PROBABILIDADE CONDICIONAL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Prévia do material em texto

A B
Figura 1: O diagrama de Venn de dois eventos independentes.
Exerc´ıcios resolvidos da Lista 12 e Aula extra para
atividade 7.
Vamos comec¸ar com uma revisa˜o dois conceito de dois eventos serem independentes ou corela-
cionados. Primeiro, vou usar a seguinte expressa˜o: “o evento A aconteceu” se o resultdado
observado do experimento for um elemento de A.
Sejam A e B dois eventos. Dizemos que os eventos A e B sa˜o independentes quando o
acontecimento de um, na˜o altera a probabilidade do outro acontecer. Ou seja, a probabilidade
condicional de A acontecer dado que B aconteceu e´ igual a probabilidade de A acontecer,
P (A) = P (A|B). Isso tem algumas consequencias imediatos:
P (A) = P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
.
Multiplicando cada lada desta equac¸a˜o por P (B) obtemos
P (A)P (B) = P (A ∩B).
Esquematicamente, dois eventos A e B so independentes quando a area da regia˜o de in-
tersec¸a˜o A ∩ B divido pelo a´rea de P (B), e´ igual a a´rea de P (A). Ou seja, a diagrama de
Venn teria que ser parecido com a Figura 1.
Questa˜o extra importante: Agora prove, sem usar a figura, que se dois eventos A e B,
tais que P (A) > 0 e P (B) > 0, sa˜o independentes enta˜o na˜o sa˜o disjuntos.
Quando dois eventos na˜o sa˜o independentes, dizemos que sa˜o corelaciondos, ou seja, o
acontecimento de um influencia na probabilidade do outro acontecer. Se a probabilidade de A
acontecer aumentar sabendo que B aconteceu, dizemos que sa˜o positivamente corelaciondos.
Alge´bricamente isso quer dizer que:
P (A|B) > P (A).
Se a probabilidade de A acontecer dimunui sabendo que B aconteceu, dizemos que sa˜o
negativamente corelaciondos. Algebricamente isso quer dizer que:
P (A|B) < P (A).
Probabilidade condicional tambe´m pode ser usado como uma ferramenta para calcular
algumas probabilidades de eventos mais d´ıficeis usando a Lei da Probabilidade Total
1
(Probabilidade condicional, pa´gina 2/3, Tema 2). Para mostrar como usar isto, vou resolver
alguns exerc´ıcios da lista 12.
Questa˜o 1 Considere o experimento dado-moeda de lanc¸ar um dado e depois uma moeda
o nu´mero de vezes que aparece no dado. Seja N o resultado do dado e C o evento em
que todos os lanc¸amentos da moeda resultam em cara. Determine: P (C), P (N = n |C)
para n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, compare estes resultados com P (N = n) para n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
dizendo como os eventos C e (N = n) esta˜o correlacionados.
De imediato, e´ dificil calcular P (C). Mas usando Lei da Probabilidade Total facilita.
Para tanto, note que a variv´el N pode assumir uma dos seguintes 6 valores {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Podemos particionar o conjunto universal de acordo com esses 6 valores. Ou seja, necessari-
amente, ou N = 1 ou N = 2 ou N = 3 ou N = 4 ou N = 5 ou N = 6. Logo podemos
calcular a probabilidade P (C) da seguinte maneira:
P (C) = P (N = 1)P (C |N = 1) + P (N = 2)P (C |N = 2) + P (N = 3)P (C |N = 3)
+ P (N = 4)P (C |N = 4) + P (N = 5)P (C |N = 5) + P (N = 6)P (C |N = 6).(1)
Cada termo no lado direto desta equac¸a˜o e´ razoavelmente fa´cil de calcular. Por exemplo, se
sabemos que N = 2, enta˜o P (C|N = 2) e´ simplesmente a probabilidade de cair duas caras
em duas lanc¸amentos, ou seja
(
1
2
)2
. No caso geral, se n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} enta˜o
P (C|N = n) =
(
1
2
)n
.
A probabilidade de cair um lado espec´ıfico do dado e´ sempre igual a 1/6. Logo, para
n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} temos que P (N = n) = 1/6. Aplicando isso ao (1) temos que
P (C) =
1
6
(
1
2
)1
+
1
6
(
1
2
)2
+
1
6
(
1
2
)3
+
1
6
(
1
2
)4
+
1
6
(
1
2
)5
+
1
6
(
1
2
)6
=
1
6
(
1−
(
1
2
)6)
=
21
128
. (2)
Podemos intuitivamente ver como C e (N = n) sa˜o corelacionados. A probabilidade de
obter somente caras nos lanc¸amentos de moedas diminui a medida que temos mais moedas
para lanc¸ar. Ou seja, e´ mais provavel que o resultado do experimento pertence a C quando
(N = 1) e menos provave´l quando (N = 2). Precisamente, a probabilidade de ω ∈ C sabendo
que ω ∈ (N = 1) e´ 1/2 enquanto a probabilidade de ω ∈ C sabendo que ω ∈ (N = 2) e´
(1/2)2. Logo podemos chutar que C e (N = n) sa˜o positivamente corelacionados para n
pequeno enquanto C e (N = n) sa˜o negativamente corelacionados para n grande. Intuic¸a˜o
e´ muito bom, mas precisamos agora provar o que foi inferido pela intuic¸a˜o.
Seja n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para que C e (N = n) sejam positivamente corelacionados
precisamos que:
P (C |N = n) > P (C).
2
Usando o fato ja´ calculado que P (C) = 21/128 e P (C|N = n) = (1
2
)n
, temos que C e
(N = n) sa˜o positivamente corelacionados quando(
1
2
)n
>
21
128
.
Aplicando log(·) nos dois lado temos:
n <
log( 21
128
)
log(1
2
)
.
Calculando o lado direito temos que
n < 2.607682577.
Concluimos que C e (N = n) sa˜o positivamente corelacionados quando n ∈ {1, 2} e, por
exclusa˜o, sa˜o negativamente corelacionados quando n ∈ {3, 4, 5, 6}.
Para finalizar, vamos calcular agora P (N = n |C) usando expl´ıcitamente a definic¸a˜o:
P (N = n |C) = P ((N = n) ∩ C)
P (C)
=
1
6
(
1
2
)n
128
21
=
26−n
63
,
onde usamos o fato que P ((N = n)∩C) e´ a probabilidade de cair n no dado e cair n caras no
lanc¸amentos dos dados, ou seja P ((N = n) ∩ C) = 1
6
(
1
2
)n
. Note que, para n menor, temos
que P ((N = n)∩C) e´ maior. Isso ta de acordo com a nossa intuic¸a˜o? Aguardo perguntas e
respostas.
3