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1 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 17 – EXERCÍCIO 3 (a) Encontre o volume de uma região limitada pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑧 = 0. Seja 𝐸 a região descrita acima. Como o paraboloide tem concavidade voltada para baixo, 𝑥 e 𝑦 assumem maiores valores quando 𝑧 = 0, então 𝑧 = 1− 𝑥2 − 𝑦2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 1, ou seja, 𝑥 e 𝑦 variam entre −1 e 1. Se adotarmos 𝑥 como sendo a última variável a ser integrada, temos: 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ⇒ 𝑦 = ± 1− 𝑥2 O volume então é dado por: 𝑉 𝐸 = 𝑑𝑧 1−𝑥2−𝑦2 0 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 𝑧 𝑧=0 𝑧=1−𝑥2−𝑦2𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 1− 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 Utilizando coordenadas polares temos: 𝑉 𝐸 = 1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 𝑑𝜃 𝑟 − 𝑟3 𝑑𝑟 1 0 2𝜋 0 = 𝜃 𝜃=0 𝜃=2𝜋 𝑟2 2 − 𝑟4 4 𝑟=0 𝑟=1 = 2𝜋 1 2 − 1 4 = 2𝜋 4 = 𝜋 2 Portanto, o volume de 𝐸 é 𝜋 2 . (b) Expresse a integral iterada para calcular o valor médio da função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜋 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 nessa região. É possível calcular esse valor médio, mas as contas são tediosas apesar de simples a cada passo. 1 𝑉 𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝐸 = 1 𝜋 2 𝜋 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 𝑑𝑧 1−𝑥2−𝑦2 0 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑧𝑑𝑧 1−𝑥2−𝑦2 0 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 2 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires = 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑧2 2 𝑧=0 𝑧=1−𝑥2−𝑦2 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 2 𝑥2 + 𝑦2 1− 𝑥2 − 𝑦2 2 2 𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 = 𝑥2 + 𝑦2 1− 𝑥2 − 𝑦2 2𝑑𝑦 1−𝑥2 − 1−𝑥2 𝑑𝑥 1 −1 Usando coordenadas polares temos: = 𝑟2 1− 𝑟2 2𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 𝑟3 1− 2𝑟2 + 𝑟4 𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 𝑟3 − 2𝑟5 + 𝑟7 𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 2𝜋 1 4 − 1 3 + 1 8 = 𝜋 12 OBSERVAÇÃO: o exercício diferencia-se do próximo apenas no fator 𝜋 apresentado na função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . (c) Qual é o significado desse valor médio? É o valor médio da função 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 com domínio na região 𝐸. 3 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 18 – EXERCÍCIO 3 Use coordenadas cilíndricas para (a) Encontrar o volume de uma região limitada pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑧 = 0. Temos 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 = 1 − 𝑥2 + 𝑦2 = 1− 𝑟2. Como 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 temos também 𝑟2 = 1 − 𝑧 ⇒ 𝑟 = 1 − 𝑧, logo 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. E o paraboloide ocupa os quatro octantes superiores, logo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 𝑉 𝐸 = 𝑑𝑧 1−𝑟2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 = 𝑧 𝑧=0 𝑧=1−𝑟2𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 = 1− 𝑟2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 = 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟 − 𝑟3 𝑑𝑟 1 0 = 2𝜋 𝑟2 2 − 𝑟4 4 𝑟=0 𝑟=1 = 2𝜋 1 2 − 1 4 = 𝜋 2 (b) Calcular o valor médio da função 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 nessa região. 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 ⇒ 𝑓 𝑟,𝜃, 𝑧 = 𝑟2𝑧 𝑓𝑚𝑒𝑑 = 1 𝑉 𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝐸 = 2 𝜋 𝑟2𝑧𝑑𝑧 1−𝑟2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟𝑑𝑟 1 0 = 2 𝜋 𝑟3 𝑧𝑑𝑧 1−𝑟2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝑟 1 0 = 2 𝜋 𝑟3 𝑧2 2 𝑧=0 𝑧=1−𝑟2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝑟 1 0 = 2 𝜋 𝑟3 1− 𝑟2 2 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑑𝑟 1 0 = 1 𝜋 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟3 1− 2𝑟2 + 𝑟4 𝑑𝑟 1 0 = 1 𝜋 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟3 − 2𝑟5 + 𝑟7 𝑑𝑟 1 0 = 1 𝜋 . 2𝜋 𝑟4 4 − 𝑟6 3 + 𝑟8 8 𝑟=0 𝑟=1 = 2 1 4 − 1 3 + 1 8 = 2. 1 24 = 1 12 Portanto, o valor médio da função é 1 12 . 4 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 19 – EXERCÍCIO 3 Calcule o valor da seguinte integral tripla: 𝐼 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑒− 𝑥 2+𝑦2+𝑧2 𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝑑𝑦 ∞ −∞ 𝑑𝑧 ∞ −∞ Usando coordenadas esféricas a integral fica: I = ρ e−ρ 2 ρ2 senφ dρ ∞ 0 dφ π 0 dθ 2π 0 = lim R→∞ ρ e−ρ 2 ρ2 senφdρ R 0 dφ π 0 dθ 2π 0 = lim R→∞ dθ 2π 0 senφdφ π 0 ρ e−ρ 2 ρ2dρ R 0 Calculando a última integra separadamente temos: (i) ρ e−ρ 2 dρ. Fazendo 𝑢 = −𝜌2, 𝑑𝑢 = −2𝜌𝑑𝜌 ⇒ 𝜌𝑑𝜌 = − 1 2 𝑑𝑢 ρ e−ρ 2 dρ = − 1 2 𝑒𝑢𝑑𝑢 = − 1 2 𝑒−𝜌 2 (ii) ρ e−ρ 2 ρ2dρ R 0 . Fazendo 𝑢 = 𝜌2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝜌𝑑𝜌 e 𝑑𝑣 = 𝜌𝑒−𝜌 2 𝑑𝜌⇒ (𝑖) 𝑣 = − 1 2 𝑒−𝜌 2 . Usando a integração por partes temos: ρ e−ρ 2 ρ2dρ = 𝜌2. − 1 2 𝑒−𝜌 2 − − 1 2 𝑒−𝜌 2 2𝜌𝑑𝜌 = − 𝜌2𝑒−𝜌 2 2 + 𝑒−𝜌 2 𝜌𝑑𝜌= i − 𝜌2𝑒−𝜌 2 2 − 1 2 𝑒−𝜌 2 = −𝜌2𝑒−𝜌 2 − 𝑒−𝜌 2 2 = −𝑒−𝜌 2 𝜌2 + 1 2 Logo: 5 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires 𝐼 = lim R→∞ dθ 2π 0 senφ dφ π 0 ρ e−ρ 2 ρ2dρ R 0 usando (ii) = lim R→∞ 2π 2 −𝑒−𝜌 2 𝜌2 + 1 2 ρ=0 ρ=R = 4𝜋 lim R→∞ −𝑒−𝑅 2 𝑅2 + 1 2 + 𝑒0 2 = 2𝜋 lim R→∞ −𝑒−𝑅 2 𝑅2 + 1 + 1 = 2𝜋 lim R→∞ −𝑅2𝑒−𝑅 2 − 𝑒−𝑅 2 + 1 Quando 𝑅 → ∞ temos que 𝑒−𝑅 2 → 0 e usando as regras de L’Hospital vemos que também 𝑅2𝑒−𝑅 2 → 0. Logo: 𝐼 = 2𝜋 lim R→∞ −𝑅2𝑒−𝑅 2 − 𝑒−𝑅 2 + 1 = 2𝜋 −0 − 0 + 1 = 2π Portanto, 𝐼 = 2π. 6 PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 4º BIMESTRE Willians Freire Pires AULA 20 – EXERCÍCIO 3 No instante 𝑡 = 1, uma partícula está na posição 1,3 . Se ela se move no campo vetorial de velocidade 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 2 𝑖 + 𝑦2 − 10 𝑗 encontre a sua posição aproximada em no instante 𝑡 = 1,05. No instante 𝑡 = 1 a velocidade da partícula é: 𝐹 1,3 = 𝑖 − 𝑗 = 1,−1 Após 0,05 a partícula moveu-se aproximadamente 0,05.𝐹 1,3 = 0,05 ;−0,05 Portanto a partícula estará aproximadamente no ponto 1,3 + 0,05 ;−0,05 = 1,05 ; 2,95 no instante 𝑡 = 1,05.
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