AULA-09
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Aula 9: Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes 
Curso de Física Geral III 
 F-328 
1º semestre, 2014 
1 F328 \u2013 1S20124 1 
Campo de uma carga em movimento 
,\u2c62r
rvqkB m
×=
!!
),(planoaolarperpendicué vrB !!
!
( )vr
r
vqB !!,sen,1,, 2\u3b1
São observações experimentais: 
Condensando estas informações em forma vetorial: 
 onde km = 10-7 T.m/A 
km pode ser escrita em termos de outra constante : ,4
0
\u3c0
µ=mk
onde é a permeabilidade do vácuo. 
B
!
A
mT104 70
\u22c5×= \u2212\u3c0µ
q 
Uma carga q move-se com velocidade . v!
F328 \u2013 1S20124 2 
Campo de uma corrente 
2
0 \u2c6
4 r
rvdqBd ×=
!!
\u3c0
µ
dtvlddt
idtdq
dt
dqi
!!=
=\u21d2=
percorrecargaaem
,\u2c6
4 2
0
r
rlidBd ×=
!
!
\u3c0
µ
B
!
Campo de dq com velocidade : 
Mas: 
Então: (Lei de Biot-Savart) 
onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, 
e é um vetor que vai de até o ponto P. 
ld
!
lid
!
r!
i 
P 
v!
F328 \u2013 1S20124 3 
 Campo num ponto P qualquer 
\u222b
×=
C r
rlidB 2
0 \u2c6
4
!
!
\u3c0
µ (Lei de 
Biot-Savart) 
2
\u2c6
4 r
rlidBd o ×=
!
!
\u3c0
µ
B
!
x 
z 
lid
!
P 
r!
\u2297 Bd
!
y 
C 
\u3b8
Analogia com o campo elétrico 
r
r
dqr
r
dqEd !
!
3
0
2
0 4
1\u2c6
4
1
\u3c0\u3b5\u3c0\u3b5
==
distribuição 
 de carga 
Ed
!
produzido por uma carga dq: 
r!
Módulo de : B
!
\u222b=
C r
idlB 2
0 sen
4
\u3b8
\u3c0
µ
F328 \u2013 1S20124 4 
 Campo magnético de um fio retilíneo 
== 2
sen
4 r
dzidB o \u3b8
\u3c0
µ
\u3b2\u3b2 222 cosecsen Rr
r
R =\u21d2=
 Integrando-se: 
=\u2212= \u222b \u3b2\u3b2\u3c0
µ
\u3c0
d
R
iB sen
2
0
2
0
\u3b2\u3b2\u3b2 dRdz
R
z 2coseccotg \u2212=\u2192=
R
iB
\u3c0
µ
4
0= (fio semi-
infinito) 
R
i
\u3c0
µ
2
0
 Neste caso, a lei de Biot-Savart 34 r
rlidBd o
!!! ×=
\u3c0
µ
Mas: 
se reduz a: 
Sentido do campo : dado pela regra 
da mão direita ou regra do saca-rolhas 
 (ver figura) 
B
!
i 
B
!
2
sen
4 r
dzio \u3b2
\u3c0
µ ( ) \u3b2\u3b8\u3b8\u3c0\u3b2 sensen- =\u2234=
r!
\u3b2
ld
!
Bd
!
z 
i 
longo com corrente i 
F328 \u2013 1S20124 5 
 Campo magnético de um fio infinito 
i 
 As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais 
pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma 
dada distribuição de correntes no espaço. Como vimos, no 
entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da 
forma: 
corrente \u201centrando\u201d no papel 
ld
!
i=0 
B
!
Observe que as linhas de são fechadas. B
!
F328 \u2013 1S20124 6 
 de uma corrente em um arco circular 
\u2022\u202f Calcular o campo magnético no ponto O. 
\u2022\u202f Para os segmentos e da figura, o produto é nulo 
(vetores paralelos e antiparalelos) 
\u2022\u202f No arco são perpendiculares. 
R
iB
\u3c0
\u3d5µ
4
0=
rld !
"
×
rld !
"
e
\u3d5
B
!
onde é o ângulo central 
 subentendido pelo arco. Se 
, 
Neste caso: 
AA \u2032 CC \u2032
,CA
i 
i 
ld
!r\u2c6
\u3d5
:2\u3c0\u3d5 =
R
iB
2
0µ= (campo no centro de uma espira) 
F328 \u2013 1S20124 7 
 Força entre dois fios condutores paralelos 
)\u2c6(
2
\u2c6
2
00 rdl
d
iield
d
iiBldiFd bbabbaabbba \u2212=×=×= \u3c0
µ
\u3c0
µ
\u3d5
!!!!
 A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b: 
 O fio b, na presença de , fica sujeito a uma uma força dada por: 
 A força sobre um comprimento Lb do fio b vale: 
=
b
ba
L
F
d
ii ba
\u3c0
µ
2
0
Esta expressão possibilita a definição do ampère. 
\u3d5\u3c0
µ e
d
iB aa \u2c62
0=
!
\u222b
×=
a
aa
a r
rldiB 2
0 \u2c6
4
!
!
\u3c0
µ
(de atração, neste caso) 
aB
!
\u3d5e\u2c6
ib 
ia bb
ldi
!
aa ldi
!
d 
r!
baF
!
)\u2c6(
2
0 r
d
LiiF bbaba \u2212= \u3c0
µ! ou 
(módulo da força por unidade de comprimento) 
aB
!
aB
!
F328 \u2013 1S20124 8 
Bd
!
 
\u22a5Bd
!\u22a5
+= BdBdzBd
!!!
||)(
)90(sen
4
0
2
0
r
dlidB
\u3c0
µ=
22
222 cose
zR
R
r
RzRr
+
==+= \u3b1
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se: 
2/322
2
0
)(2
)(
zR
RizB
+
= µ
 
Campo magnético de uma bobina 
 Como a soma vetorial dos se anula: 
 O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser 
calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para 
calcular em pontos do eixo central da espira. B
!
Temos: 
\u222b\u222b +== espira
dl
zR
iRdBzB 2/322
0
|| )(4
)(
\u3c0
µ
||Bd
!
r! z 
ld
!
Bd
!
\u3b1\u222b\u222b == cos)( || dBBdzB
F328 \u2013 1S20124 9 
 Campo magnético de uma bobina 
2/322
2
0
)(2
)(
zR
iRzB
+
= µ
3
0
2
)(
z
iAzB
\u3c0
µ=
3
2
0
2
)(
z
RizB µ\u2248
3
0
2
)(
z
zB µ
\u3c0
µ !! =
 Para pontos afastados ( ): Rz >>
 (a bobina se comporta como um ímã \u2013 ver semelhança das linhas) 
 Lembrando que é a área da 
espira e é o seu momento de dipolo 
magnético: 
AR =2\u3c0
nAi \u2c6=µ!
Vimos: 
i 
\u2248
i 
B
!
F328 \u2013 1S20124 10 
 Circuitação de um campo vetorial 
\u2022\u202f Cada linha de é uma curva fechada. 
\u2022\u202f A determinação de pode ser feita em termos da sua 
circuitação. 
\u3b8\u3d5 cosdlrd =
ididr
r
idBrBdl
C
0
00
22
cos µ\u3d5
\u3c0
µ\u3d5
\u3c0
µ\u3d5\u3b8 ==== \u222b\u222b\u222b\u222b
r
iB
\u3c0
µ
2
0=Intensidade de : 
\u222b\u222b =\u22c5
CC
BdlldB \u3b8cos
!!
B
!
B
!
B
!
Mas, da figura: 
\u3b8
\u3d5d
B
!
r!
\u3b8cosdl
Circuitação de ao longo de um contorno C : \u222b \u22c5
C
ldB
!!
B
!
\u3b8 B
!
r!
ld
!
C 
i 
F328 \u2013 1S20124 11 
 A lei de Ampère 
 A lei de Ampère é geral, mas a sua 
utilidade no cálculo do campo magnético 
 devido a uma distribuição de correntes 
depende da simetria da distribuição. 
envo
C
ildB µ=\u22c5\u222b
!!
)(cos 21o21 iiBdliii
C
env \u2212=\u21d2\u2212= \u222b µ\u3b8
 Da figura ao lado tem-se: 
Então: 
( )21o iildB
C
\u2212=\u22c5\u222b µ
!!
(lei de Ampère) 
ld
! B
!
C 
amperiana 
C 
sentido de 
integração 
sentido de 
integração 
F328 \u2013 1S20124 12 
 Campo magnético de um fio infinito 
i 
ildB
C
0µ=\u22c5\u222b
!!
 Em C, é paralelo a B
!
ld
!
e \u2234=uniformeB
!
Lei de Ampère: 
=\u22c5=\u222b rBdlB \u3c02=\u22c5\u222b
C
ldB
!!
\u21d2i0µ r
i
B
\u3c0
µ
2
0=
a bússola aponta sempre 
na mesma direção (norte 
 geográfico) 
a bússola aponta na 
direção de resultante B
! limalhas de ferro nas 
proximidades do fio 
ld
!
i=0 
C 
r 
ld
!
i 
B
!
B
!
F328 \u2013 1S20124 13 
00
11
cos iBdlldB µ\u3b8 ==\u22c5 \u222b\u222b
!!
1cos0o =\u21d2= \u3b8\u3b8
 possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma 
intensidade em todos os pontos a uma distância r do centro. 
 é paralelo a 
r
iB
\u3c0
µ
2
00= (fora do fio) 
B
!
ld
!
B
!
Curva 1 ( r>R ): 
00)2( irB µ\u3c0 =
0i
ld
!
rBdlBBdl \u3c0\u3b8 2cos
1
\u22c5== \u222b\u222b
 Campo magnético de um fio cilíndrico 
longo com corrente 
F328 \u2013 1S20124 14 
Campo magnético de um fio cilíndrico 
(dentro do fio) 
B
!
 longo com corrente 
Curva 2 ( r<R ): 
 A corrente envolvida pela curva 2 
 (de raio r) é: 
2
2
0 R
riienv \u3c0
\u3c0=
\u21d2== 2
2
000)2( R
riirB env \u3c0
\u3c0µµ\u3c0 r
R
iB 2
00
2\u3c0
µ=
O sentido de é dado pela regra da mão direita. 
ld
!
rBdlBBdl \u3c0\u3b8 2cos
2
\u22c5== \u222b\u222b
0i
F328 \u2013 1S20124 15 
Gráfico da intensidade de de um fio 
\u2022\u202f Para 
\u2022\u202f Para 
Rr \u2264
Rr \u2265
r
R
iB 2
00
2\u3c0
µ=
r
iB
\u3c0
µ
2
00=
: 
: 
 cilíndrico longo com corrente 
dentro fora 
B
!
F328 \u2013 1S20124 16 
Solenoides e Toroides