A HIPÓTESE DE RIEMANN - PAULO SERGIO LINO

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A Hipo´tese de Riemann:
Um Problema de um Milha˜o de Do´lares
Paulo Se´rgio C. Lino 1
Abril de 2012
1 - Introduc¸a˜o
Figura 1: Bernhard Riemann
Em agosto de 1900, o grande matema´tico
David Hilbert inaugurou o Congresso Internacional de
Matema´tica realizado em Paris, apresentando uma lista
de 23 problemas que, segundo ele, ditariam o rumo dos
exploradores matema´ticos do se´culo XX. De todos os
desafios lanc¸ados por Hilbert, o oitavo tinha algo de es-
pecial. Ha´ um mito alema˜o sobre Frederico Barba-Ruiva,
um imperador muito querido que morreu durante a Ter-
ceira Cruzada. Segundo a lenda, Barba-Ruiva ainda es-
taria vivo, adormecido em uma caverna nas montanhas
Kyffhauser, e so´ despertaria quando a Alemanha pre-
cisasse dele. Conta-se que algue´m perguntou a Hilbert:
”E se, como Barba-Ruiva, voceˆ pudesse acordar 500
anos, o que faria?”Hilbert respondeu: Eu lhe perguntaria:
”Algue´m conseguiu provar a hipo´tese de Riemann?”
Os matema´ticos sabem que a prova da hipo´tese de Riemann tera´ um significado
muito maior para o futuro da matema´tica do que saber se a equac¸a˜o de Fermat tem
ou na˜o tem soluc¸o˜es. Este problema matema´tico, procura compreender os objetos mais
fundamentais da matema´tica - os nu´meros primos.
A busca pela origem secreta dos primos ja´ dura mais de dois mil anos. Atualmente,
e´ oferecida uma recompensa de um milha˜o de do´lares para a soluc¸a˜o da hipo´tese de
Riemann. Em 1997, Andrew Wiles recebeu 75 mil marcos por sua prova do u´ltimo
teorema de Fermat, grac¸as a um preˆmio oferecido por Paul Wolfskehl em 1908.
Durante gerac¸o˜es, os matema´ticos estiveram obcecados pela tentativa de prever a
localizac¸a˜o precisa do pro´ximo nu´mero primo, produzindo fo´rmulas que gerassem esses
nu´meros. Por exemplo, em 1772, Euler observou que a expressa˜o p(n) = n2 + n + 41,
produz nu´meros primos para 0 ≤ n ≤ 39. Carl F. Gauss, teve uma ideia inovadora
e deparou com uma espe´cie de padra˜o ao fazer uma pergunta mais ampla buscando
descobrir a quantidade de primos entre um e um milha˜o em vez de localizar os primos
com precisa˜o. Apesar da importaˆncia dessa descoberta, Gauss na˜o a revelou a ningue´m,
mas um de seus alunos, Riemann, foi quem realmente desatou toda a forc¸a das harmonias
1O autor e´ mestre em matema´tica pura pela UFSCar e articulador do blog Fatos Matema´ticos.
1
ocultas por tra´s da cacofonia desses nu´meros.
O pai de Riemann, que era o pastor de Quickoborn, tinha muitas expectativas em
relac¸a˜o ao filho. Embora Bernhard Riemann fosse infeliz na escola, trabalhava firme e
era muito dedicado a na˜o decepcionar seu pai. Pore´m, tinha de lutar contra um perfec-
cionismo quase incapacitante. Schumalfuss foi quem encontrou uma maneira de animar
o jovem a explorar sua obsessa˜o pela perfeic¸a˜o, oferecendo a Riemann sua biblioteca,
com uma o´tima colec¸a˜o de livros de matema´tica, onde o rapaz poderia escapar das
presso˜es sociais dos colegas. A fam´ılia de Riemann era pobre, e o pai de Bernhard
esperava que o filho tambe´m entrasse na vida clerical, o que lhe faria uma fonte de
renda regular com a qual poderia sustentar suas irma˜s. A u´nica universidade do Reino
de Hanover que oferece a ca´tedra de teologia - a Universidade de Go¨ttingen - na˜o era
um desses novos estabelecimentos, havendo sido fundada mais de um se´culo antes, em
1734. Assim, atendendo aos desejos de seu pai, Riemann rumou, em 1846, para a u´mida
Go¨ttingen.
Em 1859, George F. B. Riemann, com 32 anos, foi eleito para a Academia de Cieˆncias
de Berlim. Como regra desta instituic¸a˜o, os novos membros deviam fazer um relato´rio
sobre o assunto que estava pesquisando. O seu relato´rio era curto (foi publicado com
8 pa´ginas) e tinha por t´ıtulo Sobre a quantidade de nu´mero primos que na˜o excedem
uma grandeza dada. Essas oito pa´ginas de densa matema´tica foram as u´nicas que
Riemann publicou, em toda sua vida, sobre os nu´meros primos, mas o artigo teria um
efeito fundamental sobre a maneira como eram percebidos. Escondido neste documento
de oito pa´ginas, estava declarado o problema cuja soluc¸a˜o possui hoje uma etiqueta com
o valor de um milha˜o de do´lares: a hipo´tese de Riemann.
Apesar de sua relevaˆncia, temos uma escassa literatura em l´ıngua portuguesa sobre
o assunto. O presente trabalho e´ uma pequena contribuic¸a˜o para aqueles que tenham
interesse, ou mesmo curiosidade a respeito da func¸a˜o zeta de Riemann, e na˜o tenham
acesso a` literatura estrangeira.
2 - A Func¸a˜o Zeta de Euler
Figura 2: Leonhard Euler
Para compreender o problema, conve´m recuar a 1650,
ano em que foi publicado o livro Novae quadraturae arith-
meticae seu se additione fractionum, de Pietro Mengoli.
E´ um sobre somas de se´ries, duas das quais sa˜o
ζ(1) = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . .
e
ζ(2) = 1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ . . .
E´ a´ı demonstrado que a primeira (a se´rie harmoˆnica) diverge
e o autor levanta o problema de saber qual e´ a soma da se-
gunda. Este problema foi novamente levantado por Jacques
2
Bernoulli em 1689. Treˆs anos mais tarde, o mesmo Jacques Bernoulli comec¸a a estudar
as se´ries
ζ(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+ . . .
para s ∈ N− {1}.
Em 1735, Euler provou que a soma da se´rie acima para s = 2 e´ pi2/6 e, pouco tempo
depois, mostrou que
ζ(2n) =
(2pi)2n
2(2n)!
|B2n|, n = 1, 2, . . .
onde Bk sa˜o os nu´meros de Bernoulli definidos como os coeficientes da expansa˜o de
Taylor da func¸a˜o t/(et − 1), isto e´,
t
et − 1 =
∞∑
k=0
Bk
k!
tk
Os primeiros nu´meros de Bernoulli sa˜o
B0 = 1, B1 = −1
2
, B2 =
1
6
, B3 = 0, B4 = − 1
30
, . . .
Uma questa˜o ainda em aberto e´ se o mesmo e´ verdadeiro quando o argumento de
ζ e´ um inteiro positivo ı´mpar. Por exemplo, sera´ que ζ(3) e´ proporcional a pi3?. Em
1978, R. Ape´ry provou que ζ(3) e´ pelo menos irracional. Nos pontos ı´mpares negativos
o valor da func¸a˜o zeta tambe´m pode ser expresso em termos dos nu´meros de Bernoulli,
a saber
ζ(1− 2n) = −B2n
2n
, n = 1, 2, . . .
Usando o teste da raza˜o, vemos que se s > 1 a se´rie
ζ(s) =
∞∑
n=1
1
ns
e´ convergente.
Definic¸a˜o 1: Seja s > 1. A func¸a˜o zeta de Euler e´ definida por:
ζ(s) =
∞∑
n=1
1
ns
A func¸a˜o zeta de Euler tambe´m pode ser expressa atrave´s de uma integral impro´pria
dada na proposic¸a˜o seguinte:
Proposic¸a˜o 1: Se ζ(s) e´ a func¸a˜o zeta de Euler, enta˜o
ζ(s) =
1
Γ(s)
∫ ∞
0
ts−1
et − 1dt
3
Demonstrac¸a˜o: Note que se f(t) = tm, m ∈ N, enta˜o L{tm}(p) = m!
pm+1
, de modo
que:
L
{
ts−1
(s− 1)!
}
=
1
ns
de modo que
ζ(s) =
∞∑
n=1
1
ns
=
∞∑
n=1
L
{
ts−1
(s− 1)!
}
=
∞∑
n=1
1
(s− 1)!
∫ ∞
0
e−ntts−1dt
=
1
Γ(s)
∫ ∞
0
ts−1
∞∑
n=1
e−ntdt =
1
Γ(s)
∫ ∞
0
ts−1e−t
1− e−tdt =
1
Γ(s)
∫ ∞
0
ts−1
et − 1dt
�
A conexa˜o entre a func¸a˜o zeta de Euler e os nu´meros primos e´ dado pelo seguinte
teorema:
Proposic¸a˜o 2: [Produto de Euler] Se s > 1, enta˜o
∞∑
n=1
1
ns
=
∏
p primo
1
1− 1
ps
(1)
Demonstrac¸a˜o: Seguindo as ideias de Euler para provar esta identidade, notamos
que
1
1− x = 1 + x+ x
2 + . . .
para |x| < 1. Logo, para cada p, temos
1
1− 1/ps = 1 +
1
ps
+
1
p2s
+ . . .
Assim,
∞∏
p primo
k=1
1
1− 1
psk
=
1
1− 1
ps1
· 1
1− 1
ps2
· 1
1− 1
ps3
. . .
=
∞∑
k=0
1
ps1
·
∞∑
k=0
1
ps2
·
∞∑
k=0
1
ps3
. . .
=
(
1 +
1
ps1
+
1
p2s1
)
·
(
1 +
1
ps2
+
1
p2s2
)
. . .
= 1 +
∑
1≤i
1
psi
+
∑
1≤i≤j
1
psip
s
j
+
∑
1≤i≤j≤k
1
psip
s
jp
s
k
+ . . .
= 1 +
1
2s
+
1
3s
+ . . .+
1
ns
+ . . . =
∞∑
n=1
1
ns
�
4
A u´ltima expressa˜o foi obtidalembrando que cada inteiro n > 1 e´ expresso de modo
u´nico como produto de poteˆncias de diferentes primos. Ale´m disso, esta proposic¸a˜o
mostra que ha´ uma relac¸a˜o entre a func¸a˜o ζ de Euler e a distribuic¸a˜o dos nu´meros primos.
Usando sua func¸a˜o, Euler deduziu dois resultados importantes que apresentaremos a
seguir.
Corola´rio 1: [Euclides] Existem infinitos nu´meros primos.
Demonstrac¸a˜o: Se houvesse um nu´mero finito de primos, enta˜o o produto do segundo
membro de (1) seria um produto finito e teria evidentemente um valor finito, de modo
que a se´rie do primeiro membro tambe´m seria finita para todo s > 0. Entretanto, a
expressa˜o do primeiro membro de (1) para s = 1 e´ a se´rie harmoˆnica
1 +
1
2
+
1
3
+ . . .
que diverge pelo teste da integral. Logo, existem infinitos primos.
�
Na proposic¸a˜o a seguir, provaremos que a se´rie dos inversos dos primos diverge. Mas
antes, veremos o lema seguinte:
Lema 1: Para x ∈ [−1/2, 0), vale a desigualdade:
2x < ln(1 + x)
Demonstrac¸a˜o: Seja f(x) = ln(1+x)−2x para x ∈ [−1/2, 0]. Note que f(−1/2) =
1− ln 2 > 0 e f(0) = 0. Como
f ′(x) =
1
1 + x
− 2 ⇒ f ′′(x) = − 1
(1 + x)2
< 0
para todo x ∈ R− {−1}. Assim, f e´ coˆncava para baixo, de modo que f(x) > 0 para
x ∈ [−1/2, 0), donde segue o resultado.
�
Proposic¸a˜o 3: A se´rie dos inversos dos primos diverge, ou seja:
+∞∑
n=1
1
pn
=
1
2
+
1
3
+
1
5
+
1
7
+
1
11
+ . . . = +∞ (2)
5
Demonstrac¸a˜o: A prova de (2) e´ semelhante a apresentada na Prop. 2, tomando
s = 1, ou seja,
1
1− 1
2
· 1
1− 1
3
· 1
1− 1
5
. . .
1
1− 1
pn
=
∑
fp’s ≤ pn
1
k
(3)
Como todo inteiro maior que 1 expressa-se de modo u´nico como produto de poteˆncias de
primos diferentes, o produto das se´ries geome´tricas acima representa a se´rie dos inversos
de todos os inteiros positivos cujos fatores primos sa˜o menores ou iguais a pn. Em
particular, vemos que ∑
fp’s ≤ pn
1
k
≥
pn∑
k=1
1
k
(4)
Substituindo (4) em (3), temos:
1
1− 1
2
· 1
1− 1
3
· 1
1− 1
5
. . .
1
1− 1
pn
≥
pn∑
k=1
1
k
(5)
Considere agora a func¸a˜o f(x) = 1/x para x ∈ [1, pn] representada no gra´fico abaixo:
Temos a seguinte desigualdade para a a´rea aproximada:
Sn = (2− 1) · 1 + (3− 2) · 1
2
+ (4− 3) · 1
3
+ . . .+ (pn − pn + 1) 1
p− n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ . . .+
1
pn
=
pn∑
k=1
1
k
>
∫ pn
1
1
x
dx = ln pn
(6)
Substituindo (6) em (5), segue que
1(
1− 1
2
)(
1− 1
3
)(
1− 1
5
)
. . .
(
1− 1
pn
) > ln pn ⇒
(
1− 1
2
)(
1− 1
3
)(
1− 1
5
)
. . .
(
1− 1
pn
)
<
1
ln pn
(7)
Aplicando o logaritmo em ambos os lados de (7), temos
ln
(
1− 1
2
)
+ ln
(
1− 1
3
)
+ ln
(
1− 1
5
)
+ . . .+ ln
(
1− 1
pn
)
< ln ln p−1n ⇒
6
n∑
k=1
ln
(
1− 1
pk
)
< − ln ln pn (8)
Sendo pk ≥ 2, enta˜o −1/pk ≥ −1/2 para k ∈ N∗. Do Lema (1), segue que
− 2
pk
< ln
(
1− 1
pk
)
⇒
−2
n∑
k=1
1
pk
<
n∑
k=1
ln
(
1− 1
pk
)
(9)
De (8) e (9), conclu´ımos que
n∑
k=1
1
pk
>
1
2
ln ln pn → +∞ quando n→ +∞
Para ver isso, seja f(x) = ln ln x, para x > 1. Como f ′(x) = 1/(x ln x) > 0, segue que
f e´ crescente neste intervalo, de modo que lim
n→+∞
ln ln pn = +∞.
�
Observac¸a˜o 1: Viggo Brun, em 1919, demonstrou que a se´rie dos rec´ıprocos dos
primos geˆmeos converge. Esta se´rie gera o nu´mero denominado de constante de
Brun.
B2 =
(
1
3
+
1
5
)
+
(
1
5
+
1
7
)
+
(
1
11
+
1
13
)
+
(
1
17
+
1
19
)
+
(
1
29
+
1
31
)
+ · · ·
≈ 1, 9021605823
O teorema de Brun afirma que mesmo que existam infinitos termos nesta soma, a
se´rie resultante e´ ainda assim convergente.
Ha´ outras ligac¸o˜es da func¸a˜o zeta com a` Teoria dos Nu´meros. Por exemplo, se s > 1,
enta˜o
ζ(s)2 =
∞∑
n=1
d(n)
ns
,
onde d(n) e´ o nu´mero de divisores de n. Ale´m disso, se s > 2, enta˜o
ζ(s)ζ(s− 1) =
∞∑
n=1
σ(n)
ns
onde σ(n) e´ a soma dos divisores de n.
3 - O Teorema dos Nu´meros Primos
Ao perceberem das limitac¸o˜es de descobrir uma fo´rmula que gerasse o ene´simo
7
nu´mero primo, os matema´ticos voltaram-se para a estrate´gia de pesquisar sobre a dis-
tribuic¸a˜o me´dia dos primos ao longo dos nu´meros naturais.
Definic¸a˜o 2: Para cada x ∈ R, definimos a func¸a˜o pi(x) como sendo a quantidade
de nu´meros primos menores ou iguais a x, ou seja:
pi(x) = quantidade de primos ≤ x
Figura 3: Carl F. Gauss
O matema´tico franceˆs Legendre, apo´s um exame a´rduo
de uma tabela contendo um grande nu´mero de primos ob-
servou que aparentemente se tem
pi(x) ≈ x
ln x
(10)
querendo isto dizer que o quociente das duas func¸o˜es tende
para 1 quando x tende para +∞. Pela mesma altura, Gauss
com apenas 15 ou 16 anos de idade tambe´m conjecturou que
se tem (10), mas tambe´m fez a conjectura
pi(x) ≈
∫ x
2
1
ln t
dt
Proposic¸a˜o 4: As conjecturas de Legendre e Gauss sa˜o equivalentes, ou seja:
lim
x→+∞
x
lnx∫ x
2
1
ln t
dt
= 1
Demonstrac¸a˜o: Usando a regra de L’Hospital, temos:
lim
x→+∞
x
lnx∫ x
2
1
ln t
dt
= lim
x→+∞
(
lnx−1
ln2 x
)
1
lnx
= lim
x→+∞
ln x− 1
ln x
= lim
x→+∞
(
1− 1
ln x
)
= 1
�
Figura 4: Gra´ficos de pi(x) (vermelho),
∫ x
2
1/ ln tdt (verde), e x/ lnx (azul).
8
No entanto,
∫ x
2
1/ ln tdt e´ uma melhor aproximac¸a˜o de pi(x) do que x/ ln x como se
pode ver no gra´fico abaixo. Esta figura tambe´m sugere que pi(x) e´ sempre maior do que
x/ ln x e que a diferenc¸a vai aumentando a` medida que x cresce. Isto levou Legendre a
conjecturar, em 1800, que uma func¸a˜o que aproxima pi(x) ainda melhor do que x/ ln x
e´
x
ln x− 1.08366
Gauss na˜o publicou nada sobre este to´pico, o que se sabe sobre as observac¸o˜es dele
sobre o assunto vem nas suas cartas pessoais e no seu dia´rio. No entanto, nem mesmo
o grande Gauss conseguiu provar sua conjectura. Esforc¸os matema´ticos foram feitos no
sentido de que em 1848, o matema´tico russo Chebyshev demonstrou que
0, 89×
∫ x
2
1
ln t
dt < pi(x) < 1, 11×
∫ x
2
1
ln t
dt
Figura 5: Matema´ticos que provaram a conjectura de Legendre-Gauss
Em 1896, os matema´ticos, Jacques Hadamard e De La Valle´e Poussin, trabalhando
independentemente e baseando-se nos escritos de Riemann, conseguiram finalmente
demonstrar que
lim
x→+∞
pi(x)
x/ ln x
= 1
Este resultado passou a ser conhecido por Teorema dos Nu´meros Primos.
4 - A Func¸a˜o Zeta de Riemann
Riemann estendeu a definic¸a˜o da func¸a˜o Zeta de Euler para os nu´meros complexos.
Escrevendo s = σ + it, temos que:
|ns| = |es lnn| = |e(σ+it) lnn| = |eσ lnn| · |eit lnn| = |eσ lnn| = nσ
Usando este resultado, juntamente com o testeM de Weierstrass, segue-se que a func¸a˜o
zeta de Riemann dada por
∞∑
n=1
1
ns
9
e´ anal´ıtica paraRe(s) > 1. Podemos estender a analiticidade de ζ, para−1 < Re(s) < 1
e tambe´m para todo o plano complexo, exceto no ponto z = 1, onde ocorre o u´nico
po´lo da func¸a˜o ζ, como ilustrado na figura abaixo.
Figura 6: Gra´fico da func¸a˜o |ζ(s)| para s ∈ C.
A Proposic¸a˜o 1, apresentada anteriormente para a func¸a˜o zeta de Euler tambe´m e´
va´lida para a func¸a˜o zeta de Riemann, ou seja:
Proposic¸a˜o 5: Seja s ∈ C. Se Re(s) > 1, enta˜o
ζ(s) =
1
Γ(s)
∫ ∞
0
ts−1
et − 1dt (11)
onde Γ(z) e´ a func¸a˜o gama de Euler, definida por
Γ(s) =
∫ ∞
0
e−tts−1dt
A prova desta Proposic¸a˜o pode ser encontrada em [3]. A expressa˜o (11) e´ conhecida
por representac¸a˜o integral da func¸a˜o zeta de Riemann. Usando a Prop. 4 e´ poss´ıvel
estender a func¸a˜ozeta de Riemann para −1 < Re(s) < 1, obtendo a expressa˜o
ζ(s) =
1
Γ(s)
[∫ 1
0
(
1
et − 1 −
1
t
+
1
2
)
ts−1dt− 1
2s
+
∫ ∞
1
(
1
et − 1 −
1
t
)
ts−1
]
Para maiores detalhes, consulte [3]. Ale´m disso, notamos um aparente problema no
ponto s = 0 o qual pode ser resolvido da seguinte forma: Sendo Γ(s + 1) = sΓ(s),
enta˜o:
1
2sΓ(s)
=
1
2Γ(s+ 1)
10
obtendo 1/2 no ponto s = 0. Portanto, a func¸a˜o ζ esta´ definida e e´ anal´ıtica na faixa
−1 < Re(s) < 1, com um po´lo simples em s = 1.
A expressa˜o a seguir va´lida para s 6= 1 e´ uma relac¸a˜o de fundamental importaˆncia
na teoria da func¸a˜o zeta de Riemann cuja prova pode ser encontrada em [5].
Proposic¸a˜o 6: Se s ∈ C− {1}, enta˜o
ζ(s) = 2(2pi)s−1ζ(1− s)Γ(1− s) sin(pis
2
)
5 - A Conjectura ou Hipo´tese de Riemann
Figura 7: Faixa cr´ıtica
A famosa conjectura ou hipotese de Riemann esta´
relacionada com os zeros da func¸a˜o ζ. Os zeros da
func¸a˜o zeta localizados em zn = −2n, n = 1, 2, . . .
sa˜o chamados zeros triviais. Aquele grande matema´-
tico afirmou que a func¸a˜o ζ tem infinitos zeros na
faixa 0 ≤ Re(s) ≤ 1, conhecida por faixa cr´ıtica. J.
Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmac¸a˜o, em
1893.
Uma das mais famosas questo˜es em aberto da
Matema´tica e´ a hipo´tese de Riemann sobre os zeros
na˜o triviais da func¸a˜o zeta. A hipo´tese de Riemann
estabelece que todos os infinitos zeros da func¸a˜o ζ,
pertencentes a faixa cr´ıtica 0 ≤ Re(s) ≤ 1, esta˜o so-
bre a reta Re(s) = 1/2, que e´ chamada de reta cr´ıtica. Desta forma, os zeros na˜o
triviais da func¸a˜o ζ, de acordo com a conjectura de Riemann, sa˜o infinitos e da forma
s = 1/2 + iσ, com σ real. Ate´ o momento, nenhuma prova foi apresentada para esta
conjectura. Este problema na˜o um tipo de problema que pode ser abordado por me´todos
elementares. Ja´ deu origem a uma extensa e complicada bibliografia.
Riemann enunciou, tambe´m sem provar, a seguinte fo´rmula assinto´tica para o nu´mero
N(T ) de zeros da faixa cr´ıtica, 0 ≤ Re(s) ≤ 1, 0 < Im(s) ≤ T ,
N(T ) =
1
2pi
T lnT − 1 + ln(2pi)
2pi
T +O(lnT )
Uma prova rigorosa desta fo´rmula foi dada, pela primeira vez, por H. V. Mangoldt em
1905 e pode ser vista em [5]. Nove anos mais tarde, G. H. Hardy provou que existe uma
infinidade de zeros sobre a reta Re(s) = 1/2. Mas, uma infinidade na˜o significa que sa˜o
todos. E´ interessante notar que se a parte real de s e´ igual a 1, enta˜o a func¸a˜o ζ de
Riemann na˜o admite nenhum zero sobre esta linha. Para ver uma prova deste fato, veja
[5].
E. C. Titchmarsh mostrou em 1935−1936, que ha´ 1041 zeros na regia˜o 0 ≤ Re(s) ≤
1 e 0 < Im(s) < 1468. Todos estes zeros esta˜o sobre a reta cr´ıtica Re(s) = 1/2. Com
o aux´ılio de supercomputadores, verificou que os primeiros 10 trilho˜es de zeros esta˜o
sobre a linha cr´ıtica, sugerindo portanto, que a hipo´tese deve ser realmente verdadeira.
11
Figura 8: Zeros da func¸a˜o zeta
sobre a linha cr´ıtica
Os matema´ticos se referem ao problema de Rie-
mann como uma hipo´tese, e na˜o como uma conjec-
tura, pela existeˆncia de muitos resultados que depen-
dem de sua soluc¸a˜o. A palavra ”hipo´tese” tem uma
conotac¸a˜o muito mais forte, pois representa uma pre-
missa necessa´ria que o matema´tico aceita para poder
construir uma teoria. Uma ”conjectura”, por outro
lado, representa apenas uma previsa˜o do matema´tico
sobre o modo como o mundo se comporta. Muitas
pessoas tiveram de assumir sua incapacidade de re-
solver o enigma de Riemann e decidiram adotar sua
previsa˜o como uma hipo´tese de trabalho. Se algue´m
conseguir transformar a hipo´tese em teorema, todos
esses resultados pendentes sera˜o validados. (A Mu´sica
dos Nu´meros Primos, pp 19).
Figura 9: ζ(1/2 + it), para 0 < t < 50
E´ natural nesta fase ocorrer uma pergunta. O que e´ que tudo isto tem a ver com o
teorema dos nu´meros primos?
Para ver a relac¸a˜o entre as duas coisas, considere a func¸a˜o µ definida abaixo:
Definic¸a˜o 3: A func¸a˜o de Mo¨bius µ : N→ {−1, 0, 1} e´ definida por:
µ(n) = 0 se n for mu´ltiplo de algum quadrado perfeito maior do que 1;
µ(n) = 1 se n possui um nu´mero par de fatores primos;
µ(n) = −1 se n possui um nu´mero ı´mpar de fatores primos.
Seja tambe´m a func¸a˜o logaritmo integral definida por:
Definic¸a˜o 4: Para x ∈ (1,+∞), definimos a func¸a˜o logaritmo integral:
Li(x) =
∫ x
0
∫ x
0
1
ln t
dt = lim
s→0+
(∫ 1−�
0
1
ln t
dt+
∫ x
1+�
1
ln t
dt
)
12
Riemann conjecturou que
Li(x)− 1
2
Li(
√
x)− 1
3
Li( 3
√
x)− 1
5
Li( 5
√
x) +
1
6
Li( 6
√
x) + . . . =
∞∑
n=1
µ(n)
n
Li( n
√
x) (12)
seria uma excelente aproximac¸a˜o de pi(x). Empiricamente isto e´ plaus´ıvel; por exemplo,
se n ≤ 1.000.000, enta˜o a diferenc¸a entre pi(n) e a soma dos quatro primeiros termos
na˜o nulos da se´rie (12) na˜o excede 37. Conve´m ressaltar que existe uma relac¸a˜o direta
entre a func¸a˜o de Mo¨bius e a func¸a˜o ζ: se s ∈ C e se Re(s) > 1, enta˜o
1
ζ(s)
=
∞∑
n=1
µ(n)
ns
6 - Problemas Relacionados
Os Condensados de Bose-Einstein
Figura 10: Condensados de
Bose-Einstein
Os Condensados de Bose-Einstein (BECs) sa˜o nu-
vens de a´tomos ultrafrios, com temperaturas pro´ximas
ao zero absoluto que se comportam como um u´nico e
gigantesco objeto cujo comportamento so´ e´ conhecido
com a interpretac¸a˜o quaˆntica, pois e´ um objeto de na-
tureza quaˆntica.
Este fenoˆmeno foi teorizado nos anos 20 por Albert
Einstein, ao generalizar o trabalho de Satyendra Nath
Bose sobre a mecaˆnica estat´ıstica dos Fo´tons (sem
massa) para a´tomos (com massa). Einstein especulou
que arrefecendo os a´tomos boso´nicos ate´ temperat-
uras muito baixas os faria colapsar (ou ”condensar”) para o mais baixo estado quaˆntico
acess´ıvel, resultando numa nova forma de mate´ria.
Esta transic¸a˜o ocorre abaixo de uma temperatura cr´ıtica, a qual, para um ga´s tridi-
mensional uniforme consistindo de part´ıculas na˜o-interativas e sem graus internos de
liberdade aparentes, e´ dada por:
Tc =
(
n
ζ(3/2)
)2/3
h2
2pimkB
onde:
• Tc e´ a temperatura cr´ıtica,
• n a densidade da part´ıcula,
• m a massa do bo´son,
• h a constante de Planck,
• kB a constante de Boltzmann, e
13
• ζ a func¸a˜o zeta de Riemann, sendo ζ(3/2) ' 2, 6124.
Sistemas Dinaˆmicos, Caos, Probabidade e Estat´ıstica
As estat´ısticas dos zeros da func¸a˜o zeta de Riemann e´ um assunto interessante devido
a sua ligac¸a˜o com a hipo´tese de Riemann e com a distribuc¸a˜o dos nu´meros primos. Os
pesquisadores descobriram que esta hipo´tese tambe´m esta´ relacionada com a teoria de
matrizes aleato´rias e o caos quaˆntico. Por exemplo, M. Berry apontou que as correlac¸o˜es
entre os zeros de ζ(s) sa˜o como as correlac¸o˜es entre os n´ıveis de energia de um sistema
quaˆntico cao´tico. Ale´m disso, a regularizac¸a˜o da func¸a˜o zeta de Riemann e´ usada para
regularizar se´ries divergentes que surgem na Teoria Quaˆntica de Campos. Num exemplo
nota´vel, a func¸a˜o zeta de Riemann surge explicitamente no ca´lculo do efeito Casimir
(Atrac¸a˜o entre duas pequenas placas meta´licas que esta˜o muito pro´ximas entre si, da
ordem de va´rios diaˆmetros atoˆmicos).
A Diferenc¸a Entre Primos Geˆmeos
Outra questa˜o envolvendo a hipo´tese de Riemann e´ referente aos nu´meros primos
consecutivos. Se pk denota o k−e´simo nu´mero primo (de modo que p1 = 2, p2 =
3, p3 = 5 e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece
que a diferenc¸a entre dois nu´meros primos consecutivos, pk+1 − pk, cresce ”na mesma
velocidade”que
√
pk ln(pk). Mais especificamente, existe uma constante real positiva
M > 0 de modo que vale a desigualdade
pk+1 − pk < M√pk ln(pk)
para todo k suficientemente grande. Para provar este resultado, Cramer utilizou cru-
cialmente a Hipo´tesede Riemann, de maneira que este resultado pode em princ´ıpio ser
falso, caso a Hipo´tese tambe´m seja.
A Hipo´tese de Riemann e a Internet
Na˜o e´ fa´cil elaborar um sistema de criptografia seguro na era dos supercomputa-
dores. Contudo, os cientistas R. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, desenvolveram um
criptosistema de chave pu´blica, denominado ”RSA”, que tem se mostrado inviola´vel.
Esse criptosistema depende do conhecimento matema´tico dos nu´meros primos e suas
propriedades.
A pesquisa sobre a Hipo´tese de Riemann fornece informac¸o˜es ta˜o preciosas, sobre o
padra˜o dos nu´meros primos, que avanc¸os nessa investigac¸a˜o poderiam nos levar a um
progresso substancial nas te´cnicas de fatorac¸a˜o e, consequ¨entemente, levar a` quebra da
seguranc¸a na transmissa˜o de dados via Internet.
8 - Palavras Finais
Tudo que foi comentado anteriormente explica porque a hipo´tese de Riemann e´ uma
problema em aberto ta˜o famoso. Este problema desde de sua formulac¸a˜o tem captado
a imaginac¸a˜o de alguns dos maiores matema´ticos do mundo. Andre Weil, matema´tico
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ingleˆs fascinado pela hipo´tese de Riemann, declarou certa vez numa entrevista que, du-
rante muito tempo ficou obcecado em demonstra´-la e publica´-la em 1959, no centena´rio
da publicac¸a˜o da hipo´tese. Mas aquele ano passou sem que ele tivesse tido sucesso.
Depois, a sua ambic¸a˜o ficou apenas em compreender a demonstrac¸a˜o quando algue´m
a publicasse. Perto do fim da vida, desejava somente que a demonstrac¸a˜o fosse feita
enquanto ele estivesse vivo, mas nem essa ambic¸a˜o foi satisfeita. Conve´m dizer que
uma conjectura formulada por Weil sobre os zeros de certas func¸o˜es de uma varia´vel
complexa ana´loga a` hipo´tese de Riemann foi demonstrada por Pierre Deligne em 1974.
Em maio de 2000, o Clay Mathematics Institute (CMI) - ONG norte-americana que
desenvolve e dissemina conhecimentos matema´ticos - ofereceu sete preˆmios no valor de
um milha˜o de do´lares cada. Para receber a bolada, basta solucionar um dos problemas
de matema´tica propostos. Mas a riqueza na˜o vem fa´cil; os problemas sa˜o considerados
por um comiteˆ de matema´ticos como os mais complicados e mais importantes desta a´rea
em nossos dias. Esta lista com 7 problemas extremamentes dif´ıceis, conte´m a hipo´tese
de Riemann e conjectura de Poincare´ que foi resolvida pelo matema´tico russo Grigory
Perelmann, o qual recusou o preˆmio de 1 milha˜o de do´lares.
A comunidade matema´tica esta´ esperando surgir outro Grigori para solucionar o
enigma de Hipo´tese de Riemann.
9 - Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Hipotese-de-Riemann
[2] Santos, Jose´ Carlos. A Hipo´tese de Riemann - 150 anos.
[3] Aguilera-Navarro, Maria Cec´ılia K. et. al. A Func¸a˜o Zeta de Riemann.
[4] Du Sautoy, Marcus. A Mu´sica dos Nu´meros Primos: A histo´ria de um problema
na˜o resolvido na matema´tica. Trad. Diego Alfaro, Jorge Zahar Ed. Rio de Janeiro,
2007.
[5] Borwein, P. et. ali. The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and
Virtuoso Alike. Springer, 2007.
[6] http://pt.wikipedia.org/wiki/Condensado-de-Bose-Einstein.
[7] Simmons, G. F. Ca´lculo com Geometria Anal´ıtica. Vol. 2. Ed. Makron Books,
Sa˜o Paulo, 1987.
[8] Conrey, J. Brian. The Riemann Hypothesis. Notices of the AMS. Vol. 50, n. 3.
[9] http://pt.wikipedia.org/wiki/Se´rie-dos-inversos-dos-primos
15