Algebra de Boole aplicada à Eletrônica Digital

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Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 1 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica 
digital 
 
 
Eng. Roberto Bairros dos Santos 
 
Um empreendimento Bairros Projetos didáticos. 
 
 
 
Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos básicos da álgebra Boole 
permitindo a aplicação dos postulados, teoremas, propriedade e identidades em circuitos 
eletrônicos digitais facilitando o seu entendimento e simplificação. 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 2 
 
Índice: 
 
1 Conceito:......................................................................................................................... 3 
2 Revisão Funções Lógicas Básicas: ................................................................................. 4 
2.1 Função “E” (AND): ................................................................................................ 5 
2.2 Função “OU” (OR):................................................................................................ 5 
2.3 Função Inversora (NOT): ...................................................................................... 6 
2.4 Função “NÃO OU” (NOR): ................................................................................... 6 
2.5 Função “NÃO E” (NAND): ................................................................................... 7 
2.6 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR):................................................................... 7 
2.7 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR): ...................................................... 8 
2.8 Diagrama Lógico: ................................................................................................... 8 
3 Postulados da álgebra de Boole:..................................................................................... 9 
3.1 Postulado do produto:............................................................................................. 9 
3.2 Postulado da soma: ............................................................................................... 10 
3.3 Postulado da Inversão:.......................................................................................... 11 
3.4 Aplicação prática dos postulados: ........................................................................ 12 
3.4.1 Chaves eletrônicas digitais: .......................................................................... 12 
3.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora: ......................... 13 
4 Propriedades das funções lógicas: ................................................................................ 15 
4.1 Propriedade Comutativa: ...................................................................................... 15 
4.2 Propriedade Associativa: ...................................................................................... 15 
4.3 Propriedade distributiva: ...................................................................................... 16 
5 Teorema de Demorgan: ............................................................................................... 17 
5.1 Aplicação prática do Teorema de Demorgan: ...................................................... 18 
6 Teorema do Mutual: .................................................................................................... 20 
7 Identidades:................................................................................................................... 21 
7.1.1 Identidade 1: ................................................................................................. 21 
7.1.2 Identidade 2: ................................................................................................. 22 
8 Simplificação usando álgebra de Boole: ...................................................................... 23 
8.1 Equação na forma da soma de produtos: .............................................................. 23 
8.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole: .......................................... 24 
8.2.1 Exemplo 1 de simplificação: ........................................................................ 24 
8.2.2 Exemplo 2:.................................................................................................... 26 
8.2.3 Exemplo 3:.................................................................................................... 27 
9 Mapa de Karnaugh: ...................................................................................................... 28 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 3 
 
1 Conceito: 
 
A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas. O conhecimento da 
álgebra de Boole vai permitir otimizar circuitos digitais. Uma das principais aplicações 
desta álgebra é na simplificação de funções lógicas, com este conhecimento é possível 
projetar circuitos digitais menores e mais baratos. O conhecimento da álgebra de Boole 
pode ser aplicado no campo da pneumática, existem circuitos pneumáticos digitais, que 
usam funções lógicas. 
O estudo da álgebra de Boole é basicamente matemático, trata as funções lógicas 
somente sob o aspecto matemático, no entanto, vamos enfocar estes aspectos matemáticos 
tendo em vista a sua aplicação em circuitos digitais. 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 4 
 
2 Revisão Funções Lógicas Básicas: 
 
A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas, desta forma vamos iniciar 
o nosso estudo revisando as principais funções lógicas. Vamos nesta revisão tratar as 
variáveis lógicas como variáveis de um circuito digital, assim as variáveis independentes 
serão chamadas de “Entrada”, e as variáveis dependentes serão chamadas de “Saída”. 
Relembrando que as funções lógicas podem assumir somente dois estados. Os estados das 
variáveis lógicas serão descritos numericamente (0, 1).Vamos descrever normalmente as 
funções lógicas com duas variáveis, exceto quando isto não for possível (por exemplo, na 
função inversora). As variáveis serão descritas sempre por letras maiúsculas, as variáveis de 
entrada pelas letras do início do alfabeto e as variáveis de saída pelas letras do final do 
alfabeto. A porta lógica é a forma gráfica de expressar a função lógica em um circuito 
digital, vamos procurar, sempre que possível, descrever as relações lógicas usando as portas 
lógicas. 
Existem três funções lógicas básicas: função “E”, função “OU”, Função 
“Inversora”,. Estas são as denominações das funções em português, mas estas mesmas 
funções são também conhecidas com a sua denominação em inglês, mais concisa: Função 
“AND”, Função “OR” e função “NOT”, assim ao longo deste trabalho vamos usar as duas 
denominações. A partir das funções básicas é possível desenvolver funções mais 
complexas, a maioria não recebe uma denominação especial, mas têm algumas que, pela 
seu uso, recebem nomes e símbolos especiais, são elas: Função “NAND”, Função “NOR”, 
Função “EXOR”, Função “EXNOR”, neste caso, a denominação inglesa é mais usada. 
Uma função lógica pode ser descrita de três formas: Através da tabela verdade, 
através da equação lógica ou através de um diagrama lógico. Para os matemáticos as 
equações lógicas são a forma mais importante de descrever uma função lógica, para o 
técnico eletrônico ou mecatrônico, a tabela verdade e o diagrama lógico são os mais 
importantes. Para desenhar um diagrama lógico que represente uma função lógica, existem 
as portas lógicas, que são símbolos gráficos que expressão uma função lógica. A tabela 
verdade é um gráfico onde todas as possibilidades de combinação de estados das entradas e 
das saídas são desenhados. 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 5 
 
2.1 Função “E” (AND): 
 
A função “E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 
s mente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta funçãoé chamada de produto lógico 
p is tem o comportamento exatamente igual ao produto algébrico. 
 
A B Z 
Tabela verdade da função “E” (AND) 
Equação: 
A.BZ = 
 
 
 
 
 
Símbolo da porta lógica. “E” (AND). 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Função “OU” (OR): 
 
A função “OU” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 1 
somente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. Esta função é chamada de soma lógica 
p is tem o comportamento “quase” idêntico a soma algébrica (na soma algébrica 1+1 não é 
o
1 e sim 2) 
A B Z 
 
Tabela verdade da função “OU” (OR): 
Equação da função “E” (OR): 
BAZ += 
 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 1 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
o
o
 
 
Símbolo da Porta Lógica “OU” (OR). 
 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 6 
 
2.3 Função Inversora (NOT): 
 
A função inversora inverte estado lógico da entrada, esta é uma função uma 
variável. 
 
A Z 
0 0 
0 1 
 
 
Tabela verdade da função “NOT”: 
Equação: 
AZ = 
 
 
Símbolo da porta Lógica “NOT” 
 
 
 
 
 
Observe que o que caracteriza uma função inversora no desenho é a bolinha, o 
triângulo simboliza um amplificador genérico. 
 
 
 
2.4 Função “NÃO OU” (NOR): 
 
A função “NOU” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá estado 
1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. está é uma função complexa 
composta da associação de uma função “E” básica em série com uma função “OU”. 
 
 
A B Z 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
 
 
Tabela verdade da função “NOU” (NOU): 
Equação: 
BAZ += 
 
 
 
 
 
 
 
Símbolo da Porta Lógica “NÃO OU” (NOR). 
 
 
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2.5 Função “NÃO E” (NAND): 
A função “NÃO E” relaciona as funções lógicas de forma que a saída assumirá 
estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1.Esta função é uma associação da 
função “E” com uma função “NOT”. 
 
 
A B Z 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 0 
 
Tabela verdade da função “NÃO E” (NAND) 
Equação: 
A.BZ = 
 
 
 
 
 
 
 
Símbolo da porta lógica. “NÃO E” (NAND). 
 
 
 
 
 
 
2.6 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR): 
 
A função “OU EXCLUSIVO” relaciona as funções lógicas de forma que a saída 
assumirá estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes . Esta função 
é chamada de desigualdade E tem o apelido de XOR. 
 
 
A B Z 
0 0 0 
0 1 1 
1 0 1 
1 1 0 
Tabela verdade da função “EXOR” 
Equação: 
 
BA Z ⊕= 
 
 
 
 
 
 
Símbolo da porta lógica. “OU EXCLUSIVO” 
(EXOR). 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 8 
2.7 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR): 
o “NÃO OU EXCLUSIVO” relaciona as funções lógicas de forma que a 
s estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes . Esta 
f da de desigualdade E tem o apelido de XOR. 
 
A B Z 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
Tabela verdade da função “EXNOR” 
Equação: 
BA Z ⊕= 
ou anda a forma abaixo menos comum: 
B A Z ⊗= 
 
 
Símbolo da porta lógica. “NÃO OU EXCLUSIVO” 
(EXOR). 
 
 
 
 
 
2.8 Diagrama Lógico: 
 
Um Diagrama lógico é a expressão gráfica da função lógica complexa, usando 
portas lógicas. O circuito lógico abaixo implementa uma função EXOR. 
 
Observe que em um circuito lógico o 
estado lógico é representado pela conexão ao 
positivo da fonte, normalmente +5V em circuitos 
 
com CI’s da família TTL, e o estado lógico “0” é 
representado pela conexão ao terminal de terra. 
 
 
 
ão deste circuito é da por: BA..BA Z += . 
la Verdade deste circuito é: 
A equaç
A Tabe
 
 
A funçã
aída assumirá
unção é chama
 
 A B Z 
0 0 1 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 9 
3 Postulados da álgebra de Boole: 
 
Os postulados são aquelas relações retiradas das funções lógicas e que servirão de 
base para todo o desenvolvimento do raciocínio matemático. Através da observação da 
tabela verdade de uma função é possível chegar ao postulado relativo a esta função, como 
é mostrado a seguir. 
 
3.1 Postulado do produto: 
 
Olhando a tabela verdade do produto podemos tirar as seguintes relações: 
 
Sempre que uma das variáveis for “0”, a saída será 
“0”. Como em um produto aritmético! A B Z 
0 0 0 0 
1 0 1 0 
2 1 0 0 
3 1 1 1 
Sempre que uma variável de entrada for o inverso 
da outra, a saída será “0”. Podemos chegar a esta conclusão 
recorrendo a primeira observação, pois pelo menos uma das 
variáveis será “0” (pois uma é o inverso da outra, e só 
podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre 
que uma das variáveis de entrada for “1”, a variável de 
saída vai ter o mesmo valor da outra variável.Sempre que 
as variáveis de entrada são iguais, a saída assume o mesmo 
valor das variáveis de entrada. 
 
 
A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados: 
 
 
Observe que X é uma variável qualquer e pode 
assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou 
um. A equação 2 e indica o produto de duas variáveis de 
entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação 
quatro temos o produto de duas variáveis com estados 
diferentes. X . 1 X ZEq.4
X . X 0 ZEq.3
X . X X ZEq.2
 0 . X 0 ZEq.1
==
==
==
==
 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 10 
 
 
3.2 Postulado da soma: 
 
Olhando a tabela verdade da soma podemos tirar as seguintes relações: 
 
 
Sempre que uma das variáveis for “1”, a saída 
será zero. Como em um produto aritmético! A B Z 
0 0 0 0 
1 0 1 1 
2 1 0 1 
3 1 1 1 
Sempre que uma variável de entrada for o 
inverso da outra, a saída será “1”. Podemos chegar a 
esta conclusão recorrendo a primeira observação, pois 
pelo menos uma das variáveis será “1” (pois uma é o 
inverso da outra, e só podem assumir um de dois 
estados, zero ou um). Sempre que uma das variáveis de 
entrada for “0”, a variável de saída vai ter o mesmo 
valor da outra variável .Sempre que as variáveis de 
entrada são iguais, a saída assume o mesmo valor das 
variáveis de entrada. 
 
 
 
A partir destas observações, chagamos aos seguintes postulados: 
 
 
X1 1 ZEq.4
XX. 1 ZEq.3
XX X ZEq.2
 0X X ZEq.1
+==
+==
+==
+== Observe que X é uma variável qualquer e pode 
assumir qualquer um dos dois estados possíveis, zero ou 
um. A equação 2 e indica o produto de duas variáveis de 
entrada que assumiram o mesmo estado. Na equação 
quatro temos o produto de duas variáveis com estados 
diferentes. 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 11 
 
3.3 Postulado da Inversão: 
 
Este é o postulado mais simples de todos, no entanto de extrema aplicação, não 
parece mas é tão importante quanto os outros. Como tabela verdade a função inversora só 
tem duas linhas, existe somente um postulado, descrito a seguir: 
 
A Z 
0 0 
0 1 
 
 Se a variável de entrada for invertida duas vezes, a saída 
não será alterada, assumirá o mesmo estado da variável de entrada. Na 
verdade sempre que a variável de entrada for invertida um número par 
de vezes, a saída assumirá o mesmo estado da variável de entrada. 
 
 
A equação é mostrada ao lado esta equação diz que 
invertendo o invertido a saída não muda nada, isto equivale a dizer 
que colocar duas portas inversoras em série, em termos de função 
lógica equivale a uma ligação de um condutor da entrada até a saída. 
Por que então fazer isto? Este postulado que serão vistas mais tarde 
como: reforço do sinal, atraso no tempo de propagação do sinal etc. 
 
Note que inverter uma variável que já está barrada significa eliminar a inversão, isto 
vaiocorrer se o numero de barras for par, se o número de barras for impar pode ser 
reduzido a uma só barra. Uma variável com um número par de barras equivale a uma 
variável sem inversão, uma variável com um número impar de barras equivale a uma 
variável com uma só barra. 
X X Eq.1 = 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 12 
 
3.4 Aplicação prática dos postulados: 
 
3.4.1 Chaves eletrônicas digitais: 
 
Podemos construir chaves digitais, de forma que uma das entradas de uma porta 
“AND” ou “OR” bloqueie a passagem do sinal, que é aplicado a outra porta. A entrada que 
servirá de chave (bloqueando ou não a passagem do sinal) é normalmente chamada de 
“entrada de habilitação”, recebe o símbolo “E” do inglês “enable”(habilitar). 
 
Circuito com porta “OU”: 
Se a entrada E estiver ligada no nível “1” (+5V), a 
saída Z ficará grampeada no estado “1”, pois Z = 1+ sinal, 
neste caso a saída assume o valor 1 seja qual for o estado do 
sinal. Quando a entrada E é ligada ao estado “0” (terra), a 
saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= 
0+ sinal. 
 
Circuito com porta “E”: 
Se a entrada E estiver ligada no nível “0” (terra), a 
saída Z ficará grampeada no estado “0”, pois Z = 0+ sinal, 
neste caso a saída assume o valor 0 seja qual for o estado do 
sinal. Quando a entrada E é ligada ao estado “1” (+5V), a 
saída assumirá o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= 1 
+ sinal. 
 
A configuração usando porta “E” é mais comum, pois deixa a saída desligada no 
bloqueio. Podemos ter variantes como, por exemplo: Usando portas “NAND” ou “NOR”. 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 13 
 
 
 
3.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta 
inversora: 
 
 
 
Podemos implementar a função NOT usando portas NAND, NOR, EXOR ou 
EXNOR, estes circuitos são mostrados a seguir: 
 
3.4.2.1 Função NOT usando Porta NAND: 
 
A porta NAND pode ser considerada uma porta inversora em série com uma porta 
E, de forma que a porta NAND tem a função inversora já implementada, assim vamos usar 
os teoremas em que a saída Z assume o valor da entrada X, e deixar que a inversora 
inerente a função NAND, inverta o sinal. Como existem duas Equações no teorema do 
produto em que Z=X, temos duas configurações possíveis para implementar uma função 
inversora usando uma porta NAND. 
 
 
Figura 1. Inversora usando NOR. 
No circuito da figura 1 uma das entradas é 
fixada no valor “1” a 
Equação: X Z =
usando 
, onde X é o sinal. X.1 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No circuito da figura 2 as duas entradas são 
conectadas no sinal, usando a equação: 
 onde X é igual ao sinal. Esta é a 
configuração mais usada, por ser mais simples, basta 
conectar dois pinos e pronto, uma porta NAND está 
transformada em uma inversora. 
X.X X Z ==
 
 
 
 
Figura 2. Inversora usando NAND. 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 14 
 
3.4.2.2 Função NOT usando porta NOR: 
 
A filosofia é a mesma usada na implementação da implementação da função 
inversora usando NAND, usando agora, a função NOR. 
 
 
Figura 3.Inversora usando NOR 
 
No circuito da figura 3 uma das entradas é 
fixada no valor “0” usando a 
Equação: , onde X é o sinal. 0 X X Z +==
 
 
 
 
 
 
No circuito da figura 4 as duas entradas são 
conectadas no sinal, usando a e equação: 
 onde X é igual ao sinal. Esta é a 
configuração mais usada, por ser mais simples, 
basta conectar dois pinos e pronto, uma porta NOR 
está transformada em uma inversora. 
X X X Z +==
 
 
 
ção NOT usando porta EXOR: 
 
 
Figura 4.Inversora usando NOR. 
3.4.2.3 Fun
 
Implementar a função NOT usando EXOR 
não é a configuração mais usada, no entanto este 
processo é bastante usado em linguagem de 
programação, onde o estado de uma variável é 
usado para inverter ou não uma variável binária. 
No circuito eletrônico uma chave pode ser usada 
para inverter ou não o sinal digital. A teoria está 
baseada no fato de que; na tabela verdade da 
função exor quando uma das variáveis, a 
 
Figura 5. Inversora usando EXOR. 
habilitação, é “1” a saída é o inverso da outra 
variável, quando a habilitação for “0” a saída 
copia o estado do sinal. A figura 5 mostra este 
circuito. 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 15 
 
4 Propriedades das funções lógicas: 
 
As funções lógicas possuem propriedades semelhantes aquela das funções 
aritméticas, esta semelhança ajuda a memorizar estas relações. As propriedades das funções 
recebem os mesmos nomes das propriedades das funções aritméticas: Comutativa, 
Associativa e Distributiva. Somente a propriedade distributiva apresenta alguma diferença, 
desta forma, devido a esta analogia, fica muito simples entender e aplicar estas 
propriedades. Não vamos demonstra-las, mas se o estudante quiser com,provar a igualdade 
pode usar o método conhecido de levantar a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se 
as saídas forem iguais a igualdade é verdadeira. 
 
4.1 Propriedade Comutativa: 
 
Esta propriedade afirma que: variáveis podem ser trocadas de posição sem que o 
resultado se altere, na prática isto implica em que o técnico não precisa se preocupar em 
qual o pino da porta irá conectar o sinal. 
 
Comutativa da soma: AB B A Z +=+=
Comutativa do produto: A . B B .A Z ==
 
4.2 Propriedade Associativa: 
 
Esta propriedade é muito útil, pois permite que uma função de três variáveis possa 
ser implementada com funções de duas variáveis. Se no circuito existe uma porta “E” ou 
uma porta “OU” de três entradas, estas portas podem ser substituídas por duas portas de 
duas entradas, veja no circuito da figura 6. 
 
Associativa do produto: C . B) .(A C) . (B .A C . B .A Z ===
Associativa da Soma: C B) (A C) (B A C B A Z ++=++=++=
 
 
 
Figura 6. Substituindo portas de 3 entradas por duas portas de 2 entradas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 16 
 
4.3 Propriedade distributiva: 
 
Existem duas propriedades distributivas na álgebra de Boole, enquanto que na 
aritmética existe apenas uma esta é uma das principais dificuldades no estudo da álgebra de 
Boole, a propriedade distributiva da soma no produto, de forma que, o estudante deve ter o 
máximo de atenção, e, poderá ser que no início não encontre certa dificuldade em visualizar 
esta propriedade, por isto, é preciso fazer bastante exercícios. A seguir descrevemos as duas 
propriedades; distributiva do produto na soma e distributiva da soma no produto. 
 
Distributiva do Produto na soma: ) C .A B .(A ) C B ( .A Z +=+=
 
Esta propriedade pode ser vista como a distribuição do produto, fora do parêntese, 
entre as somas dentro do parênteses. Observe que o parêntese pode ser excluído, pois não 
há duvidas de que primeiro deve ser feito a operação do produto. Esta ação também é 
conhecida como colocar em evidência, isto ocorre quando existe duas ou mais parcelas com 
uma variável comum, ou um conjunto de duas ou mais variáveis comuns. Neste caso a 
variável comum pode ser “colocada em evidência”, esta ação é muito usada na 
simplificação de funções aritméticas com frações, aqui, esta ação também será usada para 
simplificar funções. A seguir é mostrada a ação de “colocar em evidência”, que é a 
expressão contrária da distributiva. 
 
Ação de colocar em evidência: C) B ( .A ) C .A ( ) B .A ( Z +=+=
Note que “A” é a variável comum. 
 
Distributiva da soma no Produto: 
 
Esta propriedade não existe na álgebra convencional, por isto você deve prestar 
bastante atenção, pois não intuitiva como as outras propriedades. Esta propriedade pode ser 
vista como a distribuição da soma, fora do parêntese, nos produtosdentro do parêntese, 
neste caso dois novos parênteses são gerados, cada um com uma soma, e o produto entre 
eles, para evitar que primeiro seja feito o produto. Aqui até podemos dizer que existe uma 
ação semelhante à ação de colocar em evidência. 
 
Distributiva da soma no produto: ) C A ( . B) (A ) C . B ( A Z ++=+=
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 17 
 
5 Teorema de Demorgan: 
 
Este é um dos teoremas mais importantes da álgebra de Boole. Este teorema 
relaciona as funções de soma lógica e produto lógico. Por este teorema podemos afirmar 
que basta uma função lógica, por exemplo, a soma, pois um produto pode ser 
implementado usando a função lógica da soma e da inversora. O mesmo ocorre para o 
produto. O teorema de Demorgan é mostrado na equação 1 relacionando a função soma ao 
produto, a equação 2 é outra forma de mostrar este teorema: 
Equação 1. B . AB A Z =+= 
Equação 2 B . A B A Z =+= 
 
O teorema de Demorgan também pode ser escrito em função do produto: 
 
Equação 3 B A B .A Z +== 
Equação 4 B A B .A Z +== 
 
Aplicação do Teorema de Demorgan: 
 
 
 Uma aplicação simples do 
teorema de Demorgan é implementar uma 
função “OU” (ou “E”) a partir de uma função 
“E”, isto ocorre quando em um projeto o técnico 
precisa de uma porta “OU” e têm sobrando uma 
porta “NAND” e duas inversoras. O circuito é 
descrito na figura abaixo. 
 
Figura 7 Teorema De Demorgan 
 
 
Alguns diagramas europeus descrevem 
a função NAND com o desenho de uma porta 
OU tendo duas bolinhas em série com as 
entradas para indicar a inversão (lembre-se 
que a bolinha simboliza inversão). Este 
diagrama expressa o Teorema de Demorgan 
diretamente. 
 
Figura 8. símbolo da porta NOR. 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 18 
 
 
5.1 Aplicação prática do Teorema de Demorgan: 
 
Vamos mostrar uma forma prática de aplicar o Teorema de Demorgan, este é um 
método mnemônico, o Método das Três inversões; 
 
Neste método para aplicar o Teorema de Demorgam a uma equação o técnico deve 
proceder três inversões: 
1. Inverter as entradas independentemente. 
2. Inverter as operações. 
3. Inverter toda a equação. 
 
Exemplo 1: 
Aplicação do método das três inversões no produto B .A Z =
 
Solução: 
1. Invertendo as entradas: B . A Z = 
2. Invertendo a operação: B A Z += 
3. Invertendo tudo: B A Z += 
 
Exemplo 2: 
O Teorema de Demorgan pode ser aplicado a qualquer tipo de equação, se tiver uma 
variável barrada com a aplicação do teorema de Demorgan aparece duas barras e com isto 
as inversoras são eliminadas. Aplicando o teorema de Demorgan na equação: B A Z += . 
 
Solução: 
1. Invertendo as entradas: B A B A Z +=+= Pois A A = 
2. Invertendo as operações: B .A Z = 
3. Invertendo tudo: B .A Z = 
 
Exemplo 3: 
Aplique o Teorema de Demorgan na equação: C B A Z ++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 19 
 
Exemplo 4: 
 
Neste vamos mostrar como deve ser tratado um erro bastante comum para os 
iniciantes no estudo da eletrônica digital. O estudante desavisado tende a interpretar as 
variáveis barradas de uma soma ou de um produto lógico como se fossem iguais a toda as 
operações barradas, como é mostrado na equação a seguir. 
 
B A B A Z +=+= ou B .A B . A Z == 1 
 
ISTO É UM ERRO GRAVE!!! 
 
O Teorema de Demorgan mostra que para inverter toda a equação é preciso inverter 
a operação também. 
 
O correto é: 
 
B .A B A Z =+= ou B A B . A Z +== 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 20 
 
6 Teorema do Mutual: 
 
Este teorema diz que: Se existe uma relação conhecida e verdadeira, é possível criar 
uma segunda relação verdadeira a partir da primeira, simplesmente trocando as operações, e 
invertendo os números “1” e “0”. Este teorema pode ser exemplificado a partir dos 
postulados anteriores, que sempre foram explicitados aos pares. Observe como o postulado 
do produto pode ser deduzido a partir do postulado da soma, como é mostrado a seguir: 
 
Partindo da Equação 1: trocando a soma por um produto e o 
“0” por “1” pode-se chagar a equação 1 do produto . 
 0X X Z +==
 0 . X X Z ==
 
O teorema de Demorgan também pode servir como exemplo. Dada uma das 
equações é possível a segunda. Se por exemplo fosse dado a equação 1: 
B . AB A Z =+= , trocando a soma pelo produto, chagaríamos a equação 3: 
B A B .A Z +== . Note que aqui não havia nem o número zero nem o número um, note 
ainda que, as barras não foram alteradas, o Teorema do Mutual não fala nada a respeito das 
barras. 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 21 
 
7 Identidades: 
 
Identidades são novas relações baseadas nos postulados e teoremas, que pela sua 
importante aplicação prática na simplificação de circuitos eletrônicos digitais, são 
estudados separadamente. Para provar a veracidade da Identidade pode ser usado a Tabela 
verdade, isto é, deverá ser levantada a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se as 
tabelas verdades forem iguais então, a identidade é verdadeira. Outra forma é tentar 
entender a equação usando os postulados e teoremas, este será o método que nós vamos 
usar nesta etapa do trabalho, isto porque, este é um método semelhante ao usado na 
simplificação das equações lógicas, que será visto nos capítulos seguintes. 
 
7.1.1 Identidade 1: 
 
 
A B .A A Z =+= 
 
 
Note que esta identidade pode ser aplicada à um circuito digital de forma que o 
complexo circuito da figura a seguir pode ser substituído por um condutor somente, note 
que neste circuito a variável B não tem a menor influência no resultado, usando esta 
identidade conseguimos um simplificação considerável. 
 
 
 
Figura 9: Aplicação da Identidade 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova da identidade 1 usando a álgebra de Boole: 
 
B .A A Z += 
) B 1 ( .A Z += Colocando o “A” em evidência, pois o “A” está presente nas 
duas parcelas. 
1 .A Z = Como ( 1 + B ) = 1, todo o parêntese pode ser eliminado e substituído 
pelo número “1”. 
A Z = Finalmente o produto por 1 pode ser eliminado pois A = A . 1. 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 22 
 
 
 
7.1.2 Identidade 2: 
 
 B A B . A A Z +=+= 
 
Neste caso a simplificação não é tão marcante como na identidade 1, mas mesmo 
assim, houve a economia de uma porta “E” e de uma porta inversora. O mais importante 
desta identidade é a prova usando álgebra de Boole, pois será necessário o uso da 
propriedade distributiva da soma no produto, esta é uma propriedade difícil de identificar 
no início. 
 
 B . A A Z += 
 ) B A ( . ) A A ( Z ++= Distribuindo a soma “A+” no produto 
 ) B A ( . 1 Z += Porque 1 ) A A ( =+ . 
 B A Z += Porque 1. X = 1 
 
Para tornar prática a aplicação desta identidade o estudante pode usar o seguinte 
raciocínio: 
Se uma variável ou conjunto de variáveis aparece sozinho em uma parcela de uma 
soma e na outra parcela aparece invertido, então a variável que não está sozinho pode ser 
simplificado. Observe os exemplos abaixo: 
 
Exemplo 5: 
B .A A Z += Aqui a variável “A” aparece invertida na primeira parcela 
B A Z += A variável “A” que não está sozinha é simplificada. 
 
Exemplo 6: 
 B . A A Z += Note que a segunda variável “B” não é alterada. 
 B A Z += somente a variável “A” é simplificada. 
Exemplo 7: 
 
 C . .BA B .A Z += Note que o conjunto de variáveis“ A . B” funciona como uma 
só variável, pis na segunda parcela a barra passa por sobre as duasvariáveis, tem que passar 
sobre as duas, não esqueça o erro grave do exemplo 4. 
 
 C B .A C . .BA B .A Z +=+= 
 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 23 
 
 
 
8 Sim ebra de Boole: 
 
Sim iste em aplicar a álgebra de Boole a uma dada 
função de les, com menos operações. Na prática este 
procedime s, com menos componentes, por sua vez mais 
econômico de simplificar uma função lógica, a primeira é 
usando dir
para chega
é um méto
separado. 
O m
estuda, da
algumas s
não é o m
karnaugh 
usando a 
entender c
 
 
8.1 Equ
 
Par
soma de p
Z
Ob
o circuito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
plificação usando álg
plificar uma função lógica cons
 forma à torna-la mais simp
nto leva a circuitos mais simple
s. Existem duas formas básicas 
etamente os postulados, os teoremas, as propriedades e identidades já estudadas 
r a uma função mais simples. Outra forma é chamada de mapa de Karnaugh, que 
do gráfico mais simples, e por isto, mais prático, este método será estudado em 
étodo usando a álgebra de Boole não tem uma regra bem definida, depende do 
 prática e da dedicação de cada um. Vamos mostrar alguns exemplos, dar 
ugestões e esperar que o estudante faça o máximo de exercícios possível. Este 
étodo mais prático para simplificar funções lógicas, o método do Mapa de 
é mais prático e será usado Ana maioria das vezes, no entanto, a simplificação 
álgebra de Boole serve para firmar os conceitos já estudados, e ainda para 
omo funciona o Mapa de Karnaugh. 
ação na forma da soma de produtos: 
a tornar mais fácil o trabalho o estudante deve colocar a equação na forma de 
rodutos. A figura abaixo mostra um exemplo deste tipo de estrutura. 
 .C B . A C .B .A C . B . A ++= 
serve o diagrama da figura do circuito que implementa esta equação. Note que 
é montado em três partes: 
• Uma parte constituída das inversoras, caso haja. 
• Uma etapa comporta “E” (produto). 
• Uma etapa final com porta “OU” (soma). 
 
Figura 10: soma de Produtos
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 24 
 
8.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole: 
 
• Procure organizar colocando as parcelas com o maior número de variáveis 
comuns, lado a lado formando duplas. 
• Trabalhe as parcelas aos pares. 
• Procure colocar as variáveis comuns em evidência., com isto aparecerão as 
simplificações básicas. 
 
A melhor forma de aprender a simplificar uma função lógica usando a álgebra de 
Boole é olhando os exemplos, e, praticando. 
 
 
8.2.1 Exemplo 1 de simplificação: 
 
Para exemplificar o procedimento de simplificação usando álgebra de Boole, vamos 
simplificar o circuito dado no parágrafo anterior: 
 
 .C B . A C .B .A C . B . A Z ++= 
 
Primeiramente você deverá procurar colocar as parcelas com variáveis comuns uma 
ao lado da outra, na verdade isto já está feito neste exemplo, onde as variáveis 
comuns são: B.A . 
 
Agora você pode aplicar a propriedade distributiva e colocar em evidência a 
variável comum, ou variáveis comuns. Note que aqui o A barrado é comum as três 
parcelas você pode coloca-lo em evidência, no entanto aconselhamos que você 
coloque as variáveis em evidência em duplas de parcelas, a experiência mostra que a 
simplificação fica mais simples, mais tarde, com a experiência adquirida você até 
poderá aplicar esta regra em mais de duas parcelas. 
 
Aplicando a propriedade distributiva as duas primeira parcelas a função fica: 
 .C B . A C) C( . B . A Z ++= 
 
Note que agora surge uma simplificação dentro do parênteses, temos o postulado da 
soma: XX1 += , então todo o parênteses pode ser substituído por 1, ficando a 
equação assim: 
 .C B . A 1 . B . A Z += 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 25 
 
Note que agora na primeira parcela temos novamente outro postulado, agora do 
produto: , onde 1 . XX = B.AX = , neste caso a equação fica: 
 .C B . A B . A Z += 
 
Veja como você simplificou o parênteses e a variável C, este procedimento no 
futuro poderá ser feito em um único passo, já que a simplificação fica evidente: 
 .C B . A C) C( . B . A Z ++= => .C B . A B . A Z += 
Simplesmente cortamos o parêntese. 
 
De posse da nova equação você deverá aplicar novamente o raciocínio, neste caso a 
s
e
 
A
a
e
v
e
 
A
c
a
p
 
P
d
 
O
b
 
 
 
ó existe uma variável comum as duas parcelas, o a barrado que deve ser colocado 
m evidência, a equação vai ficar: 
) .C B (B . A Z += 
gora você deve olhar para o parênteses e procurar uma simplificação, isto possível 
plicando a identidade 2 pois: Nós temos uma variável sozinha em uma parcela e 
sta mesma variável invertida na outra parcela), a variável sozinha permanece a 
ariável invertida da outra parcela desaparece. A variável sozinha é o B barrado. A 
quação fica: 
) C (B . A Z += 
gora não existe mais simplificação possível para o parêntese, esta já pode ser 
onsiderada a solução do exercício, no entanto, neste nosso estudo vamos considerar 
 equação final aquela colocada na forma de uma soma de produtos, isto porque, na 
rática este é o formato mais usado para a construção de circuitos digitais. 
ara voltar a forma de soma de produto usamos a propriedade distributiva, 
istribuindo o A barrado para dentro do parêntese. A equação final fica sendo: 
 .CA B . A Z += 
 circuito final é desenhado abaixo, note como ficou com menos porta lógica, logo, 
em mais barato. 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 26 
 
8.2.2 Exemplo 2: 
 
Dada a equação abaixo vamos simplificar usando a álgebra de Boole: 
 
D.AC.B.AD.C.B.AB.C.D.B.C.D.AZ +++= 
 
Note que aqui as parcelas já estão posicionadas duas a duas com variáveis comuns. 
As variáveis comuns a primeira e segunda parcela são: B.C.D
As variáveis comuns a terceira e quarta parcela são: .DCB. 
Novamente você pode colocar em evidência o B em todas as parcelas, mas, é 
melhor tratar as parcelas aos pares. 
Após colocar em evidência as variáveis comuns, a equação fica sendo: 
A)(AD.C.B.)AB.C.D.(AZ +++= 
 
Note que você pode simplificar os dois parênteses pelo mesmo motivo, usando o 
postulado da soma XX +=1 . Já aplicando a simplificação direta do postulado do 
produto . Para fazer o parêntese desaparecer. A função fica sendo: 1 . XX =
DC.B.B.C.DZ += 
 
Continuando com o raciocínio da simplificação, você poderá colocar em evidência 
as variáveis comuns B.D e a equação fica: 
)CB.D(CZ += 
 
Surgindo nova simplificação no parêntese a equação fica: 
B.DZ = 
 
Esta é a equação final, aqui, bastante simplificada e já sem parênteses na forma da 
soma de produto! 
 
 
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 27 
 
 
8.2.3 Exemplo 3: 
 
Uma das principais dificuldades deste método é que ele não dá a você uma 
indicação clara de que a função pode ser simplificada ou ainda de que a 
simplificação chegou ao seu final, assim, você muitas vezes pode ser tentado a 
fazer mais uma combinação e esta combinação não levar a nada, por isto, este 
método depende muito do treino, do exercício e é usado na prática somente em 
funções mais simples. Para funções mais complexas o método do mapa de 
Karnaugh visto em outra unidade é mais usado, mesmo assim é um método prático 
até quatro variáveis, ou cinco em alguns casos, para funções maiores hoje em dia, 
existem programas de computador que fazem o trabalho por você, é o caso do 
EWB, mais usado para testes de circuitos digitais. 
 
Veja o exemplo abaixo, aparentemente bem simples: 
 
AC.B..B.ACZ += 
 
Neste caso a variável B pode ser colocada em evidência, ficando: 
 
)AC..ACB.(Z += 
 
Note que a função que ficou dentro do parêntese não pode ser mais simplificada, 
não existe nenhuma regra que possa ser usada, observe bem que este é o caso do 
erro grave do exemplo 4 doTeorema de Demorgan. 
Você poderia ficar tentado a simplificar o parêntese, mas, isto não é possível. 
 
Assim esta função não é possível de ser simplificada, você só pode chegar a esta 
conclusão após tentar simplificar,não havia nenhuma pista antes!
Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital 28 
 
9 Mapa de Karnaugh: 
 
A simplificação de equações usando o Mapa de Karnaugh é um método simples e 
prático usando uma representação gráfica especial da tabela verdade, devido a sua 
importância este assunto é tratado em separado na apostila chamada “Mapa de 
Karnaugh”.