Capítulo 4 PEM

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1 
Projeto de Elementos de Máquinas 
Prof. Nassar 
 
4. Molas Mecânicas: 
 
 As molas mecânicas são os elementos flexíveis utilizados na construção das máquinas. A 
finalidade da mola é receber a energia das forças atuantes nas máquinas e transforma-la em 
deformação, podendo devolver ou absorver parte desta energia quando volta a sua forma original. 
As molas exercem função fundamental no comportamento estático e dinâmico do funcionamento 
das estruturas dos equipamentos mecânicos. 
 Uma das aplicações mais conhecidas das molas é na construção da suspensão dos 
veículos de transporte. Neste caso podemos observar alguns aspectos muito importantes da 
aplicação destes elementos: 
- Deformação durante a aplicação da carga estática; 
- Reposição do conjunto à sua posição original durante a passagem por ondulações; 
- Comportamento de funcionamento em paralelo entre todas as rodas; 
- Influência na freqüência natural do conjunto; 
- Trabalho conjunto com o amortecedor. 
 
4.1. Tipos de Molas: 
 
 De acordo com a forma e estrutura construtiva, as molas podem ser divididas nos 
seguintes tipos principais: espirais cilíndricas ou cônicas, disco, planas, barra de torção, etc. 
 Esta construção pode ser classificada segundo o tipo de carga atuante nas molas, 
conforme descrito abaixo: 
Espirais 
Tração Cilíndrica de secção redonda 
Compressão 
Cilíndrica de secção redonda 
Cilíndrica de secção retangular 
Cônica de secção redonda 
Cônica de secção retangular 
Torção Cilíndrica de secção redonda 
Outras 
Compressão 
Disco 
Anéis 
Maciças 
Torção 
Barra de torção 
Maciças 
Helicoidal 
Flexão 
Planas 
Feixe 
 2 
 As figuras a seguir apresentam alguns exemplos de molas mencionadas no quadro acima. 
A diversidade de aplicação das molas é muito grande, e da mesma forma a construção pode ter 
inúmeras variações. 
 Apesar das diferentes formas construtivas as molas mais comuns apresentam a 
construção em forma helicoidal. Molas planas são comuns em veículos de carga, principalmente 
na forma de feixe de molas, em caminhões e camionetes. As molas prato (cônicas ou de 
Belleville) podem ser usadas para diferentes relações de força e deformação. Neste capítulo serão 
estudadas como exemplo para o dimensionamento as molas do tipo helicoidal que representam 
as aplicações mais comuns das molas. 
 Uma característica importante que deve ser avaliada na utilização das molas são as 
diferentes formas de combinações através da associação das molas em série ou paralelo. 
 
 a) Molas Helicoidais a Tração b) Mola Plana a Flexão 
 
 
 c) Molas Helicoidais a Torção d) Barra de Torção 
Figura 4.1: Formas Construtivas de Molas 
 
 3 
K1
K2
m
K1
m
K2
 
Figura 4.2: Associação das Molas 
 
 
4.2. Dimensionamento das Molas: 
 
 A seguir serão apresentados os principais requisitos para o dimensionamento das molas 
helicoidais, sendo apresentados alguns conceitos para o dimensionamento de molas submetidas 
à torção e molas planas. 
 
4.2.1. Tensões nas Molas Helicoidais: 
 
 A figura 4.3.a representa uma mola helicoidal de compressão construída com fio redondo 
carregada pela força axial F. O diâmetro médio da mola será designado por D e o diâmetro do 
arame representado por d. Considerando a figura 4.3.b, onde a mola aparece cortada, 
suponhamos que a parte removida seja substituída por uma reação interna na extremidade do 
arame. Neste caso podemos concluir que na condição de equilíbrio a reação será correspondente 
a força de cisalhamento F e a torção T = FD/2. 
 
Figura 4.3: a) Mola helicoidal carregada longitudinalmente; b) Diagrama de Corpo Livre 
 4 
 A tensão máxima atuante na fibra interna do fio será obtida na expressão: 
 
A
F
J
rT


max
 
 
 Substituindo os valores na equação, conforme os dados a seguir temos: 
 
 max
 ; 
2DFT 
 ; 
2dr 
 ; 
324dJ  
 ; 
42dA  
 
 
23
48
d
F
d
DF








 
 
 Definindo o valor de C pelo “índice de mola” que corresponde a uma medida da curvatura 
da mola temos: 
 
d
D
C 
 
 
 A equação da tensão no arame pode ser simplificada da seguinte forma: 
3
8
d
DF
K s





 
 
 O valor de Ks é definido como fator de correção de tensão de cisalhamento, sendo: 
 
C
C
Ks
2
12 

 
 
 O valor de C normalmente encontra-se entre 6 a 12, sendo que as equações definidas 
aplicam-se para situações estáticas e dinâmicas. 
 A utilização de fios quadrados ou retangulares é bastante limitada na maioria das 
utilizações de molas helicoidais, normalmente são aplicados em locais onde exista limitação de 
espaço. 
 A equação para o cálculo da tensão considera uma distribuição uniforme, válida para um 
fio reto. Porém, a curvatura provoca um aumento da tensão na parte interna da mola em relação à 
externa. Os fatores que definem esta condição são definidos nas expressões: 
 5 
CC
C
KW
615,0
44
14




 
 
34
24



C
C
KB
 
 
 O valor KW é denominado “fator de Wall” e KB é denominado “fator de Bergstrasser”. 
Considerando que a diferença entre eles é de menos de 1% neste curso será adotada a segunda 
equação, por maior simplicidade. 
 O fator de correção de curvatura é definido pela relação: 
 
)12)(34(
)24(2



CC
CC
K
K
K
S
B
c
 
 
 Para os cálculos da máxima tensão atuante no arame da mola usaremos a seguinte 
equação: 
 
3
8
d
DF
KB





 
 
4.2.2. Deflexão das Molas Helicoidais: 
 
 Para a determinação da relação entre a força e deflexão das molas helicoidais (k = F/y) 
utilizaremos o teorema de Castigliano. A energia total de deformação das molas helicoidais é 
composta pelo efeito da torção e do cisalhamento, conforme equação da tensão definida no item 
anterior temos para a relação de energia a seguinte expressão: 
 
GA
lF
JG
lT
U






22
22 
 
 Substituindo os valores de T, J, A definidos anteriormente e l = πDN: 
Gd
DNF
Gd
NDF
U
2
2
4
32 24

 
 
 Nesta equação N = Na = número de espiras ativas. Aplicando o teorema de Castigliano 
para calcular a deflexão total temos: 
 6 
Gd
FDN
Gd
NFD
F
U
y
24
3 48




 
 
 Sendo C=D/d, simplificando a equação acima temos: 
Gd
NFD
CGd
NFD
y
4
3
24
3 8
2
1
1
8







 
 
 A razão de mola, também conhecida como constante de mola k = F/y, será: 
ND
Gd
k
3
4
8

 
 
4.2.3. Molas de Compressão: 
 
 A figura 4.4 apresenta os quatro tipos de extremidades para as molas de compressão. 
 
 
Figura 4.4: a) extremidades em pontas; b) extremidades esmerilhadas; c) extremidades em 
esquadro; d) extremidades em esquadro e esmerilhadas. 
 
 O número total de espiras das molas, definido por Nt, é obtido pela simples contagem do 
número de espiras existentes. Considerando que as espiras em contato não contribuem para a 
deformação total da mola, o número de espiras ativas N é definida na equação: Nt = N + 2. 
 O cálculo do comprimento sólido da mola LS é definido nas expressões apresentadas na 
figura 4.4. Para situações que necessitam precisão esta fórmula deve ser usada com cuidado e 
caso necessário a mola deve ser medida para obter o comprimento sólido. 
 Os principais materiais utilizados na fabricação de molas são apresentadosnas tabelas a 
seguir: 
 7 
 
Tabela 4.1: Aços de Molas de Liga e Alto Carbono 
 
Tabela 4.2: Coeficientes para Estimativa da Resistência à Tração dos Fios de Molas 
 8 
 
Tabela 4.3: Propriedades Mecânicas de Alguns Fios de Molas 
 
Tabela 4.4: Tensões Máximas Admissíveis de Torção para Molas de Compressão – Cargas 
Estáticas 
 
 O processo de fabricação das molas pode variar em função das características 
dimensionais. Na maioria das vezes são exigidos fabricação a quente e tratamento térmico dos 
arames. Algumas relações geométricas típicas são: D/d > 4 e d > 6 mm. As características dos 
materiais são apresentadas nas tabelas 4.1 a 4.4. 
 A estimativa da resistência mínima a tração das molas pode ser obtida na expressão, com 
base nos valores de A e m definidos na tabela 6.2. 
 
mut d
A
S 
 
 9 
 Embora a resistência ao escoamento de torção seja necessária para projetar a mola e 
analisar o desempenho, os materiais das molas costumam ser ensaiados somente para 
resistência à tração. Uma estimativa bem grosseira da resistência ao escoamento de torção pode 
ser obtida assumindo que a resistência ao escoamento à tração seja entre 60 e 90% da 
resistência à tração. Neste caso, aplicando a teoria da energia de distorção podemos obter Sxy = 
0,577Sut. A partir desta definição podemos definir o seguinte intervalo para a tensão de 
escoamento devido ao cisalhamento por torção: 
 
utsy 0,52S S 35,0 utS
 
 
Exemplo: Uma mola helicoidal de compressão é feita de fio musical nº 16. O diâmetro externo da 
mola é de 7/16 in. As extremidades são esquadradas e existe um total de 12,5 voltas. 
a) Estime a resistência ao escoamento de torção do fio. 
b) Estime a carga estática correspondente às resistência ao escoamento. 
c) Estime a constante da mola. 
d) Estime a deflexão que seria causada pela carga em (b). 
e) Estime o comprimento sólido da mola. 
f) Que comprimento a mola deve ter para assegurar que, quando estiver comprimida sólida e 
então solta, não haverá mudança permanente no comprimento livre? 
yLL s  0
 
g) Dado o comprimento encontrado em (f), flambagem é uma possibilidade? 

D
L 63,2 0 
 
h) Qual é o passo da espira do corpo da mola? 
 
4.3. Projeto das Molas de Compressão Helicoidais para Serviço Estático: 
 
Exemplo: Projete uma mola de compressão para carga estática para um intervalo de compressão 
conhecido. A mola deve fornecer uma força mínima de 50 kgf e força máxima de 75 kgf sobre um 
intervalo de ajustagem de 15 mm. Considerando a utilização para carga estática utilizar o material 
de baixo custo ASTM A227, não jateado e repuxado a frio. As extremidades devem ser em 
esquadro e esmerilhadas. 
 
Solução: A seguir é apresentada a seqüência típica para o dimensionamento e projeto da mola. 
 
1. Escolha do diâmetro do arame: este valor deve ser adotado e caso necessário o diâmetro 
deverá adequado de acordo com os valores de tensões obtidos durante o cálculo. O 
 10 
diâmetro deve ser de acordo com a disponibilidade de mercado. Neste caso será adotado 
d = 4 mm. 
 
2. Considerando o valor do índice de mola no valor médio, temos: C = 8. Neste caso o 
diâmetro da mola D = 8d = 32 mm. 
 
3. O valor de Ks é definido como fator de correção de tensão de cisalhamento definido na 
equação abaixo: 
 
C
C
Ks
2
12 

 
 
 Substituindo o valor de C obtemos Ks = 1,0625. O valor da tensão é obtido na expressão: 
 
3
8
d
DF
K s





 
 
 Substituindo valores temos: 
34
32758
0625,1




 
 
)(kgf/mm 45,101 2 
 
4. O valor do limite de resistência à tração do material é definido na expressão: 
mut d
A
S 
 
Os valores conforme tabela são: A = 1783 Mpa.mmm e m = 0,190, portanto Sut será: 
 
190,04
1783
utS
 
 
)(1370 MpaSut 
 
 
 A tensão de resistência ao escoamento sob torção é obtida na equação, conforme 
coeficiente definido na tabela 4.4, ou seja, 0,45 Sut: 
 11 
 
)(kgf/mm 62S (MPa) 5,6161370.45,0 2xy syS
 
 
5. A relação entre a tensão máxima e a tensão limite de escoamento é definida por: 
 
utsy SS 
 
 
61,0
45,101
62
sn
 
 
 O fator de segurança deve ser maior do que 1. 
 
6. Neste caso devemos revisar o diâmetro selecionado para o arame, podendo criar uma 
tabela até obter este resultado desejado. 
 
d D τ Sut Ssy ns 
5 40 65 131 59 0,91 
6 48 45 127 57 1,27 
 
 Portando o diâmetro de 6 mm atende às especificações. 
 
7. A constante de mola é definida pela relação entre a variação de força e deflexão desejada: 
)(kgf/mm 1,67k 667,1
15
5075 2




y
F
k
 
8. O valor do número de espiras e da constante de mola devem ser ajustadas na equação 
(G = 79,3 Gpa = 7,93.10³ kgf/mm²): 
ND
Gd
k
3
4
8

 
 
79,6
67,1488
1093,76
3
34



N
 
 
 Neste caso o valor do número de espiras ativas deve ser 7. O valor da constante de mola 
deve ser ajustado para o valor do arredondamento (k = 1,66 kgf/mm²). 
 12 
9. Considerando as extremidades em esquadro e esmerilhada, temos: 
 
9N 272 t  NNt
 
 
10. A altura fechada da mola ou comprimento sólido é definido na expressão: 
 
mm 5469 sL
 
 
11. A deflexão devido a força inicial deve ser: 
mm 30
66,1
50

k
F
y inicialinicial
 
 
12. Considerando uma tolerância de contato correspondente a 15% da deflexão de trabalho, 
temos: 
mm 2,25 1515,0 tolerênciay
 
 
13. Comprimento livre da mola: 
 
trabalhoinicialtolerânciasf yyyLL 
 
 
153025,254 fL
 
 
mm 25,101fL
 
 
14. A deflexão para o fechamento da mola será: 
 
mm 25,47y 5425,101 fechada  sffechada LLy
 
 
15. Os novos parâmetros corrigidos para esta condição são apresentados na tabela abaixo: 
 
Força para fechamento da mola τfechada ns 
F = 78,435 kgf 47,2 kg/mm² 1,2 
 
16. Verificação da flambagem. O gráfico a seguir apresenta as condições para verificação da 
estabilidade da mola com relação à flambagem. 
 13 
 
 
 
 
 Calculando as relações conforme eixos das coordenadas acima temos: 
 
44,0
25,101
1530
 e 2,11 
48
25,101 max 


f
f
L
y
D
L 
 
 Observamos no gráfico que a mola encontra-se na região de estabilidade. 
 
17. As principais especificações da mola podem ser resumidas no quadro abaixo: 
 
Diâmetro do Arame d 6 mm 
Diâmetro da Mola D 48 mm 
Diâmetro Interno Dint 42 mm 
Diâmetro Externo Dext 54 mm 
Número de Espiras Nt 9 
Comprimento Livre Lf 101,25 
Constante de Mola k 1,66 kgf/mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
4.4. Projeto das Molas de Compressão Helicoidais para Cargas Cíclicas - Fadiga: 
 
 O projeto de molas submetidas às cargas cíclicas segue os mesmos conceitos de 
dimensionamento utilizados para os demais elementos de máquinas. Neste caso os efeitos 
dinâmicos devem ser considerados em aspectos para a determinação da carga máxima, carga 
alternada, material e até mesmo da freqüência natural da mola. Um exemplo típico de aplicação 
de molas é no comando de válvulas de um motor de combustão. Neste caso a mola deve 
suportar milhões de ciclos de trabalho com relação à fadiga, sendo portanto dimensionada para 
uma vida infinita. 
 Para melhorar as condições de resistência quanto à fadiga, durante o processo de 
fabricação as molas devem receber um jateamento por esferas que melhora as condições 
superficiais do material. Este tratamento aumenta resistência à fadiga devido a torção em valoressuperiores a 20%. São utilizadas esferas com diâmetro de 1/64 in, garantindo que toda a 
superfície dos arames seja atingida. 
 
 
Exercício Proposto 
 
 Projetar uma mola de compressão helicoidal para carregamento dinâmico para um 
determinado intervalo de deflexão. A mola deve produzir uma força mínima de 30 kgf e uma força 
máxima de 75 kgf em um intervalo de deflexão dinâmica de 25 mm. A freqüência de excitação é 
de 1000 rpm. O equipamento deve ser dimensionado para uma vida de 10 anos em um único 
turno de trabalho de 8 horas por dia. 
 Utilizar o fio musical ASTM A228 com jateamento. 
 As fontes de consulta para este projeto são: 
 
1. Shigley, Joseph E. – Projeto de Engenharia Mecânica. 
2. Norton, Robert L. – Projeto de Máquinas: Uma abordagem Integrada. 
 
Observação: Este exercício será considerado como 20% do valor da segunda prova para os 
alunos que entregarem.