UNIVESP - Portfólio - Cálculo II - Semana 1

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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 1 – EXERCÍCIO 3: Considere as equações p/ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3: 
𝑥2 + 𝑦2 = 9, 𝑦 + 𝑧 = 2 
Um círculo no plano Cartesiano 𝑥𝑦, isto é, um cilindro em ℝ3 e um plano que o 
corta. Vimos na vídeo aula que o conjunto solução dessas equações é a curva 
paramétrica: 
𝑣 𝑡 = 3 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡 , 2 − 3 sen 𝑡 
Encontre, se existir(em), o(s) ponto(s) dessa curva de maior distância à origem. 
 
A distância entre um ponto da curva 𝑣 𝑡 e a origem 0,0,0 é dada por: 
𝑑 = 3 cos 𝑡 − 0 2 + 3 sen 𝑡 − 0 2 + 2 − 3 sen 𝑡 − 0 2 
= 3 cos 𝑡 2 + 3 sen 𝑡 2 + 2 − 3 sen 𝑡 2 
= 9 cos2 𝑡 + 9sen2 𝑡 + 4 − 12 sen 𝑡 + 9 sen2 𝑡2 
= 9 cos2 𝑡 + sen2 𝑡 + 4 − 12 sen 𝑡 + 9 sen2 𝑡 
= 9 + 4 − 12 sen 𝑡 + 9 sen2 𝑡 
= 13 − 12 sen 𝑡 + 9 sen2 𝑡 
Como a função seno é periódica e seu valor máximo é 1, o maior valor possível para a 
expressão se dá quando sen 𝑡 = −1, pois a parcela negativa −12 sen 𝑡 torna-se 
máxima, logo o valor máximo para a distância 𝑑 é: 
𝑑 = 13 − 12 −1 + 9 −1 2 
= 13 + 12 + 9 
= 34 
Para obter essa distância usamos sen 𝑡 = −1, logo no intervalo 0,2𝜋 devemos ter 
𝑡 =
3𝜋
2
. Então o ponto mais distante da origem é: 
 3 cos
3𝜋
2
, 3 sen
3𝜋
2
, 2 − 3 sen
3𝜋
2
 = 3.0, 3 −1 , 2 − 3 −1 = 0, −3,5 
Portanto, o ponto da curva de maior distância à origem é 0, −3, 5 . 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 2 – EXERCÍCIO 3: Se 𝑣 𝑡 ≠ 0 é uma função vetorial diferenciável 
mostre que 
𝑑
𝑑𝑡
 
1
 𝑣 𝑡 
 = −
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 3
 
 
Primeiramente vamos lembrar que 
 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
Vamos calcular também a seguinte derivada utilizando a regra da cadeia e a derivada do 
produto: 
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
′
=
1
2
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
−
1
2 𝑣 ′ 𝑡 . 𝑣 𝑡 + 𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
=
1.2. 𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
2 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
1
2
 
=
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
1
2
 
Calculando a derivada que se pede usando a regra do quociente: 
𝑑
𝑑𝑡
 
1
 𝑣 𝑡 
 =
0. 𝑣 𝑡 − 1. 𝑣 𝑡 ′
 𝑣 𝑡 2
 
=
0 − 1. 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
′
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
2 
= −
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
1
2
.
1
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
 
= −
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 . 𝑣 𝑡 
3
2
 
= −
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 2 
3
2
 
= −
𝑣 𝑡 . 𝑣 ′ 𝑡 
 𝑣 𝑡 3
 
∎ 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 3 – EXERCÍCIO 3: Obtenha a curvatura da curva dada por 
𝑠 𝑡 = 5𝑡, 3 sen 𝑡 , 2 cos 𝑡 
 
Utilizaremos da seguinte fórmula para o cálculo de 𝑘, que se encontra no livro Cálculo 
Vol.2 – James Stewart – 5ª edição – página 864 – Teorema 10. 
𝑘 =
 𝑠 ′ 𝑡 × 𝑠 ′′ 𝑡 
 𝑠 ′ 𝑡 3
 
 
 
𝑠 ′ 𝑡 = 5, 3 cos 𝑡 , −2 sen 𝑡 
 
 
 𝑠 ′ 𝑡 = 52 + 3 cos 𝑡 2 + −2 sen 𝑡 2 
= 25 + 9 cos2 t + 4 sen2 t 
= 25 + 5 cos2 t + 4 cos2 t + 4 sen2 t 
= 25 + 5 cos2 t + 4 cos2 t + sen2 t 
= 25 + 5 cos2 t + 4 
= 29 + 5 cos2 t 
 
 
𝑠 ′′ 𝑡 = 0, −3 sen 𝑡 , −2 cos 𝑡 
 
 
𝑠 ′ 𝑡 × 𝑠 ′′ 𝑡 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
5 3 cos 𝑡 −2 sen 𝑡
0 −3 sen 𝑡 −2 cos 𝑡
 
= −6𝑖 cos2 𝑡 − 15𝑘 sen 𝑡 − 6𝑖 sen2 𝑡 + 10𝑗 cos 𝑡 
= −6𝑖 cos2 𝑡 + sen2 𝑡 + 10𝑗 cos 𝑡 − 15𝑘 sen 𝑡 
= −6𝑖 + 10𝑗 cos 𝑡 − 15𝑘 sen 𝑡 
= −6, 10 cos 𝑡 , −15 sen 𝑡 
 
 
 
 
 
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PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 𝑠 ′ 𝑡 × 𝑠 ′′ 𝑡 = −6 2 + 10 cos 𝑡 2 + −15 sen 𝑡 2 
= 36 + 100 cos2 𝑡 + 225 sen2 𝑡 
= 36 + 100 cos2 𝑡 + 100 sen2 𝑡 + 125 sen2 𝑡 
= 36 + 100 cos2 𝑡 + sen2 𝑡 + 125 sen2 𝑡 
= 136 + 125 sen2 𝑡 
 
𝑘 =
 𝑠 ′ 𝑡 × 𝑠 ′′ 𝑡 
 𝑠 ′ 𝑡 3
=
 136 + 125 sen2 𝑡
 29 + 5 cos2 t 
3 
 
Portanto, a curvatura é dada por 𝑘 =
 136+125 sen 2 𝑡
 29+5 cos 2 t 
3 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
PORTFÓLIO DA DISCIPLINA: CÁLCULO II 
4º BIMESTRE 
Willians Freire Pires 
 
AULA 4 – EXERCÍCIO 3: Obtenha e represente graficamente duas curvas de 
nível para a função 
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 𝑥 + 𝑦 
Explicite também o domínio e a imagem dessa função. 
 
Curva 𝑧 = 0 ⇒ ln 𝑥 + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = − ln 𝑥 
Curva 𝑧 = 1 ⇒ ln 𝑥 + 𝑦 = 1 ⇒ 𝑦 = 1 − ln 𝑥 
 
Note que ln 𝑥 está definida para todo 𝑥 > 0, como y é qualquer, o domínio será o 
semiplano à direita do eixo Oy. Logo 𝐷 𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 | 𝑥 > 0 . 
 
A função ln 𝑥 tem imagem positiva e 𝑦 pode ser qualquer, logo a soma ln 𝑥 + 𝑦 pode 
admitir qualquer resultado. Logo 𝐼𝑚 𝑓 = ℝ.