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UNIVESP - Portfólio - Cálculo II - Semana 5

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1 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 17 – EXERCÍCIO 3 
(a) Encontre o volume de uma região limitada pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 
e o plano 𝑧 = 0. 
Seja 𝐸 a região descrita acima. Como o paraboloide tem concavidade voltada para 
baixo, 𝑥 e 𝑦 assumem maiores valores quando 𝑧 = 0, então 𝑧 = 1− 𝑥2 − 𝑦2 ⇒ 𝑥2 +
𝑦2 = 1, ou seja, 𝑥 e 𝑦 variam entre −1 e 1. Se adotarmos 𝑥 como sendo a última 
variável a ser integrada, temos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⇒ 𝑦 = ± 1− 𝑥2 
O volume então é dado por: 
𝑉 𝐸 = 𝑑𝑧
1−𝑥2−𝑦2
0
𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
= 𝑧 𝑧=0
𝑧=1−𝑥2−𝑦2𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
 
= 1− 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
 
Utilizando coordenadas polares temos: 
𝑉 𝐸 = 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
= 𝑑𝜃 𝑟 − 𝑟3 𝑑𝑟
1
0
2𝜋
0
= 𝜃 𝜃=0
𝜃=2𝜋 
𝑟2
2
−
𝑟4
4
 
𝑟=0
𝑟=1
 
= 2𝜋 
1
2
−
1
4
 =
2𝜋
4
=
𝜋
2
 
Portanto, o volume de 𝐸 é 
𝜋
2
. 
 
(b) Expresse a integral iterada para calcular o valor médio da função 
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜋 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 nessa região. É possível calcular esse valor médio, 
mas as contas são tediosas apesar de simples a cada passo. 
1
𝑉 𝐸 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
𝐸
=
1
𝜋
2
 𝜋 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 𝑑𝑧
1−𝑥2−𝑦2
0
𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
𝑑𝑥
1
−1
 
= 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑧𝑑𝑧
1−𝑥2−𝑦2
0
 𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
 𝑑𝑥
1
−1
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
= 2 𝑥2 + 𝑦2 
𝑧2
2
 
𝑧=0
𝑧=1−𝑥2−𝑦2
𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
 𝑑𝑥
1
−1
 
= 2 
 𝑥2 + 𝑦2 1− 𝑥2 − 𝑦2 2
2
𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
 𝑑𝑥
1
−1
 
= 𝑥2 + 𝑦2 1− 𝑥2 − 𝑦2 2𝑑𝑦
 1−𝑥2
− 1−𝑥2
 𝑑𝑥
1
−1
 
Usando coordenadas polares temos: 
= 𝑟2 1− 𝑟2 2𝑟𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= 𝑟3 1− 2𝑟2 + 𝑟4 𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= 𝑟3 − 2𝑟5 + 𝑟7 𝑑𝑟
1
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
 
= 2𝜋 
1
4
−
1
3
+
1
8
 
=
𝜋
12
 
 
OBSERVAÇÃO: o exercício diferencia-se do próximo apenas no fator 𝜋 apresentado 
na função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . 
 
(c) Qual é o significado desse valor médio? 
É o valor médio da função 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 com domínio na região 𝐸. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 18 – EXERCÍCIO 3 
Use coordenadas cilíndricas para 
(a) Encontrar o volume de uma região limitada pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 
e o plano 𝑧 = 0. 
Temos 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 = 1 − 𝑥2 + 𝑦2 = 1− 𝑟2. Como 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 temos 
também 𝑟2 = 1 − 𝑧 ⇒ 𝑟 = 1 − 𝑧, logo 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. E o paraboloide ocupa os 
quatro octantes superiores, logo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
𝑉 𝐸 = 𝑑𝑧
1−𝑟2
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑟𝑑𝑟
1
0
= 𝑧 𝑧=0
𝑧=1−𝑟2𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑟𝑑𝑟
1
0
= 1− 𝑟2 𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑟𝑑𝑟
1
0
 
= 𝑑𝜃
2𝜋
0
 𝑟 − 𝑟3 𝑑𝑟
1
0
= 2𝜋 
𝑟2
2
−
𝑟4
4
 
𝑟=0
𝑟=1
= 2𝜋 
1
2
−
1
4
 =
𝜋
2
 
 
 (b) Calcular o valor médio da função 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 nessa região. 
𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 ⇒ 𝑓 𝑟,𝜃, 𝑧 = 𝑟2𝑧 
𝑓𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑉 𝐸 
 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
𝐸
=
2
𝜋
 𝑟2𝑧𝑑𝑧
1−𝑟2
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑟𝑑𝑟
1
0
 
=
2
𝜋
 𝑟3 𝑧𝑑𝑧
1−𝑟2
0
𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑑𝑟
1
0
=
2
𝜋
 𝑟3 
𝑧2
2
 
𝑧=0
𝑧=1−𝑟2
𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑑𝑟
1
0
 
=
2
𝜋
 𝑟3 
 1− 𝑟2 2
2
𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑑𝑟
1
0
=
1
𝜋
 𝑑𝜃
2𝜋
0
 𝑟3 1− 2𝑟2 + 𝑟4 𝑑𝑟
1
0
 
=
1
𝜋
 𝑑𝜃
2𝜋
0
 𝑟3 − 2𝑟5 + 𝑟7 𝑑𝑟
1
0
=
1
𝜋
. 2𝜋 
𝑟4
4
−
𝑟6
3
+
𝑟8
8
 
𝑟=0
𝑟=1
 
= 2 
1
4
−
1
3
+
1
8
 = 2.
1
24
=
1
12
 
Portanto, o valor médio da função é 
1
12
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 19 – EXERCÍCIO 3 
Calcule o valor da seguinte integral tripla: 
𝐼 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑒− 𝑥
2+𝑦2+𝑧2 𝑑𝑥
∞
−∞
𝑑𝑦
∞
−∞
𝑑𝑧
∞
−∞
 
 
Usando coordenadas esféricas a integral fica: 
I = ρ e−ρ
2
ρ2 senφ dρ
∞
0
dφ
π
0
dθ
2π
0
 
= lim
R→∞
 ρ e−ρ
2
ρ2 senφdρ
R
0
dφ
π
0
dθ
2π
0
 
= lim
R→∞
 dθ
2π
0
 senφdφ
π
0
 ρ e−ρ
2
ρ2dρ
R
0
 
 
Calculando a última integra separadamente temos: 
 
(i) ρ e−ρ
2
dρ. Fazendo 𝑢 = −𝜌2, 𝑑𝑢 = −2𝜌𝑑𝜌 ⇒ 𝜌𝑑𝜌 = −
1
2
𝑑𝑢 
 ρ e−ρ
2
dρ = −
1
2
 𝑒𝑢𝑑𝑢 = −
1
2
𝑒−𝜌
2
 
 
(ii) ρ e−ρ
2
ρ2dρ
R
0
. Fazendo 𝑢 = 𝜌2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝜌𝑑𝜌 e 𝑑𝑣 = 𝜌𝑒−𝜌
2
𝑑𝜌⇒ 
(𝑖)
𝑣 = −
1
2
𝑒−𝜌
2
. 
Usando a integração por partes temos: 
 ρ e−ρ
2
ρ2dρ = 𝜌2. −
1
2
𝑒−𝜌
2
 − −
1
2
𝑒−𝜌
2
 2𝜌𝑑𝜌 
= −
𝜌2𝑒−𝜌
2
2
+ 𝑒−𝜌
2
𝜌𝑑𝜌= 
 i 
−
𝜌2𝑒−𝜌
2
2
−
1
2
𝑒−𝜌
2
 
=
−𝜌2𝑒−𝜌
2
− 𝑒−𝜌
2
2
=
−𝑒−𝜌
2
 𝜌2 + 1 
2
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
5 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
𝐼 = lim
R→∞
 dθ
2π
0
 senφ dφ
π
0
 ρ e−ρ
2
ρ2dρ
R
0
 
usando (ii) = lim
R→∞
 2π 2 
−𝑒−𝜌
2
 𝜌2 + 1 
2
 
ρ=0
ρ=R
 
= 4𝜋 lim
R→∞
 
−𝑒−𝑅
2
 𝑅2 + 1 
2
+
𝑒0
2
 
= 2𝜋 lim
R→∞
 −𝑒−𝑅
2
 𝑅2 + 1 + 1 
= 2𝜋 lim
R→∞
 −𝑅2𝑒−𝑅
2
− 𝑒−𝑅
2
+ 1 
 
Quando 𝑅 → ∞ temos que 𝑒−𝑅
2
→ 0 e usando as regras de L’Hospital vemos que 
também 𝑅2𝑒−𝑅
2
→ 0. Logo: 
 
𝐼 = 2𝜋 lim
R→∞
 −𝑅2𝑒−𝑅
2
− 𝑒−𝑅
2
+ 1 = 2𝜋 −0 − 0 + 1 = 2π 
 
Portanto, 𝐼 = 2π. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 20 – EXERCÍCIO 3 
No instante 𝑡 = 1, uma partícula está na posição 1,3 . Se ela se move no 
campo vetorial de velocidade 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 2 𝑖 + 𝑦2 − 10 𝑗 encontre a sua 
posição aproximada em no instante 𝑡 = 1,05. 
No instante 𝑡 = 1 a velocidade da partícula é: 
𝐹 1,3 = 𝑖 − 𝑗 = 1,−1 
Após 0,05 a partícula moveu-se aproximadamente 
0,05.𝐹 1,3 = 0,05 ;−0,05 
Portanto a partícula estará aproximadamente no ponto 
 1,3 + 0,05 ;−0,05 = 1,05 ; 2,95 
no instante 𝑡 = 1,05.

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