de 4650 g de partículas de 
características indeterminadas; 
• Colunas de meio poroso para leito fixo de diâmetro interno Di = 75 mm e altura 
de 0,77 m, composto por uma massa de 3000 g de partículas de características 
indeterminadas; 
• Uma coluna de meio poroso para leito fluidizado (coluna 2) de diâmetro Di = 75 
mm e altura 77,5 cm; 
• Medidor de vazão tipo rotâmetro (MV); 
• Dois manômetros de tubo de vidro em U contendo clorofórmio colorido como 
fluido manométrico; 
• Válvula de regulagem de vazão (VR); 
• Válvulas de bloqueio de vazão (VB1, VB2 e VB3); 
• Painel elétrico; 
• Pedras com características não conhecidas. 
• 4 picnômetros; 
• Proveta com marcação de 500 ml; 
• Proveta com marcação de 100 ml; 
 
 
21 
 
O esquema representativo do aparato experimental esta apresentado abaixo na 
Figura 4. 
 
Figura 4 – Representação esquemática do experimento 
 
Com o equipamento ainda fora de operação, verificou-se que as válvulas VR, VB2 e 
VM² foram fechadas e apenas VB1 e VM1 permaneceram abertas, de modo a garantir 
que só houvesse fluxo de água na coluna de leito fixo, ainda com o equipamento fora de 
operação verificou-se o medidor de pressão acoplado na coluna, afim de anotar possíveis 
desníveis a serem considerados nos cálculos, com todas as precauções tomadas, colocou-
se o equipamento em operação, com medições de vazão iniciadas em 1 L/min, variando 
de 0,5 em 0,5 L/min até a vazão máxima de 5 L/min, sempre realizado a leitura do 
manômetro o qual fornecia o ΔH referente a cada variação. A vazão máxima foi de acordo 
com a altura alcançada no manômetro, de forma a evitar que o fluido manométrico não 
extravasasse danificandoo medidos e o experimento, com a vazão máxima alcançada foi 
realizado o processo inverso de modo a verificar se apresentava histerese, tomando os 
mesmos pontos de vazão anotados anteriormente Ao fim do procedimento, as válvulas 
VB1 e VM1 foram fechadas. Com o fim desta do experimento, seguiu-se para o estudo 
do leito fluidizado. Desta vez, as válvulas que permaneceram fechadas foram VR, VB1 e 
VM1 e as abertas VB2 e VM². Realizou-se o mesmo procedimento apresentado para o 
leito fixo, com uma variação de vazão menor de modo a descrever o processo de 
fluidização, com a vazão máxima alcançada de 9.5 L/min, foi realizado o mesmo 
procedimento para analisar se havia histerese. 
Após a análise do escoamento nas colunas, foram determinadas as porosidades dos 
leitos fixo e fluidizado. Para isso foi utilizada uma proveta, preenchida até a marca de 
1000 mL com areia de partículas maiores e, logo em seguida, uma proveta de 500 mL foi 
usada para adicionar água a proveta com as pedras, preenchendo assim os espaços vazios 
22 
 
até a marca de 1000 mL. No total, foram gastos 450 mL de água para preenchê-lo. O 
procedimento foi realizado novamente, mas agora com partículas menores de areia e com 
uma proveta de 500 mL para os sólidos. Nesse caso, 200 mL de água foram necessários. 
A etapa final consistiu na determinação do diâmetro das partículas de areia, para isso, 
foram contadas 100 pedras de areia das particulares maiores e 300 das partículas menores. 
Após a contagem, 2 picnômetros foram utilizados para realizar as pesagens. Primeiro os 
picnômetros foram pesados vazios e suas massas anotadas. Em seguida, foram 
preenchidos com as pedras de areia separadas anteriormente, 100 pedras em um e 300 no 
outro, e novamente foram pesados anotando mais uma vez a massa obtida. Com a massa 
aferida, foi a vez de preencher o espaço restante do picnômetro com água, obtendo assim 
a massa da areia e a água juntos. E por fim, a massa do picnômetro apenas com água. Este 
procedimento foi realizado em duplicata de modo a corrigir possíveis desvios na medição. 
 
 
TRATAMENTO DE DADOS 
Com os dados obtidos no procedimento experimental, realizou-se os cálculos e a 
obtenção dos gráficos referentes a discussão. A apresentação da sequência dos cálculos 
encontra-se em anexo. Os gráficos foram obtidos pelo programa Excel. 
 
23 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
LEITO FIXO 
 
Os dados obtidos no experimento são mostrados na Tabela 1. 
 
Tabela 1 – Dados obtidos do experimento 
Q 
(L/min) 
∆h (m) 
0 0,002 
1 0,099 
1,5 0,145 
2 0,208 
2,5 0,269 
3 0,350 
3,5 0,420 
4 0,527 
4,5 0,618 
5 0,746 
4,5 0,620 
4 0,535 
3,5 0,419 
3 0,350 
2,5 0,272 
2 0,211 
1,5 0,152 
1 0,103 
0 0,002 
 
Com os dados da Tabela 1, pode-se obter a velocidade média do fluido pela 
divisão da vazão pela área da coluna e a queda de pressão no leito por metro de coluna 
que é calculada a partir da Equação 21. Estes resultados são apresentados na Tabela 2. 
Como esperado pela lei de Darcy para o leito fixo, quanto maior a velocidade, maior foi 
a queda pressão encontrada, pois maior será o atrito do fluido contra as partículas sólidas. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Tabela 2 – Dados de queda de pressão e velocidade superficial no leito fixo 
v (m/s) ∆P/L (Pa/m) 
0,0000 11,80 
0,0038 584,34 
0,0057 855,86 
0,0075 1227,71 
0,0094 1587,76 
0,0113 2065,86 
0,0132 2479,03 
0,0151 3110,59 
0,0170 3647,72 
0,0189 4403,23 
 
v (m/s) ∆P/L (Pa/m) 
0,0189 4403,23 
0,0170 3659,52 
0,0151 3157,81 
0,0132 2473,13 
0,0113 2065,86 
0,0094 1605,47 
0,0075 1245,42 
0,0057 897,17 
0,0038 607,95 
0 11,80 
 
Com estes dados é possível estimar o coeficiente de permeabilidade (K), através de um 
ajuste linear a partir da lei de Darcy (Equação 17). Este ajuste é aplicado para região linear 
da curva é apresentado graficamente na Figura 5. É notável pelo gráfico que os dados 
ficaram bem ajustado e pelo coeficiente de correlação que foi de 0,999. O coeficiente de 
permeabilidade obtido foi de 4,52E-09 m². Este coeficiente também pode ser calculado 
pela correlação de Konenzy e Karman (Equação 38), utilizando a recomendação de 
Massarani (2002) para partículas não esféricas que é 36𝛽 = 170 e utilizando esfericidade 
de 0,289 a qual será apresentada posteriormente encontrou um coeficiente de 
permeabilidade de 4,797E-09 m². O desvio do experimental para o teórico foi de 5,81% 
e mostra que a correlação é muito boa quando se opera o leito na faixa linear. Além disso, 
pode-se afirmar que a recomendação de Massarani se mostrou confiável. 
 
 
25 
 
0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010
0
500
1000
1500
2000 Ida
 Volta
D
P/
L 
(P
a/
m
)
v (m/s)
 
Figura 5 - Gráfico para determinação do parâmetro K 
 
 
Com o ajuste não linear (Figura 6) dos dados Tabela 2 pode-se obter a seguinte 
expressão que descreve a queda de pressão em função da velocidade, os dados foram bem 
ajustados à curva, o que evidencia isto é o coeficiente de correlação R² que foi de 0,998. 
A equação obtida é apresentada abaixo: 
 
∆𝑃
𝐿
 = 5,98 ∙ 106𝑣2 + 1,15 ∙ 105𝑣 (50) 
 
Utilizando a Equação 50 e comprando com a 46 pode-se chegar a dois valores de 
esfericidade que é 0,288484 e 0,289271. Sendo que foi utilizada a média destes dois 
valores para estimar o K pela Equação de Darcy anteriormente (Equação 17). 
 
Com a integração da Equação 20 para fluido incompressível chega-se a seguinte 
expressão: 
(−∆𝑃)
𝐿
=
𝜇
𝑘
+
𝑐𝜌𝑓
√𝑘
𝑞2 (51) 
 
 A partir da Equação 51, comparando com a equação 50 obtêm-se os valores dos 
parâmetros k e c obtidos para a faixa não linear foram de 6,94E-09 e 0,501, 
respectivamente. Pela Equação de Ergun (Equação 47) foi estimado o valor do parâmetro 
c que foi de 0,434 o que representa um desvio de 13%, e evidencia que a correlação 
utilizada apresenta uma boa concordância com o experimental. 
26 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Ajuste da equação de Ergun 
 
 A permeabilidade obtida é apresentada na Tabela 3. Nela observa-se uma 
proximidade da permeabilidade experimental da calculada pela correlação de Carman-
Kozeny. A de Ergun foi a que se mostrou mais distante da experimental, visto que esta 
possui um range de aplicação maior que as outras que são aplicadas somente para a parte 
linear. 
Tabela 3 – Comparação entre as permeabilidades obtidas 
 
K experimental 
K (Carman - 
Kozeny) 
K (Ergun) 
 4,52E-09 4,80E-09 6,94E-09 
Desvio em 
relação ao 
experimental 
- 5,81% 41,07% 
 
27 
 
 
Figura 7 – Gráfico do Fator de atrito em função do número de Reynolds 
 
O fator de atrito deve diminuir com o aumento do número de Reynolds, pois o 
aumento de velocidade faz com que a influência viscosa do escoamento diminua em 
relação a influência inercial. Logo, o fator de atrito tende a diminuir com o aumento da 
velocidade. Logo, pode-se dizer que os resultados para o fator de atrito foram qualitativa 
e quantitavamente satisfatórios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
LEITO FLUIDIZADO 
 Na segunda parte do experimento, operação em leito fluidizado, foram obtidos os 
seguintes dados experimentais: 
 
Tabela 4 – Dados obtidos no experimento de leito fluidizado
Q 
(L/min) 
Δh (m) 
0 0 
0 0 
1 0,001 
1,5 0,0015 
2 0,002 
2,5 0,0025 
3 0,003 
3,5 0,0035 
4 0,004 
4,5 0,0045 
5 0,005 
5,5 0,0055 
6 0,006 
6,2 0,0062 
6,4 0,0064 
 
Q 
(L/min)Δh (m) 
6,5 0,0065 
6,6 0,0066 
6,7 0,0067 
6,8 0,0068 
7 0,007 
7,2 0,0072 
7,4 0,0074 
7,6 0,0076 
7,8 0,0078 
8 0,008 
8,5 0,0085 
9 0,009 
9,5 0,0095 
9 0,009 
8,5 0,0085 
 
Q 
(L/min) 
Δh (m) 
8 0,008 
7,5 0,0075 
7 0,007 
6,5 0,0065 
6 0,006 
5,5 0,0055 
5 0,005 
4,5 0,0045 
4 0,004 
3,5 0,0035 
3 0,003 
2,5 0,0025 
2 0,002 
1,5 0,0015 
1 0,001 
 
A Figura 8 mostra o gráfico da queda de pressão em função da vazão. Percebe-se 
que há histerese. Neste caso, isso ocorreu porque, na ida, as forças de atrito entre as 
partículas devem ser ultrapassadas antes do leito se rearranjar, para a condição de leito 
fluidizado ao retornar para fixo não é necessário vencer nenhuma força de atrito, pois 
neste casos o há um relaxamento do leito e o acoplamento. 
Segundo o gráfico da Figura 8, o 12º ponto é o que representa a mínima 
fluidização, o que mostra que a velocidade de mínima fluidização é de aproximadamente 
0,023 m/s, o que resultou em uma queda de pressão de aproximadamente 3645,80 Pa. 
Para análise deste resultado, o valor da velocidade de mínima fluidização foi estimada a 
partir das correlações de Richardson e Jeronimo (1976) e a Wen e Yu (1966) resultando 
em desvios relativos de 11,39% e 10,31%, respectivamente. A Tabela 5 mostra a 
comparação entre os valores da velocidade de mínima fluidização. A Figura 9 apresenta 
a relação da queda de pressão em relação à vazão em escala log-log. 
 
29 
 
 
Figura 8 – Gráfico da queda de pressão em função da vazão 
 
 
Figura 9 – Gráfico, em escala logarítmica, da queda de pressão em função da vazão 
 
Pode-se observar uma relação linear obtida até o ponto onde a expansão do leito 
começa, embora, o coeficiente angular da curva então gradualmente diminui quando o 
leito se expande e a porosidade cresce. A medida que a velocidade cresce, a queda de 
pressão passa através do valor máximo e cai significativamente e alcança um valor 
aproximadamente constante, independe da velocidade. Assim, pode-se dizer que o leito 
está fluidizado e que a vazão, até um certo valor, não causará mudanças na queda de 
pressão através do leito. Se a velocidade do fluido então é reduzida novamente, o leito 
contrai até atingir a condição onde as partículas estão apenas repousando uma sobre as 
30 
 
outras. A porosidade então tem o valor máximo estável o qual pode ocorrer para um leito 
fixo. Se a velocidade é mais uma vez decrescida, desde que o leito não sofra vibração, a 
estrutura porosa permanece então inalterada. 
Observa-se ainda que o caminho inverso da Figura 8 não corresponde ao de ida. 
Isso ocorre porque no caminho de ida o fluido precisa de uma força adicional (refletida 
em queda de pressão) para fluidizar as partículas, pois estas estão em repouso e além do 
atrito entre as próprias partículas, o atrito com a parede também contribuem para o 
aumento desse ΔP/L. No caminho inverso, não há nenhum motivo adicional que faça com 
que a queda de pressão seja momentaneamente elevada para que as partículas se 
reacomodem no leito. 
 
 Tabela 5 – Valores estimados da velocidade de mínima fluidização, em m/s 
𝑣𝑚𝑓 𝑣𝑚𝑓 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 Desvio do valor 
experimental (%) 
0,025 (W-Y) 
0,023 
10,31 
0,026 (R-J) 11,39 
 
 
 O que se observa na avaliação da avaliação da velocidade mínima de fluidização 
é que a baixas velocidades o fluido não possui força de arraste suficiente para se sobrepor 
a força da gravidade e fazer com que as partículas se movimentem. Porém, com o aumento 
da velocidade, o fluido tem alta força cinética e as forças de arrasto e empuxo superam a 
força da gravidade sobre as partículas do leito e esse se expande e se movimenta, ou seja, 
alcançou-se a velocidade de mínima fluidização. 
 Observou-se também o nível do leito durante o experimento, afim de verificar o 
momento em que o nível variou, ou seja, quando se iniciou a fluidização. Os valores da 
Tabela 6 apresentam os valores de nível do leito para cada vazão de operação e sua 
respectiva velocidade média. A partir desses dados, pode-se obter o gráfico da Figura 12, 
o qual mostra o perfil do nível do leito durante o experimento no caminho de elevação da 
vazão. 
 
 
 
Tabela 6 – Valores para a avaliação do nível do leito. 
31 
 
Q 
(L/min) 
v (m/s) 
L leito 
(m) 
0 0,0000 0,458 
1 0,0038 0,458 
1,5 0,0057 0,458 
2 0,0075 0,458 
2,5 0,0094 0,458 
3 0,0113 0,458 
3,5 0,0132 0,458 
4 0,0151 0,458 
4,5 0,0170 0,458 
5 0,0189 0,458 
5,5 0,0207 0,458 
6 0,0226 0,462 
6,2 0,0234 0,465 
6,4 0,0241 0,47 
6,5 0,0245 0,472 
6,6 0,0249 0,473 
6,7 0,0253 0,477 
6,8 0,0257 0,48 
7 0,0264 0,484 
7,2 0,0272 0,49 
7,4 0,0279 0,494 
7,6 0,0287 0,501 
7,8 0,0294 0,506 
Q 
(L/min) 
v (m/s) 
L leito 
(m) 
8 0,0302 0,51 
8,5 0,0321 0,519 
9 0,0340 0,528 
9,5 0,0358 0,535 
9 0,0340 0,528 
8,5 0,0321 0,519 
8 0,0302 0,51 
7,5 0,0283 0,498 
7 0,0264 0,484 
6,5 0,0245 0,472 
6 0,0226 0,46 
5,5 0,0207 0,46 
5 0,0189 0,459 
4,5 0,0170 0,458 
4 0,0151 0,458 
3,5 0,0132 0,458 
3 0,0113 0,458 
2,5 0,0094 0,458 
2 0,0075 0,458 
1,5 0,0057 0,458 
1 0,0038 0,458 
0 0,0000 0,458 
 
 Observa-se da Figura 10 que a velocidade para a mínima fluidização foi de 0,0226 
m/s, que foi a velocidade na qual o leito começou a subir. Essa velocidade se aproxima 
daquela obtida pelo gráfico da queda de pressão pela velocidade do fluido, que foi de 
0,023 m/s. Ou seja, obteve-se a mesma velocidade de mínima fluidização tanto pela 
análise da queda de pressão no leito, quanto pela visualização do nível do leito. 
 
32 
 
 
Figura 10 – Variação do nível do leito durante a operação. 
 
Observa-se um comportamento de aumento da força resistiva com o aumento de 
velocidade superficial para os casos de leito fixo e leito fluidizado nas Figuras 11 e 12, 
respectivamente. Isso é esperado para o caso de escoamento em meios porosos, pois o 
aumento na velocidade superficial faz com que o fluido sofra maior impedimento ao 
escoamento pelo meio. 
 
 
Figura 11 – Gráfico da força resistiva em função da velocidade superficial para o leito 
fixo. 
 
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
L 
(m
)
Velocidade (m/s) 
33 
 
 
Figura 12 – Gráfico da força resistiva em função da velocidade superficial para o leito 
fluidizado. 
 
34 
 
CONCLUSÃO 
 
 O estudo acerca dos meios porosos tem uma grande importância na Engenharia 
Química, pois este é aplicado desde a processos de separação, bem como a reatores 
catalíticos. 
 Neste presente trabalho foi possível estimar os parâmetros que caracterizam o leito 
fixo como a permeabilidade e o adimensional c. Os valores de permeabilidade calculados 
apresentaram desvios baixos, com exceção da equação de Ergun, que apresentou um 
desvio de 41%, isto pode ser explicado pelo seu range de aplicação que é maior que o de 
Konzeny-Carman. O valor do parâmetro c mostrou-se próximo o experimental e o obtido 
por correlação com desvio de 13%. 
 O estudo sobre leito fluidizado foi realizado, e com os dados obtidos na prática 
foi possível determinar a velocidade de mínima fluidização (graficamente) e se 
assemelhou muito com a obtida pela correlação de Richardson e Jeronimo, pela de Wen 
e Yu e pela visualização do nível do leito, obtendo-se um valor aproximado de 0,023 m/s. 
 
35 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Coulson, J. M.; Richardson, G. F. Chemical engineering. 3. ed. Oxford: Pergamon Press, 
1980. 814 p. 
Massarani, G. Fluidodinâmicaem sistemas particulados. 2. ed. Rio de Janeiro: E-papers, 
2002. 152 p. 
Perry, John H. Chemical engineers handbook. 8 ed. New York: McGraw-Hill, 2008. 
Richardson, J.F.; da S. Jerónimo, M.A. Velocity-voidage relations for sedimentation and 
fluidization. Chemical Engineering Science, 1979, v.34, p.1419-1422. 
 
36 
 
ANEXO A - Memorial de Cálculo 
Diâmetro de partícula 
 Para o recheio do leito fixo foi feito o cálculo do diâmetro de partícula, os dados 
do Picnômetro são: 
Tabela 6 –Massas obtidas do picnômetro com água e areia 
Massa do 
picnômetro 
Massa do picnômetro 
com água 
Massa do picnômetro com 
areia 
Massa do picnômetro com 
água e areia 
15,32 40,84 23,39 43,41 
 
Com isso obtém a massa de areia, que é a massa do picnômetro com areia menos 
a massa do picnômetro vazio. 
𝑚𝑎𝑟𝑒𝑖𝑎 = 23,39 − 15,32 = 8,07 𝑔 
Conhecendo-se a massa de areia pode-se calcular a massa da água presente junto 
com a areia no interior do picnômetro: 
𝑚 = 43,41 − 8,06 = 35,35 𝑔 
Se a esta for retirada a massa do picnômetro chega-se a massa de água presente no 
picnômetro. 
𝑚 = 35,35 − 15,32 = 20,03 𝑔 
Sabendo a temperatura da água no experimento (26ºC) tem-se a densidade a água 
que foi 995,7 kg/m³ (Potter et al., 2010), pode-se, então, calcular o volume de água 
contido no recipiente. 
𝑣 =
𝑚
𝜌
=
0,02002
995,7
= 2,01 ∙ 10−5 𝑚³ 
Então subtraindo este ao valor do volume do picnômetro que foi obtido pelo valor 
da massa de água que o preencheu completamente, tem-se o volume da areia que foi igual 
a: 
𝑉 =
(40,84 − 15,32)
1000 ∙ 995,7
− 2,01 ∙ 10−5 = 5,53 ∙ 10−6 𝑚³ 
 Como nessa analise utilizou-se 100 grãos, logo o volume do grão será a centésima 
parte deste e com este calcula-se o diâmetro que uma partícula esférica de mesmo volume, 
então: 
𝑉𝑝 =
𝜋
6
𝐷𝑝
3 
𝐷𝑝 = (
6
𝜋
𝑉𝑝)
1
3
 
 
𝐷𝑝 = 0,0047 𝑚 
37 
 
 
Permeabilidade e fator adimensional c 
Equação de Darcy 
 A partir dos dados coletados foi-se calculada a velocidade superficial v, da 
seguinte forma, para o primeiro ponto experimental (Q = 1 L/min): 
a) Conversão da vazão 
𝑄 (
𝑚3
𝑠
) = 
1
60000
𝑄 (
𝐿
𝑚𝑖𝑛
) =
1
60000
= 1,67 ∙ 10−5 𝑚3/𝑠 
b) Cálculo da velocidade superficial 
𝑣 =
4𝑄
𝜋𝐷²
=
4 ∙ 1,67𝐸 − 5
𝜋 0,075²
= 0,0038 𝑚/𝑠 
c) Cálculo da queda de pressão para o manômetro em U 
∆𝑃 = (𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝜌)𝑔∆ℎ = (1462 − 995,7) ∙ 9,81 ∙ 0,0099 = 45,29 𝑃𝑎 
∆𝑃
𝐿
= (𝜌𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝜌)𝑔∆ℎ =
(1462 − 995,7) ∙ 9,81 ∙ 0,099
0,775
= 584,34 𝑃𝑎/𝑚 
A partir dos passos b e c foi construída a Tabela 2. Com estes foi realizado um ajuste 
linear para 4 pontos (região linear da curva). E com isto foi obtido o coeficiente angular de 
177269,72 e este foi aplicado a equação de Darcy para obtenção da permeabilidade. 
∆𝑃
𝐿
= 177269,72 ∗ v 
𝐾 =
𝜇
177269,72
=
8,01 ∙ 10−4
177269,72
= 4,52 ∙ 10−9 𝑚² 
 
Equação de Ergun 
a) A partir da regressão 
Para a faixa não linear do gráfico de queda de pressão vs vazão, o ajuste polinomial 
da forma 
∆𝑷
𝑳
= 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣2 
Aplicado aos demais pontos forneceu a =115427,93 e b = 5982898,43, então para o 
cálculo do coeficiente k, temos: 
𝑎 =
𝜇
𝑘
 
38 
 
𝑘 =
𝜇
𝑎
=
8,01∙10−4
115427,93
= 6,94 ∙ 10−9 
Para o cálculo do parâmetro c: 
𝑏 =
𝑐𝜌
√𝑘
 
𝑐 =
𝑏√𝑘
𝜌
=
 5982898,43∙√6,94∙10−9
995,7
 = 0,50 
b) Relação simples 
𝑐 =
0,14
𝜀1,5
=
0,14
0,471,5
= 0,43 
Velocidade de mínima fludização (Dp = 0,002) 
Correlação de Wen e Yu 
 
Ar =
𝐷𝑝
3𝜌(𝜌𝑠 − 𝜌)𝑔
𝜇2
=
0,002 3 ∙ 995,7 (2598,51 − 995,7)9,81
(8,01 ∙ 10−4)2
= 205117,02 
Observação: No cálculo anterior, não recomenda-se o uso de calculadoras, pois pode 
haver truncamento do termo elevado ao cubo. A utilização de softwares como SciLab e 
Excel evitam tal problema. 
 
Re𝑚𝑓 = [33,7
2 + 0,0408 𝐴𝑟]0,5 − 33,7 = 63,79 
v𝑚𝑓 =
Re𝑚𝑓∙𝜇
𝜌∙𝐷𝑝
=
63,79∙8,01∙10−4
995,7∙0,002
≈ 0,025 𝑚 𝑠⁄ 
Correlação de Wen e Yu 
 
Re𝑚𝑓 = [25,7
2 + 0,0365 𝐴𝑟]0,5 − 25,7 = 64,56 
 v𝑚𝑓 =
Re𝑚𝑓∙𝜇
𝜌∙𝐷𝑝
=
64,56∙8,01∙10−4
995,7∙0,002
≈ 0,026 𝑚 𝑠⁄ 
 
 
 
 
 
 
	OBJETIVOS
	FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
	1 - ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS
	1.1 - Equações da Continuidade e do movimento para o fluido
	1.2 - Definição da força resistiva
	1.3 - Determinação da tensão extra
	1.4 - Lei de Darcy e permeabilidade
	1.4.1 - Equação de Darcy
	1.5 - Propriedades estruturais da matriz porosa
	1.6 - Definindo a superfície específica e porosidade
	1.7 – Fluxo laminar através de um leito poroso fixo
	1.8 - Cálculo da perda de carga no escoamento em meios porosos
	1.9 - Fluxo turbulento através de um leito poroso fixo
	1.10 – Equação de Ergun
	2 - FLUIDIZAÇÃO
	2.1- Comportamento Geral de sistemas fluidizados
	2.2- Tipos de Fluidização
	2.3- Efeitos da velocidade do fluido no gradiente e queda de pressão
	2.4 - Velocidade de mínima fluidização
	3 - PICNOMETRIA
	MATERIAIS E MÉTODOS
	TRATAMENTO DE DADOS
	RESULTADOS E DISCUSSÃO
	LEITO FIXO
	LEITO FLUIDIZADO
	CONCLUSÃO
	REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
	ANEXO A - Memorial de Cálculo